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第51讲 带电粒子在有界匀强磁场中的运动
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·安徽·模拟预测）如图，一个边长为l的正方形 区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，
磁感应强度大小为B。现有一质量为m、带电量为 的粒子以某一速度从M点垂直于磁场射入，粒
子恰好从 的中点射出磁场。已知粒子射入磁场时的速度方向与 的夹角为 ，不计粒子重力，粒子
射入磁场的速度大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】根据题意作出粒子运动轨迹如图
由题可知 ，根据几何关系有 则 粒子运动的轨迹半径为
根据洛伦兹力提供向心力有 联立解得 故选B。
2．（2023·山西阳泉·统考三模）如图所示，半径为 的圆形区域有方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应
强度为 ，今有一质量为 （不计重力），带电量为 的离子以某一速度沿平行于直径 的方向
射入磁场区域，射入点 与 间距离为 ，（ ）A．若该离子在磁场中的运动半径为 ，则该离子一定能够通过磁场圆的圆心
B．若该离子在磁场中的运动半径为 ，则该离子在磁场中入射点与出射点相距小于
C．若该离子能够通过磁场圆的圆心，则该离子在磁场中的运动时间为
D．若该离子在磁场中入射点与出射点相距最远，则该离子在磁场中的运动时间为
【答案】C
【详解】A．若该离子在磁场中的运动半径为 ，此时圆心在初速度垂直线段与ab交线处，设为 ，粒
子轨迹如下图
由题意可知 而 故 故该粒子不经过磁场圆的圆心，故A错误；
BD．若该离子在磁场中的运动半径为 ，粒子轨迹如下图
根据几何知识可知粒子在磁场中的圆弧等于完整圆弧的 ，即 因此 为等边三角形，
故
此时该离子在磁场中入射点与出射点相距最远，根据洛伦兹力提供向心力可得该粒子做圆周运动周期为 则该离子在磁场中的运动时间为 故BD错误；
C．若该离子能够通过磁场圆的圆心，粒子轨迹如下图
由几何知识可知 ； ； 根据
可得 解得 故 为等边三角形，故 故粒子在整个磁场中的
圆心角为 ，粒子在磁场中的圆弧等于完整圆弧的 ，故该离子在磁场中的运动时间为
故C正确。故选C。
3．（2023·江苏盐城·统考三模）如图所示，纸面内有宽为L、水平向右飞行的带电粒子流，粒子的质量为
、电荷量为 、速率为 ，不考虑粒子的重力及相互作用。要使粒子都会聚到一点，可以在粒子流的
右侧虚线框内设计一匀强磁场区域，设 。选项 A、 B、 C 中的曲线均为半径是L的四分之一圆
弧，其中A、B的磁感应强度 ，C的磁感应强度 ：选项D中曲线是直径为L的圆，磁感应强
度 。则磁场区域的形状及对应的磁感应强度可能是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【详解】A．已知磁感应强度 ，由洛伦兹力提供向心力得 解得粒子的轨道半径为
如图所示
可知粒子都会聚到一点，故A正确；
B．已知磁感应强度 ，由洛伦兹力提供向心力得 解得粒子的轨道半径为
如图所示
可知粒子不会聚到一点，故B错误；
C．已知磁感应强度 ，由洛伦兹力提供向心力得 解得粒子的轨道半径为
如图所示可知粒子不会聚到一点，故C错误；
D．已知磁感应强度 ，由洛伦兹力提供向心力得 解得粒子的轨道半径为
如图所示
可知粒子不会聚到一点，故D错误。故选A。
4．（2023·四川成都·石室中学校考三模）一匀强磁场的磁感应强度大小为 ，方向垂直于纸面向外，其边
界如图中虚线所示， ， ，一束 粒子在纸面内从a点垂直于 射入磁场，这些粒
子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。已知粒子的质量为 、电荷量为 。则粒子在磁场中运动时
间最长的粒子，其运动速率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】根据题意可知，粒子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律有 又有
设粒子运动轨迹所对的圆心角为 ，则运动时间为 可知， 越大，运动时间越长，当粒子运动时间最长时，运动轨迹如图所示，可知 越大则 越小，而
即当圆弧经过c点时 最大，此时最大
由几何关系有 解得 联立可得 故选B。
5．（2023·甘肃兰州·统考一模）如图所示，直角三角形 区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，
∠B=900， 。某种带电粒子（重力不计）以不同速率从 边上D点垂直 边射入磁场，速率为
时粒子垂直 边射出磁场，速率为 时粒子从 边射出磁场，且运动轨迹恰好与 边相切，粒子在
磁场中运动轨迹半径为 、 ，运动时间为 、 。下列说法正确的是（ ）
A．粒子带正电 B． C． D．
【答案】C
【详解】．由题意再结合左手定则可知粒子带负电，故A错误；
B．根据题意做出粒子在磁场中运动得轨迹如下图所示
由图中几何关系可得 可知粒子再磁场中运动得半径之比 故B错误；
C．根据洛伦兹力充当向心力有 解得粒子在磁场中运动时的速度为 由此可知粒子在磁场
中运动的速度之比等于轨迹半径之比，即 故C正确；
D．根据粒子在磁场中运动得轨迹可知，一个在场中偏转了 ，另一个在磁场中偏转了 ，而同一种粒子在相同磁场中运动得周期为 相同，则可知粒子在磁场中运动的时间之比等于偏转角度之比，即
故D错误。故选C。
6．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校考三模）如图所示，边长为 正方形区域 内无磁场，
正方形中线 将区域外左右两侧分成两个磁感应强度均为 的匀强磁场区域， 右侧磁场方向垂
直于纸面向外， 左侧磁场方向垂直于纸面向里。现将一质量为 ，电荷量为 的
正粒子从 中点以某一速率垂直于 射入磁场，不计粒子的重力，则关于粒子的运动，下列说法正确的
是（ ）
A．若粒子能垂直于 射入正方形区域内，则粒子的最大速度为
B．若粒子能垂直于 射入正方形区域内，则粒子的速度可能为
C．若粒子能垂直于 射入正方形区域内，则粒子的速度可能为
D．若粒子能垂直于 射入正方形区域内，则粒子的速度可能为
【答案】C
【详解】根据题意可知，粒子在磁场中做匀速圆周运动由洛伦兹力提供向心力有 解得
若粒子能垂直于 射入正方形区域内，则粒子可能的运动轨迹如图所示
由几何关系可得 解得 当 时，速度最大为
当 时 当 时 则粒子的速度不可能为 。故选C。
7．（2023·江西九江·统考三模）如图所示，S为一离子源， 为足够长的荧光屏，S到 的距离为
， 左侧区域有足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。某时刻离子源S一次性沿平行纸面各个方向均匀地喷发大量的质量为m、电荷量为q、速率为 的正离子（此后不再喷
发），不计离子重力，不考虑离子之间的相互作用力。则（ ）
A．打中荧光屏的最短时间为 B．打中荧光屏的最长时间为
C．打中荧光屏的宽度为 D．打到荧光屏的离子数与发射的离子数比值为
【答案】AD
【详解】A．根据 则离子轨道半径 离子轨迹对应弦长最短时运动时间最短，即离子轨
迹恰好经过P点，如图所示
根据几何关系可知，轨迹对应的圆心角为60°，能打中荧光屏的最短时间为 故A正确；
B．当 时，根据半径公式 离子运动轨迹如图所示离子速度为 从下侧回旋，刚好和边界相切，离子速度为 时从上侧回旋，刚好和上边界相切，打在荧光
屏上的离子的周期 打中荧光屏的最长时间为 故B错误；
C．离子打中荧光屏的范围总长度为图中得AB长度，由几何关系可知 打中荧光屏的宽度为
，故C错误；
D．当 时，根据半径公式 离子恰好打到MN上的临界运动轨迹如图所示
离子速度为 从下侧回旋，刚好和边界相切，离子速度为 时从上侧回旋，刚好和上边界相切，打到N点
的离子离开S时的初速度方向和打到 点的离子离开S时的初速度方向夹角 能打到荧光屏上的离子
数与发射的粒子总数之比 故D正确。故选AD。
8．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）如图所示为宽度为L、磁感应强度大小为B的有界匀强磁场，磁场的方向垂直于纸面向外，长度足够长。在下边界O处有一个粒子源，沿与边界成60°角方向
连续发射大量的速度大小不相同的同种带正电粒子，速度方向均在纸面内。已知以最大速度v射入的粒子，
从磁场上边界飞出经历的时间为其做圆周运动周期的 。不计粒子的重力及粒子间的相互作用，则下列判
断正确的是（ ）
A．粒子的比荷为
B．粒子在磁场中运动的周期为
C．在下边界有粒子飞出的长度为 L
D．从上边界飞出的粒子速度大小范围为
【答案】AD
【详解】AB．速度最大的粒子在磁场中运动的时间为其做圆周运动周期的 ，运动轨迹如图所示
圆心为 ，其圆弧所对圆心角为 ，由几何关系得 解得 由洛伦兹力
提供向心力有 解得粒子比荷 粒子在磁场中运动的周期
故A正确，B错误；
D．当粒子轨迹恰好与上边界相切时，刚好不从上边界飞出，运动轨迹如图，圆心为 。设这种情况下粒
子速度大小为 ，半径为 ，由几何关系得 解得由洛伦兹力提供向心力有 解得 可知粒子从上边界飞出的粒子速度大小范围为
，故D正确；
C．下边界有粒子飞出的长度为 故C错误。故选AD。
9．（2019秋·河北·高二张家口市宣化第一中学校考阶段练习）如图，L 和L 为两平行的虚线，L 上方和
1 2 1
L 下方都是垂直纸面向里的磁感强度相同的匀强磁场，A、B两点都在L 上．带电粒子从A点以初速v与L
2 2 2
成α角斜向上射出，经过偏转后正好过B点，经过B点时速度方向也斜向上．不计重力，下列说法中正确
的是（ ）
A．此粒子一定带正电荷
B．带电粒子经过B点时速度一定跟在A点时速度相同
C．若 角时,带电粒子经过偏转后正好过B点,则 角时,带电粒子经过偏转后也一定经过同一
个B点
D．若 角时,带电粒子经过偏转后正好过B点,则 角时,带电粒子经过偏转后也一定经过同一
个B点
【答案】BD
【详解】画出带电粒子运动的可能轨迹，B点的位置可能有下图。如图所示。
A．如图，分别是正负电荷的轨迹，正负电荷都可能。故A错误。
B．因为洛仑兹力与速度方向时刻垂直，所以洛仑兹力对电荷不做功，电荷动能不变，速度大小不变，如
图，粒子B的位置在B、B，速度方向斜向上，跟在A点时的速度大小相等，方向相同，速度相同。故B
2 3
正确。
C．如图，设L 与L 之间的距离为d，则A到B 的距离为： 当夹角是30°时
1 2 2若将带电粒子在A点时初速度方向改为与L 成45°角斜向上，则 则不会经过B点，C错误。
2
D． 如图，设L 与L 之间的距离为d，则A到B 的距离为： 当夹角是30°时
1 2 2
若将带电粒子在A点时初速度方向改为与L 成60°角斜向上，则 则经过三个周期后粒子
2
也可以经过B点。故D正确。
10．（2021·河南郑州·郑州外国语学校校考模拟预测）如图所示，矩形ABCD区域内有垂直于纸面向里的
匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，AB边长为d，BC边长为2d，O是BC边的中点，E是AD边的中
点，在O点有一粒子源，可以在纸面内向磁场内各个方向射出质量均为m、电荷量均为q、有同种电性的
带电粒子，粒子射出的速度大小相同，速度与OB边的夹角为600的粒子恰好从E点射出磁场，不计粒子的
重力，则（ ）
A．粒于带正电
B．粒子运动的速度大小为
C．粒子在磁场中运动的最长时间为
D．磁场区域中有粒子通过的面积为
【答案】BD
【详解】A．速度与OB的夹角为60°的粒子恰好从E点射出磁场，由粒子运动的轨迹根据左手定则可判断，
粒子带负电，A错误；
B．由此粒子的运动轨迹结合几何关系可知，粒子做圆周运动的半径r=d，由牛顿第二定律
则粒子运动的速度大小为 ，B正确；
C．由于粒子做圆周运动的速度大小相同，因此在磁场中运动的轨迹越长，时间越长，分析可知，粒子在
磁场中运动的最长弧长为四分之一圆周，因此最长时间为四分之一周期，即最长时间为 ，C错误；
D．由图可知磁场区域有粒子通过的面积为图中AOCDA区域的面积，即为 ，D正确。故选BD。
11．（2023·新疆·统考三模）如图所示，边长为L的正方形 内表面涂有荧光材料，粒子打在表面会
被吸收并发出荧光。正方形区域内存在方向垂直该平面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，粒子源从
正方形 边的中点P沿垂直磁场方向持续发射质量为m、电量为q的带正电的某种粒子，发射速度方向
斜向上，速度大小与发射角的关系为 ， 为发射速度方向与水平方向的夹角， ，其中
的粒子恰好从 边中点射出。不计粒子间的相互作用力和粒子的重力，下列说法正确的是
（ ）
A．粒子从P点运动至与 边相切所需的时间为
B．粒子在 边发出荧光的总长度为L
C．打在B点的粒子轨道半径为
D．粒子在磁场中运动的最长时间为
【答案】AC
【详解】A．当 的粒子速度v=v，粒子恰好从AB边中点射出，则 当粒子从P点运动至与
0
DC边相切时，则轨道半径 即 可知所有粒子的轨迹圆心都在AB边上；
当轨迹与DC相切时，由几何关系 可得r=L；α=60 则粒子运动的时间
°
选项A正确；B．当粒子轨道与DC边相切时，粒子打到BC边上的位置为上边缘，可知粒子在 边发出荧光的总长度
小于L，选项B错误；
C．打在B点的粒子轨迹如图，此时轨迹与B点相切，设 ，则
其中 由几何关系 ； 解得 解得轨道半径为 选项C正确；
D．当轨迹圆与B点相切时，粒子在磁场中转过的角度大于90 ，此时运动时间 选项D错误。
°
故选AC。
12．（2023·湖南·校联考模拟预测）如图所示，在圆心为O、半径为R的半圆形区域内（不含边界）有磁
感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，MN为直径。大量带正电荷的同种粒子以不同的速率
从O点在纸面内沿与ON成 角的方向射入磁场。粒子的质量为m，电荷量为q，不计粒子受到的重力以
及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（ ）
A．粒子在磁场中运动的最长时间为
B．若粒子恰好从圆弧边界离开磁场，则粒子的速度大小为C．若粒子恰好从O点正上方的P点离开磁场，则粒子的速度大小为
D．选择合适的速度，粒子可能从M点离开磁场
【答案】AC
【详解】A．当粒子的速度较小时，粒子从MN边界离开磁场，其轨迹对应的圆心角为 ，此时粒子在
磁场中运动的时间最长，最长时间 故A正确；
B．如图所示
当粒子做圆周运动的轨迹与半圆形磁场边界相切时（设切点为Q），粒子恰好从圆弧边界射出，根据几何
知识可知，粒子的轨道半径 设粒子的速度大小为 ，有 ，解得 故B错误；
C．设当粒子恰好从P点离开磁场时，粒子的轨道半径为 ，根据几何关系有 设粒子的速度大小
为 ，有 ，解得 故C正确；
D．当粒子的速度大于 时，粒子从Q点右侧离开磁场，当粒子的速度小于 时，粒子从MN边界离
开磁场，即粒子不可能从M点离开磁场，故D错误。故选AC。
13．（2022·陕西宝鸡·宝鸡中学校考模拟预测）如图所示，在纸面内半径为R的圆形区域中充满了垂直于
纸面向里的匀强磁场。a、b、c三个带电粒子以相同的动能从M点沿着直径MON方向垂直射入磁场，运
动轨迹如图所示，并从P、Q两点离开。已知P、Q、O（圆心）三点共线，直径MON、POQ夹角为
（如图）， ， ， 分别为a、b、c三个粒子在磁场中运动的
时间。不计粒子的重力，下列说法正确的（ ）
A．a一定带负电，b可能带正电B．a、b从P点射出，c从Q点射出
C．
D．
【答案】BC
【详解】AB.公式 又 ， 可知 那么MQ、MP必定为两粒子a、c的运动
轨迹，而b粒子的运动轨迹应该与其中一个粒子重合；根据 ， 可知
即b与a同一电性，都从P点射出，A错误，B正确；
C.由以上可知 由几何关系可知 再由公式
可知 联立可得 ，C正确；
D.由公式 得 ，D错误。故选BC。
14．（2023·全国·模拟预测）如图所示，在直角坐标系xOy的第一象限内存在磁感应强度大小为B、方向
垂直纸面向里的匀强磁场，在y轴上S处有一粒子源，它可向右侧纸面内各个方向射出速率相等的质量均
为m、电荷量均为 的同种带电粒子，所有粒子射出磁场时离S最远的位置是x轴上的P点。已知
，粒子带负电，粒子所受重力及粒子间的相互作用均不计，则（ ）
A．粒子的速度大小为
B．从x轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为
C．沿平行x轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到O点的距离为
D．从O点射出的粒子在磁场中的运动时间为
【答案】AD
【详解】A．根据几何关系可得 所有粒子射出磁场时离S最远的位置是x轴上的P点，
可知粒子做圆周运动的半径 满足 可得 根据洛伦兹力提供向心力可得解得 故A正确；
B．从x轴上射出磁场的粒子中，沿 轴正方向射出的粒子在磁场中运动的时间最长，从O点射出的粒子
时间最短，运动轨迹如图所示
根据几何关系，粒子在磁场中做圆周运动的圆心角分别为 ； 从x轴上射出磁场的粒子在磁场
中运动的最长时间与最短时间之比为 故B错误；
C．沿平行x轴正方向射入的粒子，其圆心在 点，离开磁场时的位置到O点的距离为 ，即沿平行x轴正
方向射入的粒子离开磁场时的位置到O点的距离为 ，故C错误；
D．从 点射出的粒子轨迹如图所示
对应的圆心角为 从O点射出的粒子在磁场中的运动时间为 故D正确。故选AD。
15．（2023·四川南充·阆中中学校考二模）如图，坐标原点O有一粒子源，能向坐标平面一、二象限内发
射大量质量为m，电荷量为q的正粒子（不计重力），所有粒子速度大小相等。圆心在（0，R）半径为R
的圆形区域内，有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，磁场右侧有一长度为R且平行于y
轴的荧光屏，其中心O 位于（2R，R）。已知初速度沿y轴正向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，
1
则下列说法正确的是（ ）A．所有粒子的初速度大小为
B．从O点发射的所有粒子都能垂直射在光屏上
C．能射在光屏上的粒子，在磁场中运动时间最长为
D．能射在光屏上的粒子初速度方向与x轴夹角满足
【答案】AD
【详解】A．由题意，初速度沿 轴正向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，有 ；
解得 ，A正确；
B．由于所有粒子的速度大小相等，但方向不同，且离开磁场区域的出射点距离圆心的竖直高度最大值为
，并不会垂直打在光屛上，B错误；
C．如图，由几何关系可得，运动时间最长的粒子，对应轨迹的圆心角为
根据周期公式 可得 ，C错误；
D．粒子初速度方向与 轴夹角为 时，若能打在光屛下端，如图由几何关系可得圆心角 即初速度与 轴夹角为 同理，粒子打在光屛上端时（图同B），初速
度与 轴夹角为 ，D正确。故选AD。
16．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）如图所示，磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直纸面向里，图中
虚线为磁场的部分边界，其中 段是半径为R的四分之一圆弧， 、 的延长线通过圆弧的圆心， 长
为R．一束质量为m、电荷量大小为q的粒子流，在纸面内以不同的速率从O点垂直 射入磁场，已知所
有粒子均从圆弧边界射出，其中M、N是圆弧边界上的两点。不计粒子的重力及它们之间的相互作用。则
下列说法中正确的是（ ）
A．粒子带负电
B．从M点射出粒子的速率一定小于从N点射出粒子的速率
C．从M点射出粒子在磁场中运动时间一定小于从N点射出粒子所用时间
D．在磁场中运动时间最短的粒子用时为
【答案】BD
【详解】ABC．由题意，画出从M、N两点射出的粒子轨迹图，如图所示，由此可知，粒子带正电；粒子
在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力。可得
解得 ； 由图可知，从M点射出粒子的轨迹半径小于从N点射出粒子轨迹半径，则有从M点射出粒子的速率一定小于从N点射出粒子的速率；由图可知，从M点射出粒子的
轨迹所对圆心角大于从N点射出粒子轨迹所对圆心角，由 可知，从M点射出粒子在磁场中运动时
间一定大于从N点射出粒子所用时间，AC错误，B正确；
D．由几何知识可知，当粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心恰好在b点时，粒子在磁场中运动的圆弧所
对的圆心角最小，此时粒子的运动半径r=R，由几何关系可求得此时圆弧所对圆心角θ=120 ，所以粒子在
°
磁场中运动的最短时间是 ，D正确。故选BD。
17．（2023·安徽宿州·统考一模）如图所示，边长为 的正三角形 区域内存在垂直纸面向里的匀强磁
场，质量为 、电荷量为 的同种粒子自 点沿角平分线射入磁场，若以初速度 射入，经过时间 ，粒
子从 边界距 点 处射出磁场，不计粒子的重力，则（ ）
A．粒子圆周运动的周期为
B．粒子的初速度等于 时，在磁场中运动的时间仍为
C．粒子的初速度小于 时，离开磁场时的速度反向延长线均垂直于 边
D．粒子的初速度大于 时，离开磁场时速度的偏转角大于
【答案】BC
【详解】A．粒子若以初速度 射入，设其轨迹半径为 ，圆心为 ，轨迹对应的圆心角为 ，粒子运动轨
迹如图所示
根据几何关系可得 则有 解得粒子圆周运动的周期为 故A错误；
B．根据洛伦兹力提供向心力 可得 粒子的初速度等于 时，粒子轨迹半径变为原来的
倍，粒子从 边射出，粒子轨迹对应的圆心角不变，粒子在磁场中运动的时间不变，所以在磁场中运动
的时间为 ，故B正确；C．粒子的初速度等于 时，粒子轨迹半径变为原来的 倍，粒子刚好从 点离开磁场，如上图所示；粒
子射入时速度方向与 边夹角为 ，则粒子离开磁场时的速度反向延长线垂直于 边；所以粒子初速
度小于 时，均从 边射出，离开磁场时的速度反向延长线均垂直于 边，故C正确；
D．粒子的初速度大于 时，粒子从 边离开磁场，轨迹对应的弦长变短，所以粒子轨迹对应的圆心角
小于 ，由于粒子轨迹对应的圆心角等于速度方向偏向角，所以离开磁场时速度的偏转角小于 ，故D错
误。
故选BC。
18．（2020·江苏·统考高考真题）空间存在两个垂直于 平面的匀强磁场，y轴为两磁场的边界，磁感应
强度分别为 、 。甲、乙两种比荷不同的粒子同时从原点O沿x轴正向射入磁场，速度均为v。甲第
1次、第2次经过y轴的位置分别为P、Q，其轨迹如图所示。甲经过Q时，乙也恰好同时经过该点。已知
甲的质量为m，电荷量为q。不考虑粒子间的相互作用和重力影响。求：
(1)Q到O的距离d；
(2)甲两次经过P点的时间间隔 ；
(3)乙的比荷 可能的最小值。
【答案】(1) ；(2) ；(3)
【详解】(1)带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，由 得， ，
，Q、O的距离为：
(2)由(1)可知，完成一周期运动上升的距离为d，粒子再次经过P，经过N个周期，所以，再次经过P点的时间为 由匀速圆周运动的规律得 ，
绕一周的时间为 所以，再次经过P点的时间为 两次经过P点的时间间隔为
(3)由洛伦兹力提供向心力，由 得， ， 完成一周期运动上升的距离
若乙粒子从第一象限进入第二象限的过程中与甲粒子在Q点相遇，则
， 结合以上式子，n无解。若乙粒子从第二象限进入第一象限
的过程中与甲离子在Q点相遇，则 ， 计算可得 （n=1，2，3……）
由于甲乙粒子比荷不同，则n=2时，乙的比荷 最小，为
