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2022-2023 学年北京四中八年级（上）月考数学试卷（10 月份）
一、选择题（本题共10小题，共30分）
1. 下列式子中，是分式的是（ ）
.
A B. C. ﹣ D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用分式定义可得答案．
【详解】解：A、 的分母含字母，是分式，故此选项符合题意；
B、 的分母不含字母，不是分式，是整式，故此选项不合题意；
C、﹣ 的分母不含字母，不是分式，是整式，故此选项不合题意；
D、 的分母不含字母，不是分式，是整式，故此选项不合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解答本题的关键．判断分式的依据是看分母中是否
含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中
含π的代数式不是分式，是整式．
2. 若分式 有意义时，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】要使分式有意义，分式的分母不能为 ，据此可求解．
【详解】解： 分式 有意义时，，
解得： ，
故选：A
【点睛】本题主要考查分式有意义的条件，解此类问题关键是令分式中分母不等于 ，求得字母的值即可．
3. 若把x，y的值同时扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式的性质化简即可；
【详解】解：A、 ，分式的值不能保持不变，故此选项不符合题意；
B、 ，分式的值保持不变，故此选项符合题意；
C、 ，分式的值不能保持不变，故此选项不符合题意；
D、 ，分式的值不能保持不变，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，准确分析判断是解题的关键．
4. 不改变分式 的值，把它的分子和分母中的各项的系数都化为整数，则所得结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据分式的基本性质：分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式值不变，即
可求出答案．【详解】解：分子分母同时扩大10倍，即原分式 ，
故选：A．
【点睛】本题考查的知识点是分式的基本性质，熟记性质内容是解此题的关键．
5. 下列各分式化简后与 相等的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】把每个选项中分子分母能分解因式的分解因式，然后约分化简后即可求解．
【详解】解：A． 是最简二次根式，与 不相等；
B． 是最简二次根式，与 不相等；
C． 是最简二次根式，与 不相等；
D． ，与 相等，
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的约分化简，熟练掌握约分的方法是解题的关键．
6. 下列属于最简分式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据最简分式的概念逐项分析即可．
【详解】A、 ，故错误；B、 ，故错误；
C、是最简分式，故正确；
D、 ，故错误；
故选：C．
【点睛】本题考查最简分式的概念，理解概念是解题关键．
7. 式子 中，字母 的取值范围是（ ）
A. B. 1 C. 且 D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用负整数指数幂： 为正整数 ，零指数幂： ，进而得出
答案．
【详解】解：式子 中， 且 ，
解得： 且
故选：D ．
【点睛】此题主要考查了零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质，正确掌握零指数幂的性质以及负整数
指数幂的性质是解题关键．
8. 下列各等式中成立的有个．（ ）
① ；
；
；
．A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】分式的分子与分母同乘 或除以 一个不等于 的整式，分式的值不变，据此即可求解．
【详解】解： ，故 不符合题意．
，故 不符合题意．
，故 不符合题意．
，故 符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
9. 已知 ，则 的值是（ ）．
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】把已知条件两边平方，然后利用完全平方公式整理即可求解．
【详解】解：
故选：C．
【点睛】本题考查完全平方公式，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．10. 粗心的小倩在放学回家后，发现把数学练习册忘在教室了，担心教室关门，于是她跑步到学校取了练
习册，再步行回家（取书时间忽略不计）．已知跑步速度为x，步行速度为y，则她往返一趟的平均速度是
（ ）
A. x B. y C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设从学校到家路程为s，然后表示出从家到学校所用时间，再表示出从学校到家所用时间，然后
利用总路程除以总时间可得平均速度．
【详解】设从学校到家路程为s，
平均速度是：
；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了列代数式，关键是掌握平均速度=路程÷时间．
二、填空题（本题共6小题，共18分）
11. 新型冠状病毒是一种形状为冠状的病毒，其直径大约为 ，将 用科学记数
法表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不
同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.000000102=1.02×10-7，
故答案为：1.02×10-7．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第
一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12. 化简： __________．【答案】1
【解析】
【分析】原式通分，然后分母不变，分子相加减，再约分即可．
【详解】解：
=
=1
故答案为：1．
【点睛】本题考查了分式的加减运算，解题的关键是掌握运算法则．
13. 分式 与 的最简公分母是___________．
【答案】
【解析】
【分析】首先将各分母分解因式，最简公分母是各分母所有因式 的最高次幂的乘积．
【详解】解：
各项的最简公分母为： ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查了最简公分母 的确定，关键是根据最简公分母是各分母所有因式的最高次幂的乘积
解答．
14. 若分式 的值为 ，则 的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】分式的值为 的条件是：分子为零，分母不为零．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解
答本题．
【详解】解：∵分式 的值为 ，∴ ，
∴
∴
故答案为： ．
【点睛】此题考查了分式的值为 的条件，解题的关键是熟练掌握分式的值为 的条件．分式的值为 的
条件是：分子为零，分母不为零．
15. 已知a、b为实数，且 ，设 ，则M、N的大小关系是
M________ N（填=、>、<、≥、≤）．
【答案】=
【解析】
【分析】本题只需要先对M、N分别进行化简，再把 代入即可比较M、N的大小．
【详解】解： ，
，
∵ ，
∴ ，
∴M＝N，
故答案为：＝．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，在解题时要注意先对分式进行化简，再代入求值即可．
16. 当 分别取 时，计算分式 的值，再将所
得结果相加，其和等于___________．
【答案】
【解析】【分析】根据当 时， ，当 时， ，可得
，求和即可．
【详解】解：当 时， ，
当 时， ，
，
当 时与当 时相加所得的代数式的值为 ，
当 时与当 时相加所得的代数式的值为 ，
当 时与当 时相加所得的代数式的值为 ，
当 时所得的代数式的值为 ，
当 时所求的代数式的值为 ，
这些分式的值其和等于 ，
故答案为：
【点睛】本题考查了求分式的值，数字的变化规律，通过计算发现当 时与当 时所得的代数式
的值和为 是解题的关键．
三、解答题（本题共8小题，共72分）
17. 计算： ．【答案】2
【解析】
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、算术平方根分别化简，进而得出答案．
【详解】解：原式
【点睛】此题主要考查了实数的运算，掌握零指数幂和负整数指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
18. 请你先化简，再选取一个你喜欢的数代入并求值： ．
【答案】 ，当 时，原式=2
【解析】
【分析】先将分子分解因式，约分后合并同类项，再把有意义的 的值代入计算即可．
【详解】解：
，
当 时，
原式
【点睛】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的运算法则，把所求式子化简．
19. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】【分析】（1）根据分式的乘除运算以及加减运算即可求出答案．
（2）根据负整数指数幂的意义以及同底数幂的乘法运算即可求出答案．
【小问1详解】
解：原式
【小问2详解】
解：原式
．
【点睛】本题考查分式的乘除运算，分式的加减运算，负整数指数幂的意义以及同底数幂的乘法运算，本
题属于基础题型．
20. 先化简，再求值： ，其中
【答案】 ，
【解析】
【分析】先算括号里，再算括号外，然后把 的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【详解】解：，
当 时，
原式
．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解以及分式的混合运算法则是解题的关键．
21. 符 号 “ ” 称 为 二 阶 行 列 式 ， 规 定 它 的 运 算 法 则 为 ， 例 如
请按上述提供的方法化简 ．
【答案】1
【解析】
【分析】根据新定义列出算式，再计算分式混合运算即可．
【详解】解：
【点睛】本题考查分式 的混合运算，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，列出算式，掌握分式的混
合运算法则．22. 甲地和乙地都种植相同品种的水稻，甲地的种植面积为 亩，乙地的种植面积为 亩
，最后两块土地收获的水稻重量都是 请问甲地每亩水稻的产量是乙地的多少倍？你能根据
计算结果直接写出哪一块土地每亩水稻产量更高吗？
【答案】甲地每亩水稻的产量是乙地的 倍，乙地每亩水稻的产量高
【解析】
【分析】先表示出甲地、乙地每亩水稻的产量得到甲地每亩水稻的产量为 ，乙地每亩水稻的产量为
，然后计算 即可．
【详解】解：甲地每亩水稻的产量为 ，乙地每亩水稻的产量为 ，
，
，
，
，
乙地每亩水稻的产量高．
故甲地每亩水稻的产量是乙地的 倍，乙地每亩水稻的产量高．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，注意运算顺序是解题的关键．
23. 定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”．
（1）下列三组分式：① 与 ；② 与 ；③ 与 ；其中属于“友好分式组”
的有___________（只填序号）；（2）若 均为非零实数，且分式 与 属于“友好分式组”求分式 的值．
【答案】（1）②③ （2） 或
【解析】
【分析】（1）根据给出的“友好分式组”定义把每一组的分式相减看结果来判断；
（2）根据分式 与 属于“友好分式组”，得 ，求出① ，②
，分别把①②代入分式 求出结果即可．
【小问1详解】
解：① ，
② ，
③ ，
∴属于“友好分式组”的有②③，
故答案为：②③；
【小问2详解】
解：∵
，∵分式 与 属于“友好分式组”，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ 或 ，
把 代入得 ；
把 代入得 ，
综上所述： 的值为 或 ．
【点睛】本题考查了分式的加减法，熟练掌握分式加减法的法则，对新定义的理解是解题关键．
24. 在平面直角坐标系中，点 ，且点 关于 轴对称．
（1）若点 ，判定 的形状；
（2）如图 ，在（1）的条件下， 为 内部一点，且 ，求证：
；
（3）如图 ，若 为线段 上一动点，以 为边作等腰 ，
且 ，当点 运动时，求 的面积．【答案】（1）等腰直角三角形
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）分别求出点 ，点 坐标，可得 ，即可求解；
在
（2）作 于 ， 上截取 ，设 ，依次表示出 ， ， ，
， ，计算得出 ，从而得出结论；
（3）作 ，截取 ，连接 ，可证得 ，进而证得
，从而点 、 、 共线，进而证得 ，再计算得出 ，进一步求得
结果．
【小问1详解】
解： ，
，
，
点 ，
点 关于 轴对称，
点 ，
点 ，点 ，点 ，
，
，
，
，是等腰直角三角形；
【小问2详解】
证明：如图 ，
作 于 ，在 上截取 ，连接 ，
，
，
，
，
，
，
在 中，
设 ，则 ，
，
，，
，
，
，
在 中，
，
，
；
【小问3详解】
如图 ，
，
，
，
，
，
，，
，
作 ，截取 ，连接 ，
，
，
，
，
，
，
，
点 、 、 共线，
，
，
，
在 中， ，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是作
辅助线，构造全等三角形．
