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第22课时 锐角三角函数及其应用
1.(2024·石家庄桥西区模拟)如图,已知在Rt△ABC中,∠B=90°,则cos A= ( )
BC AB BC AB
A. B. C. D.
AC AC AB BC
2.(2024·石家庄桥西区模拟)如图,从热气球P看一面墙底部B的俯角是 ( )
A.∠PAC B.∠CPA C.∠PBC D.∠BPC
4
3.如图,在△ABC中,AB=AC=5,sin B= ,则BC的长是 ( )
5
A.3 B.6 C.8 D.9
4.(2024·石家庄裕华区一模)嘉淇先向北偏西45°方向走30 m,又向南偏西45°方向走30 m,她现在
所站的位置在起点的( )方向上 ( )
A.正北 B.正西 C.西北 D.西南
5.(2024·唐山丰南区二模)如图,小明在点C处测得树的顶端A仰角为62°,测得BC=10米,则树的
高AB(单位:米)为 ( )
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10 10
A. B.
sin62° tan62°
C.10tan 62° D.10sin 62°
6.梯子(长度不变)与地面所成的锐角为A,关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间,叙述正
确的是 ( )
A.sin A的值越大,梯子越陡
B.cos A的值越大,梯子越陡
C.tan A的值越小,梯子越陡
D.陡缓程度与∠A的函数值无关
7.科技强国(2024·长春)2024年5月29日16时12分,“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭
在黄海海域成功发射.当火箭上升到点A时,位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a
千米,仰角为θ,则此时火箭距海平面的高度AL为 ( )
a
A.asin θ千米 B. 千米
sinθ
a
C.acos θ千米 D. 千米
cosθ
8.如图,市政府准备修建一座高 AB=6 m 的过街天桥,已知天桥的坡面 AC 与地面 BC 的夹角
4
∠ACB的余弦值为 ,则坡面AC的长度为 ( )
5
15
A. m B.10 m
2
√30
C.√10 m D. m
2
9.(2024·石家庄模拟)如图,在 6×6 的正方形网格中,△ABC 的顶点都在小正方形的顶点上,则
sin∠BAC的值是 ( )
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3 4 3
A.1 B. C. D.
4 3 5
10.如图是拉线固定电线杆的示意图.点 A,D,B 在同一直线上.已知 CD⊥AB,CD=3√3
m,∠CAD=∠CBD=60°,则拉线AC的长是 m.
11.(2024·唐山古冶区二模)四边形具有不稳定性.如图,将面积为5的矩形“推”成面积为4的平
行四边形,则sin α= ;若α=30°,则平行四边形的面积为 .
1.数学文化第14届国际数学教育大会(ICME-14)会标如图1所示,会标中心的图案来源于我国古
代数学家赵爽的“弦图” .如图 2 所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形
(△ABE,△BCF,△CDG,△DAH)和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD.若EF∶AH=1∶3,
则sin ∠ABE= ( )
图1 图2
√5 3
A. B.
5 5
4 2√5
C. D.
5 5
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2.如图,一个钟摆的摆长OA的长为a,当钟摆从最左侧摆到最右侧时,摆角∠AOB为2x,点C是 ⏜
AB
的中点,OC与AB交于点D,则CD的长为 ( )
A.asin2x B.acos2x
C.a(1-sin x) D.a(1-cos x)
3.(2024·江西)将图 1 所示的七巧板,拼成图 2 所示的四边形 ABCD,连接 AC,则 tan∠CAB=
.
图1 图2
4.(2024·沧州孟村县模拟)如图1,嘉淇在量角器的圆心O处下挂一铅锤,制作了一个简易测角仪.将
此测角仪拿到眼前,使视线沿着仪器的直径刚好到达树的最高点M.
(1)在图1中,过点A画出水平线,并标记观测M的仰角α.若铅垂线在量角器上的读数为53°,求α
的值.
(2)如图2,已知嘉淇眼睛离地1.5米,站在B处观测M的仰角为(1)中的α,向前走1.25米到达D处,
此时观测点M的仰角为45°,求树MN的高度.( 3 3 4)
注:tan37°≈ ,sin37°≈ ,cos37°≈
4 5 5
图1 图2
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【详解答案】
基础夯实
AB
1.B 解析:∵∠B=90°,∴cos A= .故选B.
AC
2.D 解析:从热气球P看一面墙底部B的俯角是∠BPC.故选D.
3.B 解析:如图,过点A作BC的垂线,垂足为M,
AM
在Rt△ABM中,sin B= ,
AB
4
∴AM=5× =4,
5
∴BM= =3.
√52-42
又∵AB=AC,
∴BC=2BM=6.故选B.
4.B 解析:如图,
嘉淇先向北偏西45°方向走30 m,又向南偏西45°方向走30 m,她现在所站的位置在起点的正西方向上.故选B.
5.C 解析:由题意得,
∠ABC=90°,∠ACB=62°,
在Rt△ABC中,BC=10米,
∴AB=BC·tan 62°=10tan 62°(米).故选C.
6.A 解析:根据锐角三角函数值的变化规律,知sin A的值越大,∠A越大,梯子越陡.故选A.
7.A 解析:在Rt△ALR中,AR=a,∠ARL=θ,
AL
∴sin θ= ,
AR
∴AL=AR·sin θ=asin θ(千米).故选A.
8.B 解析:在Rt△ABC中,
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BC 4
cos∠ACB= = ,
AC 5
设BC=4x m,AC=5x m,则AB=3x m,
AB 3
则sin∠ACB= = ;
AC 5
又∵AB=6 m,∴AC=10 m.故选B.
9.D 解析:如图,过点B作AC的垂线,垂足为D,
令小正方形的边长为1,
则AB= =5.
√32+42
在Rt△ABD中,
BD 3
sin∠BAC= = .故选D.
BA 5
10.6 解析:在Rt△ACD中,
CD
sin∠CAD= ,
AC
CD 3√3
=
则AC=sin∠CAD √3 =6(m).
2
4 5
11. 解析:如图,过点A作AH⊥BC,垂足为H,
5 2
∵AB·BC=5,AH·BC=4,
AH 4
∴ = ,
AB 5
AH 4
∴sin α= = ,
AB 5
∵α=30°,
AH 1
∴sin 30°= = ,
AB 2
1
∴AH= AB,
2
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1 1 5
∴平行四边形的面积为BC·AH= AB·BC= ×5= .
2 2 2
能力提升
1.C 解析:根据题意,设EF=x,则AH=3x,
∵△ABE≌△DAH,四边形EFGH为正方形,
∴AH=BE=3x,HE=EF=x,
∴AE=4x,
∵∠AEB=90°,
∴AB= =5x,
√AE2+BE2
AE 4x 4
∴sin∠ABE= = = .故选C.
AB 5x 5
2.D 解析:∵点C是 ⏜ 的中点,
AB
1
⏜ ⏜
∴ ,∠AOC=∠BOC= ∠AOB=x,
AC=BC
2
∵OD=OD,OA=OB,
∴△OAD≌△OBD(SAS),
∴∠ODA=∠ODB=90°,
∴OD=OA·cos∠AOC=acos x,
∴CD=OC-OD=a-acos x=a(1-cos x).故选D.
1
3. 解析:如图,令AC与BD的交点为O,
2
∵∠ABD=∠CDB=90°,
∴CD∥AB,
又∵AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴AC与BD互相平分,
1
∴OB= BD.
2
∵AB=BD,
1
∴OB= AB.
2
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在Rt△AOB中,
OB 1
tan∠CAB= = .
AB 2
4.解:(1)如图1,过点A作AQ⊥OP,垂足为Q,
图1
∴∠AQO=90°,
∵∠AOQ=53°,
∴∠OAQ=α=90°-∠AOQ=37°,
∴α的值为37°.
(2)如图2,延长AC交MN于点E,
图2
由题意得:AB=CD=EN=1.5米,AC=BD=1.25米,AE⊥MN,
设CE=x米,
∴AE=AC+CE=(x+1.25)米,
在Rt△CEM中,∠MCE=45°,
∴ME=CE·tan 45°=x(米),
在Rt△AEM中,∠MAE=37°,
3
∴ME=AE·tan 37°≈ (x+1.25)米,
4
3
∴x= (x+1.25),
4
解得:x=3.75,
∴ME=3.75米,
∴MN=ME+EN=3.75+1.5=5.25(米),
∴树MN的高度约为5.25米.
9
