9.4单调性的分类讨论（精练）（基础版）（解析版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_一轮复习_2023年高考数学一轮复习（基础版）（新高考地区专用）

9.4 单调性的分类讨论（精练）（基础版） 题组一 一根型 1．（2022·广西）已知函数 ，讨论 的单调性； 【答案】答案见解析 【解析】 ， 由函数 的定义域为 ，有 ， ①当 时， ，此时函数 单调递增； ②当 时，令 可得 ， 可得函数 的增区间为 ，减区间为 ； 2．（2022·山东临沂）已知函数 ，讨论 的单调性； 【答案】答案见解析 【解析】因为 ，则 . 若 ，对任意的 ， ，此时函数 的减区间为 ； 若 ，由 可得 ，由 可得 . 此时函数 的增区间为 ，减区间为 . 综上所述，当 时，函数 的减区间为 ； 当 时，函数 的增区间为 ，减区间为 . 3（2022·云南·罗平县第一中学）已知函数 ，讨论函数 的单调性与极值; 【答案】答案见解析【解析】 ， ， 当 时， 恒成立， 在R上单调递增，无极大值也无极小值； 当 ， 时， ， 时， ， 在 上单调递减，在 单调递增， 函数 有极小值为 ，无极大值. 4．（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（文））已知函数 为自然对数的底数， 讨论 的单调性; 【答案】答案详见解析 【解析】 ， 所以当 时， ， 在 上递减. 当 时， 在区间 递增； 在区间 递减. 5．（2022·湖南·永州市第一中学高三开学考试）已知函数 （ 是自然对数的底数），讨论 函数 的单调性； 【答案】答案见解析 【解析】由题意可知，函数 的定义域为 ， 因为 ，所以 ， 当 时， ，函数 在 单调递减；当 时，令 ，即 ，解得 ， 当 时， ，当 时， ， 所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减， 综上所述，当 时，函数 在 单调递减； 当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减． 6．（2022·云南师大附中高三阶段练习）设 ， 其中 。讨论 的单调性； 【答案】答案见解析； 【解析】 ， ①当 时， 在 上恒成立， 在 上单调递减； ②当 时， 在 上单调递增，且当 时， ， 所以当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增． 题组二 两根型 1．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知函数 ， 为函数 的导函 数．讨论 的单调性； 【答案】详见解析； 【解析】由题可得 ， ①当 时， 时， ， 单调递减； 时， ， 单调递增；②当 时， 时， ， 单调递增； 时， ， 单调递减； 时， ， 单调递增； ③当 时， 时， ， 单调递增； ④当 时， 时， ， 单调递增； 时， ， 单调递减； 时， ， 单调递增. 2．（2022·广东·潮州市瓷都中学三模）已知函数 ，讨论函数 的 单调性； 【答案】见解析 【解析】 若 时， ， 在 上单调递增； 若 时， ，当 或 时， ， 为增函数， 当 时， ， 为减函数， 若 时， ，当 或 时， ， 为增函数， 当 时， ， 为减函数. 综上， 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减； 当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减. 3．（2022·安徽）已知函数 ，讨论f（x）的单调性； 【答案】答案见解析 【解析】由题意得：f（x）定义域为（0，+∞），当 时， ，∴ 在（0，+∞）上恒成立， ∴f（x）在（0，+∞）上单调递增； 当 时，令 ，解得： ∴当 时， ；当 时， ∴f（x）在（0， ）上单调递增，在 上单调递减； 综上所述：当 时，f（x）在（0，+∞）上单调递增； 当 时，f（x）在 上单调递增，在 上单调递减. 4．（2022·北京市）已知函数 （ ），求 的单调区间； 【答案】见解析 【解析】函数 的定义域为 ， ， 令 ，则 或 ， 当 ，即 时， ， 所以函数 在 上递增， 当 ，即 时， 或 时， ， ， ， 所以函数 在 上递减，在 上递增， 当 ，即 时， 或 时， ， ， ，所以函数 在 上递减，在 上递增， 综上所述，当 时，函数 的增区间为 ， 当 时，函数 的减区间为 ，增区间为 ， 当 时，函数 的减区间为 ，增区间为 ； 5．（2022·广东广州）已知函数 .求函数 的单调区间； 【答案】答案见解析 【解析】函数 的定义域为 ， ，当 时，对任意的 ， ， 此时函数 的单调递增区间为 ；当 时，由 可得 ，由 可得 ， 此时，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .综上所述，当 时，函数 的 单调递增区间为 ；当 时，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 . 6．（2022·安徽蚌埠·一模）已知函数 ，讨论 的单调性； 【答案】答案见解析 【解析】 的定义域是 ， ， 当 时， 在定义域上恒成立， 在 单调递增.当 时，令 得 ， 当 和 时， ，当 时， ， 所以 在区间 和 上单调递增，在区间 上单调递减 7．（2022·河南安阳）已知函数 ， ，求 的单调区间； 【答案】答案见解析 【解析】 ， ①若 ，当 时， ；当 时， ，所以 在 上单调递减，在 上 单调递增. ②若 ，由 ，得 或 ；由 ，得 . 所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减. ③若 ， 恒成立，所以 在 上单调递增. ④若 ，由 ，得 或 ；由 ，得 . 所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减； 8．（2022·黑龙江哈尔滨·高三开学考试）已知函数 ， ，讨论函数 单调性； 【答案】答案见解析 【解析】因为 定义域为 ， 所以 ， 当 时，令 ，解得 或 ，令 ，解得 ，所以 在 上单调递减，在 和 上单调递增， 当 时 恒成立，所以 在 上单调递增， 当 时，令 ，解得 或 ，令 ，解得 ， 所以 在 上单调递减，在 和 上单调递增， 综上可得，当 时， 在 上单调递减，在 和 上单调递增； 当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 上单调递减，在 和 上单调递增； 9．（2022·福建省福安市第一中学高三阶段练习）设函数 ， ，讨论函数 的 单调性； 【答案】答案见解析 【解析】由 ，得 ， 令 ，解得 或 ， 当 时， ， 和 时， ， 单调递增， 时， ， 单调递减； 当 时， 恒成立， 在 上单调递增； 当 时， ， 和 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减； 综上所述：当 时， 的单调递增区间为 和 ， 的单调递减区间为 ； 当 时， 在 上单调递增，无减区间； 当 时， 的单调递增区间为 和 ， 的单调递减区间为 ； 题组三 判别式型 1．（2022·陕西）已知函数 ，试讨论 的单调区间. 【答案】当 时， 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间 为 ；当 时， 的单调递增区间为R，无单调递减区间. 【解析】因为 ，所以 ， 令 . ①当a＝0时， ， ，所以 的单调递增区间为R，无单调递减区间. ②当 时， . （i）当 时， ，令 ，得 ， ，且 ， 所以当 或 时， ， ，当 时， ， ， 所以 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间 ； （ii）当 时， ，所以 ， ，所以 的单调递增区间为R，无单调递减区间.综上，当 时， 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ； 当 时， 的单调递增区间为R，无单调递减区间. 2．（2022哈尔滨）已知函数 ，讨论 的单调性； 【答案】见解析 【解析】 , . 令 . . 若 ，即 ，则 ，即 ， ∴ 在 上单调递减； 若 ，即 . 由 ， 解得 ， . ∴当 时， ，即 ， 在 上单调递减；当 时， ，即 ， 在 上单调递增； 3（2022湖北）已知函数 ， ，讨论函数 的单调性； 【答案】见解析 【解析】 ， ， 令 ， ， 若 ，即 ，则 ， 当 时， ， 单调递增， 若 ，即 ，则 ，仅当 时，等号成立， 当 时， ， 单调递增. 若 ，即 ，则 有两个零点 ， ， 由 ， 得 ， 当 时， ， ， 单调递增； 当 时， ， ， 单调递减； 当 时， ， ， 单调递增. 综上所述， 当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 和 上单调递增， 在 上单调递减.