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第32课时 图形的平移与旋转
1.(2024·廊坊广阳区二模)如图所示,甲图案变为乙图案,可以用 ( )
A.旋转、平移 B.平移、轴对称
C.旋转、轴对称 D.平移
2.(2024·长沙)在平面直角坐标系中,将点P(3,5)向上平移2个单位长度后得到点P'的坐标为 (
)
A.(1,5) B.(5,5) C.(3,3) D.(3,7)
3.(2024·河北二模)如图,将直线l向右平移,当直线l经过点O时,直线l还经过点 ( )
A.M B.N C.P D.Q
4.(2024·河北三模)如图,三个完全相同的四边形组成的图案绕点O旋转可以和原图形重合,则旋
转角可以是 ( )
A.60° B.90° C.120° D.150°
5.(2024·河北三模)如图,将△ABC沿BA方向平移到△A'B'C',若AB=4,AB'=1,则平移距离为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
6.(2024·石家庄模拟)如图,点A,B分别是两个半圆的圆心,则该图案的对称中心是( )
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A.点A B.点B
C.线段AB的中点 D.无法确定
7.(2024·唐山丰润区一模)如图,将△ABC 沿 AB 方向平移,得到△BDE.若∠1=55°,∠2=35°,则
∠ADE的度数为 ( )
A.70° B.80°
C.90° D.100°
8.(2024·湖北)如图,点A的坐标是(-4,6),将线段OA绕点O顺时针旋转90°,点A的对应点的坐标是
( )
A.(4,6) B.(6,4)
C.(-6,-4) D.(-4,-6)
9.(2024·邯郸二模)如图,将△ABC绕点C逆时针旋转,旋转角为α(0°<α<180°),得到△CDE,这时点
A旋转后的对应点D恰好在直线AB上,则下列结论不一定正确的是( )
A.∠CBD=∠ECD
B.∠CAB=∠CDB
C.∠ECB=α
D.∠EDB=180°-α
10.(2024·辽宁)在平面直角坐标系中,线段AB的端点坐标分别为A(2,-1),B(1,0),将线段AB平移后,
点A的对应点A'的坐标为(2,1),则点B的对应点B'的坐标为 .
11.(2024·东营)如图,将△DEF沿FE方向平移3 cm得到△ABC,若△DEF的周长为24 cm,则四边
形ABFD的周长为 cm.
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12.(2024·雅安)如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,∠BAC=∠DAE=40°,将△ADE绕点A顺时针
旋转一定角度,当AD∥BC时,∠BAE的度数是 .
13.(2024·邢台模拟)小颖在一次拼图游戏中,发现了一个有趣的现象:她先用图形①②③④⑤拼出
了矩形 ABMN;接着拿走图形⑤.通过平移的方法,用①②③④拼出了矩形 ABCD.已知
OE∶AE=4∶3,图形④的面积为9,请你帮助她解决下列问题:
(1)拿走的图形⑤的面积为: .
20
(2)当CO=2,EH= 时,则S = .
7 矩形ABCD
14.(2024·泸州)定义:在平面直角坐标系中,将一个图形先向上平移a(a>0)个单位长度,再绕原点按
逆时针方向旋转 θ角度,这样的图形运动叫做图形的 ρ(a,θ)变换.如:点A(2,0)按照ρ(1,90°)变换后
得到点A'的坐标为(-1,2),则点B(√3,-1)按照ρ(2,105°)变换后得到点B'的坐标为 .
15.(2024·济宁)如图,△ABC三个顶点的坐标分别是A(1,3),B(3,4),C(1,4).
(1)将△ABC向下平移2个单位长度得△A B C .画出平移后的图形,并直接写出点B 的坐标.
1 1 1 1
(2)将△A B C 绕点B 逆时针旋转90°得△A B C .画出旋转后的图形,并求点C 运动到点C 所经
1 1 1 1 2 1 2 1 2
过的路径长.
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16.(2024·遵化二模)如图,桌面内,直线l上摆放着两块大小相同的直角三角板,它们中较大锐角的
度数为 60°.将△ECD 沿直线 l 向左平移到图的位置,使 E 点落在 AB 上,即点 E',点 P 为 AC 与
E'D'的交点.
(1)求∠CPD'的度数.
(2)求证:AB⊥E'D'.
1.(2024·威海)定义新运算:
①在平面直角坐标系中,{a,b}表示动点从原点出发,沿着x轴正方向(a≥0)或负方向(a<0)平移|a|个
单位长度,再沿着y轴正方向(b≥0)或负方向(b<0)平移|b|个单位长度.例如,动点从原点出发,沿着x
轴负方向平移2个单位长度,再沿着y轴正方向平移1个单位长度,记作{-2,1}.
②加法运算法则:{a,b}+{c,d}={a+c,b+d},其中a,b,c,d为实数.
若{3,5}+{m,n}={-1,2},则下列结论正确的是 ( )
A.m=2,n=7 B.m=-4,n=-3 C.m=4,n=3 D.m=-4,n=3
2.(2024·泰安)如图 1,在等腰直角三角形 ABC 中,∠ABC=90°,AB=CB,点 D,E 分别在 AB,CB 上,
DB=EB,连接AE,CD,取AE中点F,连接BF.
(1)求证:CD=2BF,CD⊥BF.
(2)将△DBE绕点B顺时针旋转到图2的位置.
①请直接写出BF与CD的位置关系: ;
②求证:CD=2BF.
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图1 图2
3.如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(2,-1),B(1,-2),C(3,-3).
(1)将△ABC向上平移4个单位长度,再向右平移1个单位长度,得到△A B C ,请画出△A B C .
1 1 1 1 1 1
(2)请画出△ABC关于y轴对称的△A B C .
2 2 2
(3)将△A B C 绕着原点O顺时针旋转 90°,得到△A B C ,求线段A C 在旋转过程中扫过的面积
2 2 2 3 3 3 2 2
(结果保留π).
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【详解答案】
基础夯实
1.A 解析:甲图案先绕根部旋转一定角度,再平移即可得到乙,只有A符合题意.故选A.
2.D 解析:将点P向上平移2个单位长度,则其横坐标不变,纵坐标增加2,所以点P'的坐标为(3,7).故选D.
3.B 解析:由平移的性质可知:将直线l向右平移,当直线l经过点O时,直线l还经过点点N,如图所示.故选B.
4.C
5.B 解析:∵将△ABC沿BA方向平移到△A'B'C',AB=4,AB'=1,
∴AB=A'B'=4,
∴AA'=A'B'-AB'=4-1=3,
∴平移距离为3.故选B.
6.C 解析:对称中心是线段AB的中点.故选C.
7.C 解析:∵将△ABC沿AB方向平移得到△BDE,∠1=55°,
∴∠1=∠EBD=55°.
∵∠2=35°,
∴∠ADE=∠ABC=180°-35°-55°=90°.故选C.
8.B 解析:如图所示,
分别过点A和点B作x轴的垂线,垂足分别为M和N,
由旋转可知,
OA=OB,∠AOB=90°,
∴∠AOM+∠BON=∠A+∠AOM=90°,
∴∠A=∠BON.
{
∠A=∠BON,
在△AOM和△OBN中, ∠AMO=∠ONB,
OA=BO,
∴△AOM≌△OBN(AAS),
∴BN=MO,ON=AM.
∵点A的坐标为(-4,6),
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∴BN=MO=4,ON=AM=6,
∴点B的坐标为(6,4).故选B.
9.A 解析:∵将△ABC绕点C逆时针旋转,旋转角为α(0°<α<180°),得到△CDE,
∴AC=CD,
∵点A旋转后的对应点D恰好在直线AB上,
∴∠CAB=∠CDB,故选项B正确;
∵∠CBD是△ABC的外角,
∴∠CBD>∠ACB=∠ECD,故选项A不正确;
∵∠ECB为旋转角,
∴∠ECB=α,故选项C正确;
∵∠CDE=∠CAB=∠CDB,∠ACD=α,
∴∠EDB=∠CDE+∠CDB=∠CAB+∠CDB=180°-∠ACD=180°-α,故选项D正确.故选A.
10.(1,2) 解析:∵点A坐标为(2,-1),且平移后对应点A'的坐标为(2,1),
∴2-2=0,1-(-1)=2,
∴1+0=1,0+2=2,
∴点B的对应点B'的坐标为(1,2).
11.30 解析:由平移的性质可知:AD=BE=3 cm,AB=DE,
∵△DEF的周长为24 cm,
∴DE+EF+DF=24 cm,
∴四边形ABFD的周长=AB+BE+EF+DF+AD=24+3+3=30(cm).
12.30°或150° 解析:当点D在点A的左侧时,如图1所示.
图1
∵AB=AC,∠BAC=40°,
1
∴∠ABC= (180°-∠BAC)=70°.
2
∵AD∥BC,
∴∠BAD=∠ABC=70°,
∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=70°-40°=30°.
当点D在点A的右侧时,如图2所示.
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图2
∵AB=AC,∠BAC=40°,
1
∴∠ACB= (180°-∠BAC)=70°.
2
∵AD∥BC,
∴∠DAC=∠ACB=70°,
∴∠BAE=∠BAC+∠DAC+∠DAE=40°+70°+40°=150°.
∴当AD∥BC时,∠BAE的度数为30°或150°.
13.(1)3 (2)49 解析:(1)如图,在矩形ABMN中分别标记O',O″,F',H',E'和G',
由题意可知,OE∶AE=4∶3,G'H'=FC=NF',
∴DF∶FC=3∶4,NO'∶O'F'=1∶3.
又∵图⑤和图④的高相等,
∴图⑤和图④的面积比为1∶3,
∴图⑤的面积为3.
(2)由题意可知,
1
S = (OC+AD)×CD,
四边形AOCD 2
1
S = (OM+AN)×NM,
四边形AOMN 2
S +3=S .
四边形AOCD 四边形AOMN
设DF=3a,DG=x,
则CF=G'H'=4a,CO=H'E'=2,CD=NM=7a,
20
EF=AG'= +x,AG=E'F'=2+x,
7
∴AD=x+2+x=2+2x,
20 20
AN= +x+x= +2x,
7 7
∵S +3=S ,
四边形AOCD 四边形AOMN
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∴1·7a(2+2+2x)+3=1·7a·(20 20 ),
+ +2x
2 2 7 7
又∵ax=3,
1
综上解得a= ,x=6,
2
7
∵AD=2+2x=14,AB=7a= ,
2
7
∴S =14× =49.
矩形ABCD 2
14.(-√2,√2) 解析:由题知,将点B(√3,-1)向上平移2个单位长度所得点M的坐标为(√3,1).
如图所示,
过点M作x轴的垂线,垂足为F,
则OF=√3,MF=1.
在Rt△MOF中,
MF
tan∠MOF= ,
OF
OM= =2,
√12+(√3)2
∴∠MOF=30°.
由旋转可知,
B'O=MO=2,∠MOB'=105°,
∴∠B'OF=135°.
过点B'作y轴的垂线,垂足为E,
则∠B'OE=135°-90°=45°,
∴△B'OE是等腰直角三角形.
又∵B'O=2,
∴B'E=OE=√2,
∴点B'的坐标为(-√2,√2).
15.解:(1)如图,△ABC 即为所求.
1 1 1
由图可得,点B 的坐标为(3,2).
1
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(2)如图,△ABC 即为所求.
2 1 2
90π×2
点C 运动到点C 所经过的路径长为 =π.
1 2
180
16.解:(1)由平移的性质知,DE∥D'E',∴∠CPD'=∠CED=60°.
(2)证明:由平移的性质知,CE∥C'E',∠CED=∠C'E'D'=60°,
∴∠BE'C'=∠BAC=30°,
∴∠BE'D'=90°,
∴AB⊥E'D'.
能力提升
1.B 解析:由题知,3+m=-1,5+n=2,解得m=-4,n=-3.故选B.
2.解:(1)证明:在△ABE和△CBD中,
∵AB=BC,∠ABE=∠CBD,BE=BD,
∴△ABE≌△CBD(SAS),
∴AE=CD,∠FAB=∠BCD.
∵F是Rt△ABE斜边AE的中点,
∴AE=2BF,
∴CD=2BF,
1
∵BF= AE=AF,
2
∴∠FAB=∠FBA.
∴∠FBA=∠BCD,
∵∠FBA+∠FBC=90°,
∴∠FBC+∠BCD=90°.
∴BF⊥CD.
(2)①BF⊥CD
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图1
解析:如图1,延长BF到点G,使FG=BF,连接AG,延长EB到点M,使BE=BM,连接AM并延长交CD于点N.
证△AGB≌△BDC(具体证法过程跟②一样).
∴∠ABG=∠BCD,
∵F是AE的中点,B是EM的中点,
∴BF是△ABM的中位线,
∴BF∥AN,
∴∠ABG=∠BAN=∠BCD,
∴∠ABC=∠ANC=90°,
∴AN⊥CD,
∵BF∥AN,
∴BF⊥CD.
②证明:如图2,延长BF到点G,使FG=BF,连接AG.
图2
∵AF=EF,∠AFG=∠EFB,FG=BF,
∴△AGF≌△EBF(SAS),
∴∠FAG=∠FEB,AG=BE.
∴AG∥BE.
∴∠GAB+∠ABE=180°,
∵∠ABC=∠EBD=90°,
∴∠ABE+∠DBC=180°,
∴∠GAB=∠DBC.
∵BE=BD,
∴AG=BD.
在△AGB和△BDC中,
∵AG=BD,∠GAB=∠DBC,AB=CB,
∴△AGB≌△BDC(SAS),
∴CD=BG.
∵BG=2BF,∴CD=2BF.
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3.解:(1)如图所示,△ABC 即为所求.
1 1 1
(2)如图所示,△ABC 即为所求.
2 2 2
(3)将△ABC 绕着原点O顺时针旋转90°,得到△ABC ,如图,连接OC 交 ⏜ 于D,连接OC 交 ⏜ 于E,
2 2 2 3 3 3 3 A A 2 B B
2 3 2 3
∵A(-2,-1),B(-1,-2),C (-3,-3),
2 2 2
∴OA= ,OB= ,OC = =3 ,
2 √22+12=√5 2 √12+22=√5 2 √32+32 √2
∴OA=OB=OD=OE=√5,
2 2
由旋转得OA=OA,OB=OB,OC =OC ,AC =AC ,∠C OC =∠DOE=90°,
2 3 2 3 2 3 2 2 3 3 2 3
∴△OAC ≌△OAC (SSS),
2 2 3 3
∴ ,
S =S
△OA C △OA C
2 2 3 3
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90·π·(3√2)2 90·π·(√5)2 13π
∴线段AC 在旋转过程中扫过的面积=S -S = - = .
2 2 扇形C OC 扇形DOE
2 3 360 360 4
13
