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第 35 讲 多体机械能守恒问题
1．（2022·湖北）如图所示，质量分别为m和2m的小物块P和Q，用轻质弹簧连接后放在水平地
面上，P通过一根水平轻绳连接到墙上。P的下表面光滑，Q与地面间的动摩擦因数为 ，最大
静摩擦力等于滑动摩擦力。用水平拉力将Q向右缓慢拉开一段距离，撤去拉力后，Q恰μ好能保
持静止。弹簧形变始终在弹性限度内，弹簧的劲度系数为k，重力加速度大小为g。若剪断轻绳，
P在随后的运动过程中相对于其初始位置的最大位移大小为（ ）
μmg 2μmg 4μmg 6μmg
A． B． C． D．
k k k k
（多选）2．（2022·海南）如图，带正电3×10﹣5C的物块A放在水平桌面上，通过光滑的滑轮与B
相连，A处在匀强电场中，E＝4×105N/C，从O开始，A与桌面的动摩擦因数 随x的变化如图
所示，取O点电势能为零，A、B质量均为1kg，B离滑轮的距离足够长，则（μ ）
A．它们运动的最大速度为1m/s
B．它们向左运动的最大位移为1m
C．当速度为0.6m/s时，A的电势能可能是﹣2.4J
D．当速度为0.6m/s时，绳子的拉力可能是9.2N
一.知识回顾
1.多物体组成的系统机械能守恒是否守恒的判断方法
看是否有其他形式的能与机械能相互转化。
2．三种守恒表达式的比较
角度 公式 意义 注意事项系统的初状态机械能的
守恒 E＋E 初、末状态必须用同一
k1 p1
总和与末状态机械能的
观点 ＝E＋E 零势能面计算势能
k2 p2
总和相等
应用时关键在于分清势
系统减少(或增加)的势 能的增加量或减少量，
转化
ΔE＝－ΔE 能等于系统增加(或减 可不选零势能面而直接
k p
观点
少)的动能 计算初、末状态的势能
差
若系统由A、B两物体组
常用于解决两个或多个
转移 成，则A物体机械能的
ΔE ＝ΔE 物体组成的系统的机械
A增 B减
观点 增加量与B物体机械能
能守恒问题
的减少量相等
3．几种常见类型
类型一：质量均匀的链条或柔软的绳索
类型二：轻绳连接的物体系统
(1)常见情景
(2)三点提醒
①分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。(易错点)
②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。
③对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能
守恒。
类型三：轻杆连接的物体系统
(1)常见情景
(2)三大特点
①用杆连接的两个物体，其线速度大小一般有以下两种情况：
a．若两物体绕某一固定点做圆周运动，根据角速度ω相等确定线速度v的大小。
b．“关联速度法”：两物体沿杆方向速度大小相等。②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。
③对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能
守恒。
类型四：几个接触的物体组成的连接体
二.例题精析
题型一：质量均匀的链条模型
例1．一根质量为m、长为L的均匀链条一半放在光滑的水平桌面上，另一半悬在桌边，桌面足够
高，如图a所示。若将一个质量为m小球分别拴在链条左端和右端，如图b、图c所示。约束链
条的挡板光滑，三种情况均由静止释放，当整根链条刚离开桌面时，关于它们的速度关系，下
列 判 断 中 正 确 的 是 （ ）
A．v ＝v ＝v B．v ＜v ＜v C．v ＞v ＞v D．v ＞v ＞v
a b c a b c c a b b a c
题型二：轻绳连接的物体系统
例2．如图，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上半径为R有
光滑圆柱，A的质量为B的两倍．当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高．将A由静止释放，B
上升的最大高度是（ ）
5R 4R 2R
A．2R B． C． D．
3 3 3
题型三：轻杆连接的物体系统
（多选）例3．如图，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上。a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动。不计摩擦，a、b可视为质点，重
力加速度大小为g。则（ ）
A．a落地前，轻杆对b先做正功再做负功
B．a落地时速度小于√2gh
C．a下落过程中，其加速度大小始终不大于g
D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小等于mg
三.举一反三，巩固练习
1. 如图所示，一条轻绳跨过定滑轮，绳的两端各系一个小球 a和b，用手托住球b，当
绳刚好被拉紧时，球b离地面的高度为h，球a静止于地面。已知球a的质量为m，球b的质量
为3m，重力加速度为g，定滑轮的质量及轮与轴间的摩擦均不计。若无初速度释放球 b，则下
列判断正确的是（ ）
5
A．在球b下落过程中，绳子的拉力大小为 mg
2
B．在球b下落过程中，球b的机械能减小3mgh
3
C．在球b下落过程中，球a的机械能增加 mgh
2
D．在球b下落过程中，绳对球a拉力冲量大小为3mg√h
2. 某小组设计一个离心调速装置如图所示，质量为m的滑块Q可沿竖直轴无摩擦地滑
动，并用原长为l的轻弹簧与O点相连，两质量均为m的小球P 和P 对称地安装在轴的两边，
1 2
P 和P 与O、P 和P 与Q间用四根长度均为l的轻杆通过光滑铰链连接起来。当装置静止不动
1 2 1 2系统达到平衡时，轻杆张开的角度为 ＝30°。已知重力加速度为g，则下列说法正确的是（
） θ
A．当装置静止不动系统达到平衡时，轻弹簧弹力大小为3mg
B．当装置静止不动系统达到平衡时，轻弹簧的伸长量为l
C．若P 和P 绕轴旋转的角速度从0缓慢增大，则弹簧的弹性势能先减小后增大
1 2
D．若P 和P 绕轴旋转的角速度从0缓慢增大，则弹簧的弹性势能逐渐减小
1 2
3. 如图所示，套在光滑竖直杆上的物体A，通过轻质细绳与光滑水平面上的物体B相连
接，A、B质量相同。现将A从与B等高处由静止释放，不计一切摩擦，重力加速度取 g，当
细绳与竖直杆间的夹角为 ＝60°时，A下落的高度为h，此时物体B的速度为（ ）
θ
√2 √4 √gh
A． gh B． gh C． D．√gh
5 5 2
4. 如图所示，倾角为30°的斜面体固定在水平地面上，一根不可伸长的轻绳两端分别系
着小球A和小物块B，跨过固定于斜面体顶端的定滑轮O（不计滑轮的摩擦），A的质量为
m，B的质量为4m。开始时，用手托住A，使OA段绳恰好处于水平伸直状态（绳中无拉力），
OB绳平行于斜面，此时B静止不动，将A由静止释放，在其下摆过程中B始终保持静止。则
在绳子到达竖直位置之前，下列说法正确的是（ ）
A．物块B受到的摩擦力方向一直沿着斜面向上
B．物块B受到的摩擦力大小可能始终不变
C．小球所受重力的功率一直增大D．地面对斜面体的摩擦力方向一直水平向右
5. 如图所示，斜面倾角为 ＝37°，物体1放在斜面紧靠挡板处，物体1和斜面间动摩擦
因数为 ＝0.5，一根很长的不可伸θ长的柔软轻绳跨过光滑轻质的小定滑轮，绳一端固定在物体
1上，另μ一端固定在物体2上，斜面上方的轻绳与斜面平行．物体2下端固定一长度为h的轻
绳，轻绳下端拴在小物体3上，物体1、2、3的质量之比为4：1：5，开始时用手托住小物体
3，小物体3到地面的高度也为h，此时各段轻绳刚好拉紧．已知物体触地后立即停止运动、不
再反弹，重力加速度为g＝10m/s2，小物体3从静止突然放手后物体1沿面上滑的最大距离为
（ ）
7 4
A．3h B． h C．2h D． h
3 3
6. （多选）轮轴机械是中国古代制陶的主要工具。如图所示，轮轴可绕共同轴线O自由
转动，其轮半径R＝20cm，轴半径r＝10cm，用轻质绳缠绕在轮和轴上，分别在绳的下端吊起
质量为2kg、1kg的物块P和Q，将两物块由静止释放，释放后两物块均做初速度为0的匀加速
直线运动，不计轮轴的质量及轴线O处的摩擦，重力加速度g取10m/s2。在P从静止下降1.2m
的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．P、Q速度大小始终相等
B．Q上升的距离为0.6m
C．P下降1.2m时Q的速度大小为2√3m/s
D．P下降1.2m时的速度大小为4m/s
7. （多选）如图所示，倾角为 ＝30o的固定的足够长斜面下端固定一挡板，一劲度系
α数为k的轻弹簧下端固定在挡板上，另一端与一质量为m的小物块相连，小物块通过细绳跨过
定滑轮与质量为M的铁块相连，M离地足够高。开始时用手托住铁块使轻绳伸直且拉力刚好
为零，现松手使之开始运动，忽略一切摩擦，下列说法正确的是（ ）
A．无论M质量多大，系统在运动过程中轻绳始终不会松弛
1
B．若M＜ m，则m刚开始将向下运动
2
C．若M＝m，则M的最大速度为v √mg2
=
2k
2mg
D．若M＝m，则m能上升的最大高度为
k
8. （多选）如图所示，在倾角 ＝37°斜坡的底端固定一挡板，一轻弹簧下端固定在挡板
上，弹簧自然伸长时其上端位于斜坡上θ 的O点处。质量分别为m ＝5.0kg、m ＝1.0kg的物块a
a b
和b用轻绳连接，轻绳跨过斜坡顶端的定滑轮，开始时让a静止在斜坡上的P点处，b悬空。
现将a由静止释放，a沿斜面下滑，当a将弹簧压缩到Q点时，a的速度减为零。已知PO＝
1.0m，OQ＝0.5m，a与斜坡之间的动摩擦因数 ＝0.2，sin37°＝0.6，整个过程细绳始终没有松
弛。则下列说法正确的是（ ） μ
A．a在与弹簧接触前的加速度大小为2m/s2
B．a在与弹簧接触前，轻绳上的拉力为10N
C．a位于Q点时，弹簧所储存的弹性势能为18J
2√3
D．a第一次被弹回到O点时的速度为 m/s
3
9. 如图所示，质量m ＝3.5kg的物体B通过一轻弹簧固连在地面上，弹簧的劲度系数 k
B＝100N/m．一轻绳一端与物体B连接，另一端绕过两个光滑的轻质小定滑轮O 、O 后与套在
2 1
光滑直杆顶端的、质量m ＝1.6kg的小球A连接．已知直杆固定，杆长L为0.8m，且与水平
A
面的夹角 ＝37°，初始时使小球A静止不动，与A相连的绳子保持水平，此时绳子中的张力F
为45N．已θ知AO ＝0.5m，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，轻绳不可伸长，
1
现将小球A由静止释放。
（1）求释放小球A之前弹簧的形变量；
（2）若直线CO 与杆垂直，求小球A运动到C点的过程中绳子拉力对小球A所做的功；
1
（3）求小球A运动到直杆底端D点时的速度大小。
10. 如图所示，轻质细绳的一端系一质量为m＝0.05kg的小球A，另一端套在光滑水平轴
O上，O到小球的距离l＝0.1m，小球与水平面接触但恰好无作用力，在球的两侧距球等远处，
L L
分别固定一个光滑斜面和挡板，水平面的长度 L＝2m。水平面左边 光滑，右边 粗糙，B与
2 2
粗糙水平面间的动摩擦因数 ＝0.25。现有一滑块B，质量也为m，从斜面上滑下，滑块与小
球A碰撞并进行速度交换，与μ挡板碰撞时不损失机械能，不计空气阻力，滑块和小球都可视为
质点。现在要使小球恰好完成一次完整的圆周运动。g取10m/s2。求：
（1）小球在最低点需要获得多大速度；
（2）滑块B要从斜面多高处滑下；
（3）分析简述B与A碰撞后的运动过程。
