文档内容
考向 16 机械振动
【重点知识点目录】
1. 简谐运动规律、图像的理解和应用
2. 单摆及其周期公式
3. 机械波的传播与图像、波的多解问题
4. 波的干涉、衍射及多普勒效应
1．（2022•辽宁）一列简谐横波沿x轴正方向传播，某时刻的波形如图所示，关于质点P
的说法正确的是（ ）
A．该时刻速度沿y轴正方向
B．该时刻加速度沿y轴正方向
C．此后 周期内通过的路程为A
D．此后 周期内沿x轴正方向迁移为
【答案】A。 λ
【解析】解：A、简谐横波沿x轴正方向传播，根据“平移法”可知 P在该时刻速度沿
y轴正方向，故A正确；
B、根据a＝﹣ 可知此时刻P 质点的加速度沿y轴负方向，故B错误；
1
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学科网（北京）股份有限公司C、P不在平衡位置，波峰、波谷处，所以此后 周期内通过的路程不为A，故C错误；
D、振动质点不会随波迁移，只能在平衡位置两侧做往复振动，故D错误。
2．（2022•浙江）如图所示，一根固定在墙上的水平光滑杆，两端分别固定着相同的轻弹
簧，两弹簧自由端相距x。套在杆上的小球从中点以初速度v向右运动，小球将做周期
为T的往复运动，则（ ）
A．小球做简谐运动
B．小球动能的变化周期
C．两根弹簧的总弹性势能的变化周期为T
D．小球的初速度为 时，其运动周期为2T
【答案】B。
【解析】解：A、物体做简谐运动的条件是在运动过程中所受回复力与位移成正比，且
方向始终指向平衡位置，可知小球在杆中点到接触弹簧过程中，所受合力为零，故小球
不是做简谐运动，故A错误；
BC、假设杆中点为O，小球向右压缩弹簧至最大压缩量时的位置为A，小球向左压缩弹
簧至最大压缩量时的位置为 B，可知小球做周期为 T 的往复运动，运动过程为
O→A→O→B→O，根据对称性可知小球从O→A→O与O→B→O，这两个过程的动能
变化完全一致，两根弹簧的总弹性势能的变化完全一致，故小球动能的变化周期为 ，
两根弹簧的总弹性势能的变化周期为 ，故B正确，C错误；
D、小球的初速度为 时，可知小球在匀速阶段的时间变为原来的2倍，接触弹簧过程，
根据弹簧振子的周期公式 可知，接触弹簧过程中所用时间与速度无关，因
此总的运动周期小于2T，故D错误；
3．（2022•浙江）图甲中的装置水平放置，将小球从平衡位置O拉到A后释放，小球在O
2
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学科网（北京）股份有限公司点附近来回振动；图乙中被细绳拴着的小球由静止释放后可绕固定点来回摆动。若将上
述装置安装在太空中的我国空间站内进行同样操作，下列说法正确的是（ ）
A．甲图中的小球将保持静止
B．甲图中的小球仍将来回振动
C．乙图中的小球仍将来回摆动
D．乙图中的小球将做匀速圆周运动
【答案】B。
【解析】解：AB、甲图做简谐运动，回复力为弹力，不受重力影响，故仍来回振动，
故A错误，B正确；
CD、乙图小球受重力影响来回振动，太空中重力不计，故不能摆动或匀速圆周运动，
故CD错误。
4．（2022•广东）如图所示，某同学握住软绳的一端周期性上下抖动，在绳上激发了一列
简谐波。从图示时刻开始计时，经过半个周期，绳上M处的质点将运动至 P （选
填“N”“P”或“Q”）处。加快抖动，波的频率增大，波速 不变 （选填“增
大”“减小”或“不变”）。
【答案】P；不变
【解析】解：根据题意可知，波的传播方向沿水平方向向右，根据同侧法可知 M点的
振动方向向下，M点是波峰位置，因此经过半个周期后，绳上M处的质点将运动至位
于波谷的P点处；
波速由传播的介质决定，与波的频率无关。
3
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学科网（北京）股份有限公司一、简谐运动．
简谐运动的五个特征
1．动力学特征
F=-kx，“-”表示回复力的方向与位移方向相反，k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系
数．
2．运动学特征
简谐运动的加速度与物体偏离平衡位置的位移成正比而方向相反，为变加速运动，远离
平衡位置时，x、F、a、Ep均增大，v、Ek均减小，靠近平衡位置时则相反．
3．运动的周期性特征
相隔T或nT的两个时刻振子处于同一位置且振动状态相同．
4．对称性特征
（1）相隔T/2或 （n为正整数）的两个时刻，振子位置关于平衡位置对称，位
移、速度、加速度大小相等，方向相反．
（2）如图所示，振子经过关于平衡位置O对称的两点P、P′（OP=OP′）时，速度的大
小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等．
（3）振子由P到O所用时间等于由O到P所用时间，即tPO=tOP′，
（4）振子往复过程中通过同一段路程（如OP段）所用时间相等，即tOP=tPO．
5．能量特征
振动的能量包括动能 Ek和势能Ep，简谐运动过程中，系统动能与势能相互转化，系统
的机械能守恒．
二、简谐运动的振动图像
简谐运动的图象的应用
1．图象特征
（1）简谐运动的图象是一条正弦或余弦曲线，是正弦曲线还是余弦曲线取决于质点初
始时刻的位置．
（2）图象反映的是位移随时间的变化规律，并非质点运动的轨迹．
4
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学科网（北京）股份有限公司（3）任一时刻图线上过该点切线的斜率数值表示该时刻振子的速度大小．正负表示速
度的方向，正时沿x正方向，负时沿x负方向．
2．图象信息
（1）由图象可以看出振幅、周期．
（2）可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移．
（3）可以根据图象确定某时刻质点回复力、加速度和速度的方向．
①回复力和加速度的方向：因回复力总是指向平衡位置，故回复力和加速度在图象上总
是指向t轴．
②速度的方向：速度的方向可以通过下一时刻位移的变化来判断，下一时刻位移如增
加，振动质点的速度方向就是远离 t轴，下一时刻位移如减小，振动质点的速度方向就
是指向t轴．
三、共振
对共振的理解
（1）共振曲线：
如图所示，横坐标为驱动力频率f，纵坐标为振幅A．它直观地反映了驱动力频率对某
振动系统受迫振动振幅的影响，由图可知，f与f0越接近，振幅A越大；当f=f0时，振
幅A最大．
（2）受迫振动中系统能量的转化：受迫振动系统机械能不守恒，系统与外界时刻进行
能量交换
一、简谐运动
二、1．定义：如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图象是一条
正弦曲线，这样的振动叫简谐运动。
三、2．简谐运动的描述
四、（1）描述简谐运动的物理量
五、①位移x：由平衡位置指向质点所在位置的有向线段，是矢量。
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学科网（北京）股份有限公司六、②振幅A：振动物体离开平衡位置的最大距离，是标量，表示振动的强弱。
七、③周期T和频率f：物体完成一次全振动所需的时间叫周期，而频率则等于单位时间
内完成全振动的次数，它们是表示振动快慢的物理量。二者互为倒数关系。
八、（2）简谐运动的表达式x=Asin（ωt+φ）。
九、（3）简谐运动的图象
十、①物理意义：表示振子的位移随时间变化的规律，为正弦（或余弦）曲线。
十一、②从平衡位置开始计时，函数表达式为x=Asinωt，图象如图1所示。
十二、从最大位移处开始计时，函数表达式为x=Acosωt，图象如图2所示。
十三、
十四、3．简谐运动的回复力
十五、（1）定义：使物体返回到平衡位置的力。
十六、（2）方向特点：回复力的大小跟偏离平衡位置的位移大小成正比，回复力的方向总
指向平衡位置，即F=-kx。
十七、4．简谐运动的能量
十八、简谐运动过程中动能和势能相互转化，机械能守恒，振动能量与振幅有关，振幅越
大，能量越大。
十九、5．简谐运动的两种基本模型
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学科网（北京）股份有限公司二十、简谐波的振幅、周期和频率
简谐运动
1．定义：如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图象是一条正弦
曲线，这样的振动叫简谐运动．
2．简谐运动的描述
（1）描述简谐运动的物理量
①位移x：由平衡位置指向质点所在位置的有向线段，是矢量．
②振幅A：振动物体离开平衡位置的最大距离，是标量，表示振动的强弱．
③周期T和频率f：物体完成一次全振动所需的时间叫周期，而频率则等于单位时间内完
成全振动的次数，它们是表示震动快慢的物理量．二者互为倒数关系．
二十一、简谐运动的振动图像
简谐运动的描述
（1）描述简谐运动的物理量
①位移x：由平衡位置指向质点所在位置的有向线段，是矢量．
②振幅A：振动物体离开平衡位置的最大距离，是标量，表示振动的强弱．
③周期T和频率f：物体完成一次全振动所需的时间叫周期，而频率则等于单位时间内完
成全振动的次数，它们是表示震动快慢的物理量．二者互为倒数关系．
（2）简谐运动的表达式x=Asin（ωt+φ）．
（3）简谐运动的图象
①物理意义：表示振子的位移随时间变化的规律，为正弦（或余弦）曲线．
②从平衡位置开始计时，函数表达式为x=Asinωt，图象如图1所示．
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学科网（北京）股份有限公司从最大位移处开始计时，函数表达式为x=Acosωt，图象如图2所示．
二十二、共振
1．共振
（1）现象：当驱动力的频率等于系统的固有频率时，受迫振动的振幅最大．
（2）条件：驱动力的频率等于固有频率．
（3）共振曲线：
①当f驱=f固时，A=Am，Am的大小取决于驱动力的幅度
②f驱与f固越接近，受迫振动的振幅越大，f驱与f固相差越远，受迫振动的振幅越小
③发生共振时，一个周期内，外界提供的能量等于系统克服阻力做功而消耗的能量．
2．自由振动、受迫振动和共振的关系比较
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学科网（北京）股份有限公司易错题【01】.注意区分振动图像和波形图的区别，容易混淆。
易错题【02】
利用好简谐振动的对称性，如速度对称，加速度对称。
易错题【03】
注意机械波问题中的多解问题，往往容易忽略。
同轴转动中各质点的角速度关系，具有相同的角速度和转速。
5．（2022春•金凤区校级期中）如图所示，三个单摆的摆长为L ＝1.5m，L ＝1m，L ＝
1 2 3
0.5m，现用一周期等于2s的驱动力，使它们做受迫振动，那么当它们的振动稳定时，下列
判断中正确的是（ ）
A．三个摆的周期、振幅均相等
B．L 的周期最短，L 的振幅最大
3 1
C．三个摆的周期相等，L 振幅最大
2
D．L 的周期最长，L 的振幅最大
1 2
【答案】C。
【解析】解：根据单摆的周期公式T＝2 可知，摆长不同，三个单摆的固有周期不
同； π
现用周期等于2s的驱动力，使它们作受迫振动，振动周期都等于驱动力的周期，都为
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学科网（北京）股份有限公司2s；摆长不同，固有周期不同，故振幅不全相同。摆长分别为l ＝1.5m，l ＝1m，l ＝
1 2 3
0.5m的三个摆中，摆长为1m的单摆是秒表，根据单摆的周期公式T＝2 可知其固
有周期为2s，故其摆幅最大，发生了共振，故C正确，ABD错误； π
6．（2022春•嘉定区校级期末）如图所示为水平弹簧振子做简谐运动的振动图像。已知弹
簧的劲度系数为10N/cm，下列说法正确的是（ ）
A．图中A点，振子所受的回复力大小为2.5N
B．图中A点，振子的速度方向指向x轴的负方向
C．弹簧振子的振幅等于1cm
D．4s时间内，振子做了4次全振动
【答案】A。
【解析】解：A、图中 A 点对应的时刻振子的位置为 0.25cm，故弹簧的形变量为
0.25cm，所受的回复力大小为F＝kx＝10N/cm×0.25cm＝2.5N，故A正确；
B、图中A点对应的时刻振子正远离平衡位置，速度方向指向x轴的正方向，故B错误；
C．由图可知振子的振幅等于0.5cm，故C错误；
D．由振动图像可知弹簧振子的振动周期为2s，即每经过2s振子就完成一次全振动，则
在4s内振子做了2次全振动，故D错误。
7．（2022春•金安区校级期中）如图甲所示，以O点为平衡位置，弹簧振子在A、B两点
间做简谐运动，图乙为这个弹簧振子的振动图象．下列说法中正确的是（ ）
A．在t＝0.6s时，弹簧振子有最小的弹性势能
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0
学科网（北京）股份有限公司B．在t＝0.2s时，弹簧振子加速度的大小为0
C．在t＝0.1s与t＝0.3s两个时刻，弹簧振子不在同一位置
D．从t＝0到t＝0.2s时间内，弹簧振子做加速度增大的减速运动
【答案】D。
【解析】解：A、t＝0.6s时，弹簧振子的振幅最大，弹簧形变量最大，则弹性势能最大，
故A错误；
B、t＝0.2s时，弹簧振子的位移最大，回复力最大，加速度最大，故B错误；
C、t＝0.1s与t＝0.3s两个时刻，振子的位移相同，故振子位置相同，故C错误；
D、从t＝0到t＝0.2s时间内，弹簧振子的位移越来远大，回复力变大，加速度变大，加
速度与速度反向，故速度减小，故D正确。
8．（2022春•雨城区校级期中）如图所示，一轻质弹簧上端固定在天花板上，下端连接一
物块，物块沿竖直方向以O点为中心点，在C、D两点之间做周期为T的简谐运动。已
知在t 时刻物块的速度大小为v，方向向下，动能为E 。下列说法正确的是（ ）
1 k
A．如果在t 时刻物块的速度大小也为v，方向向下，则t ～t 的最小值小于0.5T
2 2 1
B．如果在t 时刻物块的动能也为E ，则t ～t 的最小值为T
2 k 2 1
C．物块通过O点时动能最小
D．当物块通过O点时，其加速度最大
【答案】A。
【解析】解：A、物块做简谐运动，物块同向经过关于平衡位置对称的两点时速度相等，
所以如果在t 时刻物块的速度也为v，t ﹣t 的最小值小于 ，故A正确；
2 2 1
B、物块经过同一位置或关于平衡位置对称的位置时动能相等，如果在 t 时刻物块的动
2
1
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1
学科网（北京）股份有限公司能也为E ，则t ﹣t 的最小值小于 ，故B错误；
k 2 1
CD、图中O点是平衡位置，根据a＝﹣ 知，物块经过O点时其加速度最小，速度最
大，则动能最大，故CD错误。
9．（2022春•东城区校级期中）伽利略研究小球自由落体运动规律时，用斜面来“冲淡”
重力，通过小球在斜面上运动的实验研究，把结论外推到自由落体运动。由此我们想到，
用斜面“冲淡”重力的设计思路也可以用在单摆上。如图所示，细线一端固定在倾角为
的斜面上，一端拴住小球，使小球在光滑斜面做简谐运动，摆长为 l，则周期为
θ（ ）
A．T＝2 B．T＝2 C．T＝2 D．T＝2
【答案】 πB。
π π π
【解析】解：小球在斜面上小角度摆动时，做“类单摆”运动，在平衡位置
F﹣mgsin ＝ma
等效重力θ加速度g′＝gsin
根据单摆的周期公式，得：θ
故ACD错误，B正确。
10．（2022•普陀区二模）某地两个摆长相同的单摆均在做小角度摆动，两摆球经过平衡位
置时的速率分别为v 和v ，且v ＞v ，两单摆振动的频率与振幅分别为f 、f 和A 、
1 2 1 2 1 2 1
A ，则（ ）
2
A．f ＞f B．f ＜f C．A ＞A D．A ＜A
1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】C。
【解析】解：AB、根据单摆周期公式 可知，摆长相同的单摆，周期T相同，
1
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2
学科网（北京）股份有限公司频率 ，则f ＝f ，故AB错误；
1 2
CD、根据机械能守恒，速度大的摆角大，振幅也大，所以A ＞A ，故D错误，C正确；
1 2
11．（2022春•重庆月考）如图所示，把一个小球套在水平光滑细杆上，球与轻弹簧相连
组成弹簧振子、小球沿杆在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，下列说法正确的是（
）
A．小球在A、B位置时，速度、加速度均最大
B．小球在O位置时，动能最大，加速度最小
C．小球从A经O到B的过程中，速度一直增大
D．小球从A经O到B的过程中，弹的弹性势能不断增大
【答案】B。
【解析】解：A、小球在A、B位置时，速度为零，位移最大，回复力最大，加速度最
大，故A 错误；
B、小球在O位置时，速度最大，动能最大，合力为零，加速度为零，故B正确；
CD、由于回复力指向平衡位置，所以小球从A经O到B的过程中，回复力先做正功，
后做负功，小球的动能先增大后减小，即速度先增大，后减小，弹的弹性势能先减小后
增大，故D错误；
12．（2022•鼓楼区校级模拟）如图所示，一个竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带
动一个T型支架在竖直方向振动，T型支架下面系着一个弹簧和小球组成的振动系统，
小球浸没在水中当小球振动稳定时（ ）
A．小球振动的频率与圆盘转速无关
B．小球振动的振幅与圆盘转速无关
C．圆盘的转速越大，小球振动的频率越大
1
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学科网（北京）股份有限公司D．圆盘的转速越大，小球振动的振幅越大
【答案】C。
【解析】解：AC、小球振动的频率与圆盘的转速有关，小球做受迫振动，小球振动的
频率等于圆盘转动的频率，圆盘的转速越大，小球振动的频率越大，故A错误，C正确；
BD、小球振动的振幅与圆盘转速有关，圆盘转动的频率越接近小球和弹簧组成的系统
的固有频率，小球的振幅越大，故BD错误；
13．（2022春•雨城区校级期中）如图所示为同一地点的两个单摆甲、乙的振动图象，下
列说法正确的是（ ）
A．甲单摆的摆长大于乙单摆的摆长
B．甲摆的机械能比乙摆的大
C．在t＝0.5s时有正向最大加速度的是乙摆
D．由图象可以求出当地的重力加速度
【答案】C。
【解析】解：A、由图看出，两个单摆的周期相同，同一地点g相同，由单摆的周期公
式T＝2 得知，甲、乙两单摆的摆长L相等，故A错误；
B、由图
π
可知，甲摆的振幅为10cm，乙摆的振幅为7cm，由于两摆的质量未知，无法比
较机械能的大小，故B错误；
C、在t＝0.5s时，乙摆具有最大负向位移，由a＝﹣ ，乙摆具有正向最大加速度，故
C正确；
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学科网（北京）股份有限公司D、由单摆的周期公式T＝2 得g＝ ，由于不知道单摆的摆长，所以不能求
得重力加速度，故D错误。π
14．（2022春•北仑区校级期中）如图所示，在光滑水平面上有一弹簧振子，弹簧形变的
最大弹性限度为10cm，P处是弹簧自然伸长的位置。将振子向右拉动 4cm后由静止释
放，经1s振子第1次回P。关于该弹簧振子，下列说法正确的是（ ）
A．该弹簧振子振动的频率为1Hz
B．若向右拉动8cm后由静止释放，则经过 s振子第一次回到P位置
C．若向左推动8cm后由静止释放，则振子两次经过P位置的时间间隔是3s
D．若在P处给振子任意一个向左/右的初速度，只要振幅不大于10cm，则过1s速度必
降为零
【答案】D。
【 解 析 】 解 ： A. 根 据 题 意 可 知 ， 振 子 的 周 期 为 T ＝ 4×1s ＝ 4s ， 频 率 为
，故A错误；
BC.弹簧振子的周期公式为 ，与振幅无关，无论向右拉动8cm还是向左推动
8cm，周期都是4s，都是经过1s第一次回到P位置，再经历半周期即2s再次经过P位
置，故两次经过P位置的时间是2s，故BC错误；
D.振子在P处经过1s速度降为零，当给一个初速度时，根据能量守恒得，当速度降为零
时弹性势能增大，相当于增大了振幅，但是弹簧振子的周期与振幅无关，故经历的时间
是1s，故D正确。
15．（2022春•宛城区校级月考）如图所示，一质量为M的木质框架放在水平桌面上，框
架上悬挂一劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧下端拴接一质量为m的铁球（铁球离框架下
端足够远）。用手向下拉一小段距离后释放铁球，铁球便上下做简谐运动，框架保持静
止，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．铁球在振动的过程中，速度相同时，弹簧的弹性势能一定相同
B．某四分之一个周期内，铁球所受合外力冲量大小不可能为零
C．铁球从最低点向平衡位置运动的过程中，回复力的功率一直增大
D．若弹簧振动过程的振幅可调，且保证木质框架不会离开桌面，则铁球的振幅最大是
【答案】D。
【解析】解：A．在关于平衡位置对称的两侧，振子的速度相同时，弹簧的弹性势能不
同，故A错误；
B．在平衡位置两侧铁球所受的合力方向相反，则在关于平衡位置对称的四分之一个周
期内，铁球所受合外力冲量大小为零，故B错误；
C．铁球从最低点向平衡位置运动的过程中，回复力减小直到为零，速度从零开始增加，
由P＝Fv可得回复力的功率先增加后减小，故C错误；
D．若要保证木质框架不会离开桌面，则框架对桌面的最小压力恰好等于 0，以框架为
研究对象，弹簧对框架向上的作用力等于框架重力 Mg，则轻弹簧处于压缩状态，弹簧
的弹力F＝Mg＝kx′，压缩量为x′＝ ，小铁球处于平衡位置时，弹簧处于伸长状
态，伸长量为x＝ ，所以铁球的振幅为A＝x+x′＝ ，故D正确。
16．（2022春•宁河区校级期末）如图所示，长度为L的轻绳上端固定在O点，下端系一
小球（小球可以看成质点），在O点正下方的P点固定一颗小钉子，现将小球拉到点A
处，轻绳被拉直，然后由静止释放小球．点B是小球运动的最低位置，点C（图中未标
出）是小球能够到达的左方最高位置，已知点A与点B之间的高度差为h，h＜L，A、
1
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6
学科网（北京）股份有限公司B、P、O在同一竖直平面内，小球第一次从A点到B点所用时间为t ，小球第一次从B
1
点到C点所用时间为t ，已知t ＝2t ，OA、PC与OB之间的夹角很小，则OP的长度为
2 1 2
（ ）
A． L B． L C． L D． L
【答案】B。
【解析】解：由于OA、PC与OB之间的夹角很小，所以小球从A点到B点和从B点到
C点的运动都可以看作是单摆运动，根据单摆周期公式T＝2 有
，
，
又t ＝2t ，
1 2
所以
，
，
故ACD错误，B正确。
（多选）17．（2021•淄博模拟）如图所示，在倾角为30°的光滑固定斜面上，有一劲度系
数为k的轻质弹簧，其一端固定在固定挡板C上，另一端连接一质量为m的物体A，有
一轻质细绳绕过定滑轮，细绳的一端系在物体A上（细绳与斜面平行），另一端有一细
绳套，物体A处于静止状态。当在细绳套上轻轻挂上一个质量也为m的物体B后，物
体A将沿斜面做简谐运动。运动过程中B始终未接触地面，不计绳与滑轮间的摩擦阻力，
重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．未挂重物B时，弹簧的形变量为
B．物体A的振幅为
C．物体A的最大速度大小为
D．细绳对物体B拉力的最大值为2mg
【答案】BC。
【解析】解：A、未挂物体B时，设弹簧压缩量为x ，对于物体A由平衡条件有：kx
1 1
﹣mgsin30°＝0，解得：x ＝ ，故A错误；
1
B、当在细绳套上轻轻挂上一个质量也为m的物体B，然后让A与B组成的系统重新平
衡，此时设弹簧的伸长量为x ，则：mg＝kx +mgsin30°，可得：x ＝ ，结合简谐振
2 2 2
动的特点可知，该位置为物体A做简谐振动的平衡位置；结合简谐振动的特点可知，物
体A的振幅为 ，故B正确；
C、在细绳套上轻轻挂上一个质量也为m的物体B并释放B后，当物体A向上移动的距
离为： 时，物体A具有最大的速度，由于此时弹簧的伸长量x 等于开始时
2
弹簧的压缩量x ，所以物块A向上运动的过程中A与B组成的系统的机械能守恒，设
1
最大速度为v，对于A、B及弹簧组成的系统由机械能守恒定律得：
mg（x +x ）﹣mg（x +x ）sin30°＝ ×2mv2
1 2 1 2
将x 、x 代入得：v＝ ，故C正确；
1 2
D、刚刚在细绳套上轻轻挂上一个质量也为m的物体B并释放B时，A的加速度最大，
设加速度为a，此时绳子的拉力为T，则对A：T﹣mgsin30+kx ＝ma，
1
1
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学科网（北京）股份有限公司对B：mg﹣T＝ma，联立可得：a＝0.5g；结合简谐振动的对称性可知，当A在最高点
时，A与B的加速度的大小也等于0.5g，此时绳子的拉力最大，设此时绳子的拉力为
T′，对B：T′﹣mg＝ma；可得：T′＝1.5mg。故D错误。
18．（2022春•邢台月考）如图所示，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直
方向做简谐运动，其偏离平衡位置的位移随时间的变化规律满足 y＝0.15sin t
（m）（以竖直向下为正方向）。已知t＝0时一小球从与弹簧上端等高处由静止开始自
由落下，t＝0.3s时小球恰好与物块处于同一高度，取重力加速度大小g＝10m/s2。求：
（1）0～0.3s时间内物块通过的路程s；
（2）小物块的平衡位置到弹簧上端的距离d。
【答案】（1）0～0.3s时间内物块通过的路程s为0.75m；
（2）小物块的平衡位置到弹簧上端的距离d为0.3m。
【解析】解：（1）根据y＝0.15sin t（m）可知 ＝ rad/s，则物块的振动周
期为 ω
T＝ ＝ s＝0.24s
则n＝ ＝ ＝1.25，故0～0.3s时间内物块通过的路程s＝1.25×4A＝5×0.15m＝
0.75m
（2）将t＝0.3s代入y＝0.15sin t（m），得y＝0.15m
0～0.3s时间内小球下落的高度h＝ ＝ m＝0.45m
故小物块的平衡位置到弹簧上端的距离d＝h﹣y＝0.45m﹣0.15m＝0.3m
19．（2022春•邢台月考）如图所示为水平放置的两个弹簧振子 A和B的振动图象，已知
两个振子质量之比为m ：m ＝1：9，弹簧的劲度系数之比为k ：k ＝1：4，求：
A B A B
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学科网（北京）股份有限公司（1）它们的周期之比T ：T ；
A B
（2）它们的最大加速度之比为a ：a ；
A B
（3）它们在0～1.2s内的路程之比s ：s 。
A B
【答案】（1）它们的周期之比为2：3；
（2）它们的最大加速度之比为9：2；
（3）它们在0～1.2s内的路程之比为3：1。
【解析】解：（1）已知两个振子质量之比为m ：m ＝1：9，弹簧的劲度系数之比为
A B
k ：k ＝1：4，根据弹簧振子的周期公式 T＝2 得，周期之比T ：T ＝ ：
A B A B
＝2：3．
（2）根据简谐运动的特征：F＝﹣kx＝ma，分析得知，当振子的位移最大时，加速度
最大．振子的最大位移大小等于振幅．由图读出，振幅之比A ：A ＝2：1．根据牛顿
A B
第二定律得最大加速度之比为a ：a ＝9：2
A B
（3）由图可知T ＝0.4s；T ＝0.6s，t＝1.2s＝3T ＝2T ，所以s ＝3×4A＝3×4×10cm＝
A B A B A
120cm，所以s ＝2×4A＝2×4×5cm＝40cm，所以s ：s ＝3：1
B A B
20．（2022春•秦州区校级月考）图甲是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C
是摆球所能到达的最远位置。设摆球向右方向运动为正方向。图乙是这个单摆的振动图
像。根据图像回答：
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0
学科网（北京）股份有限公司（1）单摆振动的频率是多大？
（2）开始时刻摆球在何位置？
（3）若当地的重力加速度为10m/s2，试求这个摆的摆长是多少。
【答案】（1）单摆振动的频率是1.25Hz。
（2）开始时刻摆球在B处。
（3）这个摆的摆长是0.16m。
【解析】解：（1）由图乙所示图象可知，单摆周期T＝0.8s，
单摆的频率f＝ Hz＝1.25Hz
（2）由图乙所示图象可知，在t＝0s时，摆球处于负的最大位移，
摆球向右方向运动为正方向，因此开始时，摆球在B处．
（3）由单摆周期公式T＝2 可知：L＝
代入数据解得，摆长：L≈0π.16m
21．（2021春•南京期末）如图所示，弹性绳一端系于P点，绕过Q处的小滑轮，另一端
与质量为m、套在粗糙竖直固定杆A处的圆环相连，P、Q、A三点等高，弹性绳的原
长恰好等于PQ间距，圆环与杆间的动摩擦因数为0.5.圆环从A点由静止释放，释放瞬
间，圆环的加速度大小为 g，到达最低点C.重力加速度为g，弹性绳始终遵循胡克定律.
求：
（1）释放瞬间弹性绳中拉力大小F；
（2）分析圆环向下运动过程中速度和加速度变化情况；
（3）证明：圆环向下做简谐运动.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）释放瞬间弹性绳中拉力大小为mg；
（2）当圆环所受合力等于零时速度最大，加速度等于零，所以速度先变大后变小，方
向始终向下；加速度先变小后变大，方向先向下再向上；
（3）见解析.
【解析】解：（1）释放瞬间，根据牛顿第二定律mg﹣f＝ma
其中f＝ F
N
F＝F N μ
联立解得
F＝mg
（2）当圆环所受合力等于零时速度最大，加速度等于零，所以速度先变大后变小，方
向始终向下；加速度先变小后变大，方向先向下再向上。
（3）设小环向下运动到O点时受力平衡，则此时，水平方向
F ＝k|OQ|sin∠AOQ
N
即
F ＝k|AQ|
N
保持不变，所以摩擦力也不变依然为
f＝0.5mg
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学科网（北京）股份有限公司竖直方向
k|OQ|cos∠AOQ＝0.5mg
即
k|AO|＝0.5mg
当圆环向下运动到0点上方某点B时，相对于O点位移向上，受力向下
F回 ＝mg﹣f﹣k|BQ|cos∠ABQ
F回 ＝0.5mg﹣k|AB|
F回 ＝0.5mg﹣k （|AO|﹣|OB|）
F回 ＝k|OB|
同理可证，当圆环向下运动到O点下方时，回复力向上，与偏离平衡位置的位移大小成
正比。
综上，回复力大小和偏移平衡位置的位移大小成正比，方向与位移相反，圆环向下做简
谐运动。
22．（2020秋•秦淮区校级期末）如图所示，两木块的质量分别为 m、M，中间竖直弹簧
的劲度系数为k，弹簧下端与M连接，弹簧上端放置物体m。现将m下压一段距离释放，
它将上下做简谐运动，振动过程中，m始终没有离开弹簧，重力加速度为g。试求：
（1）m振动时振幅可能的最大值；
（2）m以最大振幅振动时，M对地面的最大压力大小。
【答案】（1）m振动时振幅可能的最大值为 ；
（2）m以最大振幅振动时，M对地面的最大压力大小为Mg+2mg。
【解析】解：（1）在平衡位置时，设弹簧的压缩量为x ，则有kx ＝mg
0 0
要使m在振动过程中不离开弹簧，m振动的最高点不能高于弹簧原长处，所以m振动
时振幅的最大值A＝x ＝
0
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学科网（北京）股份有限公司（2）m以最大振幅A振动时，振动到最低点，弹簧的压缩量最大，为2A＝2x ＝
0
对M进行受力分析，F ＝Mg+k ＝Mg+2mg
N
23．（2021秋•喀什市校级期中）如图，质量分别为M、m的物块水平叠放在光滑水平地
面上，一劲度系数为K的轻弹簧与M相连，它们以O为平衡位置在B、C间做简谐振
动，m与M间动摩擦因数为 ，m与M始终相对静止．
（1）在从O向B运动过程中μ，摩擦力对m做正功还是负功？
（2）若它们的振幅为A，求m在振动过程中受到的最大静摩擦力多大？
（3）要想两物块不发生相对滑动，振幅A最大为多少？
【答案】（1）在从O向B运动过程中，摩擦力对m做负功；
（2）若它们的振幅为A，m在振动过程中受到的最大静摩擦力为 ；
（3）要想两物块不发生相对滑动，振幅A最大为 ．
【解析】解：（1）在从O向B运动过程中，物体m受重力、支持力和静摩擦力，动能
减小，合力做负功；由于重力和支持力不做功，故静摩擦力做负功；
（2）设位移为x，整体的加速度大小为：a＝ ；物体m受重力、支持力和静摩擦力，
根据牛顿第二定律，有：f＝ma＝ ，当x取最大值A时，静摩擦力达到最大值，最
大值为 ；
（3）当物体达到振幅位置时，静摩擦力最大；要想两物块不发生相对滑动，到达最大
位移处时静摩擦力达到最大值；
故
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学科网（北京）股份有限公司解得：A＝
（多选）24．（2022•浙江）位于x＝0.25m的波源P从t＝0时刻开始振动，形成的简谐横
波沿x轴正负方向传播，在t＝2.0s时波源停止振动，t＝2.1s时的部分波形如图所示，
其中质点a的平衡位置x ＝1.75m，质点b的平衡位置x ＝﹣0.5m。下列说法正确的是
a b
（ ）
A．沿x轴正负方向传播的波发生干涉
B．t＝0.42s时，波源的位移为正
C．t＝2.25s时，质点a沿y轴负方向振动
D．在0到2s内，质点b运动总路程是2.55m
【答案】BD。
【解析】解：A、沿x轴正负方向传播的波不会相遇，因而不能发生干涉，故A错误；
B、由图可知，2.0﹣2.1s内波传播的距离为x＝0.50m﹣0.25m＝0.25m，则波速为v＝
＝ m/s＝2.5m/s，由图可知波长为 ＝1m，则周期为T＝ ＝ s＝0.4s。
在t＝2.0s时间内，波传播的距离为x＝λvt＝2.5×2m＝5m＝5 ，即形成5个波长波形，则
λ
知波源的起振方向沿y轴正方向。因t＝0.42s＝1 T，所以t＝0.42s时，波源的位移为
正，故B正确；
C、t＝2.1s时质点a位于波谷，t＝2.1s到t＝2.25s经历时间Δt＝0.15s＝ T，则t＝2.25s
时，质点a沿y轴正方向振动，故C错误；
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学科网（北京）股份有限公司D、波从波源传到质点b的时间为t ＝ ＝ s＝0.3s，在0到2s内，质点b振动时
1
间为t ＝2s﹣0.3s＝1.7s＝4 T，则在0到2s内，质点b运动总路程是s＝4.25×4A＝
2
4.25×4×15cm＝255cm＝2.55m，故D正确。
25．（2022•上海）在“用单摆测定当地的重力加速度”的实验中：
（1）摆线质量和摆球质量分别为m线 和m球 ，摆线长为l，摆球直径为d，则 （ D ）
；
（A）m线≫m球 ，l≪d
（B）m线≫m球 ，l≫d
（C）m线≪m球 ，l≪d
（D）m线≪m球 ，l≫d
（2）小明在测量后作出的T2﹣l图线如图所示，则他测得的结果是g＝ 9.75 m/s2。
（保留2位小数）
（3）为了减小误差，应从最高点还是最低点开始计时，请简述理由。
【答案】（1）（D）；（2）9.75；（3）见解析
【解析】解：（1）根据实验原理可知，摆线质量要远小于摆球质量，而摆线长度要远
大于摆球直径，故（D）正确，（ABC）错误；
【答案】（D）。
（2）根据单摆的周期公式 可知，
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学科网（北京）股份有限公司即图像中的斜率为
解得：g＝9.75m/s2。
（3）为了减小误差，应从最低点开始计时，因为单摆在摆动过程中经过最低点速度最
大，最高点速度最小，在最低点计时误差比较小。
26．（2021•江苏）如图所示，半径为R的圆盘边缘有一钉子B，在水平光线下，圆盘的转
轴A和钉子B在右侧墙壁上形成影子O和P，以O为原点在竖直方向上建立x坐标系。
t＝0时从图示位置沿逆时针方向匀速转动圆盘，角速度为 ，则P做简谐运动的表达式
为（ ） ω
A．x＝Rsin（ t﹣ ） B．x＝Rsin（ t+ ）
ω ω
C．x＝2Rsin（ t﹣ ） D．x＝2Rsin（ t+ ）
【答案】B。 ω ω
【解析】解：t时刻转动角度为 t，总角度为 t+ ，所以x＝Rsin（ t+ ），故B
正确，ACD错误。 ω ω ω
27．（2021•河北）如图，一弹簧振子沿x轴做简谐运动，振子零时刻向右经过 A点，2s
时第一次经过B点，已知振子经过A、B两点时的速度大小相等，2s内经过的路程为
6m，则该简谐运动的周期为 4 s，振幅为 3 m。
【答案】4；3。
【解析】解：振子从A点向右开始计时，振子先到达右侧最大位移处，再反向到达平衡
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学科网（北京）股份有限公司位置，最后到达B点用时2s，因B点的速度大小和A点速度大小相等，则说明AB关于
平衡位置对称；则可知2s时间对应 ，故周期T＝2×2s＝4s；
因半个周期内对应的路程为2A，则有2A＝6m，解得A＝3m。
28．（2021•广东）如图所示，一个轻质弹簧下端挂一小球，小球静止。现将小球向下拉动
距离A后由静止释放，并开始计时，小球在竖直方向做简谐运动，周期为T。经 时间，
小球从最低点向上运动的距离 小于 （选填“大于”、“小于”或“等于”）；
在 时刻，小球的动能 最大 （选填“最大”或“最小”）。
【答案】小于，最大。
【解析】解：小球从最低点向上运动的过程中做变加速运动，在 时间内运动的距离为
A，小球在前 时间内的平均速度小于后 时间内的平均速度，则经 时间，小球从最
低点向上运动的距离小于 。在 时刻，小球到达平衡位置，动能最大。
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