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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
首都师大附中 2023－2024 学年第二学期期中练习
初一数学
第 I 卷（共 20 分）
一、选择题（共 20 分，每题 2 分） 第 1-10 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 下列数中，无理数的是（ ）
A. π B. C. D. 3.1415926
【答案】A
【解析】
【分析】根据无理数即为无限不循环小数逐一判断即可．
【详解】解：A、 是无理数，故符合题意；
B、 ，是整数，不是无理数，故不符合题意；
C、 ，是整数，不是无理数，故不符合题意；
D、3.1415926是有限小数，不是无理数，故不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题考查的是无理数的判断，掌握无理数即为无限不循环小数是解题关键．
2. 在平面直角坐标系中，点 所在的象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据各象限内点的坐标特征进行判断即可得.
【详解】因
则点 位于第四象限
故选：D.
【点睛】本题考查了平面直角坐标系象限的性质，象限的符号规律：第一象限 、第二象限 、
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第三象限 、第四象限 ，熟记象限的性质是解题关键.
3. 下列各式中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平方根的求解，算术平方根的求解，实数的运算，根据乘方，算术平方根，平方根的
求解方法进行计算判断即可．
【详解】解：A、 ，正确，符合题意；
B、 ，原计算错误，不符合题意；
C、 ，原计算错误，不符合题意；
D、 ，原计算错误，不符合题意；
故选：A．
4. 若 ，则下列不等式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质，利用不等式的性质，不等式的性质 是：不等式的两边都加（或减）
同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质 是：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不
等号的方向不变；不等式的性质 是：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，逐
项进行分析判断即可．
【详解】解：A、 ， ，原不等式不正确，不符合题意；
B、 ， ， ，正确，符合题意；
C、 ， ，原不等式不正确，不符合题意；
D、 ， ，原不等式不正确，不符合题意；
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故选：B．
5. 下列各组数是二元一次方程 的解的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将选项中的解分别代入方程2x﹣y＝5，使方程成立的即为所求．
【详解】解：A、把 代入方程 ， ，不满足题意；
B、把 代入方程 ， ，不满足题意；
C、把 代入方程 ， ，满足题意；
D、把 代入方程 ， ，不满足题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．能正确掌握
方程的解得概念是解答此题的关键．
6. 如图，直线 相交于点 ， ，下列说法错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了垂线，对顶角，邻补角，根据垂线，对顶角，邻补角的定义逐项进行分析判断即可．
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【详解】解：A、 直线 相交于点 ， （对顶角相等），故本选项说法正确，
不符合题意；
B、 直线 相交于点 ，
（对顶角相等），
，
，故本选项说法正确，不符合题意；
C、无法判断 与 是否相等，故原说法错误，符合题意；
D、 三点共线， ，故本选项说法正确，不符合题意；
故选：C．
7. 不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了求不等式组解集，在数轴上表示不等式解集，分别求出不等式①②的值，得到不等式
组的解集，再在数轴上表示出不等式解集即可．
【详解】解：
解不等式①，得： ，
不等式②为： ，
不等式解集为： ，
解集在数轴上表示为：
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，
故选：B．
8. 如图，直线 ， ，则 的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，对顶角相等，先根据两直线平行同位角相等求出
的度数，再根据三角形外角性质求出 的度数，最后根据对顶角相等即可求出结果．
【详解】解：如图，
，
，
，
，
．
故选：C．
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9. 在平面直角坐标系 中，点 的坐标为 ， 轴，且 ，则点 的坐标为（ ）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形，根据 轴，可得B点纵坐标，再根据 ，可以得到可以得
到B点位于A左右两边的两个坐标点．
【详解】解： 点 的坐标为 ， 轴，
点 的纵坐标与点 的纵坐标相等为3，
点 的横坐标为 或 ，
点 的坐标为 或 ，
故选：D．
10. 为了培养“成达好习惯”，小李同学根据自身情况制定了跑步计划，每天有“低强度”“高强度”
“休息”三种方案，下表对应了每天不同方案的跑步距离（单位： ）．
第1 第2 第3 第4 第5
天 天 天 天 天
低
强 2500 2200 2000 1500 1600
度
高
强 3400 4000 4500 4000 2500
度
休
0 0 0 0 0
息
小李定下了以下规则：若当天选择“高强度”方案，则要求前一天必须休息（第1天可选择“高强度”方
案)；第1天不休息且不能连续两天都休息．小李根据计划进行了5天跑步锻炼，下列结论错误的是（
）
A. 若小李每天都选择“低强度”方案，则他这5天共跑步
B. 若小李第4天休息，则他这5天最多跑步
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C. 小李这5天最少跑步
D. 小李这5天最多跑步
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了
【详解】解：A. 若小李每天都选择“低强度”方案，5天共跑步：
，结论正确，故不符合题意；
B. “高强度”要求前一天必须“休息”， 当“高强度”的徒步距离 前一天“低强度”距离+当天“低
强度”距离时选择“高强度”能使徒步距离最远，若小李第 天休息， ， 可以第
天高强度，第 天休息，第 天高强度，第 天休息，第 天高强度，此时跑步最远：
，结论正确，故不符合题意；
C.安排：第 天低强度，第 天休息，第 天低强度，第 天低强度，第 天休息，此时跑步最少：
，结论正确，故不符合题意；
D.由选项B得：第 天高强度，第 天低强度，第 天休息，第 天高强度，第 天低强度，此时跑步最远：
，结论错误，故符合题意；
故选：D．
第 II 卷（共 80 分）
二、填空题（共12分，每题2分）
11. 4的平方根是_______．
【答案】±2
【解析】
【详解】解：∵ ，
∴4的平方根是±2．
故答案为±2．
12. 若关于x的方程kx－1＝2x的解为正数，则k的取值范围是________．
【答案】k＞2．
【解析】
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【分析】先解方程，然后根据解为正实数，可以得到关于k的不等式，从而可以确定出k的范围．
【详解】∵kx﹣1=2x，
∴（k﹣2）x=1，解得，x= ，
∵关于x的方程kx﹣1=2x的解为正实数，
∴ ＞0，解得，k＞2，
故答案为k＞2．
考点：一元一次方程的解．
13. 用一个 的值说明命题“如果 ，那么 ”是假命题，这个值可以是 _________．
【答案】1（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查的是命题的证明和判断，有理数乘方计算，根据有理数的乘方法则计算，判断即可得出
结果．
【详解】解：当 时， ， ，
“如果 ，那么 ”是假命题，
故答案为：1（答案不唯一）．
14. 如图，小方同学位于玉渊潭公园，小程同学在小方北侧1800米处的花园桥．两人同时出发相向而行，
10分钟后相遇；两人同时向北而行， 小方90分钟后追上小程．设小方的平均速度为 米/分钟，小程的平
均速度为 米/分钟，则根据题意可列方程组_________．
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【答案】
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据小程同学在小方北侧1800米处的花园桥，两
人同时出发相向而行，10分钟后相遇；两人同时向北而行，小方90分钟后追上小程，可列方程组求解．
【详解】解：根据题意得： ，
故答案为： ．
15. 如图，把一张长方形纸条 沿 折叠，若 ，则 _________°．
【答案】
【解析】
【分析】此题要求 度的数，可先求得其邻补角 的度数，根据平行线的性质“两直线平行，
内错角相等”以及折叠的性质就可求解 的度数．
【详解】解： 四边形 是长方形，
，
，（两直线平行，内错角相等）
由折叠得： ，
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，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行线的性质、折叠的性质，正确观察图形，熟练掌握平行线的性质“两直线平行，
内错角相等”是解题的关键．
16. 在平面直角坐标系中，记横纵坐标都是整数的点为整点．将一个整点先沿任一坐标轴方向平移2个单
位，再沿与前一次平移垂直的方向平移1个单位，叫做一次 “跳马运动”．例如：如图，点 做一次
“跳马运动”，可以到达点 ，但是到达不了点 ．点 从原点处开始做“跳马运动”，下面三个结论中，
所有正确结论的序号是_________．
① 进行一次“跳马运动”可能到达的点有8 个；
② 进行三次“跳马运动”后可以到达 ；
③ 进行四次“跳马运动”后可以到达 ．
【答案】①②##②①
【解析】
【分析】本题考查了坐标的平移，根据题中“跳马运动”的移动规则逐项进行分析判断即可，熟练掌握坐
标移动规则是解题关键．
【详解】解：①由题可知 ，进行一次跳马运动，首先沿任一坐标轴方向平移2个单位，可以到达
， ， ， 四个点，再沿与前一次平移垂直的方向平移1个单位，以上4个点都
有向上或向下2种情况，故可能到达的点有8 个，故①正确；
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② ，可以先向下平移2各单位，再向右平移到 ，再向右平移2个单位，再向上平移1个单
位得到 ，第三次向左平移2个单位，再向上平移1各单位得到 ，故②正确；
③按照规则如何移动四次都无法到达 ，故③错误，
综上所述正确的有：①②，
故答案为：①②．
三、解答题（共68分，第17题5分，第18题8分，第19-25题，每题5分，第26题6分，
第27-28 题，每题7分）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，求一个数的算术平方根，求一个数的立方根，化简绝对值，根据有
理数的乘方，算术平方根，立方根，化简绝对值，计算各项再计算计算加法即可．
【详解】解：
．
18. 解下列方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
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【分析】（1）用代入消元法解方程组；
（2）用加减消元法解方程组．
【小问1详解】
解：
把 代入 ，得 ，
，
把 代入 ，得 ，
故原方程组的解为 ；
【小问2详解】
解：
，得 ，
把 代入 ，得 ，
故原方程组的解为 ．
【点睛】本题考查了用加减消元法和代入消元法解二元一次方程组的能力，熟练掌握并求出方程组的解是
本题的关键．
19. 解不等式组： ，并求出它的整数解．
【答案】它的整数解为x=3或4．
【解析】
【分析】先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解
集，然后找出其中的整数解即可．
【详解】解不等式①，得 x＞2，
解不等式②，得 x≤4，
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故原不等式组的解集为2＜x≤4．
故它的整数解为x=3或4．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式
解集的公共部分．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．
20. 按要求完成下列证明：
已知：如图，在 中， 于点 ， 是 上一点，且 ．
求证：DE BC．
证明： （已知）．
____．（垂直的定义）
_____ ．
（已知）．
____ _____）．
DE BC（_____）．
【答案】 ； ； ，同角的余角相等；内错角相等，两直线平行．
【解析】
【分析】直接利用平行线的判定方法结合垂直的定义分析即得出答案．
【详解】解：证明： （已知），
（垂直的定义），
，
（已知），
（同角的余角相等），
（内错角相等，两直线平行），
故答案为： ； ； ，同角的余角相等；内错角相等，两直线平行．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键．
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21. 如图， 相交于点 ， ， 平分 ，过点 作 的垂线，点 是
垂线上的点，点 在直线 的上方，点 在直线 的下方，连接线段 ．
（1）依题意补全图形；
（2）线段 与 长度的大小关系为：
，（填“>”“=”或“<”）
依据是__________________；
（3）求 的大小．
【答案】（1）见详解 （2）>，垂线段最短
（3）
【解析】
【分析】本题考查的是点到直线的距离，垂线的定义，角平分线的定义，掌握点到直线的距离是解题的关
键
（1）根据题意的描述语言进行作图，即可作答．；
（2）根据垂线段最短解答即可；
（3）根据垂直的定义和角之间的关系解答即可．
【小问1详解】
解：如图所示：
【小问2详解】
解：结合（1）的图
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得比较 与 的大小为： ，是因为垂线段最短；
故答案为： 垂线段最短；
【小问3详解】
解：∵ ， 平分 ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
22. 为庆祝建校110周年，“朝阳红”的同学们想利用“青年创客空间”的激光雕刻机制作一批文创产品，
下图是他们设计的部分图案.已知图中的小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点 和点 分别是
“正”和“志”上的点，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
（1）在图中画出平面直角坐标系 ；
（2）点 的坐标为_________________；
（3）平移图中的“正志”使点 与点 重合，在图中画出点 的对应点 的位置，点 的坐标为
___________．
【答案】（1）见解析 （2）
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（3）
【解析】
【分析】本题考查了建立直角坐标系，写出直角坐标系中点 的坐标，根据点的坐标求出平移方式，根据平
移方式求出点的坐标，准确做出直角坐标系，是解题关键．
（1）根据 的坐标为 ，点 的坐标为 建立直角坐标系即可；
（2）根据坐标系直接写出点C 的坐标即可；
（3）根据点 与点 重合求出平移方式，即可得出点D的坐标．
【小问1详解】
解：根据点 的坐标为 ，点 的坐标为 建立直角坐标系如下：
【小问2详解】
由直角坐标系可知 ，
故答案为： ；
【小问3详解】
平移图中的“正志”使点 与点 重合，
图形向右平移3个单位，向下平移7各单位，
则 向右平移3个单位，向下平移7各单位，得到 ，
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故答案为： ．
23. 如图，在平面直角坐标系 中，点 的坐标分别为 ， ， .
（1）直接写出三角形 的面积；
（2）点 是 轴上的点，若三角形 的面积是三角形 面积的一半，求点 的坐标．
【答案】（1）7 （2） 或
【解析】
【分析】本题考查了利用网格求三角形面积，求直角坐标系中点的坐标．
（1）利用网格求三角形面积即可；
（2）根据点 是 轴上的点，先求出纵坐标，再根据三角形 的面积是三角形 面积的一半，求
出两种情况的点P的横坐标即可．
【小问1详解】
解： ；
【小问2详解】
在x轴上，
点P的纵坐标为0，
，
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，
的坐标为 或 ．
24. 为了筹备第十八届春季越野比赛，学校计划购买甲、乙两种纪念品．已知购买7件甲种纪念品和2件
乙种纪念品需用25元，购买5件甲种纪念品和4件乙种纪念品需用23元．
（1）求每件甲种纪念品和每件乙种纪念品各多少元；
（2）若学校购买甲、乙两种纪念品共1000件，总费用不超过2800元，那么最多可以购买甲种纪念品多少
件？
【答案】（1）每件甲种纪念品为3元，每件乙种纪念品为2元
（2）最多可以购买甲种纪念品 件
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组是解答本题的
关键．
（1）设每件甲种纪念品为x元，每件乙种纪念品为y元，根据购买7件甲种纪念品和2件乙种纪念品需用
25元，购买5件甲种纪念品和4件乙种纪念品需用23元列出方程组进行解答即可；
（2）设购买甲种纪念品m件，则购买乙种纪念品为 件，根据总费用不超过2800元，列出不等
式进行求解即可．
【小问1详解】
解：设每件甲种纪念品为x元，每件乙种纪念品为y元，
根据题意得 ，
解得： ， ，
答：每件甲种纪念品为3元，每件乙种纪念品为2元；
【小问2详解】
设购买甲种纪念品m件，则购买乙种纪念品为 件，
，
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解得： ，
答：最多可以购买甲种纪念品 件．
25. 小李同学探索 的近似值的过程如下：
∵面积为137的正方形的边长是 且 ，
∴设 ，其中 ，
画出示意图，如图所示．
根据示意图，可得图中正方形的面积
又∵
∴ ，
当 时，可忽略 ，得 ，解得 ，
∴
（1） 的整数部分为______________；
（2）仿照小李的探索过程，求 的近似值．（画出示意图，标注数据，并写出求解过程）
【答案】（1）12 （2）示意图见解析，
【解析】
【分析】本题考查了估计无理数的大小，理解示例并合理解答是解题关键．
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（1）判断出 ，即可解答；
（2）仿造示例画出图形，可得 ，即可解答．
【小问1详解】
解：
，
的整数部分为 ，
故答案为：12；
【小问2详解】
示意图如图所示：
面积为 的正方形边长为 ，
且 ，
设 ，其中
根据示意图，可得图中正方形面积为
，
，
当 时，可忽略 ，
得： ，解得： ，
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即 ．
26. 对于两个关于 的不等式，同时满足这两个不等式的 的值中，有且仅有 个整数，则称这两个不等
式是“ 关联”的．例如不等式 和不等式 是“ 关联”的．
（1）请判断不等式 和 是否是“ 关联”的，并说明理由；
（2）若 和 是“ 关联”的，求 的最大值；
（3）若不等式 和 是“ 关联”的，直接写出 的值．
【答案】（1）是“ 关联”的，理由见详解
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了新定义：两个不等式是“ 关联”的，求一元一次不等式组整数解；
（1）分别解出两个不等式，找出公共解，由新定义进行判断，即可求解；
（2）分别解出两个不等式，找出公共解，由新定义进行判断出 ，即可求解；
（3）分别解出两个不等式，由新定义进行判断出当 时， ，可判断 ，由新定义可得
，分类讨论①当 时，②当 时，③当 时，即可求解．
理解新定义，能根据新定义进行分类讨论是解题的关键．
【小问1详解】
解：是“ 关联”的，理由如下：
由 得，
，
由 得，
，
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，
同时满足这两个不等式的 的值中，有且仅有 个整数 ，
两个不等式是“ 关联”的；
【小问2详解】
解：由 得，
，
和 是“ 关联”的，
和 是“ 关联”的，
，
解得： ，
的最大值是 ；
【小问3详解】
解：由 得，
，
由 得，
，
是“ 关联”的，
当 时，
，
此时是“ 关联”的，
故矛盾，
，
，且 为整数，
，
解得： ，
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，
①当 时，
，
此时有 个整数解，
是“ 关联”的，
不合题意，此情况不存在；
②当 时，
，
此时有 个整数解，
是“ 关联”的，
不合题意，此情况不存在；
③当 时，
，
此时有 个整数解，
是“ 关联”的；
综上所述： 的值为 ．
27. 已知定点 ，点 在点 的左侧，直线 在直线 的下方， ，点 是这两条直线之间的一
个动点， ，点 在直线 上，满足 ．
（1）如图1，当 时， 是线段 与直线 的夹角，求 的大小；
（2）过点 作平分 的直线 ，若直线 ，直接写出 的大小；
若直线 与直线 相交于点 ，当 时，直接写出 的大小．
【答案】（1）
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（2）当直线 时， 的大小为 或 ；当 时， 的大小为 或
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定及性质；
的
（1）过 作 ，由平行 判定方法得 ，由平行线的性质得
， ，即可求解；
（2）直线 时，①当 在 的左侧时，由平行的判定方法得 ，由平行线的性质即可求解；
②当 在 的右侧时，同理可求解； 当 时，①当 在 的左侧时，过 作 ，
同理可求解；②当 在 的右侧时，同理可求解；
掌握判定方法及性质，能根据 点的不同位置进行分类讨论是解题的关键．
【小问1详解】
解：如图，过 作 ，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：直线 时，
①如图，当 在 的左侧时，
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直线 平分 ，
，
， ，
，
；
②如图，当 在 的右侧时，
同理可得： ，
，
，
；
故 的大小为 或 ；
当 时，
①如图，当 在 的左侧时，
过 作 ，
同理可得： ，
，
，
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，
；
②如图，当 在 的右侧时，
同理可求： ，
，
，
；
故 的大小为 或 ．
28. 将平面直角坐标系的纵轴绕原点顺时针旋转 得到斜坐标系．如图1，在斜坐标系 中，对于该
平面内的任意一点 ，过点 分别作 轴， 轴的平行线，与两轴交点所对应的数分别为 与 ，则称有
序数对 为点 的坐标．对于任意两点 ， 和常数 ，定义
为点 与 的“ 度量”．
如图2，在斜坐标系 中，已知点 ， ，回答下列问题：
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（1）点 与点 的“ 度量”为____________；
（2）已知点 ，过点 作平行于 轴的直线 ．
当 时，直接写出直线 上与点 的“ 度量”为2的点的坐标；
若直线 上存在与点 的“ 度量”为2的点，直接写出 的取值范围；
（3）已知点 ， ，若线段 上存在点 ，在线段 上存在点 ，使得
，直接写出 的取值范围．
【答案】（1）
（2） 或 ；
（3） 或
【解析】
【分析】本题考查了新定义： 与 的“ 度量”，一元一次不等式（组）的拓展；理解新定义，能根
据具体情况进行分类讨论，会解含有绝对值的不等式组是解题的关键．
（1）由 与 的“ 度量”的定义，即可求解；
（2）由线 上与点 的“ 度量”为2得 ，求出 ，即可求解；设直线 上存在
与点 的“ 度量”为2的点为 ，由新定义得 ，可得 ，由
即可求解；
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（3）由新定义可求 、 、 、 ，进行分类讨论① ，
② ，③ ④ 分别解出，即可求解；
【小问1详解】
解：由题意得
，
故答案： ；
【小问2详解】
解：由题意得
，
的
过点 作平行于 轴 直线 ，
可设直线 上点的坐标为 ，
直线 上与点 的“ 度量”为2，
，
整理得： ，
解得： ，
直线 上与点 的“ 度量”为2的点的坐标为 或 ；
设直线 上存在与点 的“ 度量”为2的点为 ，
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，
整理得： ，
，
，
解得： ，
故 的取值范围 ；
【小问3详解】
解：由题意得
，
同理可求： ，
，
，
，
① ，
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解得： 或 ，
② ，
解得： ，
③
解得： ，
④
解得： ，
综上所述： 或 ．
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