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门头沟区 2019—2020 学年度第一学期期末调研试卷九年级数学
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1. 反比例函数 的图象分布的象限是（ ）
A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一象限 D. 第二象限
【答案】A
【解析】
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出k的符号，再根据反比例函数的性质即可得出结论．
【详解】解：∵反比例函数y= 中，k=2＞0，
∴反比例函数y= 的图象分布在一、三象限．
故选：A．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y= （k≠0）中，当k＞0时，反比例函数图象
的两个分支分别位于一三象限是解答此题的关键．
2. ⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为5，点P与⊙O的位置关系是（ ）
A. 无法确定 B. 点P在⊙O外 C. 点P在⊙O上 D. 点P在⊙O内
【答案】B
【解析】
【分析】根据点在圆上，则d=r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半
径）．
【详解】解：∵OP=5>3，
∴点P与⊙O的位置关系是点在圆外．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，理解并掌握点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解题
的关键．3. 将抛物线 向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）.
A. ； B. ；
C. ； D. .
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线图像的平移规律“左加右减，上加下减”即可确定平移后的抛物线解析式.
【详解】解：将抛物线 向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析
式为 ，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的平移规律，熟练掌握其平移规律是解题的关键.
4. 如图， ABC的顶点都在方格纸的格点上，那么 的值为（ ）
△
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】把∠A置于直角三角形中，进而求得对边与斜边之比即可．
【详解】解：如图所示，
在Rt 中，AD=4,CD=3,
ACD
△
∴AC= = =5
∴ = = .故选D.
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义；合理构造直角三角形是解题关键．
5. 如图是一个正方体纸盒，在下面四个平面图形中，是这个正方体纸盒展开图的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据图中符号所处的位置关系作答．
【详解】解：从立体图形可以看出这X，菱形和圆都是相邻的关系，故B,D错误，当x在上面，菱形在前
面时，圆在右边，故A错误，C正确.
故选C.
【点睛】此题主要考查了展开图折叠成几何体，动手折叠一下，有助于空间想象力的培养．
6. 如图，AB是半圆O的直径，半径OC⊥AB于O，AD平分∠CAB交 于点D，连接CD，OD，BD．
下列结论中正确的是（ ）
A. AC∥OD B.
C. ODE∽△ADO D.
△
【答案】A
【解析】
【分析】A.根据等腰三角形的性质和角平分线的性质，利用等量代换求证∠CAD=∠ADO即可；
B.过点E作EF⊥AC，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OE=EF，再根据直角三角形斜边大
于直角边可证；
C.两三角形中，只有一个公共角的度数相等，其它两角不相等，所以不能证明③△ODE∽△ADO；
D.根据角平分线的性质得出∠CAD=∠BAD，根据在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，可得CD=BD，又因为CD+BD>BC,又由AC=BC可得AC<2CD，从而可判断D错误．
【详解】解：解：A.∵AB是半圆直径，
∴AO=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，
∴∠CAD=∠DAO= ∠CAB，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，
∴A正确．
B.如图，过点E作EF⊥AC，
∵OC⊥AB，AD平分∠CAB交弧BC于点D，
∴OE=EF，
在Rt EFC中，CE＞EF，
∴CE△＞OE，
∴B错误．
C.∵在 ODE和 ADO中，只有∠ADO=∠EDO，
∵∠CO△D=2∠CA△D=2∠OAD，
∴∠DOE≠∠DAO，
∴不能证明 ODE和 ADO相似，
∴C错误；△ △
D.∵AD平分∠CAB交 于点D，
∴∠CAD=∠BAD.
∴CD=BD
∴BC2时，函数图象在第一象限且自变量的值不等于2，当x≤2时，是反比例函数，函数图象在二、四
象限.
故应选C.
【点睛】本题考查了分段函数及其图象，理解所给定义求出分段函数解析式是解题的关键.
8. 近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校800名学生上个月A，B两种移动支付方式的
使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
下面有四个推断：
①从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月仅使用A支付的概率为0.3；
②从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率为0.45；
③估计全校仅使用B支付的学生人数为200人；
④这100名学生中，上个月仅使用A和仅使用B支付的学生支付金额的中位数为800元．
其中合理推断的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②③
【答案】B
【解析】
【分析】先把样本中的仅使用A支付的概率，A，B两种支付方式都使用的概率分别算出，再来估计总体
该项的概率逐一进行判断即可.
【详解】解：∵样本中仅使用A支付的概率= ，
∴总体中仅使用A支付的概率为0.3.
故①正确.
∵样本中两种支付都使用的概率= 0.4
∴从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率为0.4；
故②错误.
估计全校仅使用B支付的学生人数为：800 =200（人）
故③正确.
根据中位数的定义可知，仅用A支付和仅用B支付的中位数应在0至500之间，故④错误.
故选B.
【点睛】本题考查了用样本来估计总体的统计思想，理解样本中各项所占百分比与总体中各项所占百分比
相同是解题的关键.二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 如果∠A是锐角，且sinA= ，那么∠A=________゜．
【答案】30
【解析】
【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．
【详解】解：∵∠A是锐角，且sinA= ，
∴∠A=30°．
故答案为30．
考点：特殊角 的三角函数值．
10. 在如图所示的几何体中，其三视图中有三角形的是______（填序号）．
【答案】①
【解析】
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，据此
【详解】解：圆锥的主视图、左视图是等腰三角形，俯视图是带有圆心的圆，
长方体主视图，左视图，俯视图都是矩形，
圆柱体的主视图是矩形，左视图是矩形，俯视图是圆，
所以三视图中有三角形的是①.
故答案为①
【点睛】本题主要考查三视图的知识，熟练掌握常见几何体的三视图是解题的关键．
11. 如果二次函数 的图象如图所示，那么 ____0 .（填“＞”，“=”，或“＜”）．
【答案】＜
【解析】
【分析】首先根据开口方向确定a的符号，再依据对称轴的正负和a的符号即可判断b的符号，然后根据
与Y轴的交点的纵坐标即可判断c的正负，代入即可判断abc的正负．【详解】解：∵图象开口方向向上，
∴a＞0.
∵图象的对称轴在x轴的负半轴上，
∴ .
∵a＞0，
∴b>0.
∵图象与Y轴交点在y轴的负半轴上，
∴c＜0.
∴abc<0.
故答案为<.
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，能根据图象正确确定各个系数的符号是解决此题的
关键，此题运用了数形结合思想．
12. 写出一个具有性质“在每个象限内y随x的增大而减小”的反比例函数的表达式为________.
【答案】y= (答案不唯一)
【解析】
【详解】根据反比例函数的性质，只需要当k＞0即可，答案不唯一.
故答案为y= (答案不唯一).
13. 如图，⊙O是 ABC的外接圆，∠BAC=60°,若⊙O的半径OC为2，则弦BC的长为___________．
△
【答案】
【解析】
【详解】∵⊙O是 ABC的外接圆，∠BAC=60°，
△∴ ；
因为OB、OC是⊙O的半径，
所以OB=OC，
所以 = ，
在 中，若⊙O的半径OC为2，
OB=OC=2，
在 中，BC=2 =
【点睛】本题考查圆周角与圆心角、弦心距，要求考生熟悉圆周角与圆心角的关系，会求弦心距和弦长．
14. “永定楼”，作为门头沟区的地标性建筑，因其坐落在永定河畔而得名．为测得其高度，低空无人机在
A处，测得楼顶端B的仰角为30°，楼底端C的俯角为45°，此时低空无人机到地面的垂直距离AE为23
米，那么永定楼的高度BC是______米（结果保留根号）．
【答案】
【解析】
【分析】过点A作BC的垂线，垂足为D，则∠DAC=45°，∠BAD=30°，进一步推出AD=CD=AE=
米,再根据tan∠BAD= = ,从而求出BD的值，再由BC=BD+CD即可得到结果.
【详解】解：如图所示，过点A作AD⊥BC于D，则∠DAC=45°，∠BAD=30°，∵AD⊥BC, ∠DAC=45°，
∴AD=CD=AE= 米,
在Rt ABD中，
△
tan∠BAD= = ，
∴BD=AD = =23(米)
∴BC=BD+CD= (米)
故答案为 .
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从题目中整理出直角三角形并正确的利用边
角关系求解．
15. 如图是某小组同学做“频率估计概率”的实验时，绘出的某一实验结果出现的频率折线图，则符合图中
这一结果的实验可能是_______（填序号）．
①抛一枚质地均匀的硬币，落地时结果“正面朝上”；
②在“石头，剪刀，布”的游戏中，小明随机出的是剪刀；
③四张一样的卡片，分别标有数字1，2，3，4，从中随机
取出一张，数字是1．
【答案】②
【解析】【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的频率，约为0.33
者即为正确答案．
【详解】抛一枚硬币，出现正面朝上的频率是 =0.5，故本选项错误；
在“石头，剪刀，布”的游戏中，小明随机出的是剪刀的概率是 ，故本选项符合题意；
四张一样的卡片，分别标有数字1，2，3，4，从中随机取出一张，数字是1的概率是0.25
故答案为②.
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所
求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．
16. 张华在网上经营一家礼品店，春节期间准备推出四套礼品进行促销，其中礼品甲45元/套，礼品乙50
元/套，礼品丙70元/套，礼品丁80元/套，如果顾客一次购买礼品的总价达到100元，顾客就少付x元，每
笔订单顾客网上支付成功后，张华会得到支付款的80%．
①当x=5时，顾客一次购买礼品甲和礼品丁各1套，需要支付_________元；
②在促销活动中，为保证张华每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的六折，则x的最大值为________．
【答案】 ①. 120 ②. 25
【解析】
【分析】① 当x=5时，顾客一次购买礼品甲和礼品丁各1套，需要支付45+80-5=120元．
②设顾客每笔订单的总价为M元，当0＜M＜100时，张军每笔订单得到的金额不低于促销前总价的六折，
当M≥100时，0.8（M-x）≥0.6M，对M≥100恒成立，由此能求出x的最大值．
【详解】解：（1）当x=5时，顾客一次购买礼品甲和礼品丁各1套，需要支付：45+80-5=120元．
故答案为：120．
（2）设顾客一次购买干果的总价为M元，当0＜M＜100时，张军每笔订单得到的金额不低于促销前总价
的六折，当M≥100时，0.8（M-x）≥0.6M，解得，0.8x≤0.2M.
∵M≥100恒成立,
∴0.8x≤200
解得：x≤25.
故答案为25.
【点睛】本题考查代数值的求法，考查函数性质在生产、生活中的实际应用等基础知识，考查运算求解能
力和应用意识，是中档题．
三、解答题 （本题共68分，第17～22题每小题5分，第23～26题每小题6分，第27～28
题每小题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 计算： ．
【答案】3
【解析】
【分析】根据实数的混合运算法则进行计算即可.
【详解】
【点睛】本题考查了实数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，绝对值等知识，掌握相关知识按照实数
的混合运算法则进行计算是解题的关键.
18. 已知二次函数 ．
用配方法将其化为 的形式；
在所给的平面直角坐标系xOy中，画出它的图象．
【答案】（1） ；（2）见解析.
【解析】
【分析】（1）利用配方法把二次函数解析式化成顶点式即可；
（2）利用描点法画出二次函数图象即可．
【详解】解：
==
，
顶点坐标为 ，对称轴方程为 ．
函数二次函数 的开口向上，顶点坐标为 ，与x轴的交点为 ， ，
其图象为：
故答案为（1） ；（2）见解析.
【点睛】本题考查二次函数的配方法，用描点法画二次函数的图象，掌握配方法是解题的关键．
19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（ ，3），B（ ，2），C（0， ）．
（1）以y轴为对称轴，把 ABC沿y轴翻折，画出翻折后的 ；
△ △
（2）在（1）的基础上，
①以点C为旋转中心，把 顺时针旋转90°，画出旋转后的 ；
△ △
②点 的坐标为 ，在旋转过程中点 经过的路径 的长度为_____（结果保留π）．【答案】（1）画图见解析；（2）①画图见解析；② （4，-2）， .
【解析】
【分析】（1）根据轴称图形的性质作出图形即可；
（2）①根据旋转的性质作出图形即可；
在
② 坐标系中直接读取数值即可，第二空根据弧长计算公式进行计算即可.
【详解】解：（1）如图所示： 为所求；
△
（2）①如图所示， 为所求；
△
的
②由图可知点 坐标为（4，-2）；
∵ = =5
在旋转过程中点 经过的路径 的长度为： = .
故答案为：（4，-2）， .
【点睛】本题考查了轴对称和旋转作图，以及弧长计算公式的应用.掌握弧长计算公式是解题的关键.20. 下面是小华同学设计的“作三角形的高线”的尺规作图的过程．
已知：如图1， ABC．
求作：AB边上的△高线．
作法：如图2，
①分别以A，C为圆心，大于 长
为半径作弧，两弧分别交于点D，E；
② 作直线DE，交AC于点F；
③ 以点F为圆心，FA长为半径作圆，交AB的延长线于点M；
④ 连接CM．
则CM 为所求AB边上的高线．
根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形；
（2）完成下面的证明：
证明：连接DA，DC，EA，EC，
∵由作图可知DA=DC =EA=EC，
∴DE是线段AC的垂直平分线．
∴FA=FC ．
∴AC是⊙F的直径．
∴∠AMC=______°（___________________________________）（填依据），
∴CM⊥AB．
即CM就是AB边上的高线．
【答案】（1）补图见解析；（2）90，直径所对的圆周角是直角.
【解析】
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）根据线段的垂直平分线的性质以及圆周角定理证明即可．【详解】解：（1）如图线段CM即为所求．
证明：连接DA，DC，EA，EC，
∵由作图可知DA=DC =EA=EC，
∴DE是线段AC的垂直平分线．
∴FA=FC ．
∴AC是⊙F的直径．
∴∠AMC==90°（直径所对的圆周角是直角 ），
∴CM⊥AB．
即CM就是AB边上的高线．
故答案为：90°，直径所对的圆周角是直角．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握
基本知识，属于中考常考题型．
21. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BD于点B．已知∠A = 45°，∠C= 60°， ，求AD的
长．
【答案】 ．
【解析】
【分析】过点D作DE⊥BC于E，在Rt CDE中，∠C = 60°， ，则可求出DE,由已知可推出∠DBE
△=∠ADB = 45°，根据直解三角形的边角关系依次求出BD，AD即可.
【详解】过点D作DE⊥BC于E
∵ 在Rt CDE中，∠C = 60°， ，
△
∴ ，
∵ AB⊥BD，∠A = 45°，
∴∠ADB = 45°.
∵AD∥BC，
∴∠DBE =∠ADB = 45°
∴ 在Rt DBE中，∠DEB = 90°， ，
△
∴ ，
又∵ 在Rt ABD中，∠ABD= 90°，∠A = 45°，
△
∴ ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的知识，正确作出辅助线是解题的关键.
22. 已知二次函数 ．
（1）求证：无论m取任何实数时，该函数图象与x轴总有交点；
（2）如果该函数的图象与x轴交点的横坐标均为正数，求m的最小整数值．
【答案】（1）见解析；（2） ．
【解析】
【分析】（1）先计算对应一元二次方程的根的判别式的值，然后依此进行判断即可；
（2）先把m看成常数，解出对应一元二次方程的解，再根据该函数的图象与 轴交点的横坐标均为正数
列出不等式，求出m的取值范围，再把这个范围的整数解写出即可.
【详解】（1）由题意，得 = ，
△∴无论m取任何实数时，该函数图象与x轴总有交点．
（2）∵ ，
∴ ， ．
∵该函数的图象与 轴交点的横坐标均为正数，
∴ ，
即 ．
∵ m取最小整数；
∴ ．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，把二次函数交点问题转化成一元二次方程根的问
题是解题的关键.
23. 在平面直角坐标系 中，直线 与双曲线 交于点A（2，a）．
（1）求 与 的值；
（2）画出双曲线 的示意图；
（3）设点 是双曲线 上一点（ 与 不重合），直线 与 轴交于点 ，当
时，结合图象，直接写出 的值．
【答案】（1） ， ；（2）示意图见解析；（3）6， ．【解析】
【分析】（1）把点A（2，a）代入直线 解析式求出a,再把A（2，a）代入双曲线 求出
k即可；
（2）先列表，再描点，然后连线即可；
（3）利用数形结思想观察图形即可得到答案.
【详解】（1）∵ 直线 过点 ，
∴ ．
又∵ 双曲线 （ ）过点A（2，2），
∴ ．
（2）列表如下：
x … -4 -2 -1 1 2 4 …
y … -1 -2 -4 4 2 1 …
描点，连线如下：
（3）6， ．
①当点P在第一象限时，如图，过点A作AC⊥y轴于点C，过点P作PD⊥y轴于点D，则
BDP∽ BCA，
△ △
∴ =∵点A（2，2），
∴AC=2,OC=2.
∴PD=1.
即m=1，
当m=1时，n= .
即OD=4，
∴CD=OD-OC=2.
∴BD=CD=2.
∴OB=BD+OD=6
即b=6.
②当点p在第三象限时，如图，过点A作AC⊥y轴于点C，过点P作PD⊥y轴于点D，则
BDP∽ BCA，
△ △
∴ =
∵点A（2，2），
∴AC=2,OC=2.
∴PD=1.
∵点p在第三象限，
∴m=-1,
当m=-1时，n=-4，
∴OD=4，
∵BD=OD-OB=4+b,CD=OC+OB=2-b,
∴
解得，b=-2.
综上所述，b的值为6或-2.【点睛】
本题考查了一次函数与反比例函数的综合，掌握相关知识是解题的关键.
24. 如图，在Rt ABC中，∠C = 90°，点O是斜边AB上一定点，到点O的距离等于OB的所有点组成图
形W，图形W与△AB，BC分别交于点D，E，连接AE，DE，∠AED=∠B．
（1）判断图形W与AE所在直线的公共点个数，并证明．
（2）若 ， ，求OB．
【答案】（1）有一个公共点，证明见解析；（2） ．
【解析】
【分析】（1）先根据题意作出图形W，再作辅助线,连接OE，证明AE是圆O的切线即可；
（2）先利用解直角三角形的知识求出CE=1，从而求出BE=3．再由AC∥DE 得出 ，把各线段
的长代入即可求出OB的值.
【详解】（1）判断有一个公共点
证明：连接OE，如图．∵ BD是⊙O的直径，
∴ ∠DEB=90°．
∵ OE=OB，
∴ ∠OEB=∠B．
又∵∠AED=∠B，
∴ ∠AED=∠OEB．
∴ ∠AEO =∠AED+∠DEO
=∠OEB +∠DEO
=∠DEB=90°．
∴ AE是⊙O的切线．
∴图形W与AE所在直线有1个公共点．
（2）解：∵ ∠C = 90°， ， ，
∴ AC=2， ．
∵ ∠DEB=90°，
∴ AC∥DE．
∴ ∠CA E= ∠AED= B ．
在Rt ACE中，∠C = 90°，AC=2，
∴ CE=1△．
∴ BE=3．
∵AC∥DE
∴ ．∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了圆的综合知识，掌握相关知识并灵活运用是解题的关键.
25. 如图， 是直径AB所对的半圆弧，点C在 上，且∠CAB =30°，D为AB边上的动点（点D与点
B不重合），连接CD，过点D作DE⊥CD交直线AC于点E．
小明根据学习函数的经验，对线段AE，AD长度之间的关系进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）对于点D在AB上的不同位置，画图、测量，得到线段AE，AD长度的几组值，如下表：
位置 位置 位置 位置 位置 位置 位置 位置 位置
1 2 3 4 5 6 7 8 9
AE/
0.00 0.41 0.77 1.00 1.15 1.00 0.00 1.00 4.04 …
cm
AD/
0.00 0.50 1.00 1.41 2.00 2.45 3.00 3.21 3.50 …
cm
在AE，AD的长度这两个量中，确定_______的长度是自变量，________的长度是这个自变量的函数；
（2）在下面的平面直角坐标系 中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当AE= AD时，AD的长度约为________cm(结果精确到0.1)．
【答案】（1）AD，AE；（2）画图象见解析；（3）2.2， ．
【解析】
【分析】（1）根据函数的定义可得答案；
（2）根据题意作图即可；
（3）满足AE= AD条件，实际上可以转化为正比例函数y= x．
【详解】解：（1）根据题意，D为AB边上的动点，
∴AD的长度是自变量，AE的长度是这个自变量的函数；
∴故答案为：AD，AE．
（2）根据已知数据，作图得：（3）当AE= AD时，y= x，在（2）中图象作图，并测量两个函数图象交点得：AD=2.2或3.3
故答案为：2.2或3.3
【点睛】本题是圆的综合题，以几何动点问题为背景，考查了函数思想和数形结合思想．在（3）中将线
段的数量转化为函数问题，设计到了转化的数学思想．
26. 在平面直角坐标系 中，抛物线 的顶点为P，且与y轴交于点A，与直
线 交于点B，C（点B在点C的左侧）.
（1）求抛物线 的顶点P的坐标（用含a的代数式表示）；
的
（2）横、纵坐标都是整数 点叫做整点，记抛物线与线段AC围成的封闭区域（不含边界）为“W区
域”.
①当 时，请直接写出“W区域”内的整点个数；
②当“W区域”内恰有2个整点时，结合函数图象，直接写出a的取值范围.【答案】（1）顶点P的坐标为 ；（2）① 6个；② ， ．
【解析】
【分析】（1）由抛物线解析式直接可求；
（2）①由已知可知A（0，2），C（2+ ，-2），画出函数图象，观察图象可得；
②分两种情况求：当a＞0时，抛物线定点经过（2，-2）时，a=1，抛物线定点经过（2，-1）时，a= ，
则 ＜a≤1；当 a＜0时，抛物线定点经过（2，2）时，a=-1，抛物线定点经过（2，1）时，a=- ，
则-1≤a<- ．
【详解】解：（1）∵y=ax2-4ax+2a=a（x-2）2-2a，
∴顶点为（2，-2a）；
（2）如图，①∵a=2，
∴y=2x2-8x+2，y=-2，∴A（0，2），C（2+ ，-2），
∴有6个整数点；
②当a＞0时，抛物线定点经过（2，-2）时，a=1，
抛物线定点经过（2，-1）时，， ；
∴ ．
当 时，抛物线顶点经过点（2，2）时， ；
抛物线顶点经过点（2，1）时， ；
∴ ．
∴综上所述： ， ．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
27. 如图，∠MON=60°，OF平分∠MON，点A在射线OM上， P，Q是射线ON上的两动点，点P在点
Q的左侧，且PQ=OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交OM，OF，ON于点D，B，C，连接AB，PB．
（1）依题意补全图形；
（2）判断线段 AB，PB之间的数量关系，并证明；
（3）连接AP，设 ，当P和Q两点都在射线ON上移动时， 是否存在最小值？若存在，请直接写出 的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）补全图形见解析； （2）AB=PB．证明见解析；（3）存在， ．
【解析】
【分析】（1）根据题意补全图形如图1，
（2）结论：AB=PB．连接BQ，只要证明 AOB≌△PQB即可解决问题；
△
（3）连接BQ．只要证明 ABP∽△OBQ，即可推出 ，由∠AOB=30°，推出当BA⊥OM时，
△
的值最小，最小值为 ，由此即可解决问题．
【详解】解：（1）如图1，
（2）AB=PB．
证明：如图，连接BQ．∵BC的垂直平分OQ，
∴ OB =BQ，
∴∠BOP=∠BQP．
又∵ OF平分∠MON，
∴∠AOB = ∠BOP．
∴∠AOB = ∠BQP．
又∵PQ=OA，
∴ AOB≌△PQB，
∴A△B=PB．
（3））∵△AOB≌△PQB，
∴∠OAB=∠BPQ，
∵∠OPB+∠BPQ=180°，
∴∠OAB+∠OPB=180°，∠AOP+∠ABP=180°，
∵∠MON=60°，
∴∠ABP=120°，
∵BA=BP，
∴∠BAP=∠BPA=30°，
∵BO=BQ，
∴∠BOQ=∠BQO=30°，
∴△ABP∽△OBQ，
∴ ，
∵∠AOB=30°，∴当BA⊥OM时， 的值最小，最小值为 ，
∴k= ．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，
直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
28. 对于平面直角坐标系 中的图形M，N，给出如下定义：如果点P为图形M上任意一点，点Q为图
形N上任意一点，那么称线段PQ长度的最小值为图形M，N的“近距离”，记作 d（M，N）．若图形M，
N的“近距离”小于或等于1，则称图形M，N互为“可及图形”．（1）当⊙O的半径为2时，
①如果点A（0，1），B（3，4），那么d（A，⊙O）=_______,d（B，⊙O）= ________；
②如果直线 与⊙O互为“可及图形”，求b的取值范围；
（2）⊙G的圆心G在 轴上，半径为1，直线 与x轴交于点C，与y轴交于点D，如果⊙G和
∠CDO互为“可及图形”，直接写出圆心G的横坐标m的取值范围．
【答案】（1）① 1，3；② ；（2） ， .
【解析】
【分析】（1） ①根据图形M，N间的“近距离”的定义结合已知条件求解即可．
②根据可及图形的定义作出符合题意的图形，结合图形作答即可；
（2）分两种情况进行讨论即可.
【详解】（1）① 如图：根据近距离的定义可知：d（A，⊙O）=AC=2-1=1.
过点B作BE⊥x轴于点E，则
OB= =5
∴d（B，⊙O）=OB-OD=5-2=3.
故答案为1，3.
② ∵由题意可知直线 与⊙O互为“可及图形”，⊙O的半径为2，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
（2）①当⊙G与边OD是可及图形时，d（O，⊙G）=OG-1,
∴
即-1≤m-1≤1
解得： .②当⊙G与边CD是可及图形时，如图，过点G作GE⊥CD于E,
d（E，⊙G）=EG-1,
由近距离的定义可知d（E，⊙G）的最大值为1，
∴此时EG=2，
∵∠GCE=45°，
∴GC=2 .
∵OC=5,
∴OG=5-2 .
根据对称性，OG的最大值为5+2 .
∴
综上所述，m的取值范围为： 或
【点睛】本题主要考查了圆的综合知识，正确理解“近距离”和“可及图形”的概念是解题的关键.
