文档内容
北京市西城区德胜中学 2021－2022 学年上学期初中七年级期中考试数
学试卷
一、选择题
1. 下表是几种液体在标准大气压下的沸点：
液体名称 液态氧 液态氢 液态氮 液态氦
沸点/
则沸点最高的液体是（ ）
A. 液态氧 B. 液态氢 C. 液态氮 D. 液态氦
【答案】A
【解析】
【分析】根据有理数的大小比较可直接进行求解．
【详解】解：由“两个负数比较，绝对值越大反而小”可知： ，
∴ ；
故选A．
【点睛】本题主要考查有理数 的大小比较，熟练掌握两个负数的大小比较是解题的关键．
2. 2021年国庆档电影《长津湖》仅10月1日当天的票房就达到了3.88亿元，创下了国庆档电影单日票房
的记录．其中3.88亿元用科学记数法可表示为（ ）
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
【答案】D
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为 ，其中 为整数，确定n的值时，要看把原数变成a
时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值 10时，n是正整数，当
原数的绝对值<1时，n是负整数．
【详解】解：3.88亿= ，
故选：D．
【点睛】本题考查科学记数法表示绝对值大于1的数，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
3. 下列说法正确的是（ ）A. 10不 是整式 B. －5是单项式
C. 的一次项系数是1 D. 是单项式
【答案】B
【解析】
【分析】根据整式的定义、单项式的定义、多项式的定义解题．
【详解】解：A.10是单项式，是整式，故A错误，不符合题意；
B. －5是单项式，正确，故B符合题意；
C. 的一次项系数是 ，故C错误，不符合题意；
D. 是多项式，故D错误，不符合题意．
故选：B ．
【点睛】本题考查整式的分类、单项式的识别、多项式的项与系数等知识，是基础题，掌握相关知识是解
题关键，单项式与多项式统称为整式，数与字母的积的形式是单项式，单独一个数或一个字母也是单项式，
几个单项式的和是多项式．
4. 若x= 是关于x的方程7x+m=0的解，则m的值为（ ）
A. B. C. 3 D.
【答案】A
【解析】
【分析】把x= 代入方程7x+m=0得到关于m的一元一次方程，解之即可．
【详解】把x= 代入方程7x+m=0得：
3+m=0，
解得：m=-3，
故选A．
【点睛】本题考查一元一次方程的解，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．5. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同类项定义、合并同类项法则解题．
【详解】解：A. 不是同类项，不能合并，故A错误，不符合题意；
B. 不是同类项，不能合并，故B错误，不符合题意；
C. ，正确，故C符合题意；
D. 不是同类项，不能合并，故D错误，不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查同类项、合并同类项等知识，是基础考点，若两个单项式，所含的字母相同，相同字母
的指数也相同，则称这两个单项式为同类项，同类项与字母的顺序无关．
6. 下列计算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据有理数的运算法则计算出各选项的结果再进行判断即可．
【详解】解：A. ，故选项A计算错误，不符合题意；B. ，故选项B计算错误，不符合题意；
C. ，计算正确；
D. ，故选项D计算错误，不符合题意
故选：C
【点睛】此题考查有理数的混合计算，关键是根据法则进行计算．
7. 有理数 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据数轴上点的位置关系，可得a，b，c，d的大小，根据有理数的运算，绝对值的性质，可得答
案．
【详解】解：由数轴上点的位置，得：-4＜a， -2＜b＜-1，c=1，2＜d＜3．
A、a>-4，故A不符合题意；
B、bd＜0，故B不符合题意；
C、b+c＜0，故C不符合题意；
D、∵|a|＞3，|b|＜2，∴|a|＞|b|，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了数轴、绝对值以及有理数的加法，根据数轴确定点的位置和点表示数的大小是关键
8. 如果 ，那么下列等式不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等式的性质判断即可．【详解】解：A.由 得， ，正确，故A 不符合题意；
B. 由 得 ，正确，故B不符合题意；
C.当a=0时，此时m不一定等于n，故C错误，符合题意；
D. 由 得 ，正确，故D不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查等式的性质，解题关键是熟练掌握等式的性质．
9. 如果a+b+c＝0，且|a|＞|b|＞|c|，则下列式子可能成立的是（ ）
A. c＞0，a＜0 B. c＜0，b＞0 C. c＞0，b＜0 D. b＝0
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意分类讨论,综合情况解出即可.
【详解】1.假设a为负数，那么b+c为正数;
（1）b、c都为正数;
（2）一正一负，因为|b|＞|c|，只能b为正数，c为负数;
2.假设a为正数，那么b+c为负数，b、c都为负数;
（1）若b为正数，因为|b|＞|c|，所以b+c为正数，则a+b+c=0不成立;
（2）若b为负数，c为正数，因为|b|＞|c|,则|b+c|<|b|<|a|,则a+b+c=0不成立.
故选A.
【点睛】本题考查绝对值的性质,关键在于分类讨论正负性.
10. 图1是长为 ，宽为 的小长方形纸片将6张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形
内，已知 的长度固定不变， 的长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形）的面积分
别表示为 ， ，若 ，且 为定值，则 ， 满足的关系是（ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设BC=n，先算求出阴影的面积分别为S=a（n-4b），S=2b（n-a），即可得出面积的差为S=S-
1 2 1
S=（a-2b）n-2ab，因为S的取值与n无关，即a-2b=0，即可得出答案．
2
【详解】解：设BC=n，
则S=a（n-4b），S=2b（n-a），
1 2
∴S=S-S=a（n-4b）-2b（n-a）=（a-2b）n-2ab，
1 2
∵当BC的长度变化时，S的值不变，
∴S的取值与n无关，
∴a-2b=0，
即a=2b．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，读懂题意列出两块阴影部分面积的代数式是解决本题的关键．
二、填空题
11. 如图，在数轴上 的倒数所对应的点是___________．
【答案】C
【解析】
【分析】先求得 的倒数，再在数轴上找对应点．
【详解】解： 的倒数是 ，B代表的数是 ，C代表的数是 ，
故填：C．
【点睛】本题考查用数轴表示有理数，属于基础题型．12. 若单项式 与单项式 是同类项，则m＝____， n＝____．
【答案】 ①. 2 ②. 3
【解析】
【分析】根据同类项的定义解题．
【详解】解：根据题意得，m＝2，n＝3，
故答案为：2，3．
【点睛】本题考查同类项的定义，是基础考点，若两个单项式所含的字母相同，相同字母的指数也相同，
则称这两个单项式为同类项，所有的常数项都是同类项．
13. 写出一个多项式，使得它与多项式m-2n的和为一个单项式：_________．
【答案】2n-m（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据题意写出满足条件的多项式（答案不唯一）．
【详解】解： ，结果是单项式，
2n－m满足题意，
故答案为：2n－m．
【点睛】本题考查整式的加减，涉及去括号、合并同类项等知识，掌握相关知识是解题关键．
14. 用四舍五入法将3.694精确到0.01，所得到的近似数为______．
【答案】3.69
【解析】
【分析】把千分位上的数字4进行四舍五入即可．
【详解】将3.694精确到0.01，所得到的近似数为3.69．
故答案为3.69．
【点睛】本题考察了近似数和有效数字．掌握有效数字定义“从一个数的左边第一个非0数字起，到末位
数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．”
15. 历史上数学家欧拉最先把关于x的多项式用记号 来表示，把x等于某数 时的多项式的值用
来表示．例如，对于多项式 ，当 时，多项式的值为 ，若 ，
则 的值为_______．
【答案】-2【解析】
【分析】根据 ，可得 ，据此求出 的值即可解题．
【详解】解： ，
故答案为：-2．
【点睛】本题考查代数式求值问题，涉及整体思想，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
16. 已知a，b，c是 的三条边长，化简 的结果为_______．
【答案】2b
【解析】
【分析】由题意根据三角形三边关系得到a+b-c＞0，b-a-c＜0，再去绝对值，合并同类项即可求解．
【详解】解：∵a，b，c是 的三条边长，
∴a+b-c＞0，a-b-c＜0，
∴|a+b-c|+|a-b-c|
=a+b-c-a+b+c
=2b．
故答案为：2b．
【点睛】本题考查的是三角形的三边关系以及去绝对值和整式加减运算，熟知三角形任意两边之和大于第
三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．
17. 小华带x元去买甜点，若全买红豆汤圆刚好可买30杯，若全买豆花，刚好可买40杯．已知豆花每杯比
红豆汤圆便宜10元，依题意可列出方程为_______．
【答案】
【解析】
【分析】首先找到题中存在的等量关系：豆花价钱=红豆汤圆价钱-10，再据此列方程．
【详解】解：由题意知，红豆汤圆每杯 元，豆花每杯 元，又因为豆花每杯比红豆汤圆便宜10元，
即
故答案是：
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是根据等量关系列方程．
18. 华氏温标与摄氏温标是两大国际主流的计量温度的标准．德国的华伦海特用水银代替酒精作为测温物
质，他令水的沸点为212度，纯水的冰点为32度，这套记温体系就是华氏温标．瑞典的天文学家安德斯·
摄尔修斯将标准大气压下冰水混合物的温度规定为0摄氏度，水的沸点规定为100摄氏度，这套记温体系
就是摄氏温标．两套记温体系之间是可以进行相互转化的，部分温度对应表如下：
华氏温度
50 68 86 104 …… 212
（℉）
摄氏温度
10 20 30 40 …… m
（℃）
（1）m＝______；
（2）若华氏温度为a，摄氏温度为b，则把摄氏温度转化为华氏温度的公式为_______．
【答案】 ①. 100 ②. a＝32＋1.8b
【解析】
【分析】（1）由表格数据可知华氏温度与摄氏温度满足一次函数关系，利用待定系数法解题；
（2）由表格数据规律，得到华氏温度=摄氏温度 +32，据此解题．
【详解】解：（1）设华氏温度与摄氏温度满足的一次函数关系为：
代入（10，50）（20，68）得当 时，
故答案为：100；
（2）由（1）得，华氏温度=摄氏温度 +32，
若华氏温度为a，摄氏温度为b，
则把摄氏温度转化为华氏温度的公式为：a= +32，
故答案为：a＝32＋1.8b．
【点睛】本题考查华氏温度与摄氏温度的换算，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
三、解答题
19. （1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1） ；（2） ；（3）－3；（4）－9．
【解析】
【分析】（1）统一成省略“+”号的和的形式，再利用加法结合律简便计算；
（2）同级运算，从左到右计算求解即可；
（3）利用乘法分配律解题；
（4）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减．【详解】解：（1）原式=
；
（2）原式=
；
（3）原式=
；
（4）原式=
．
【点睛】本题考查含有乘方的有理数的混合运算，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
20. 化简并求值： ，其中 、 的取值如图所示．
【答案】 ，18．
【解析】
【分析】原式去括号，合并同类项进行化简，然后结合数轴读取x，y的值，最后代入计算即可．
【详解】解：原式=由数轴可知，x=2，y=-1
当x=2，y=-1时，
原式
．
【点睛】本题考查整式的加减—化简求值、数轴与实数的对应关系等知识，是重要考点，掌握相关知识是
解题关键．
21. 已知 ，求 的值．
【答案】0.
【解析】
【分析】根据已知条件，先把式子化简，再带入式子中计算即可得到答案.
【详解】解：
∵
∴原式
【点睛】此题重点考察学生对多项式加减法的运算的理解，熟练多项式加减法的运算法则是解题的关键.
22. 解方程
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）x＝10；（2）x＝ ．
【解析】
【分析】（1）先去括号，再移项，系数化为1，即可得答案；（2）先去分母，再去括号、移项，系数化为1，即可得答案．
【详解】（1）
去括号得： ，
移项、合并得：7x=70，
解得：x=10．
（2）
去分母得： ，
去括号得： ，
移项、合并得： ，
解得： ．
【点睛】本题考查解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、
化系数为1．注意移项要变号．
的
23. 解一元一次方程 过程就是通过变形，把一元一次方程转化为 的形式．下面是解方程
的主要过程，请在如图的矩形框中选择与方程变形对应的依据，并将它前面的序号
填入相应的括号中．
①等式的基本性质1
②等式的基本性质2
③分数的基本性质
④乘法分配律
解：原方程可化为 （ ）
去分母，得 （ ）
去括号，得 （ ）
移项，得 （ ）
合并同类项，得 （乘法分配律）系数化为1，得 （等式的基本性质2）
【答案】③②④①
【解析】
【分析】根据等式的性质逐项填写即可
【详解】解：原方程可化为 （ ③ ）
去分母，得 （ ② ）
去括号，得 （ ④ ）
移项，得 （ ① ）
合并同类项，得 （乘法分配律）
系数化为1，得 （等式的基本性质2）
故答案为：③②④①
【点睛】本题考查了解一元一次方程，分数的性质，等式的性质，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关
键．
24. 已知关于x的方程 的解是方程 的解的2倍，求 的值．
【答案】4
【解析】
【分析】先分别求得方程 与 的解，再由方程 的解是方程
的解的2倍，列关于字母m的方程，解方程即可．
【详解】解：∵ 的解为 ，
的解为 ，
又∵方程 的解是方程 的解的2倍，
∴
∴ ．
∴【点睛】本题考查方程的解、解一元一次方程等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
25. 我们学习过了有理数的五种运算和研究运算的方法，现在定义了一个新运算：a△b＝■，原文的内容被
遮盖住了，根据下面各式，回答问题：
观察下列式子：
1 3＝1×4＋3＝7；
3 （－1）＝3×4－1＝11；
（－8） 5＝（－8）×4＋5＝－27；
（－4） （－3）＝（－4）×4－3＝－19．
（1）请你补全定义内容：a b＝ ；（用含a、b的代数式表示）
（2）当a≠b时，这种新定义的运算是否满足交换律，即a b＝b a是否成立，请说明理由；
（3）如果a （－6）＝3 a，请求出a的值．
【答案】（1）4a＋b；（2）不成立，见解析；（3）a＝6
【解析】
【分析】（1）根据1△3＝1×4＋3＝7；3 （－1）＝3×4－1＝11；（－8）△5＝（－8）×4＋5＝－27；
△
（－4）△（－3）＝（－4）×4－3＝－19，可得 ；
（2）由（1）知，a b＝4a＋b，则b a＝4b＋a．当a△b＝b△a时，4a＋b＝4b＋a，此时a＝b，与a≠b
相矛盾，由此即可求△解； △
（3）根据（1）所求可得4a－6＝3×4＋a，解方程即可．
【详解】解：（1）∵1△3＝1×4＋3＝7；3△（－1）＝3×4－1＝11；（－8）△5＝（－8）×4＋5＝－27；
（－4）△（－3）＝（－4）×4－3＝－19．
∴ ，
故答案为：4a＋b；
（2）a△b＝b△a不成立，理由如下：
由（1）知，a△b＝4a＋b．
b△a＝4b＋a．
当a△b＝b△a时，4a＋b＝4b＋a，
此时a＝b，与a≠b相矛盾，
∴a△b＝b△a不成立；
（3）由a△（－6）＝3△a得，4a－6＝3×4＋a．
解得a＝6．
【点睛】本题主要考查了数字类的规律型问题，解一元一次方程，解题的关键在于能够根据题意找到规律进行求解．
26. 某通讯公司推出以下收费套餐，小明选择了套餐 ，小王选择了套餐 ，设小明的通话时间为 分钟，
小王的通话时间为 分钟．
月租费 元 不加收通话费时限 超时加收通话费标准 元
月 分 分
套餐
套餐
（1）请用含 、 的代数式表示小明和小王的通话费用．
（2）若小明 月份通话时间为 分钟．小王通话费用和小明相同，求小王通话时间．
（3）若小明和小王 月份通话时间和通话费用都一样，求通话时间．
【答案】（1）当 时， ；当 时， ；当 时，
；当 时， ；（2）500分钟；（3）小明和小王 月份通话时间和通话费用
都一样，通话时间为 分钟
【解析】
【分析】（1）设小明的通话费用为 元，小王的通话费用为 元，根据题意可得：当 时，
；当 时， ；当 时， ；当 时，
，即可求解；
（2）根据 ，可得小王通话费用为 ，再由小王通话费用和小明
相同，即可求解；
（3）根据小明和小王 月份通话时间和通话费用都一样，分三种情况讨论，即可求解．【详解】解： 设小明的通话费用为 元，小王的通话费用为 元，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
，
∴小王通话费用为 ，
，
，
解得： ；
当 时， ，
当 ， ， ，
，
解得 ，
当 时， ， ，
，
解得： （舍去）．
小明和小王 月份通话时间和通话费用都一样，通话时间为 分钟．
【点睛】本题主要考查了列函数关系式，一次函数的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键．
27. 对于数轴上的点P，Q，给出如下定义：若点P到点Q的距离为 ，则称d为点P到点Q的追击值，记作 ．例如，在数轴上点P表示的数是5，点Q表示的数是2，则点P到点Q的追击值为
．
（1）点M，N都在数轴上，点M表示的数是1，且点N到点M的追击值 ，则点N表
示的数是____________（用含a的代数式表示）．
（2）如图，点C表示的数是1，在数轴上有两个动点A，B都沿着正方向同时移动，其中A点的速度为每
秒4个单位，B点的速度为每秒1个单位，点A从点C出发，点B表示的数是b，设运动时间为 ．
①当b＝5时，问t为何值时，点A到点B的追击值 ；
②当时间t不超过3秒时，要想使点A到点B的追击值 都满足不大于9个单位长度，请直接写出b
的取值范围．
【答案】（1） 或 ；（2）① 或 ；②
【解析】
【分析】（1）根据追击值的定义，分 在 左侧和右侧两种情况进行讨论，分别求解；
（2）①分点 在 的左侧和右侧两种情况，根据追击值 ，列方程求解即可；②用含有 的式子
表示出 、 ，分点 在 的左侧和右侧两种情况，分别求解即可．
【详解】解：（1）由题意可得：点 到点 的距离为 ，
当 在 左侧时，则 表示的数为 ，
当 在 右侧时，则 表示的数为
故答案为 或 ；（2）①由题意可得：点 表示的数为 ，点 表示的数为
当点 在 的左侧时，即 ，解得 ，
∵ ，∴ ，解得
当点 在 的右侧时，即 ，解得 ，
∵ ，∴ ，解得
综上， 或 时， ；
的
②由题意可得：点 表示 数为 ，点 表示的数为
的
当点 在点 左侧或重合时，此时 ，随着 的增大， 与 之间的距离越来越大，
∵ 时， ，即 时， ， ，解得
即
当点 在点 的右侧时，此时 ，在 不重合的情况下， 之间的距离越来越小， 最大为
初始状态，即 时， ， ，
在 可以重合的情况下， ， ， 的最大值为
综上，
【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，涉及了两点之间的距离，解题的关键是对数轴上两点之间的距离
进行分情况讨论．
