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专题10.1 机械振动【讲】
【讲核心素养】
1.物理观念：
（1）知道简谐运动的概念，理解简谐运动的表达式和图象。
（2）.知道什么是单摆，熟记单摆的周期公式.
（3）.理解受迫振动和共振的概念，了解产生共振的条件.。
2.科学思维：
（1）.通过实验，认识简谐运动的特征、能用公式和图像描述简谐运动。
（2）通过实验，认识受迫振动的特点。了解产生共振的条件及其应用。
3.科学态度与责任：
通过理论推导和实验，能解释生产生活中的有关现象。
【讲考点题型】
【知识点一】 简谐运动的特征
简谐运动
1.定义：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平
衡位置，质点的运动就是简谐运动.
2.平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置.
3.回复力
（1）定义：使物体在平衡位置附近做往复运动的力.
（2）方向：总是指向平衡位置.
（3）来源：属于效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力.
4．表达式
（1）动力学表达式：F＝－kx，其中“－”表示回复力与位移的方向相反．
（2）运动学表达式：x＝Asin（ωt＋φ ），其中A代表振幅，ω＝2πf代表简谐运动的快慢，ωt＋
0
φ 代表简谐运动的相位，φ 叫做初相．
0 0
5．图象
（1）从平衡位置开始计时，函数表达式为x＝Asin ωt，图象如图甲所示．
（2）从最大位移处开始计时，函数表达式为x＝Acos ωt，图象如图乙所示．
【方法总结】分析简谐运动的技巧
1．分析简谐运动中各物理量的变化情况时，一定要以位移为桥梁，位移增大时，振动质点的回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小；反之，则产生相反的变化。另外，各矢量均在
其值为零时改变方向。
2．分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性。
【例1】（2022·江苏省泗阳中学高三开学考试）如图所示，弹簧振子在 A、B之间做简谐运动，
O为平衡位置，测得A、B间距为6cm，小球完成30次全振动所用时间为60s，则（ ）
A．振动周期是2s，振幅是6cm
B．振动频率是2Hz
C．小球完成一次全振动通过的路程是12cm
D．小球过O点时开始计时，3s内通过的路程为24cm
【答案】 C
【解析】A．由题意可知
A错误；
B．频率
解得
B错误；
C．小球完成一次全振动通过的路程为振幅的4倍，即
C正确；
D．小球在3 s内通过的路程为
D错误。
故选C。
【素养升华】本题考察的学科素养主要是物理观念。
【变式训练1】（2022·广东·汕头市第一中学高三阶段练习）如图所示，倾角为30°的斜面固定在水平地面上，其下端有一垂直于斜面的固定挡板。轻质弹簧的一端与挡板相连，另一端连接一质
量为0.4kg的光滑小球（可视为质点）。现将小球由平衡位置O沿斜面向上拉动15cm至P点，使
其在P、P′之间做简谐运动，M、N为斜面上关于O点对称的两点。规定沿斜面向上为正方向，
已知弹簧的劲度系数为20N/m且弹簧始终处于弹性限度内，取g=10m/s2。则（ ）
A．小球在P点的回复力为-5N
B．小球在P′点时弹簧的形变量为25cm
C．小球从N点向上运动，经四分之三个周期，其运动的路程小于45cm
D．在M、N两点，小球的速度大小相等，弹簧的弹性势能也相等
【答案】 B
【解析】A．O点为平衡位置，沿斜面向上拉动15cm后，小球受到的合力为
则小球在P点的回复力为-3N，故A错误；
B．由简谐运动的对称性可知，小球在P′点的回复力为3N，有
解得
故B正确；
C．小球经平衡位置O时，速度最大，前四分之一周期内运动的路程要大于15cm，后二分之一周
期内运动的路程为30cm，总路程大于45cm，故C错误；
D．根据简谐运动的对称性可知，小球在 M、N两点速度大小相等。由系统机械能守恒可知，小
球在N点时弹簧的弹性势能大于小球在M点时弹簧的弹性势能，故D错误。
故选B。
【必备知识】简谐运动的“五个特征”
1．动力学特征：F＝－kx，“－”表示回复力的方向与位移方向相反，k是比例系数，不一定是
弹簧的劲度系数。
2．运动学特征：简谐运动的加速度的大小与物体偏离平衡位置的位移的大小成正比，而方向相
反，为变加速运动，远离平衡位置时，x、F、a、E 均增大，v、E 均减小，靠近平衡位置时则相
p k
反。
3．运动的周期性特征：相隔T或nT的两个时刻，振子处于同一位置且振动状态相同。4．对称性特征
（1）相隔或T（n为正整数）的两个时刻，振子位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度大
小相等，方向相反。
（2）如图所示，振子经过关于平衡位置O对称的两点P、P′（OP＝OP′）时，速度的大小、动能、
势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等。
（3）振子由P到O所用时间等于由O到P′所用时间，即t ＝t 。
PO OP′
（4）振子往复过程中通过同一段路程（如OP段）所用时间相等，即t ＝t 。
OP PO
5．能量特征：振动的能量包括动能E 和势能E ，简谐运动过程中，系统动能与势能相互转化，
k p
系统的机械能守恒。
【知识点二】简谐运动的两种模型
简谐运动的两种模型归纳
模型 弹簧振子 单摆
示意图
（1）弹簧质量可忽略 （1）摆线为不可伸缩的轻细线
简谐运
（2）无摩擦等阻力 （2）无空气阻力等
动条件
（3）在弹簧弹性限度内 （3）最大摆角小于等于5°
摆球重力沿与摆线垂直方向（即切
回复力 弹簧的弹力提供
向）的分力
平衡位置 弹簧处于原长处 最低点
周期 与振幅无关 T＝2π
能量 弹性势能与动能的相互转化， 重力势能与动能的相互转化，机械能
转化 系统的机械能守恒 守恒
【例2】（2022·山东·高考真题）如图所示，“L”型平板B静置在地面上，小物块A处于平板B
上的 点， 点左侧粗糙，右侧光滑。用不可伸长的轻绳将质量为M的小球悬挂在 点正上方
的O点，轻绳处于水平拉直状态。将小球由静止释放，下摆至最低点与小物块 A发生碰撞，碰后
小球速度方向与碰前方向相同，开始做简谐运动（要求摆角小于 ），A以速度 沿平板滑动直
至与B右侧挡板发生弹性碰撞。一段时间后，A返回到O点的正下方时，相对于地面的速度减为
零，此时小球恰好第一次上升到最高点。已知A的质量 ，B的质量 ，A与B
的动摩擦因数 ，B与地面间的动摩擦因数 ，取重力加速度 。整个过程中A始终在B上，所有碰撞时间忽略不计，不计空气阻力，求：
（1）A与B的挡板碰撞后，二者的速度大小 与 ；
（2）B光滑部分的长度d；
（3）运动过程中A对B的摩擦力所做的功 ；
（4）实现上述运动过程， 的取值范围（结果用 表示）。
【 答 案 】 （ 1 ） ， ； （ 2 ） ； （ 3 ） ； （ 4 ）
【解析】（1）设水平向右为正方向，因为 点右侧光滑，由题意可知A与B发生弹性碰撞，故
碰撞过程根据动量守恒和能量守恒有
代入数据联立解得
，（方向水平向左）
，（方向水平向右）
即A和B速度的大小分别为 ， 。
（2）因为A物体返回到O点正下方时，相对地面速度为0，A物体减速过程根据动能定理有
代入数据解得
根据动量定理有
代入数据解得此过程中A减速的位移等于B物体向右的位移，所以对于此过程B有
联立各式代入数据解得
， （舍去）
故根据几何关系有
代入数据解得
（3）在A刚开始减速时，B物体的速度为
在A减速过程中，对B分析根据牛顿运动定律可知
解得
B物体停下来的时间为t ，则有
3
解得
可知在A减速过程中B先停下来了，此过程中B的位移为
所以A对B的摩擦力所做的功为
（4）小球和A碰撞后A做匀速直线运动再和B相碰，此过程有
由题意可知A返回到O点的正下方时，小球恰好第一次上升到最高点，设小球做简谐振动的周期
为T，摆长为L，则有由单摆周期公式 解得，小球到悬挂点O点的距离
小球下滑过程根据动能定理有
当碰后小球摆角恰为5°时，有
解得
，
小球与A碰撞过程根据动量守恒定律有
小球与A碰后小球速度方向与碰前方向相同，开始做简谐运动（要求摆角小于 ），则要求
故要实现这个过程的范围为
【素养提升】本题考察的学科素养主要是物理观念与科学思维。
【变式训练2】（2022·辽宁·沈阳市辽中区第二高级中学期末）如图所示，轻质弹簧下挂重力为
500N的物体A，轻质弹簧伸长了5cm，再在物体A的下端用细线挂上重力为200N的物体B，弹
簧均在弹性限度内。A、B两物体均静止后，将连接A、B两物体的细线剪断，则A在竖直面内
做简谐运动，A运动到最高点时弹簧相对于原长的形变量的大小为（ ）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【答案】 C
【解析】由题意可知，弹簧的劲度系数为
再在物体A的下端用细线挂上重力为200N的物体B时，弹簧再伸长
将连接A、B两物体的细线剪断，则A在竖直面内做简谐运动，平衡位置在弹簧伸长5cm的位置，
由对称性可知，A运动到最高点时弹簧相对于原长的形变量的大小为
ABD错误，C正确。
故选C。
【必备知识】1.单摆的受力特征
（1）回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，F ＝－mgsin θ＝－x＝－kx，负号表示回复
回
力F 与位移x的方向相反。
回
（2）向心力：摆线的拉力和摆球重力沿摆线方向分力的合力充当向心力，F ＝F －mgcos θ。
向 T
（3）两点说明
①当摆球在最高点时，F ＝＝0，F ＝mgcos θ。
向 T
②当摆球在最低点时，F ＝m，F 最大，F ＝mg＋m。
向 向 T
2.周期公式T＝2π的两点说明
（1）l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离。
（2）g为当地重力加速度。
【知识点三】简谐运动公式和图像的理解和应用
1．简谐运动的数学表达式
x＝Asin（ωt＋φ）
2．根据简谐运动图象可获取的信息
（1）确定振动的振幅A和周期T。（如图所示）
（2）可以确定振动物体在任一时刻的位移。
（3）确定各时刻质点的振动方向。判断方法：振动方向可以根据下一时刻位移的变化来判定。
下一时刻位移若增加，质点的振动方向是远离平衡位置；下一时刻位移如果减小，质点的振动方向指向平衡位置。
（4）比较各时刻质点的加速度（回复力）的大小和方向。
―――――→―――――→
（5）比较不同时刻质点的势能和动能的大小。质点的位移越大，它所具有的势能越大，动能越
小。
【方法总结】简谐运动表达式的深度解析
1.x＝Asin（ωt＋φ）．
2.基础意义：位移x与时间t之间的定量关系．
3.直接信息：振幅A，周期T＝，初相φ.
4.x与回复力F、x与加速度a：根据F＝－kx⇒a＝－，F、a的大小与x的大小成正比，方向与x
相反．
5.x与速度v：x减小时v增大，x增大时v减小；根据起振方向和周期判断某时刻质点振动速度的
方向．
6.x与能量：x增大时势能增大，动能减小；x减小时势能减小，动能增大；机械能守恒．
7.x与路程：质点每振动一个周期T，相对原位置位移为0，运动的路程为4A
【例3】（2022·江苏省泗阳中学高三开学考试）如图甲所示，弹簧振子以 O点为平衡位置，在
M、N两点之间做简谐运动，以向右为正方向。振动物体的位移x随时间t变化的图像如图乙所示，
下列判断正确的是（ ）
A．t＝0.8s时，振动物体的速度方向向右
B．t＝0.4s和t＝1.2s时，振动物体的加速度相同
C．振动物体做简谐运动的表达式为
D．从t＝0.4s到t＝0.8s时间内，振动物体的速度逐渐减小
【答案】 C
【解析】A．由图乙可知，t=0.8s时，切线的斜率为负值，所以速度方向向左，故A错误；
B．t=0.4s时，物体位于正向最大位移处，加速度达到最大，方向向左；t=1.2s时，物体位于负向
最大位移处，加速度达到最大，方向向右，故B错误；
C．简谐运动的物体的表达式为由图可知
故物体运动的表达式为
故C正确；
D．从t=0.4s到t=0.8s时间内，物体从正向最大位移处向平衡位置运动，速度逐渐增大，故D错
误。
故选C。
【素养升华】本题考察的学科素养主要是科学思维。
【变式训练3】（多选）（2022·云南·模拟预测）如图所示，为一个水平弹簧振子的振动图像，下
列说法正确的是（ ）
A．该弹簧振子的振动方程为
B．t=1s到t=2s内，弹簧振子的动能不断减小
C．t=3s时，弹簧振子的加速度沿x轴负方向
D．t=9s时弹簧振子的位移为10cm
E．t=0到t=10s弹簧振子的路程为100cm
【答案】 ACE
【解析】A．由图像可知
由图像可得振动方程为
故A正确；
B．由图可知t=1s到t=2s内，弹簧振子向平衡位置振动，故动能不断增大，故B错误；
C．t=3s时，弹簧振子位于最大正向位移处，即加速度沿x轴负方向，故C正确；D．由图知周期为
所以t=9s时弹簧振子处于负向最大位移处，即位移为-10cm，故D错误；
E．因为弹簧振子一个周期内的路程为
t=0到t=10s弹簧振子的路程为
故E正确。
故选ACE。
【必备知识】对简谐运动图象的两点说明
（1）简谐运动的图象是一条正弦或余弦曲线，如图所示。
甲 乙
（2）图象反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图象不代表质点运动的轨迹。
【方法总结】对振动图像的理解
1．简谐运动的图像不是振动质点的轨迹，它表示的是振动物体的位移随时间变化的规律。
2．因回复力总是指向平衡位置，故回复力和加速度在图像上总是指向t轴。
3．速度方向可以通过下一时刻位移的变化来判定，下一时刻位移如果增加，振动质点的速度方
向就远离t轴，下一时刻的位移如果减小，振动质点的速度方向就指向t轴。
【知识点四】受迫振动和共振
自由振动、受迫振动和共振的关系比较
振动类型 自由振动 受迫振动 共振
受力情况 仅受回复力作用 受驱动力作用 受驱动力作用
由系统本身性质决
由驱动力的周期或频率决
振动周期或频率 定，即固有周期 T T ＝T 或f ＝f
0 驱 0 驱 0
定，即T＝T 或f＝f
驱 驱
或固有频率f
0
振动物体的机械能 振动物体获得的能量
振动能量 由产生驱动力的物体提供
不变 最大
弹 簧 振 子 或 单 摆 机械工作时底座发生的振 共振筛、声音的共鸣
常见例子
（摆角θ≤5°） 动 等
【例4】（2022·江苏苏州·模拟预测）一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线（振幅A与驱动
力频率f的关系）如图所示，则（ ）A．此单摆的固有周期约为0.5s B．此单摆的摆长约为1m
C．若摆长增大，单摆的固有频率增大 D．若摆长增大，共振曲线的峰将向右移动
【答案】 B
【解析】A．由共振曲线可知，此单摆的固有频率约为
所以，固有周期约为
故A错误；
B．根据单摆周期公式
得
故B正确；
CD．根据单摆周期公式得，若摆长增大，则单摆的固有周期增大，所以固有频率减小，共振曲线
的峰将向左移动，故CD错误。
故选B。
【素养提升】本题考察的学科素养主要是物理观念及科学思维。
【变式训练4】（多选）（2022·安徽省临泉第一中学高三开学考试）如图甲所示的弹簧振子，做
简谐振动从某一时刻开始计时，规定竖直向上为正方向，弹簧对小球的弹力与运动时间的关系如
图乙所示，重力加速度为g，根据图像所给的信息分析，下列说法正确的是（ ）A．乙图从小球处在平衡位置开始计时 B．小球的质量为
C．简谐振动的周期为 D．弹簧对小球弹力的最小值为
【答案】 CD
【解析】A．当弹力最大时，小球处在最低点，则乙图从小球处在最低点开始计时，故A错误；
B．由 图像的上下对称性可得，小球处在平衡位置时，弹簧的弹力为 ，由回复力为0，可
得
解得小球的质量m为 ，故B错误；
C．由 图像的左右周期性可得
解得简谐振动的周期T为 ，故C正确：
D．小球在最高点时，弹簧对小球弹力的最小设为 ，由弹簧振子的回复力（合力）在最低点、
最高点等大反向可得
结合
解得
故D正确。
故选CD。
【必备知识】对共振的理解
（1）共振曲线：如图所示，横坐标为驱动力频率f，纵坐标为振幅A，它直观地反映了驱动力频
率对某固有频率为f 的振动系统受迫振动振幅的影响，由图可知，f与f 越接近，振幅A越大；当
0 0
f＝f 时，振幅A最大。
0
（2）受迫振动中系统能量的转化：做受迫振动的系统的机械能不守恒，系统与外界时刻进行能
量交换。
