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9.4 单调性的分类讨论（精练）（基础版）
题组一 一根型
1．（2022·广西）已知函数 ，讨论 的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】 ，
由函数 的定义域为 ，有 ，
①当 时， ，此时函数 单调递增；
②当 时，令 可得 ，
可得函数 的增区间为 ，减区间为 ；
2．（2022·山东临沂）已知函数 ，讨论 的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】因为 ，则 .
若 ，对任意的 ， ，此时函数 的减区间为 ；
若 ，由 可得 ，由 可得 .
此时函数 的增区间为 ，减区间为 .
综上所述，当 时，函数 的减区间为 ；
当 时，函数 的增区间为 ，减区间为 .
3（2022·云南·罗平县第一中学）已知函数 ，讨论函数 的单调性与极值;
【答案】答案见解析【解析】 ， ，
当 时， 恒成立，
在R上单调递增，无极大值也无极小值；
当 ， 时， ， 时， ，
在 上单调递减，在 单调递增，
函数 有极小值为 ，无极大值.
4．（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（文））已知函数 为自然对数的底数，
讨论 的单调性;
【答案】答案详见解析
【解析】 ，
所以当 时， ， 在 上递减.
当 时， 在区间 递增；
在区间 递减.
5．（2022·湖南·永州市第一中学高三开学考试）已知函数 （ 是自然对数的底数），讨论
函数 的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】由题意可知，函数 的定义域为 ，
因为 ，所以 ，
当 时， ，函数 在 单调递减；当 时，令 ，即 ，解得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
综上所述，当 时，函数 在 单调递减；
当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减．
6．（2022·云南师大附中高三阶段练习）设 ， 其中 。讨论 的单调性；
【答案】答案见解析；
【解析】 ，
①当 时， 在 上恒成立， 在 上单调递减；
②当 时， 在 上单调递增，且当 时， ，
所以当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增．
题组二 两根型
1．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知函数 ， 为函数 的导函
数．讨论 的单调性；
【答案】详见解析；
【解析】由题可得 ，
①当 时， 时， ， 单调递减；
时， ， 单调递增；②当 时， 时， ， 单调递增；
时， ， 单调递减；
时， ， 单调递增；
③当 时， 时， ， 单调递增；
④当 时， 时， ， 单调递增；
时， ， 单调递减；
时， ， 单调递增.
2．（2022·广东·潮州市瓷都中学三模）已知函数 ，讨论函数 的
单调性；
【答案】见解析
【解析】
若 时， ， 在 上单调递增；
若 时， ，当 或 时， ， 为增函数，
当 时， ， 为减函数，
若 时， ，当 或 时， ， 为增函数，
当 时， ， 为减函数.
综上， 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减.
3．（2022·安徽）已知函数 ，讨论f（x）的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】由题意得：f（x）定义域为（0，+∞），当 时， ，∴ 在（0，+∞）上恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当 时，令 ，解得：
∴当 时， ；当 时，
∴f（x）在（0， ）上单调递增，在 上单调递减；
综上所述：当 时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当 时，f（x）在 上单调递增，在 上单调递减.
4．（2022·北京市）已知函数 （ ），求 的单调区间；
【答案】见解析
【解析】函数 的定义域为 ，
，
令 ，则 或 ，
当 ，即 时， ，
所以函数 在 上递增，
当 ，即 时，
或 时， ， ， ，
所以函数 在 上递减，在 上递增，
当 ，即 时，
或 时， ， ， ，所以函数 在 上递减，在 上递增，
综上所述，当 时，函数 的增区间为 ，
当 时，函数 的减区间为 ，增区间为 ，
当 时，函数 的减区间为 ，增区间为 ；
5．（2022·广东广州）已知函数 .求函数 的单调区间；
【答案】答案见解析
【解析】函数 的定义域为 ，
，当 时，对任意的 ， ，
此时函数 的单调递增区间为 ；当 时，由 可得 ，由 可得 ，
此时，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .综上所述，当 时，函数 的
单调递增区间为 ；当 时，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
6．（2022·安徽蚌埠·一模）已知函数 ，讨论 的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】 的定义域是 ，
，
当 时， 在定义域上恒成立， 在 单调递增.当 时，令 得 ，
当 和 时， ，当 时， ，
所以 在区间 和 上单调递增，在区间 上单调递减
7．（2022·河南安阳）已知函数 ， ，求 的单调区间；
【答案】答案见解析
【解析】 ，
①若 ，当 时， ；当 时， ，所以 在 上单调递减，在 上
单调递增.
②若 ，由 ，得 或 ；由 ，得 .
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减.
③若 ， 恒成立，所以 在 上单调递增.
④若 ，由 ，得 或 ；由 ，得 .
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
8．（2022·黑龙江哈尔滨·高三开学考试）已知函数 ， ，讨论函数
单调性；
【答案】答案见解析
【解析】因为 定义域为 ，
所以 ，
当 时，令 ，解得 或 ，令 ，解得 ，所以 在 上单调递减，在 和 上单调递增，
当 时 恒成立，所以 在 上单调递增，
当 时，令 ，解得 或 ，令 ，解得 ，
所以 在 上单调递减，在 和 上单调递增，
综上可得，当 时， 在 上单调递减，在 和 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 和 上单调递增；
9．（2022·福建省福安市第一中学高三阶段练习）设函数 ， ，讨论函数 的
单调性；
【答案】答案见解析
【解析】由 ，得 ，
令 ，解得 或 ，
当 时， ， 和 时， ， 单调递增， 时， ，
单调递减；
当 时， 恒成立， 在 上单调递增；
当 时， ， 和 时， ， 单调递增，当 时， ，
单调递减；
综上所述：当 时， 的单调递增区间为 和 ， 的单调递减区间为 ；
当 时， 在 上单调递增，无减区间；
当 时， 的单调递增区间为 和 ， 的单调递减区间为 ；
题组三 判别式型
1．（2022·陕西）已知函数 ，试讨论 的单调区间.
【答案】当 时， 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间
为 ；当 时， 的单调递增区间为R，无单调递减区间.
【解析】因为 ，所以 ，
令 .
①当a＝0时， ， ，所以 的单调递增区间为R，无单调递减区间.
②当 时， .
（i）当 时， ，令 ，得 ， ，且 ，
所以当 或 时， ， ，当 时， ， ，
所以 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间 ；
（ii）当 时， ，所以 ， ，所以 的单调递增区间为R，无单调递减区间.综上，当 时， 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为
；
当 时， 的单调递增区间为R，无单调递减区间.
2．（2022哈尔滨）已知函数 ，讨论 的单调性；
【答案】见解析
【解析】 ,
.
令 . .
若 ，即 ，则 ，即 ，
∴ 在 上单调递减；
若 ，即 .
由 ，
解得 ， .
∴当 时， ，即 ，
在 上单调递减；当 时， ，即 ，
在 上单调递增；
3（2022湖北）已知函数 ， ，讨论函数 的单调性；
【答案】见解析
【解析】 ， ，
令 ， ，
若 ，即 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，
若 ，即 ，则 ，仅当 时，等号成立，
当 时， ， 单调递增.
若 ，即 ，则 有两个零点 ， ，
由 ， 得 ，
当 时， ， ， 单调递增；
当 时， ， ， 单调递减；
当 时， ， ， 单调递增.
综上所述，
当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 和 上单调递增，
在 上单调递减.
