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第 5 讲 摩擦力的突变问题
1．（2021·全国）如图，一根细绳跨过光滑定滑轮，绳的一端系有一重物，另一端与粗糙水平地面
上的一个物块相连。开始时物块静止于M处，当物块被向左移至N处后仍可保持静止。分别用
T 、T 表示物块在M和N处时绳内张力的大小，f 、f 表示物块在M和N处时物块与地面间
M N M N
摩擦力的大小，则（ ）
A．T ＝T ，f ＞f B．T ＝T ，f ＜f
M N M N M N M N
C．T ＜T ，f ＞f D．T ＜T ，f ＝f
M N M N M N M N
【解答】解：对于重物，根据平衡绳子的拉力大小等于重物的重力大小，不变化，即
T ＝T
M N
故CD错误；
对于物块，设绳子与水平方向的夹角为 ，根据平衡，在水平方向上
Tcos ＝f θ
从Nθ处移动到M处时，绳子与水平方向的夹角变小，绳子拉力不变，则摩擦力变大，即
f ＝f
M N
A正确，B错误。
故选：A。
2．（2020·北京）某同学利用图甲所示装置研究摩擦力的变化情况。实验台上固定一个力传感器，
传感器用棉线拉住物块，物块放置在粗糙的长木板上。水平向左拉木板，传感器记录的 F﹣t图
象如图乙所示。下列说法正确的是（ ）A．实验中必须让木板保持匀速运动
B．图乙中曲线就是摩擦力随时间的变化曲线
C．最大静摩擦力与滑动摩擦力之比约为10：7
D．只用图乙中数据可得出物块与木板间的动摩擦因数
【解答】解：A、动摩擦力大小与是否匀速直线运动无关，故A错误；
B、图乙曲线是拉力F随时间的变化曲线，故B错误；
C、由图乙可知，开始物块受到棉线拉力和长木板给的静摩擦力平衡，一直到拉力峰值 10N左右，
此时最大静摩擦力约为10N；之后物块与长木板相对滑动，物块受动摩擦力和棉线拉力平衡，
由图乙知动摩擦力大小7N左右，最大静摩擦力与滑动摩擦力之比约为10：7，故C正确；
D、图乙中数据可得出物块与木板间的动摩擦力大小，f＝ F ＝ mg，m未知，故求不出动摩擦
N
因数，故D错误。 μ μ
故选：C。
一.知识总结
1.静摩擦力的有无及方向的判断方法
静摩擦力的方向总是与相对运动趋势的方向相反，这时的相对不是相对地面，而是该静摩擦力
的施力物体与受力物体间的“相对”。
(1)假设法
(2)状态法：根据平衡条件、牛顿第二定律，判断静摩擦力的有无及方向。
(3)牛顿第三定律法：先确定受力较少的物体受到的静摩擦力的方向，再根据“力的相互性”
确定另一物体受到的静摩擦力方向。
2.静摩擦力大小的计算方法
(1)最大静摩擦力F 的计算：
max最大静摩擦力F 只在刚好要发生相对滑动这一特定状态下才表现出来。比滑动摩擦力稍大些，
max
通常认为二者相等，即F ＝μF。
max N
(2)一般静摩擦力的计算：
一般静摩擦力F的大小和方向都与产生相对运动趋势的力密切相关，跟接触面间相互挤压的弹
力F无直接关系，因此F具有大小、方向的可变性。对具体问题要结合研究对象的运动状态(静止、
N
匀速运动或加速运动)，利用平衡条件或牛顿运动定律列方程求解。
3．滑动摩擦力方向的判定
滑动摩擦力的方向总是与相对运动的方向相反，这时的相对不是相对地面，而是该滑动摩擦力
的施力物体与受力物体间的“相对”。
4. 滑动摩擦力大小的计算方法
可用公式F＝μF计算，注意对物体间相互挤压的弹力F的分析，并不总是等于物体的重力，
f N N
它与研究对象受到的垂直接触面方向的力密切相关，也与研究对象在该方向上的运动状态有关。
5.求解摩擦力时的注意事项
(1)首先分清摩擦力的性质：静摩擦力或滑动摩擦力。常见的错误是把静摩擦力当成滑动摩擦
力，认为其大小随压力变化。
(2)应用滑动摩擦力的计算公式F＝μF时，注意动摩擦因数μ，其大小与接触面的材料及其
f N
粗糙程度有关，F为两接触面间的正压力，不一定等于物体的重力。
N
(3)滑动摩擦力的大小与物体速度的大小无关，与接触面面积的大小也无关。
(4)摩擦力的方向与物体间的相对运动或相对运动趋势方向相反，但与物体的实际运动方向可
能相同、可能相反、也可能不共线。
（5）注意静摩擦力方向有时会发生的“突变性”。
二. 摩擦力的突变模型类别
物体在静摩擦力和其他力的作用下处于相对静止状态，当作用在物体上的其他力的
“静静”
合力发生变化时，如果物体仍然保持相对静止状态，则物体受到的静摩擦力将发生
突变
突变
“动静” 在滑动摩擦力和其他力作用下，物体突然停止相对滑动时，物体将不受滑动摩擦力
突变 作用，或滑动摩擦力“突变”成静摩擦力
“静动” 物体在静摩擦力和其他力作用下处于相对静止状态，当其他力变化时，如果物体不
突变 再保持相对静止状态，则物体受到的静摩擦力将“突变”成滑动摩擦力
物体受到滑动摩擦力和其他力的共同作用，当两物体间的压力发生变化时，滑动摩
“动动”
擦力的大小随之而变；或者两物体达到共同速度时相对滑动方向发生变化，滑动摩
突变
擦力的方向也会随之而变
三.分析摩擦力的突变的方法——临界法
1.题目中出现“最大”“最小”和“刚好”等关键词时，一般隐藏着临界问题。有时，有些临
界问题中并不含上述常见的“临界术语”，但审题时发现某个物理量在变化过程中会发生突变，则
该物理量突变时物体所处的状态即为临界状态。
2.静摩擦力是被动力，其存在及大小、方向取决于物体间的相对运动的趋势，而且静摩擦力存
在最大值。存在静摩擦力的系统，相对滑动与相对静止的临界条件是静摩擦力达到最大值。3.研究传送带问题时，物体和传送带的速度相同的时刻往往是摩擦力的大小、方向和运动性质
的突变点。
四. 精选例题
1.“静静”突变
例1．一木块放在水平桌面上，在水平方向共受到三个力即F 、F 和摩擦力的作用，木块处于静止
1 2
状态，如图所示，其中F ＝10N，F ＝2N，若撤去F ，则木块受到的摩擦力为（ ）
1 2 1
A．10N，方向向左 B．6N，方向向右
C．2N，方向向右 D．0
【解答】解：如图所示，木块放在粗糙的水平桌面上，外力F 、F 沿水平方向作用在木块上，
1 2
木块处于静止状态，受的是平衡力，
所以此时的摩擦力为f＝F ﹣F ＝10N﹣2N＝8N；方向向右。
1 2
若撤去F ，木块受到的摩擦力为2N，方向向右
1
故选：C。
2.“动静”突变
例2．用一个水平推力F＝Kt（K为恒量，t为时间）把一重为G的物体压在竖直的足够高的平整墙
上，如图所示，从t＝0开始物体所受的摩擦力f随时间t变化关系是下图中的哪一个（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：t＝0时刻时，推力为零，则物体在重力的作用下向下加速运动，物体受到滑动摩擦力大小：f＝ F＝ Kt；故滑动摩擦力与时间成正比，当滑动摩擦力增大到与重力相等时，物
体的速度达到最μ大，μ之后滑动摩擦力大于重力，物体向下减速运动，都物体减速到速度为零时
将静止在墙壁上，则物体受到静摩擦力作用处于平衡状态，则静摩擦力等于重力，故 B正确；
ACD错误。
故选：B。
例3．工人在搬运材料时施加一个水平拉力将其从水平台面上拖出，如图所示，则在匀速拖出的过
程中（ ）
A．材料与平台之间的接触面积逐渐减小，摩擦力逐渐减小
B．材料与平台之间的接触面积逐渐减小，拉力逐渐减小
C．平台对材料的支持力逐渐减小，摩擦力逐渐减小
D．材料与平台之间的动摩擦因数不变，支持力也不变，因而工人拉力也不变
【解答】解：匀加速拉动的过程，只能持续到重心离开台面的瞬间，故在匀速拉动过程中，物
体的重心在台面上，故物体对台面的压力不变，故物体受到的支持力不变；
而在拉动过程中动摩擦因数不变，由F＝ F 可知摩擦力是不变的；
f N
因为摩擦力不变，物体做匀速直线运动，μ由共点力平衡可知，摩擦力不变，所以工人的拉力是
不变的，故ABC错误，D正确；
故选：D。
3.“静动”突变
例4．如图a所示，质量为m的半球体静止在倾角为 的平板上，当 从0°缓慢增大到90°的过程
中，半球体所受摩擦力F 与 的关系如图b所示，θ已知半球体始终θ没有脱离平板，半球体与平
f
θ
3
板间的动摩擦因数为 ，最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，重力加速度为g，则（ ）
4π
A．0～q段图象可能是直线 B．q～ 段图象可能是直线
2
π 3mg
C．q= D．P=
6 5
【解答】解：ABC、半圆体在平板上恰好开始滑动的临界条件是：
mgsin ＝ mgcos ，
θ μ θ3
故有： ＝tan = ，
4
μ θ
3
解得： ＝arctan =37°；
4
θ
在0～37°之间时，F 是静摩擦力，大小为mgsin ；
f
θ在37°～90°之间时，F 是滑动摩擦力，大小为 mθgcos ；
f
θ综合以上分析得其F 与 关系如图中实线所示，μ θ
f
θ
故ABC均错误；
3mg
D、当 ＝37°时，F＝mgsin37°＝0.6mg，即为：p= ，故D正确；
f
5
θ
故选：D。
4.“动动”突变
例5．如图所示，足够长的传送带与水平面夹角为 ，以速度v 逆时针匀速转动．在传送带的上端
0
轻轻放置一个质量为m的小木块，小木块与传送θ带间的动摩擦因数 ＜tan ，规定沿传送带向下
为正方向，则图中能客观地反映小木块对传送带的摩擦力f随时间t变μ 化关θ系的是（ ）A． B．
C． D．
【解答】解：初状态时：木块重力的分力与摩擦力均沿着斜面向下，且都是恒力，所以物体先
沿斜面匀加速直线运动，
由牛顿第二定律得：
mgsinθ+μmgcosθ
木块的加速度：a= =gsin + gcos 。
m
θ μ θ
当小木块的速度与传送带速度相等时，由 ＜tan 知道木块继续沿传送带加速向下，但是此时木
块受到的摩擦力的方向沿斜面向上， μ θ
而规定沿传送带向下为正方向，因此木块摩擦力方向先为正值，再为负值，根据牛顿第三定律，
小木块对传送带的摩擦力与木块受到的摩擦力等大反向，即先为负值，再为正值，故D正确，
ABC错误；
故选：D。
五.举一反三，巩固练习
1. 如图所示，在大小均为F的两个水平力的作用下，长方体物块A、B相对于水平地面
保持静止，下列说法正确的是（ ）
A．A、B间的摩擦力大小为F，B与水平地面间的摩擦力大小也为F
B．A、B间的摩擦力大小等于F，B与水平地面间的摩擦力为零
C．A、B间的摩擦力大小为2F，B与水平地面间的摩擦力大小为F
D．A、B间的摩擦力大小为2F，B与水平地面间的摩擦力为零
【解答】解：以物块A为对象，根据受力平衡可知，B对A的摩擦力与水平力F平衡，则有f＝
F，
以物块AB为整体，由于作用在物块A上的水平力F与作用在物块B，上的水平力F大小相等，方向相反，
根据受力平衡可知B与水平地面间的摩擦力为零，故B正确，ACD错误；
故选：B。
2. 如图所示，弹簧一端系一质量为m的物块，另一端固定在长木板上，缓慢抬起木板的
一端，物块与木板始终保持相对静止。当木板与水平面成 ＝30°，物块与木板间恰好没有摩擦
力。当木板与水平面成 ＝60°时物块所受摩擦力（ ）θ
θ
A．等于零
√3
B．大小为 mg，方向沿斜面向上
2
√3-1
C．大小为 mg，方向沿斜面向上
2
D．大小为mg，方向沿斜面向上
【解答】解：设弹簧的弹力为 F，当木板与水平面成 ＝30°时，根据平衡条件可得：F＝
mgsin30° θ
当木板与水平面成 ＝60°时，弹簧的弹力不变，重力沿斜面向下的分力变大，则物块受到的摩
擦力方向沿斜面向上θ；
√3-1
根据平衡条件可得：F+f＝mgsin60°，解得：f= mg，故C正确、ABD错误。
2
故选：C。
3. 在抗击新冠肺炎疫情居家学习期间，某同学用手托礼盒进行表演。若礼盒的质量为
m，手与礼盒之间的动摩擦因数为 ，重力加速度为g，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，手
掌一直保持水平。则下列说法中正确μ的是（ ）
A．若手托着礼盒一起向右匀速运动时，礼盒受到三个力的作用
B．若手托着礼盒一起向右匀速运动时，手对礼盒的作用力和礼盒对手的作用力是一对平衡力
C．若手托着礼盒一起向右匀减速运动时，手对礼盒的作用力大小等于重力D．若手托着礼盒一起向右匀减速运动，则手对礼盒的作用力大小不会超过 mg
√1+μ2
【解答】解：B．根据牛顿第三定律，若手托着礼盒一起向右匀速运动，则手对礼盒的作用力与
礼盒对手的作用力是相互作用力，故B错误；
A．若手托着礼盒一起向右匀速运动，则礼盒和手之间没有摩擦力，礼盒只受重力和支持力 2个
力的作用，故A错误；
C．若手托着礼盒一起向右匀减速运动时，此时礼盒受力不平衡，则手对礼盒的作用力大小不等
于重力，故C错误；
D．若手托着礼盒一起向右匀减速运动，则手对礼盒的最大摩擦力大小为 mg，手对礼盒的最大
μ
作用力大小为F ，若手托着礼盒一起向右匀减速运动，则手对礼盒的作用力
=√(mg) 2+(μmg) 2
大小不会超过 mg，故D正确。
√1+μ2
故选：D。
4. 艺术课上，老师将学生们的剪纸作品进行展出时，用磁铁将剪纸作品吸在竖直的磁性
黑板上，下列关于各物体的受力情况正确的是（ ）
A．磁铁对剪纸的摩擦力与剪纸对磁铁的摩擦力是一对平衡力
B．磁铁对剪纸的压力是由于剪纸发生形变引起的
C．黑板对剪纸的作用力与磁铁对剪纸的作用力大小相等
D．磁铁对剪纸的摩擦力与黑板对剪纸的摩擦力大小不相等
【解答】解：A．磁铁对剪纸的摩擦力与剪纸对磁铁的摩擦力是一对相互作用力，故A错误；
B．由弹力产生的条件可知：磁铁对剪纸的压力是由于磁铁发生形变引起的，故B错误；
CD．由图可知，三块磁铁对剪纸的压力与黑板对剪纸的支持力相等，三块磁铁对剪纸的摩擦力
和黑板对剪纸的摩擦力相等，可得磁铁对剪纸的摩擦力与黑板对剪纸的摩擦力大小不相等，由
力的合成知：黑板对剪纸的作用力与磁铁对剪纸的作用力大小不相等，故D正确，C错误。故选：D。
5. 如图所示，一张纸被磁扣“吸”在磁性白板上，磁扣与纸始终处于静止状态，下列说
法中正确的是（ ）
A．纸受到白板的摩擦力向上，纸受到磁扣的摩擦力向下
B．纸受到白板的摩擦力等于纸受到磁扣的摩擦力
C．磁扣对纸的压力大于纸对磁扣的支持力
D．白板对磁扣的吸引力大于白板对纸的支持力
【解答】解：AB.对纸和磁扣组成的整体受力分析，竖直向下的重力与纸受到白板的摩擦力平衡
G磁+G纸 ＝f
1
纸受到白板的摩擦力竖直向上，对磁扣受力分析可知，磁扣竖直向下的重力与纸对磁扣竖直向
上的摩擦力平衡
G磁 ＝f
2
可知
f ＞f
1 2
根据牛顿第三定律可知，纸受到磁扣的摩擦力向下，故A正确，B错误；
C.磁扣对纸的压力与纸对磁扣的支持力是一对相互作用力，二者等大、反向，故C错误；
D.对纸和磁扣组成的整体受力分析，白板对磁扣的吸引力和白板对纸的支持力是一对平衡力，
二者大小相等，故D错误。
故选：A。
6. 如图甲所示，质量M＝1kg的木板静止在粗糙的水平地面上，木板与地面间的动摩擦
因数 ＝0.1，在木板的左端放置一个质量m＝1kg的物块，物块可视为质点，物块与木板间的
1
动摩擦μ因数 ＝0.4。设木板足够长，现对物块施加一个水平向右的力F，力F随时间t的变化
2
如图乙所示。μ 已知最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，取g＝10m/s2，则下面四个图中能正确反
映物块受到木板的摩擦力大小f随时间t变化的是（ ）A． B．
C． D．
【解答】解：由题意铁块与木板之间摩擦力的最大值为：f ＝ mg
2max 2
代入数据解得：f ＝4N μ
2max
木板与地面间的摩擦力的最大值为：f ＝ （M+m）g
1max 1
代入数据解得：f ＝2N μ
1max
当F≤2N时，木板和铁块相对地面静止
f＝F
又由图像可得
1
F= t
2
所以0﹣2s时间内图像与F﹣t图像相同；
当F＞2N，并且木板和铁块一起相对地面加速运动时，设此时系统的加速度为a，根据牛顿第二
定律，对整体有
F﹣ （M+m） g＝（M+m） a
1
对铁μ块有
F﹣f ＝ma
2max
可得F＝6N
从此关系式可以看出，当2N＜F≤6N时，M、m相对静止，则对整体有
F﹣ （M+m） g＝（M+m） a
1
对铁μ块
F﹣f＝ma
即
F
f= +1
2
即
t
f= +1
4
当F＞6N，时铁块受到摩擦力为滑动摩擦力，大小为4N，
所以0﹣10s内图像如图C，故ABD错误，C正确。
故选：C。
7. 打印机是现代办公不可或缺的设备，正常情况下，进纸系统能做到“每次只进一张
纸”，进纸系统的结构如图所示.设每张纸的质量均为m，搓纸轮按图示方向转动时带动最上
面的第1张纸匀速向右运动，搓纸轮与纸张之间的动摩擦因数为 ，纸张与纸张之间、纸张与
1
底部摩擦片之间的动摩擦因数均为 ，工作时搓纸轮给第1张纸μ压力大小为F。重力加速度为
2
g，打印机正常工作时，下列说法正μ确（ ）
A．任意1张纸对下1张纸的摩擦力大小相等
B．最底层的1张纸没有受到摩擦片的摩擦作用
C．第2张与第3张纸之间的摩擦力大小为 （2mg+F）
2
D．只要满足 ＜ ，“每次只进一张纸”一μ 定能做到
1 2
【解答】解：μA.由μ受力分析可知，第1张纸下表面对第2张纸施加的滑动摩擦力大小为
f'＝ （mg+F）
2
受力μ分析可得打印机正常工作时，任意1张纸对下1张纸的摩擦力大小均为
f'＝ （mg+F）
2
μ故A正确；
B.由整体法可知，最底层的1张纸也会受到摩擦片的静摩擦力的作用，故B错误；
C.根据平衡条件知第2张与第3张纸之间的静摩擦力大小等于第1张纸与第2张纸之间的滑动摩
擦力大小，有
f'＝ （mg+F）
2
故Cμ错误；
D.第1张纸下表面受到第2张纸施加的滑动摩擦力方向向左，大小为
f'＝ （mg+F）
2
F为μ搓纸轮对第1张纸的压力，要让纸一张一张进入则需满足
f'＝ （mg+F）＜ F
2 1
正常μ情况下 μ
F＞＞mg
必有
＞
1 2
μ故Dμ错误。
故选：A。
8. 质量分别为m ＝3kg、m ＝2kg、m ＝1kg的a、b、c三个物体按照图所示水平叠放着，
1 2 3
a与b之间、b与c之间的动摩擦因数均为0.1，水平面光滑，不计绳的重力和绳与滑轮间的摩
擦，g取10m/s2．若作用在b上的水平力F＝8N，则b与c之间的摩擦力大小为（ ）
13
A．4 N B．5 N C．3 N D． N
3
【解答】解：由题意可知，a与b滑动摩擦力大小f ＝ m g＝0.1×30＝3N；
1 1
a向左加速，bc整体向右加速。根据牛顿第二定律，对μa，则有：T﹣3N＝3a
而对bc，则有：F﹣T﹣3N＝3a
1
解得：a= m/s2。
3
1
隔离b：8N﹣3N﹣f＝2× ，
313
解得：f= N，故D正确，ABC错误；
3
故选：D。
9. 长木板上表面的一端放有一个木块，木块与木板接触面上装有摩擦力传感器。如图所
示，木板由水平位置缓慢向上转动（木板与地面的夹角 变大），另一端不动，摩擦力传感器
记录了木块受到的摩擦力F 随角度 的变化图像如图乙所α示（F ，F ， ， 为已知量），当
f f1 f2 1 2
角度从 到 变化过程中木块的加α速度 越来越大 （填“保持不变θ”、θ“越来越小”、
1 2
θ θ
“越来越大”）；木块与木板间的动摩擦因数是 F 。
f1tanθ
F 1
f2
【解答】解：根据木块受力分析，结合乙图，知 在 ～ 范围内变化时木块向下做加速运动，
1 2
由牛顿第二定律：mgsin ﹣F＝ma α θ θ
f
F α
则：a＝gsin - f
m
α
由乙图知此过程F 随 的增大在减小，而sin 随 的增大而增大，所以加速度a越来越大；
f
当 在0～ 范围内变α化时，木块保持与木板α相对α静止，摩擦力是静摩擦力，当 ＝ ，木块刚
1 1
要下α滑时最θ大静摩擦力等于重力沿斜面向下得分力，即：mgsin ＝F ，而刚刚开α始滑θ 动时的滑
1 f2
动摩擦力等于F ；而滑动摩擦力：F ＝ mgcos θ
f1 f1 1
μ θ
F F F
联立可得：
= f1 = f = f1tanθ
mgcosθ F F 1
1 f2 cosθ f2
μ sinθ 1
1
故答案为：越来越大，F
f1tanθ
F 1
f2
