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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
2023-2024 学年北京市西城外国语学校九年级（上）期中数学试卷
一、选择题
1. 如图图形中，是既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查中心对称图形与轴对称图形的概念，关键是理解相关概念：把一个图形绕某一点旋
转 ，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿着
一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．根据定义即可判断．
【详解】解：A．该图形 是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
2. 抛物线 的对称轴是（ ）
A. 直线 B. 直线
C. 直线 D. 直线
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数 的性质，对称轴为：直线 进行判断即可．
【详解】解：由二次函数 的性质，对称轴为：直线 可得：
的对称轴为：直线 ，
故选C．
【点睛】本题考查二次函数顶点式的性质．熟记二次函数顶点式的性质是解题的关键．
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3. 将抛物线 平移，得到抛物线 ，下列平移方式中，正确的是（ ）
A. 先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B. 先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C. 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D. 先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
【答案】D
【解析】
【详解】解：将抛物线y=-3x2平移，先向右平移1个单位得到抛物线y=-3（x-1）2， 再向下平移2个单位
得到抛物线y=-3（x-1）2-2．
故选D．
【点睛】此题考查了抛物线的平移问题，根据“上加下减，左加右减”解决问题．
4. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A（4，3），以原点O为圆心，5为半径作⊙O，则（ ）
A. 点A在⊙O上
B. 点A在⊙O内
C. 点A在⊙O外
D. 点A与⊙O的位置关系无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】先求出点A到圆心O的距离，再根据点与圆的位置依据判断可得．
的
【详解】解：∵点A（4，3）到圆心O 距离 ，
∴OA＝r＝5，
∴点A在⊙O上，
故选：A．
【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为 ，点到圆心的距离为 ，则有：
当 时，点在圆外；当 时，点在圆上，当 时，点在圆内，也考查了勾股定理的应用．
5. 关于二次函数 的图象与x轴交点个数的情况，下列说法正确的是（ ）
.
A 有两个交点 B. 有一个交点 C. 没有交点 D. 无法判断
【答案】A
【解析】
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【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，正确掌握方程的根的情况和抛物线与 x轴
交点的个数间的关系是解题的关键。
令 ，得到关于x的一元二次方程，然后由 即可判断．
【详解】解：令 ，则 ，
，
∴方程 有两个不相等的实数根，
∴二次函数 的图象与x轴有两个交点，
故选：A．
6. 点A（0，y），B（5，y）在二次函数y＝x2﹣4x+c的图象上，y 与y 的大小关系是（ ）
1 2 1 2
A. y＞y B. y＝y C. y＜y D. 无法比较
1 2 1 2 1 2
【答案】C
【解析】
【分析】由抛物线的解析式得出对称轴，利用二次函数的图象与性质解答可得．
【详解】解：∵y＝x2﹣4x+c，
∴抛物线开口向上，对称轴为x＝
∵点A（0，y），B（5，y）在二次函数y＝x2﹣4x+c的图象上，且点B离对称轴较远，
1 2
∴y＜y．
1 2
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
7. 在⊙O中按如下步骤作图：
（1）作⊙O的直径AD；
（2）以点D为圆心，DO长为半径画弧，交⊙O于B，C两点；
（3）连接DB，DC，AB，AC，BC．
根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中错误的是（ ）
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A. ∠ABD＝90° B. ∠BAD＝∠CBD C. AD⊥BC D. AC＝2CD
【答案】D
【解析】
【分析】根据作图过程可知：AD是⊙O的直径， ＝ ，根据垂径定理即可判断A、B、C正确，再
根据DC＝OD，可得AD＝2CD，进而可判断D选项．
【详解】解：根据作图过程可知：
AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴A选项正确；
∵BD＝CD，
∴ ＝ ,
∴∠BAD＝∠CBD，
∴B选项正确；
根据垂径定理，得
AD⊥BC，
∴C选项正确；
∵DC＝OD，
∴AD＝2CD，
∴D选项错误．
故选：D．
【点睛】本题考查作图-复杂作图、含30度角的直角三角形、垂径定理、圆周角定理，解决本题的关键是
熟练掌握相关知识点．
8. 如图1， O过正方形ABCD的顶点A、D且与边BC相切于点E，分别交AB、DC于点M、N．动点P
在 O或正方⊙形ABCD的边上以每秒一个单位的速度做连续匀速运动．设运动的时间为x，圆心O与P点
的⊙距离为y，图2记录了一段时间里y与x的函数关系，在这段时间里P点的运动路径为（ ）
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A. 从D点出发，沿弧DA→弧AM→线段BM→线段BC
B. 从B点出发，沿线段BC→线段CN→弧ND→弧DA
C. 从A点出发，沿弧AM→线段BM→线段BC→线段CN
D. 从C点出发，沿线段CN→弧ND→弧DA→线段AB
【答案】C
【解析】
【详解】结合两幅图形分析可知，图2中函数图象的线段部分对应的是点P在⊙O上运动的情形，曲线部
分对应的是点P在正方形的边上运动的情形，在图2中函数图象的最高点分别对应着点P运动到了图1中
的B、C两点， 由此可知与图2中函数图象对应的点P的运动路线有以下两种情况：①点P是从A点出发，
沿弧AM→线段BM→线段BC→线段CN：②点P是从D点出发，沿弧DN→线段NC→线段CB→线段
BM.
故选C.
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 如图，在平面直角坐标系中，将点 绕原点顺时针旋转 得到点 ，则 的坐标为________．
【答案】
【解析】
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【分析】本题考查了点的坐标与旋转变换的关系．过P作 轴于点A，过点 作 轴于点B，
证明 ，可得 ， ，即可确定点 的坐标．
【详解】解：如图，过P作 轴于点A，过点 作 轴于点B，
∵将点 绕原点顺时针旋转 得到点 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为： ．
10. 二次函数 的图象如图所示，那么 _____0（填“ ”，“ ”，或“ ”）．
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【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，根据抛物线开口方向、对称轴及抛物线与y轴交点的位置
即可得到a、b、c符号，从而可得答案．解题的关键是掌握a、b、c符号的判定方法．
【详解】解：抛物线开口向上，
∴ ，
对称轴直线在y轴右侧，
∴ ，
∴ ，
∵抛物线与y轴交点在负半轴，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
11. 关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程的根的判别式计算即可．
【详解】解： 关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，
，
解得： ，
故答案为： ．
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【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程 的根与
有如下关系：① ，方程有两个不相等的实数根，② ，方程有两个相等的实数根，
③ ，方程没有实数根．
12. 如图， 为 的外接圆 的直径，若 ，则 ______
【答案】 ##40度
【解析】
【分析】连接 ，根据圆周角定理的推论得出 ， ，然后根据角的和差计算即
可．
【详解】解：连接 ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
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【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，掌握同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆
（或直径）所对的圆周角是直角是解题的关键．
13. 如图，抛物线 与直线 相交于点 ， ，则关于 的方程
的解为_______________ .
【答案】x ＝﹣3，x ＝1
1 2
【解析】
【分析】关于x的方程ax2+bx=mx+n的解为抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n交点的横坐标，由此即可得到
答案．
【详解】∵抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n相交于点A（﹣3，﹣6），B（1，﹣2），∴关于x的方程
ax2+bx=mx+n的解为x=﹣3，x=1．
1 2
故答案为x=﹣3，x=1．
1 2
【点睛】本题考查了抛物线与直线的交点问题：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x
轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．
14. 一条弦恰好等于圆的半径，则这条弦所对的圆周角为 ___________．
【答案】30°或150°
【解析】
【分析】根据题意画出相应的图形，如图所示，由半径等于弦长，得到三角形 为等边三角形，利用
等边三角形的性质得到 为 ，利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍求出 的度数，
再利用圆内接四边形的对角互补求出 的度数，即可得出弦 所对圆周角的度数．
【详解】解：根据题意画出相应的图形，如图所示，
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，
为等边三角形，
，
与 所对的弧都是 ，
，
又∵四边形 为⊙ 的内接四边形，
，
，
则 所对的圆周角为 或 ．
故答案为：30°或150°．
【点睛】此题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，以及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角
定理是解本题的关键，解此题时要注意一题多解．
15. 如图，在平面直角坐标系 中，点A的坐标为 ，等腰直角三角形 的边 在x轴的正
半轴上， ，点B在点A的右侧，点C在第一象限．将 绕点A逆时针旋转 ，如果点
C的对应点E恰好落在y轴的正半轴上，那么边 的长为_______________．
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【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化，等腰直角三角形的性质的综合运用，图形或点旋转之后要结合
旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．依据旋转的性质，即可得到 ，再根
据 ，即可得出 ，进而可得到 ．
【详解】解：∵ 是等腰直角三角形，
∴ ， ．
由旋转的性质可知， ， ，
∴ ，
∴ ．
∵点A的坐标为 ，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
∴ ．
故答案为： ．
16. 如图， 是 的直径， 交 于点C，P为圆上一动点，M为 的中点，连接 ，
若 的半径为6，则 长的最大值是__________________．
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【答案】
【解析】
【分析】本题考查了直径所对的圆周角是 及三角形的中位线的性质；连接 ， ，取 中点 ，
连 接 、 ， 是 ⊙ 的 直 径 ， 可 推 出 ， 根 据 中 位 线 的 性 质 可 知
，则 在以 为直径的圆上，当 与 点重合时， 最大，根据
求出 长代入即可．
【详解】解：连接 ， ，
∵ 是⊙ 的直径，
∴ ，
∵ 为 的中点， 为 的中点，则 ，
∴
∴ ，
取 中点 ，连接 ，
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∴ 在以 为直径的圆上，
∴当 过 点重合时， 最大，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
为
故答案 ．
三、解答题（本题共68分，第17～22题，每小题5分，第23～26题，每小题5分，第27，
28题，每小题5分）
17. 已知：如图， ABC为锐角三角形，AB=AC，CD∥AB．
求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP= ．
作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；②连接BP．线段BP就是所求作线
段．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵CD∥AB，
∴∠ABP= ．
∵AB=AC，
∴点B在⊙A上．
又∵∠BPC= ∠BAC（ ）（填推理依据）
∴∠ABP= ∠BAC
【答案】（1）见解析；（2）∠BPC，在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半
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【解析】
【分析】（1）按照作法的提示，逐步作图即可；
（2）利用平行线的性质证明： 再利用圆的性质得到：∠BPC= ∠BAC，从而可得答案．
【详解】解：（1）依据作图提示作图如下：
（2）证明：∵CD∥AB，
∴∠ABP= ．
∵AB=AC，
∴点B在⊙A上．
又∵∠BPC= ∠BAC（ 在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半． ）（填推理依据）
∴∠ABP= ∠BAC
故答案为：∠BPC；在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．
【点睛】本题考查的是作图中复杂作图，同时考查了平行线的性质，圆的基本性质：在同圆或等圆中同弧
所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．掌握以上知识是解题的关键．
18. 已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程两个根的绝对值相等，求此时 的值．
【答案】（1）见解析 （2） 或
【解析】
【分析】 先根据题意求出 的值，再根据一元二次方程根的情况与根的判别式 的关系即可得出结论；
利用因式分解法求得方程的解，然后根据题意列出关于 的方程，解方程即可得到结论．
【小问1详解】
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证明： ，
方程总有两个实数根．
【小问2详解】
解： ，
，
， ．
方程两个根的绝对值相等，
．
或 ．
【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解法，掌握判别式 与 的关系判定方程根的情况是解
决本题的关键．
19. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，且E是CD的中点．
（1）求证：∠ADC＝∠BDO；
（2）若CD＝ ，AE＝2，求⊙O的半径．
【答案】（1）见解析；（2）3
【解析】
【分析】（1）由垂径定理和圆周角定理即可证得：∠ADC＝∠BDO；
（2）设⊙O半径为r，在Rt OED中用勾股定理即可求得⊙O的半径．
【详解】（1）证明：连接OC，
∵OD＝OC，E是CD的中点，
∴OE⊥CD，
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∴ ，
∴∠ADC＝∠ABD，
∵OD＝OB，
∴∠BDO＝∠ABD，
∴∠ADC＝∠BDO；
（2）解：设⊙O半径为r，
∴OC＝OD＝OA＝r，
∵AE＝2，
∴OE＝OA﹣AE＝r﹣2，
∵CD＝4 ，E点是CD的中点，
∴DE＝ CD＝2 ．
由（1）知，OE⊥CD，
∴∠OED＝90°，
∴在Rt OED中，OE2+DE2＝OD2，
即：（r﹣2）2+（2 ）2＝r2，
解得：r＝3，
∴OO半径为3．
．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理，连接OC构造垂径定理是解决此题的关键．
20. 已知二次函数 ．
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（1）将二次函数化成 的形式；
（2）在平面直角坐标系中画出 的图象；
（3）结合函数图象，直接写出 时y的取值范围．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．
（1）利用配方法可把抛物线解析式化顶点式；
（2）先求出抛物线的顶点坐标，抛物线与x轴，y轴的交点坐标，然后利用描点法画二次函数图象；
（3）结合函数图象，直接所对应的自变量的范围即可．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：由（1）得：抛物线的顶点坐标为 ，
当 时， ，
∴抛物线与y轴的交点坐标为 ，
当 时， ，
解得： ，
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∴抛物线与x轴的交点坐标为 ，
画出函数图象，如下图：
【小问3详解】
的
解：当 时，y 取值范围为
21. 如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE,
（1）求证：∠AEB=∠ADC；
（2）连接DE，若∠ADC=105°，求∠BED的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）∠BED=45°
【解析】
【分析】（1）由等边三角形的性质知∠BAC=60°，AB=AC，由旋转的性质知∠DAE=60°，AE=AD，从而
得∠EAB=∠DAC，再证 EAB≌△DAC可得答案；
（2）由∠DAE=60°，AE△=AD知 EAD为等边三角形，即∠AED=60°，继而由∠AEB=∠ADC=105°可得．
【详解】解：（1）∵△ABC是等△边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC．
∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，
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∴∠DAE=60°，AE=AD．
∴∠BAD+∠EAB=∠BAD+∠DAC．
∴∠EAB=∠DAC．
在 EAB和 DAC中，
△ △
，
∴△EAB≌△DAC．
∴∠AEB=∠ADC．
（2）如图，
∵∠DAE=60°，AE=AD，
∴△EAD为等边三角形．
∴∠AED=60°，
又∵∠AEB=∠ADC=105°．
∴∠BED=45°．
22. 雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动.第一天收到捐款10
000元，第三天收到捐款12 100元.
（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；
（2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？
【答案】（1）捐款增长率为10%.（2）第四天该单位能收到13310元捐款.
【解析】
【分析】（1）根据“第一天收到捐款钱数×（1+每次降价的百分率）2=第三天收到捐款钱数”，设出未知数，
列方程解答即可.
（2）第三天收到捐款钱数×（1+每次降价的百分率）=第四天收到捐款钱数，依此列式子解答即可.
【详解】（1）设捐款增长率为x，根据题意列方程得：
，
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解得x=0.1，x=－1.9（不合题意，舍去）.
1 2
答：捐款增长率为10%.
（2）12100×（1+10%）=13310元.
答：第四天该单位能收到13310元捐款.
23. 为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练.在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线
的一部分.已知铅球出手处A距离地面的高度是 米，当铅球运行的水平距离为3米时，达到最大高度
的B处.小丁此次投掷的成绩是多少米？
【答案】小丁此次投掷的成绩是8米.
【解析】
【分析】如图建立直角坐标系，可得顶点坐标为（3， ），A点坐标为（0， ）根据顶点坐标设二次函
数解析式为y=a(x-3)2+ ，把A点坐标代入即可求出a值，可得二次函数解析式，令y=0，求出x的正值即
为铅球投掷的成绩.
【详解】如图建立直角坐标系，
∵铅球出手处距离地面的高度是 米，当铅球运行的水平距离为3米时，最大高度为 米，
∴A（0， ），B（3， ），
设二次函数的解析式为y=a(x-3)2+ ，
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∴(0-3)2a+ = ，
解得：a= ，
∴二次函数的解析式为y= (x-3)2+ ，
当y=0时， (x-3)2+ =0，
解得：x=8，x=-2（舍去），
1 2
∴小丁此次投掷的成绩是8米.
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，如知道二次函数的顶点可设二次函数解析式为顶点式，
求出二次函数解析式是解题的关键．
24. 如图， 是 直径，点 是 上一点， ，点 为 延长线上一点，且
．
（1）求证： 是 的切线；
（2）过点 作 交 于点 ， 的延长线交 于点 ，若 的直径为4，求线段
的长．
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【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，由 求出 ，再由 、 得到
，从而得到 ，得证 是 的切线；
（2）由 和直径为4，求得 的值和 的长度，再结合 的度数求出
和 的大小，结合等腰三角形的性质求出线段 的长即可．
【小问1详解】
证明：连接 ，如下图，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的切线；
【小问2详解】
解：∵ ， ，
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∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵直径为4，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了切线的判定、圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟
练掌握切线的判定方法和圆周角定理等知识是解题关键．
25. 已知：二次函数 ．
（1）求这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）若点 ， 在抛物线 上，且 ，求n的取值
范围．
【答案】（1）对称轴为 ，顶点坐标为
（2）
【解析】
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【分析】（1）将 转化为顶点式，即可得解；
（2）根据二次函数的性质，分点 在对称轴的同侧和异侧两种情况，进行讨论求解即可．
【小问1详解】
解： ，
∴抛物线的对称轴为： ；顶点坐标为： ；
【小问2详解】
解： ，
∵ ，抛物线开口向上，对称轴为： ，
∴在对称轴的左侧， 随 的增大而减小，在对称轴的右侧， 随 的增大而增大；
①当点 在对称轴的同侧时：
∵ ， ，
∴ 随 的增大而减小；
∴点 在对称轴的左侧，即： ，解得： ；
②当点 在对称轴的异侧时：即： ，解得： 时，
根据抛物线的对称性，可得， 和 的函数值相等，
∵在对称轴的右侧， 随 的增大而增大， ，
∴ ，解得： ，
∴当 时， ；
综上：当 时， ．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求
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解，是解题的关键．
26. 如图，已知 为等腰直角三角形， ， ．点 D 为 内一点，且有
，点P为 中点，连接 ．
（1）连接 并证明 ；
（2）写出线段 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析；
（2） ，理由见解析．
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，圆的有关知识，灵活运用这些性
质解决问题是解题的关键．
（1）通过证明点A，点B，点P，点D四点共圆，可得 ；
（2）由“ ”可证 ，可得 ，进而到 则问题可解．
【小问1详解】
证明：如图，连接 ，取 中点E，连接 ，
∵ 为等腰直角三角形， ，
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∴ ， ，
∴ ，
∴
∴点A，点B，点P，点D在以 为直径的圆上，
即点A，点B，点P，点D四点共圆，
∴ ；
【小问2详解】
解： ，
如图，过点P作 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
27. 对于平面直角坐标系： 内任意一点P．过P点作 轴于点M， 轴于点N，连接
，则称 的长度为点P的垂点距离，记为h．特别地，点P与原点重合时，垂点距离为0．
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（1）点 ， ， 的垂点距离分别为 ， ， ．
（2）点P在以 为圆心，半径为3的 上运动；求点P的垂点距离h的取值范围．
（3）点T为直线l： 位于第二象限内的一点，对于点T的垂点距离h的每个值有且仅有一个
点T与之对应，求点T的横坐标t的取值范围．
【答案】（1）2， ，
（2）
（3） 或
【解析】
【分析】（1）先判断出 ，即可用两点间的距离公式求解；
（2）先判断出 ，再判断出 ，即可得出结论；
（3）先求出点A，B坐标，进而求出 ， ，过点O作 于M，过点M，N分别作x轴的垂线，
垂足分别为 ， ，求得 ， 的值，再找出分界点：当点 在点 和线段 （包括端点 ，不
包括端点 ）时对于点 的垂点距离 的每个值有且仅有一个点 与之对应，进而可得 的取值范围．
【小问1详解】
解：如图1，点 的垂点距离为 ，
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连接 ，过点B作 轴于M，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴点 的垂点距离为 ，
同理：点C的垂点距离为 ，
故答案为：2， ， ；
【小问2详解】
如图2，过点P作 轴于M， 轴于N，
∵ ，
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∴四边形 是矩形．
∴ ，即：点P的垂点距离 ，
∵点Q的坐标为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问3详解】
如图3，设直线l与x轴，y轴的交点为A，B，
针对于直线 ，
令 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
令 ，则 ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
过点O作 于M，
∴ ，
过点M，N分别作x轴的垂线，垂足分别为 ， ，
同理： ，即 ，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
由图可知：当点 在点 和线段 （包括端点 ，不包括端点 ）时对于点 的垂点距离 的每个值
有且仅有一个点 与之对应，
∴ 或 ．
【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了矩形的判定和性质，三角形的三边关系，等边三角形的判定和性
质，一次函数的图象与性质、垂线的性质、点的坐标与图形的性质，锐角三角函数，解题的关键是理解题
意，搞清楚垂点距离的定义，找出分界点，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考创新题目．
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