文档内容
2024 年高考数学模拟考试卷（一）
高三数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求.
1．设 ，则 （ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】首先求出 ，再根据复数模的计算公式计算可得；
【详解】解：因为 ，所以 ，
所以 ；
故选：C
2．已知集合 ，集合 ，则集合 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】利用一元二次不等式以及指数不等式的解法化简集合A、B，再根据并集的定义求解即可．
【详解】 集合 ，集合 ，
集合 ．
故选： ．
3．某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如下表所示：
12
用电量（度） 140 160 180 200
0
户数 2 3 6 7 2
则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是
A．180，160 B．160，180 C．160，160 D．180，180
【答案】A
【详解】用电量为180度的家庭最多，故众数是180；
将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的两个数是160，160，
故中位数是160.
本题选择A选项.
4．已知函数 的图象向右平移 个单位得到函数 的图象，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由三角函数的平移变换求出 ，即可求出 .
【详解】函数 的图象向右平移 个单位得到函数 的图象，
则 ，
∴ ．
故选：B．
5．“ ”是“函数 在 处有极小值”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由题意 ，求出 ，再判断充要条件即可求解
【详解】因为 ，且函数 在 处有极小值，
所以 ，解得 ，
经检验，当 时，函数 在 处有极小值，符合题意.
所以 ，
故“ ”是“函数 在 处有极小值”的充分必要条件，
故选：C．
6．已知圆台上底面半径为1，下底面半径为3，球与圆台的两个底面和侧面均相切，则该圆台的侧面积与
球的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作图，找出图中的几何关系，求出母线长和球的半径即可.
【详解】
上图是该几何图形的正视图，由切线长定理可知： ，
设圆台的上底面半径为r，下底面半径R，母线长为l，球的半径为 ，
则有 ，过点D作BC的垂线，垂直是G，则有 ，
∴ ，在 中，
，∴圆台的侧面积与球的表面积之比为 ；
故选：D．
7．在平面直角坐标系 中，若圆 上存在点P，且点P关于直线 的对称点Q
在圆 上，则 的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】求得圆 关于直线 的对称圆的方程，转化为两圆有公共点，结合两圆的位置关系，即可
求解.
【详解】由圆 关于直线 的对称圆 ，
由圆 上存在点P关于直线 的对称点Q在圆 上，
等价于圆 与圆 有公共点，
其中两圆圆心分别为 ， ，
可得圆心距为 ,
所以 ，
由 ，解得 ，
由 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故选：D.8．已知定义在 上的函数 是奇函数，且满足 ， ，数列 满足 ，且
（ 的前 ），则
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】∵函数f（x）是奇函数
∴f（﹣x）=﹣f（x）
∵f（﹣x）=f（x），
∴f（ ﹣x）=﹣f（﹣x）
∴f（3+x）=﹣f（ +x）=﹣f（﹣x）=f（x）
∴f（x）是以3为周期的周期函数．
∵数列{an}满足a1=﹣1，且 =2× +1，
∴a1=﹣1，且Sn=2an+n， 两式作差得 故
∴a5=﹣31， — .
故答案为D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．如图所示，正方体 的棱长为1，线段 上有两个动点 ， ，且 ，则下列说
法中正确的是（ ）A．存在点 ， ，使得
B．异面直线 与 所成的角为60°
C．三棱锥 的体积为
D．点 到平面 的距离为
【答案】BCD
【分析】根据异面直线、线线角、锥体体积、点面距等知识确定正确答案.
【详解】连接 .
A选项， 平面 ， 平面 ， ，
所以 与 是异面直线，所以A选项错误.
B选项， ，所以异面直线 与 所成的角为 ，
由于三角形 是等边三角形，所以 ，B选项正确.
C选项，设 ，根据正方体的性质可知 ，
由于 平面 ，所以 平面 ，
所以 到平面 的距离为 .
，C选项正确.D选项，设点 到平面 的距离为 ，
，
，
解得 ，D选项正确.
故选：BCD
10．设函数 ( ， ， )的图象关于直线 对称，它的周期是 ，则
以下结论不正确的是( )
A． 的图象过点
B． 在 上是减函数
C． 的最大值是A
D． 的一个对称中心是
【答案】ABC
【分析】根据最小正周期为π可求ω，根据 是对称轴可求φ.验算f(0)是否为 可以判断选项A；验
算 是否为零可以判断选项D；根据单调性和最值与解析式里面A的关系可判断选项BC.【详解】∵周期T＝π，∴ ＝π，∴ω＝2，
又∵f(x)的图象关于直线x＝ 对称，
∴2× ＋φ＝kπ＋ ，∴φ＝kπ－ ，
又 ，∴φ＝ ，
∴f(x)＝Asin( )，
∵f(0)＝ ，∴f(x)图象过 ，故A错误；
∵A的正负未知，故无法确定f(x)的单调性和最大值，故BC错误.
∵ ＝0，∴ 是f(x)的一个对称中心，故D正确.
故选：ABC.
11．对于数列 ，若存在数列 满足 （ ），则称数列 是 的“倒差数列”，
下列关于“倒差数列”描述正确的是（ ）
A．若数列 是单增数列，但其“倒差数列”不一定是单增数列；
B．若 ，则其“倒差数列”有最大值；
C．若 ，则其“倒差数列”有最小值；
D．若 ，则其“倒差数列”有最大值.
【答案】ACD
【分析】根据新定义进行判断．
【详解】A．若数列 是单增数列，则 ，虽然有 ，但当 时， ，因此 不一定是单增数列，A正确；
B． ，则 ，易知 是递增数列，无最大值，B错；
C． ，则 ，易知 是递增数列，有最小值，最小值为 ，C正确；
D．若 ，则 ，
首先函数 在 上是增函数，
当 为偶数时， ，∴ ，
当 为奇数时， ，显然 是递减的，因此 也是递减的，
即 ，∴ 的奇数项中有最大值为 ，
∴ 是数列 中的最大值．D正确．
故选：ACD．
12．已知抛物线 ，过其准线上的点 作 的两条切线，切点分别为A、B，下列说
法正确的是（ ）
A． B．当 时，
C．当 时，直线AB的斜率为2 D．直线AB过定点
【答案】BD
【分析】根据 为准线上的点列方程 ，解方程即可得到 可判断A；利用导数的几何意义得
到过点 ， 的切线斜率，可得到 ， 为方程 的解，然后利用导数的几何意义和韦达定理得到 ，即可判断B；利用韦达定理和斜率公式求 即可判断C；联立
和 得到 ，同理可得 ，即可得到直线 的方程为
，可判断D.
【详解】因为 为准线上的点，所以 ，解得 ，故A错；
根据抛物线方程得到 ，则 ，设切点坐标为 ， ，
则 ，整理得 ，同理得 ，
所以 ， 为方程 的解， ，
所以 ，则 ，故B正确；
由B选项得 ，所以 ，故C错；
由B选项得 ，又 ，联立得 ，
同理得 ，所以直线AB的方程为 ，恒过点 ，故D正确．
故选：BD．第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．某学校门口现有2辆共享电动单车，8辆共享自行车.现从中一次性随机租用3辆，则恰好有2辆共享
自行车被租用的概率为 .
【答案】
【分析】根据古典概型列式结合组合数计算求解概率即可.
【详解】恰好有2辆共享自行车被租用的概率为 故答案为: .
14．已知非零向量 满足 ，则 的夹角大小是 ．
【答案】
【分析】将由 平方得 ，结合 化简推出 ，利用
向量的夹角公式即可求得答案.
【详解】由 平方得 ，
∵ ，∴ ,即 ，
代入 得 ，即 ，
∴ ，而 ，∴ 的夹角为 ，故答案为：
另解：
作向量 ，则 ，
由题意 可知， ，且 ，∴ ，∴ 的夹角为 ，故答案为：
15．已知关于 的不等式 在 上有唯一的整数解，则实数 的取值范围为
.
【答案】
【分析】依题意可得 ，则不等式可化为 ，令 ， ，利用导数说明
的单调性，即可得到 的大致图象，又由函数 的图象是恒过点 的直线，则过点
的直线 介于 ， 之间时满足条件，从而求出 的临界值，结合图象，即可求出 的
取值范围.
【详解】显然 不符合题意，所以只能 ，这样由于 ，所以 ，
令 ， ，其定义域为 ，
则 ，令 ，即 ，解得 ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，所以 在
处取极大值也是最大值，又由 ， ，当 时 ，
且当 时， ，
如图，画出函数 的大致图象，又由函数 的图象是恒过点 的直线，所以作出函数 和 的大致图象，
过点 的直线 介于 ， 之间时满足条件，直线 过点 时， ，
即 的值为2；
该直线过点 时， ，则 的值为 ，
由图知 的取值范围是 .故答案为：
四、双空题
16．已知双曲线 的左、右焦点分别为 和 ，O为坐标原点，过 作渐近线
的垂线，垂足为P，若 ，则双曲线的离心率为 ;又过点P作双曲线的切线交另
一条渐近线于点Q，且 的面积 ，则该双曲线的方程为 ．
【答案】 /
【分析】第一空：设 ，由题意可求得 ，结合 求得 ，从而解 ，
利用正弦定理求得 ，即可求得双曲线得离心率.
第二空，过P点的切线 与双曲线切于点 ，设 ，表示出 ，利用双曲线的切线方程联立渐近线方程求得 ，从而根据三角形面积求得b，即可求得双曲线方程.
【详解】设 ，则有 ，又 垂直于渐近线 即 ， ,
∴ ，而 ,
∴ ，
在 中, ，由正弦定理： ，
∴ ,∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
另解：依题意 ，可得 的方程为 ，联立 ，
可得 ，
∴ ，又 ，
在 中， ，
即 ，化简得 ，
∴ .
如图，过P点的切线 与双曲线切于点 ，设 ，
又P，Q均在双曲线的渐近线上，故设 ，
又 ，∴ ，
∴ ，
过M点的切线 方程为 ，即 ，
代入 ，化简得 ，
又 ，∴ ，
即 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，故双曲线的方程为 ,
故答案为: ,四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分。解答应写出文字说明、证明
过程或演算步骤.
17．已知数列 的各项均为正数，且满足 ．
(1)证明：数列 是等差数列；
(2)求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】根据 计算，结合等差数列的定义即可得证；
（2）利用错位相减法求解即可.
【详解】（1）由 ，
得 ，
两式相减得 ，
即 ，
所以 ，
又因 ，所以 ，
当 时， ，解得 （ 舍去），
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列；
（2）由（1）得 ，则 ，
则 ，
，
两式相减得
，
所以 .
18．在 中， ， ，从① ；② ；③ 这三个条件中任选一个作为题
目的已知条件.
(1)求 的值；
(2)求 的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选①，由余弦定理求出 ，再由正弦定理代入即可求出答案；选②，由
由两角和的正弦公式代入即可求出答案；选③，由正弦定理求出 ，再由
由两角和的正弦公式代入即可求出答案；
（2）选①或③，直接由面积公式代入即可得出答案；选②，，由正弦定理求出 ，再由由面积公式代入即
可得出答案.
(1)由题知，三角形为钝角三角形
选①，由余弦定理得： ，解得： ，
所以由正弦定理得： .
选②，因为 ，所以 ，所以
选③，由正弦定理得： ，
所以 ，所以
.
(2)
选①，因为 ， ，所以 的面积为：
选②，由正弦定理得： ，
.选③，因为 ， ， ，
所以 .
19．刷脸时代来了，全国各地不少大型超市迅速推出“刷脸支付”的服务，消费者购物再不用排长龙等买
单，只要刷个脸、输入个手机号， 分钟迅速结账.人们为“刷脸支付”给生活带来的便捷感到高兴，但
“刷脸支付”的安全性也引起了人们的担忧.某调查机构为了解人们对“刷脸支付”的接受程度，通过安全
感问卷进行调查，并从参与的被调查者中随机抽取 人（中老年、青少年各 人），得到这 人对
“刷脸支付”安全满意度的中位数为 ，根据调查结果绘制出如图所示的频率分布直方图.
（1）已知抽取的这 人中对“刷脸支付”安全满意度高于平均数的中老年人有 人，判断是否有
的把握认为对“刷脸支付”安全满意度是否高于平均数与年龄有关？（注：每组数据以区间的中点
值为代表）
（2）某大型超市引入“刷脸支付”后，在推广“刷脸支付”期间，推出两种付款方案：
方案一：不采用“刷脸支付”，无任何优惠，但可参加超市的抽奖返现金活动，活动方案为：从装有 个
形状、大小完全相同的小球（其中红球 个，黑球 个）的抽奖盒中，一次性摸出 个球，其中奖规则为：
若摸到 个红球，返消费金额的 ；若摸到 个红球则返消费金额的 ，除此之外不返现金.
方案二：采用“刷脸支付”，此时对购物的顾客随机优惠，根据统计结果得知，使用“刷脸支付”时有
的概率享受 折优惠，有 的概率享受 折优惠，有 的概率享受 折优惠，但不参加超市的抽奖返现金
活动.
现小张在该大型超市购买了总价为 元的商品.
①求小张选择方案一付款时实际付款额 的分布列与数学期望；（精确到小数点后一位数字）
②试比较小张选择方案一与方案二付款，哪个方案更划算？附：参考公式及临界值表： ， .
【答案】（1）有 的把握认为对“刷脸支付”安全满意度是否高于平均数与年龄有关；（2）①分布
列见解析， ；②选择方案二付款更划算.
【分析】（1）根据频率分布直方图计算出人们对“刷脸支付”安全满意度的平均数，根据题意可得出
列联表，计算出 的观测值，结合临界值表可得出结论；
（2）①由题意可知，随机变量 的可能取值有 、 、 ，计算出随机变量 在不同取值下的概
率，可得出随机变量 的分布列，进而可求得随机变量 的数学期望值；
②计方案二所需支付的金额为 元，根据题意得出随机变量 的分布列，计算出随机变量 的数学期望，
比较 和 的大小关系，由此可得出结论.
【详解】（1）由题意可得，对“刷脸支付”安全满意度在 内的频率为 ，
，
所以人们对“刷脸支付”安全满意度的平均数为 ，
由于这 人对“刷脸支付”安全满意度的中位数也为 ，
所以高于 的频率为 ， 人中共有 人，
故青少年中高于平均数的有 人，可得 列联表如下：
青少年 中老年 合计
不高于平均数
高于平均数
合计
所以 的观测值 ，所以有 的把握认为对“刷脸支付”安全满意度是否高于平均数与年龄有关；
（2）①若选择方案一，设付款金额为 元，则 可能的取值为 、 、 .
， ， ，
所以，随机变量 的分布列如下表所示：
所以 .
若选择方案二，记需支付的金额为 元，则 的可能取值为 、 、 ，
由题意可知，随机变量 的分布列如下表所示：
，
由①知 ，故从概率角度看，选择方案二付款更划算.
20．如图，三棱柱 的所有棱长都为2， ， .
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若 是棱 的中点，求二面角 的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)【分析】（1）取 中点 ，连接 ，利用线面垂直判定定理证明 平面 ，可得
，再由勾股定理逆定理可得 ，从而证明 平面 ，根据面面垂直判定定理即可
证明结论；
（2）以 为原点， 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算分别
求平面 与平面 的法向量，即可求二面角的余弦值.
【详解】（1）取 中点 ，连接
三棱柱 的所有棱长都为2
则 ，又 为 中点，所以 ，且
又 ， 平面
所以 平面 ，因为 平面 ，所以
因为 为 中点，所以 ，三角形 为等边三角形，所以
由 ，可得 ，所以
又 平面 ，所以 平面
因为 平面 ，平面 平面 ；
（2）由（1）可知 ， ， ，如图，以 为原点， 所在直线为 轴，
建立空间直角坐标系则 ，
由于 平面 ， 平面 ，即 可作为平面 的一个法向量
设平面 的法向量为 ，又
所以 ，令 ，则
所以 ，
由图可知二面角 为锐二面角，故二面角 的余弦值为 .
21．已知 是抛物线 的焦点，过 的直线交抛物线 于不同两点 ，且
.
(1)求抛物线 的方程；
(2)过点 作 轴的垂线交直线 （ 是原点）于 ，过 作直线 的垂线与抛物线 的另一交点为 ，
中点为 .
①求点 的纵坐标；
②求 的取值范围.【答案】(1)
(2)① ；② .
【分析】（1）设 方程 ，与抛物线方程联立消元，根据根与系数的关系列方程得出 的值；
（2）根据 的方程计算 点纵坐标，求出 方程得出 点坐标，计算 化简 ，根据 的
范围得出 的范围．
【详解】（1）由题意得， ，显然直线 斜率存在，设直线 的方程为： ，则
由 ，消去 化简整理，得 ，
∴ ，∴
∴抛物线 的方程 .
（2）①直线 的方程为： ，
把 代入 的方程可得 .
所以点 的纵坐标为 .
②由（1）知， ，由①知， ，
所以 ，因为 ，所以 ，所以直线 的方程为： ，
由 ，消去 化简整理，得
所以 ，因为 中点为 .
，
所以 ,
所以 三点共线，所以
因为 ，
所以
因为 ，所以 ，即 ，即 的取值范围是 ．
22．已知函数 .
（1）若函数 有极大值点 ，求出极大值 的取值范围；
（2）若 ，求证：在区间 内有且仅有一个实数 ，使得 .
【答案】（1） （2）证明见解析.
【分析】（1）求出导数，根据极值点可知 ，化简可得 ，构造函数 ，根据导数求出函数最值即可;
（2）构造函数 ， ，分析出 ，利用零点的存在性
定理可证.
【详解】（1）∵ ，
∴ ，所以， ，
∴ ， 的根为
当 单调递增，
当 单调递减，
时， 取得极大值，即
且 ，
所以， .
令 ， ，
所以 在 递增， .
所以， .
（2）令 ， ，
，
所以 ，（令 ）
因为 ， ，所以 在 递减.所以， .
又
令 ，
∴ ，
∴ ，所以， .同理， .
又因为 在 递增，所以，存在唯一的 ，使 ，即在区间 内有且仅有一个实数 ，
使得 .
