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2024 年高考数学模拟考试卷（一）
高三数学 参考答案
1．C 2．B 3．A 4．B 5．C 6．D
7．D 8．D 9．BCD 10．ABC 11．ACD 12．BD
13．
14．
15．
16．
17．【详解】（1）由 ，
得 ，
两式相减得 ，
即 ，
所以 ，
又因 ，所以 ，
当 时， ，解得 （ 舍去），
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列；
（2）由（1）得 ，则 ，
则 ，，
两式相减得
，所以 .
18．【详解】(1)由题知，三角形为钝角三角形
选①，由余弦定理得： ，解得： ，
所以由正弦定理得： .
选②，因为 ，所以 ，所以
选③，由正弦定理得： ，
所以 ，所以
.
(2)选①，因为 ， ，所以 的面积为：选②，由正弦定理得： ，
.
选③，因为 ， ， ，
所以 .
19．【详解】（1）由题意可得，对“刷脸支付”安全满意度在 内的频率为 ，
，
所以人们对“刷脸支付”安全满意度的平均数为 ，
由于这 人对“刷脸支付”安全满意度的中位数也为 ，
所以高于 的频率为 ， 人中共有 人，
故青少年中高于平均数的有 人，可得 列联表如下：
青少年 中老年 合计
不高于平均
数
高于平均数
合计
所以 的观测值 ，
所以有 的把握认为对“刷脸支付”安全满意度是否高于平均数与年龄有关；
（2）①若选择方案一，设付款金额为 元，则 可能的取值为 、 、 .
， ， ，
所以，随机变量 的分布列如下表所示：所以 .
若选择方案二，记需支付的金额为 元，则 的可能取值为 、 、 ，
由题意可知，随机变量 的分布列如下表所示：
，
由①知 ，故从概率角度看，选择方案二付款更划算.
20．【详解】（1）取 中点 ，连接
三棱柱 的所有棱长都为2
则 ，又 为 中点，所以 ，且
又 ， 平面
所以 平面 ，因为 平面 ，所以
因为 为 中点，所以 ，三角形 为等边三角形，所以
由 ，可得 ，所以
又 平面 ，所以 平面
因为 平面 ，平面 平面 ；（2）由（1）可知 ， ， ，如图，以 为原点， 所在直线为 轴，
建立空间直角坐标系
则 ，
由于 平面 ， 平面 ，即 可作为平面 的一个法向量
设平面 的法向量为 ，又
所以 ，令 ，则
所以 ，
由图可知二面角 为锐二面角，故二面角 的余弦值为 .
21．【详解】（1）由题意得， ，显然直线 斜率存在，设直线 的方程为： ，则
由 ，消去 化简整理，得 ，
∴ ，∴
∴抛物线 的方程 .（2）①直线 的方程为： ，
把 代入 的方程可得 .
所以点 的纵坐标为 .
②由（1）知， ，由①知， ，
所以 ，因为 ，所以 ，
所以直线 的方程为： ，
由 ，消去 化简整理，得
所以 ，因为 中点为 .
，
所以 ,
所以 三点共线，所以
因为 ，
所以
因为 ，所以 ，即 ，
即 的取值范围是 ．22．【详解】（1）∵ ，
∴ ，所以， ，
∴ ， 的根为
当 单调递增，
当 单调递减，
时， 取得极大值，即
且 ，
所以， .
令 ， ，
所以 在 递增， .
所以， .
（2）
令 ， ，
，所以 ，（令 ）
因为 ， ，所以 在 递减.
所以， .
又
令 ，
∴ ，
∴ ，
所以， .同理， .
又因为 在 递增，
所以，存在唯一的 ，使 ，
即在区间 内有且仅有一个实数 ，
使得 .
