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门头沟区 2019—2020 学年度第一学期期末调研试卷九年级数学
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1. 反比例函数 的图象分布的象限是（ ）
A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一象限 D. 第二象限
2. ⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为5，点P与⊙O的位置关系是（ ）
A. 无法确定 B. 点P在⊙O外 C. 点P在⊙O上 D. 点P在⊙O内
3. 将抛物线 向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）.
A. ； B. ；
C. ； D. .
4. 如图， ABC的顶点都在方格纸的格点上，那么 的值为（ ）
△
A. B. C. D.
5. 如图是一个正方体纸盒，在下面四个平面图形中，是这个正方体纸盒展开图的是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，AB是半圆O的直径，半径OC⊥AB于O，AD平分∠CAB交 于点D，连接CD，OD，BD．
下列结论中正确的是（ ）A. AC∥OD B.
C. ODE∽△ADO D.
△
7. 对于不为零的两个实数a，b，如果规定a★b ，那么函数 的图象大致是
（ ）
A. B. C. D.
8. 近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校800名学生上个月A，B两种移动支付方式的
使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中
仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
下面有四个推断：
①从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月仅使用A支付的概率为0.3；
②从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率为0.45；
③估计全校仅使用B支付的学生人数为200人；
④这100名学生中，上个月仅使用A和仅使用B支付的学生支付金额的中位数为800元．
其中合理推断的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②③
二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 如果∠A是锐角，且sinA= ，那么∠A=________゜．
10. 在如图所示的几何体中，其三视图中有三角形的是______（填序号）．
11. 如果二次函数 的图象如图所示，那么 ____0 .（填“＞”，“=”，或“＜”）．
12. 写出一个具有性质“在每个象限内y随x的增大而减小”的反比例函数的表达式为________.
13. 如图，⊙O是 ABC的外接圆，∠BAC=60°,若⊙O的半径OC为2，则弦BC的长为___________．
△
14. “永定楼”，作为门头沟区的地标性建筑，因其坐落在永定河畔而得名．为测得其高度，低空无人机在
A处，测得楼顶端B的仰角为30°，楼底端C的俯角为45°，此时低空无人机到地面的垂直距离AE为23
米，那么永定楼的高度BC是______米（结果保留根号）．
15. 如图是某小组同学做“频率估计概率”的实验时，绘出的某一实验结果出现的频率折线图，则符合图中
这一结果的实验可能是_______（填序号）．
①抛一枚质地均匀的硬币，落地时结果“正面朝上”；
②在“石头，剪刀，布”的游戏中，小明随机出的是剪刀；③四张一样的卡片，分别标有数字1，2，3，4，从中随机
取出一张，数字是1．
16. 张华在网上经营一家礼品店，春节期间准备推出四套礼品进行促销，其中礼品甲45元/套，礼品乙50
元/套，礼品丙70元/套，礼品丁80元/套，如果顾客一次购买礼品的总价达到100元，顾客就少付x元，每
笔订单顾客网上支付成功后，张华会得到支付款的80%．
①当x=5时，顾客一次购买礼品甲和礼品丁各1套，需要支付_________元；
②在促销活动中，为保证张华每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的六折，则x的最大值为________．
三、解答题 （本题共68分，第17～22题每小题5分，第23～26题每小题6分，第27～28
题每小题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算： ．
18. 已知二次函数 ．
用配方法将其化为 的形式；
在所给的平面直角坐标系xOy中，画出它的图象．
19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（ ，3），B（ ，2），C（0， ）．（1）以y轴为对称轴，把 ABC沿y轴翻折，画出翻折后的 ；
△ △
（2）在（1）的基础上，
①以点C为旋转中心，把 顺时针旋转90°，画出旋转后的 ；
△ △
②点 的坐标为 ，在旋转过程中点 经过的路径 的长度为_____（结果保留π）．
20. 下面是小华同学设计的“作三角形的高线”的尺规作图的过程．
已知：如图1， ABC．
△ 的
求作：AB边上 高线．
作法：如图2，
①分别以A，C为圆心，大于 长
为半径作弧，两弧分别交于点D，E；
② 作直线DE，交AC于点F；
的
③ 以点F为圆心，FA长为半径作圆，交AB 延长线于点M；
④ 连接CM．
则CM 为所求AB边上的高线．根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形；
的
（2）完成下面 证明：
证明：连接DA，DC，EA，EC，
∵由作图可知DA=DC =EA=EC，
∴DE是线段AC的垂直平分线．
∴FA=FC ．
∴AC是⊙F的直径．
∴∠AMC=______°（___________________________________）（填依据），
∴CM⊥AB．
即CM就是AB边上的高线．
21. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BD于点B．已知∠A = 45°，∠C= 60°， ，求AD的
长．
22. 已知二次函数 ．
（1）求证：无论m取任何实数时，该函数图象与x轴总有交点；
（2）如果该函数的图象与x轴交点的横坐标均为正数，求m的最小整数值．
23. 在平面直角坐标系 中，直线 与双曲线 交于点A（2，a）．（1）求 与 的值；
（2）画出双曲线 的示意图；
（3）设点 是双曲线 上一点（ 与 不重合），直线 与 轴交于点 ，当
时，结合图象，直接写出 的值．
24. 如图，在Rt ABC中，∠C = 90°，点O是斜边AB上一定点，到点O的距离等于OB的所有点组成图
形W，图形W与△AB，BC分别交于点D，E，连接AE，DE，∠AED=∠B．
（1）判断图形W与AE所在直线的公共点个数，并证明．
（2）若 ， ，求OB．
25. 如图， 是直径AB所对的半圆弧，点C在 上，且∠CAB =30°，D为AB边上的动点（点D与点
B不重合），连接CD，过点D作DE⊥CD交直线AC于点E．小明根据学习函数的经验，对线段AE，AD长度之间的关系进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）对于点D在AB上的不同位置，画图、测量，得到线段AE，AD长度的几组值，如下表：
位置 位置 位置 位置 位置 位置 位置 位置 位置
1 2 3 4 5 6 7 8 9
.
1
AE/
0.00 0.41 0.77 1.15 1.00 0.00 1.00 4.04 …
cm
00
AD/
0.00 0.50 1.00 1.41 2.00 2.45 3.00 3.21 3.50 …
cm
在AE，AD的长度这两个量中，确定_______的长度是自变量，________的长度是这个自变量的函数；
（2）在下面的平面直角坐标系 中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当AE= AD时，AD的长度约为________cm(结果精确到0.1)．
26. 在平面直角坐标系 中，抛物线 的顶点为P，且与y轴交于点A，与直
线 交于点B，C（点B在点C的左侧）.（1）求抛物线 的顶点P的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记抛物线与线段AC围成的封闭区域（不含边界）为“W区域”.
①当 时，请直接写出“W区域”内的整点个数；
②当“W区域”内恰有2个整点时，结合函数图象，直接写出a的取值范围.
27. 如图，∠MON=60°，OF平分∠MON，点A在射线OM上， P，Q是射线ON上的两动点，点P在点
Q的左侧，且PQ=OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交OM，OF，ON于点D，B，C，连接AB，PB．
（1）依题意补全图形；
（2）判断线段 AB，PB之间的数量关系，并证明；
（3）连接AP，设 ，当P和Q两点都在射线ON上移动时， 是否存在最小值？若存在，请直接
写出 的最小值；若不存在，请说明理由．
28. 对于平面直角坐标系 中的图形M，N，给出如下定义：如果点P为图形M上任意一点，点Q为图
形N上任意一点，那么称线段PQ长度的最小值为图形M，N的“近距离”，记作 d（M，N）．若图形M，N的“近距离”小于或等于1，则称图形M，N互为“可及图形”．
（1）当⊙O的半径为2时，
①如果点A（0，1），B（3，4），那么d（A，⊙O）=_______,d（B，⊙O）= ________；
②如果直线 与⊙O互为“可及图形”，求b的取值范围；
（2）⊙G的圆心G在 轴上，半径为1，直线 与x轴交于点C，与y轴交于点D，如果⊙G和
∠CDO互为“可及图形”，直接写出圆心G的横坐标m的取值范围．
