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2024 年高考数学模拟考试卷（二）
高三数学 参考答案
1．D 2．B 3．B 4．B 5．C 6．A
7．B 8．D 9．ABD 10．AC 11．BC 12．ABD
13．120
14． （ 或 或 或
中的一个即可）
15．
16．
17．【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，正项等比数列 的公比为 ，
由已知得 ，则 ，解得 ，
所以 ， ；
（2）选①，则有
即 .
选②，则有 ，设数列 的前 项和为 ，
， ，
两式相减， ，
解得 .选③，则由 ，
即 .
18．【详解】（1）当 时， ，即 ，由正弦定理得， ，
因 ，故 ，化简得 ，从而 ，
由于 ，所以 ．
（2）当 时， ，
由余弦定理得， ，
所以 （*），
即 ，当且仅当 时取等号，
即 ，又由（*）可得： ．
因为 ，所以 ，
由于 , ，故 ,此时正切函数为增函数，
且 时， ，所以 ，
所以当 时， 的最大值为 ．
19．【详解】（1）证明：当 时，此三棱锥 为正四面体，如图，取 的中点 ，连接 ， .
在正四面体 中， ， 且 ，
且 平面
所以 平面 ，因为 平面
所以
（2）解：当平面 平面 时，
取 的中点 ，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， .
设平面 的法向量 ， ， ，
所以 ，即： ，
令 ，得：
∴设直线 与平面 所成角为 ，且 ，
则 ，∴ ，
∴直线 与平面 所成角的余弦值为 .
20．【详解】（1）设事件C为“一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐”，
因为30天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的天数为 ，
所以 ．
（2）记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，
则X的所有可能取值为1和2，
所以 ，
，
所以X的分布列为
X 1 2
P 0.1 0.9
所以X的数学期望 ．
（3）由题知 ，所以
所以 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，即
21．【详解】（1）由题意不妨设一焦点为 ，易知双曲线的一条渐近线为 ，即 ，
则点 到 的距离 ，
点 在双曲线 上，
，结合 ，得 ，
双曲线 的标准方程为 ．
（2）显然直线 的斜率均存在且不为0，设直线 的斜率为 ，
则直线 的斜率为 ，直线 的方程为 ，
联立直线 与双曲线方程，得 ，
化简得 （ ，且 ）．
设 ，则 ，
得 ，
将 代入直线 的方程，得 ，则 ．
同理可得 ．
的中点 的坐标为 ，
记 为坐标原点，连接 ，
，点 在直线 上，
又 ，
故经过点 且与直线 平行的直线与双曲线有两个不同交点，
则除点 外的另一个交点即为定点 ，且满足 的面积为定值，
易知直线 的方程为 ，代入双曲线 的方程，化简得 ，即
， ，
把 代入 ，得 ，即定点 ，
此时 ，
，
点 到直线 的距离 等于点 到直线 的距离 ，
则 ，
，
故存在定点 ，使得 的面积为定值336．
22．【详解】（1） 的定义域为 ，令 ，得 ，
令 ，则 ，令 ，可得 ，
当 时， ；当 时， ．
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增．
所以 ，所以 ．
（2） ，两式相减，得 ．
令 ，则 ，故 ，
记 ，则 ，
构造函数 ， ，
所以 在 上 递减，
由于 ，
所以当 时， ，所以 ，
所以函数 在区间 上单调递减，故 ，
即 ，而 ， 在区间 上单调递减，
故 ，即 ．
