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一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集U ={1,2,3,4,5}，集合A={1,2}，B={2,3,4}，则𝐵∩∁ 𝐴=
𝑈
A．{2} B．{3,4} C．{1,4,5} D．{2,3,4,5}
π x2 y2 y2 x2
2．已知0<q< ，则双曲线C ： - =1与C ： - =1的
4 1 sin2q cos2q 2 cos2q sin2q
A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等
3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q
是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为
A．(Øp)∨(Øq) B． p∨(Øq) C．(Øp)∧(Øq) D． p∨q
第1页 | 共14页4．四名同学根据各自的样本数据研究变量x,y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分
别得到以下四个结论：
① y与x负相关且y=2.347x-6.423； ② y与x负相关且y=-3.476x+5.648；
③ y与x正相关且y=5.437x+8.493； ④ y与x正相关且y=-4.326x-4.578.
其中一定不正确的结论的序号是
A．①② B．②③ C．③④ D． ①④
5．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快
速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是
6．将函数y= 3cosx+sinx (xÎR)的图象向左平移m (m>0)个单位长度后，所得到的
图象关于y轴对称，则m的最小值是
π π π 5π
A． B． C． D．
12 6 3 6
第2页 | 共14页uuur uuur
7．已知点A(-1,1)、B(1, 2)、C(-2, -1)、D(3, 4)，则向量AB在CD方向上的投影为
3 2 3 15 3 2 3 15
A． B． C．- D．-
2 2 2 2
8．x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数 f(x)=x-[x]在R上为
A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D． 周期函数
9．某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客
量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数
不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为
A．31200元 B．36000元 C．36800元 D．38400元
第3页 | 共14页10．已知函数 f(x)=x(lnx-ax) 有两个极值点，则实数a的取值范围是
1
A．(-¥, 0) B．(0, ) C．(0,1) D．(0, +¥)
2
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二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分．请将答案填在答题卡对
第4页 | 共14页应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.
11．i为虚数单位，设复数z ，z 在复平面内对应的点关于原点对称，
1 2
开始
若z =2-3i，则z = .
1 2
m
输入
A=1, B=1, i=0
i=i+1
A=A´m
B=B´i
否
A<B?
是
i
输出
结束
第13题图
12．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：
7，8，7，9，5，4，9，10，7，4
则（Ⅰ）平均命中环数为 ；
（Ⅱ）命中环数的标准差为 .
13．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输入m的值为2，
则输出的结果i= .
第5页 | 共14页π
14．已知圆O：x2 + y2 =5，直线l：xcosq+ ysinq=1（0<q< ）.设圆O上到直线
2
l的距离等于1的点的个数为k，则k = .
[答案] 4
1
[解析] 圆心（0,0）到直线的距离d = =1，所以直线两侧的圆弧上离直线最
sin2q+cos2q
远的距离分别为 5+1和 5-1，且都大于1，故直线两侧分别能找到2个点到直线的距离
等于1，共有4个点.
[学科网考点定位] 本题考查直线与圆的位置关系，考查数型结合的思想.
5
15．在区间[-2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|£m的概率为 ，
6
则m= .
16．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天
池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸. 若盆
中积水深九寸，则平地降雨量是 寸.
（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）
17．在平面直角坐标系中，若点P(x,y)的坐标x，y均为整数，则称点P为格点. 若一个多
边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形. 格点多边形的面积记为S，其内部
的格点数记为N，边界上的格点数记为L. 例如图中△ABC是格点三角形，对应的S =1，
N =0，L=4.
第6页 | 共14页（Ⅰ）图中格点四边形DEFG对应的S, N, L分别
是 ；
（Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为
S =aN +bL+c，其中a，b，c为常数.
若某格点多边形对应的N =71，L=18，
则S = （用数值作答）.
[答案] （Ⅰ）S =3，N =1，L=6. （Ⅱ）79 第17题图
1
[解析] (1) 由图知，面积S = ´4+1=3,内部整点有1个，则
2
N =1,边界上有整点6个，则L=6.即S =3，N =1，L=6.
1 1
(2) 又在图中可以发现一个面积为 的三角形， S = ,N =0，L=3,则根据题意有
2 2
三、解答题：本大题共 5 小题，共 65 分．解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.
18．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c. 已知cos2A-3cos(B+C)=1.
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积S =5 3，b=5，求sinBsinC的值.
第7页 | 共14页19．（本小题满分13分）
已知S 是等比数列{a }的前n项和，S ，S ，S 成等差数列，且a +a +a =-18.
n n 4 2 3 2 3 4
（Ⅰ）求数列{a }的通项公式；
n
（Ⅱ）是否存在正整数n，使得S ³2013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；
n
若不存在，说明理由．
[答案] （Ⅰ）a =3(-2)n-1 （Ⅱ）存在 n|n=2k+1,kÎN,k ³5
n
20．（本小题满分13分）
如图，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A 处发现矿藏，
1
再继续下钻到A 处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为AA =d ．同样可
2 1 2 1
第8页 | 共14页得在B，C处正下方的矿层厚度分别为BB =d ，CC =d ，且d <d <d . 过AB，AC
1 2 2 1 2 3 1 2 3
的中点M ，N且与直线AA 平行的平面截多面体ABC -A B C 所得的截面DEFG为该
2 1 1 1 2 2 2
多面体的一个中截面，其面积记为S ．
中
（Ⅰ）证明：中截面DEFG是梯形；
（Ⅱ）在△ABC中，记BC =a，BC边上的高为h，面积为S. 在估测三角形ABC区域
内正下方的矿藏储量（即多面体 ABC -A B C 的体积V ）时，可用近似公式
1 1 1 2 2 2
1
V =S ×h来估算. 已知V = (d +d +d )S，试判断V 与V的大小关系，并加
估 中 3 1 2 3 估
以证明.
第9页 | 共14页21．（本小题满分13分）
ax+b
设a>0，b>0，已知函数 f(x)= .
x+1
（Ⅰ）当a¹b时，讨论函数 f(x)的单调性；
（Ⅱ）当x>0时，称 f(x)为a、b关于x的加权平均数.
b b b b
（i）判断 f(1), f( ), f( )是否成等比数列，并证明 f( )£ f( ) ；
a a a a
2ab
（ii）a、b的几何平均数记为G. 称 为a、b的调和平均数，记为H.
a+b
若H £ f(x)£G，求x的取值范围.
第10页 | 共14页b b é b bù
得 £x£ ，即x的取值范围为ê , ú.
a a a a
ë û
[学科网考点定位] 本题考查函数的性质，考查分类讨论的思想方法.
22．（本小题满分14分）
如图，已知椭圆C 与C 的中心在坐标原点O，长轴均为MN 且在x轴上，短轴长分别
1 2
第11页 | 共14页为2m，2n (m>n)，过原点且不与x轴重合的直线l与C ，C 的四个交点按纵坐标从
1 2
m
大到小依次为A，B，C，D．记l= ，△BDM 和△ABN 的面积分别为S 和S .
n 1 2
（Ⅰ）当直线l与y轴重合时，若S =lS ，求l的值；
1 2
（Ⅱ）当l变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S =lS ？并说明理由．
1 2
1 1 1 1
S = |BD|×|OM |= a|BD|，S = |AB|×|ON|= a|AB|.
1 2 2 2 2 2
第12页 | 共14页n2(l2t2 -1)
因为k ¹0，所以k2 >0. 于是③式关于k有解，当且仅当 >0，
a2(1-t2)
1 1
等价于(t2 -1)(t2 - )<0. 由l>1，可解得 <t<1，
l2 l
第13页 | 共14页第14页 | 共14页
