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第11 课时 一次函数的图象与性质
1.(2024·新疆)若一次函数y=kx+3的函数值y随x的增大而增大,则k的值可以是 ( )
A.-2 B.-1 C.0 D.1
2.(2024·通辽)如图,在同一平面直角坐标系中,一次函数y=k x+b 与y=k x+b (其中k k ≠0,k ,k ,b ,
1 1 2 2 1 2 1 2 1
b 为常数)的图象分别为直线l ,l .下列结论正确的是 ( )
2 1 2
A.b +b >0 B.b b >0 C.k +k <0 D.k k <0
1 2 1 2 1 2 1 2
3.(2024·唐山路南区二模)若m<-2,则一次函数y=(m+1)x+1-m的图象不经过( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.(2024·青海)如图,一次函数y=2x-3的图象与x轴相交于点A,则点A关于y轴的对称点是( )
A.( 3 ) B.(3 ) C.(0,3) D.(0,-3)
- ,0 ,0
2 2
5.(2024·山西)已知点A(x ,y ),B(x ,y )都在正比例函数y=3x的图象上,若x y B.y 2
8.若函数y=3x-1与函数y=x-k的图象交点在第四象限,则k的取值范围为 ( )
1 1 1
A.k< B. 1或k<
3 3 3
9.如图,一次函数y=kx+b的图象经过平面直角坐标系中四个点:A(1,1),B(3,2),C(2,3),D(1,3)中的任
意两个,则符合条件的k的最大值为 ( )
A.4 B.2 C.1 D.-2
10.在平面直角坐标系中,一条直线与两坐标轴围成的三角形是等腰三角形,则该直线的解析式可
能为 (写出一个即可).
11.(2024·凉山州)如图,一次函数y=kx+b的图象经过A(3,6)、B(0,3)两点,交x轴于点C,则△AOC
的面积为 .
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12.(2024·北京)在平面直角坐标系xOy中,函数y=kx+b(k≠0)与y=-kx+3的图象交于点(2,1).
(1)求k,b的值.
(2)当x>2时,对于x的每一个值,函数y=mx(m≠0)的值既大于函数 y=kx+b的值,也大于函数 y=-
kx+3的值,直接写出m的取值范围.
1.(2024·南充)当2≤x≤5时,一次函数y=(m+1)x+m2+1有最大值6,则实数m的值为 ( )
A.-3或0 B.0或1 C.-5或-3 D.-5或1
2.观察下面一组直线的特点,我们称这样的两条直线为“直线y=1的伴侣直线”.
1 1
①直线y=x+2和直线y=-x; ②直线y= x-1和直线y=- x+3;
2 2
1 5 2 1 2 5
③直线y=2x+ 和直线y=-2x+ ; ④直线y= x- 和直线y=- x+ .
3 3 3 2 3 2
则下列选项中的两条直线属于“直线y=1的伴侣直线”的是 ( )
A.直线y=x+3和直线y=2x-1 B.直线y=3x-1和直线y=-2x+4
1 1
C.直线y= x+1和直线y=- x D.直线y=-3x+1和直线y=3x+1
3 3
3.河北特色考法如图,在平面直角坐标系xOy中,直线l:y=kx+2(k≠0)经过点M(m,1)和点N(1,4).
(1)△MON的面积为 .
1
(2)当x>- 时,对于x的每一个值,函数y=nx(n≠0)的值小于一次函数y=kx+2(k≠0)的值,请写出满足
2
条件的整数n的个数为 .
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4.(2024·石家庄模拟)在平面直角坐标系中,已知直线l:y=(k-1)x+3与y轴交于点P,矩形ABCD的
顶点坐标分别为A(-2,1),B(-2,-2),C(3,-2).
(1)若点D在直线l上,求k的值.
(2)若直线l将矩形面积分成相等的两部分,求直线l的函数解析式.
(3)若直线l与矩形ABCD有交点(含边界),直接写出k的取值范围.
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【详解答案】
基础夯实
1.D 解析:由题意,得k>0,观察选项,只有选项D符合题意.故选D.
2.A 解析:由题图可得,b=2,b=-1,k>0,k>0,
1 2 1 2
∴b+b >0,故选项A正确,符合题意;
1 2
bb<0,故选项B错误,不符合题意;
1 2
k+k >0,故选项C错误,不符合题意;
1 2
kk>0,故选项D错误,不符合题意.故选A.
1 2
3.C 解析:若m<-2,则m+1<-1<0,1-m>3>0,
∴一次函数y=(m+1)x+1-m的图象不经过第三象限.故选C.
4.A 解析:对于一次函数y=2x-3,令y=0,可得x=3,∴A(3 ),
,0
2 2
∴点A关于y轴的对称点的坐标为( 3 ).故选A.
- ,0
2
5.B 解析:∵正比例函数y=3x的比例系数是3>0,∴y随x的增大而增大.
又∵x0,
∴一次函数y=kx-k的图象经过第一、二、四象限.故选C.
7.A 解析:由题图可得,当x≤2时,kx+b≤0,∴不等式kx+b≤0的解集为x≤2.故选A.
{y=3x-1,
8.B 解析:解方程组 得
y=x-k,
1-k
{ x= ,
2
1-3k
y= ,
2
即两函数图象的交点坐标是(1-k 1-3k),
,
2 2
∵函数y=3x-1与函数y=x-k的图象交点在第四象限,
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1-k
{ >0,
∴ 2 解得1 >- >-1,
2 2
∴k的最大值为2.故选B.
10.y=x+1(答案不唯一) 解析:∵直线y=kx+b与两坐标轴围成的三角形是等腰三角形,
∴可设直线y=kx+b与x轴的交点坐标为(-1,0),与y轴的交点坐标为(0,1),
{-k+b=0, {k=1,
把(-1,0),(1,0)分别代入y=kx+b得 解得
b=1, b=1,
∴此时直线的解析式为y=x+1.
11.9 解析:∵一次函数y=kx+b的图象经过A(3,6)、B(0,3)两点,
{3k+b=6, {k=1,
∴ 解得
b=3, b=3,
∴一次函数的解析式为y=x+3,
当y=0时,x=-3,
∴C(-3,0),
1
∴S = ×3×6=9.
△AOC
2
12.解:(1)∵直线y=-kx+3经过点(2,1),
∴-2k+3=1,解得k=1,
将点(2,1)代入y=x+b,得2+b=1,解得b=-1.
(2)m的取值范围为m≥1.
解析:如图,∵当x>2时,对于x的每一个值,函数y=mx(m≠0)的值既大于函数y=x-1的值,也大于函数y=-x+3的值,
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∴m≥1.
能力提升
1.A 解析:当m+1>0,即m>-1时,y随x的增大而增大,
∴当x=5时,一次函数y=(m+1)·x+m2+1有最大值6,
∴5(m+1)+m2+1=6,
解得m=0,m=-5(舍去),
1 2
当m+1<0,即m<-1时,y随x的增大而减小,
∴当x=2时,一次函数y=(m+1)·x+m2+1有最大值6,
∴2(m+1)+m2+1=6,
解得m=-3,m=1(舍去),
1 2
综上,实数m的值为0或-3.故选A.
2.D 解析:由题意可知,直线 y=1 的伴侣直线的定义的两个条件:两直线 y=kx+b ,y=kx+b ,① k+k =0,
1 1 1 2 2 2 1 2
②b+b =2.
1 2
A.由k=1,k=2,b=3,b=-1得,k+k =3,b+b =2,故该选项不符合题意;
1 2 1 2 1 2 1 2
B.由k=3,k=-2,b=-1,b=4得,k+k =1,b+b =3,故该选项不符合题意;
1 2 1 2 1 2 1 2
1 1
C.由k= ,k=- ,b=1,b=0得,k+k =0,b+b =1,故该选项不符合题意;
1 2 1 2 1 2 1 2
3 3
D.由k=-3,k=3,b=1,b=1得,k+k =0,b+b =2,故该选项符合题意.故选D.
1 2 1 2 1 2 1 2
3
3.(1) (2)4 解析:(1)将点N(1,4)代入直线l:y=kx+2,得4=k+2,解得k=2,
2
∴直线l的解析式为y=2x+2,
1
将点M(m,1)代入y=2x+2,得1=2m+2,解得m=- ,
2
∴M( 1 ).
- ,1
2
如图,连接MO,NO,直线与y轴交于点A,
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当x=0时,y=2,∴A(0,2),
1 1 1 3
∴S =S +S = ×2× + ×2×1= .
△MON △MOA △NAO
2 2 2 2
(2)由(1)得直线l的解析式为y=2x+2,
1
∵当x>- 时,对于x的每一个值,函数y=nx(n≠0)的值小于一次函数y=kx+2(k≠0)的值,
2
1
∴要保证x=- 时,函数y=nx的值不大于函数y=2x+2的值,
2
1
当x=- 时,y=2x+2=1,
2
1
令- n≤1,得n≥-2,
2
当n=2时,两直线平行,符合题意,
∴n的取值范围是-2≤n≤2,n≠0,
∴n可取的整数有-2,-1,1,2,共4个.
4.解:(1)由题意,可知点D(3,1),
将点D(3,1)代入直线l:y=(k-1)·x+3中,得1=3k-3+3,
1
解得k= .
3
(2)∵矩形是中心对称图形,直线l将矩形分成面积相等的两部分,
∴直线l一定经过矩形的对称中心.
∵矩形顶点A(-2,1),C(3,-2),
∴其对称中心的坐标为(1 1),
,-
2 2
1 1
将其代入直线l:y=(k-1)x+3中,得- = (k-1)+3,解得k=-6,
2 2
∴直线l的函数解析式为y=-7x+3.
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1
(3)k≥2或k≤ .
3
解析:如图:
∵A(-2,1),D(3,1),
∴当直线l:y=(k-1)x+3经过A(-2,1)时,1=-2(k-1)+3,
解得k=2,
当直线l:y=(k-1)x+3经过D(3,1)时,1=3(k-1)+3,
1
解得k= ,
3
1
由图象可知,k的取值范围是k≥2或k≤ .
3
9
