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13B 一模专题复习——相似证明 1
考情链接
1. 本次任务由三个部分构成
（1）A/8字型相关的几何证明
（2）斜A，斜8型相关的几何证明
（3）母子型相关的几何证明
2. 考情分析
几何证明是中考必考的一道解答题，通常出现在一模/二模以及中考试卷的第23题，分值
为12分，期中第二小问在中考“811”难度中，属于第一个“1”。
1知识加油站——A/8字型，斜A，斜 8，母子型相关的几何证明
知识笔记
1. 正A字型
条件：若
2
∠ A D E = ∠ B
结论：① A D E ∽ A B C
②
A
A
D
B
=
A
A
E
C
=
D
B
E
C
3. 斜A字型
条件：若 ∠ A E D = ∠ B
结论：① A D E ∽ A C B
AD AE DE
② = =
AC AB BC
③ A D A B = A E A C
2. 正8字型
条件：若 ∠ A = ∠ D
结论：① D E C ∽ A B C
②
A
D
B
E
=
A
C
C
D
=
B
C
C
E
4. 斜8字型
条件：若 ∠ A = ∠ D
结论：① B D P ∽ C A P
② A P P B = C P P D
③ BDP∽CAP
A P D ∽ C P B
B
B
D
D
C
A
E
C
A
E
D
A
E
A
P
C
D
C
B
B5. 一般母子型（斜A共边型）
条件：
3
∠ A B D = ∠ C
结论：① A B D ∽ A C B
② AB2 = ADAC
6. 射影定理
条件： A B ⊥ C D , AC⊥CB
结论：
A
C
A
C
B
C
D
D
D
∽
∽
∽
A
A
C
B
B
B
C
C
D
A
AB
AA
B
C
BC
BC
C
=
=
=
A
AB
BC
B
D
CD
CD
D
=
=
=
C
BC
AA
C
D
CD
CD
D
A
B
C
C
C
D
2
2
2
=
=
=
A
B
A
D
D
D
A
B
B
B
A
D
A
B
C
D
A
D
C
B考点一：正8、斜8字型
例题1-1:
（2023•虹口区一模）如图，在四边形
4
A B C D 中，对角线BD与 A C 交于点F ， A D B = A C B ．
（1）求证： A B D = A C D ；
（2）过点 A 作 A E / / D C 交 B D 于点 E ，求证： E F B C = A D A F ．
例题1-2:
（2022•虹口区一模）如图，在梯形 A B C D 中， A B C = 9 0 ， A D / / B C ， B C = 2 A D ，对
角线 A C 与BD交于点 E ．点 F 是线段 E C 上一点，且BDF =BAC．
（1）求证： E B 2 = E F E C ；
（2）如果 B C = 6 ， s in B A C =
2
3
D
A
F
E
B C
，求FC的长．
A D
E
F
B C练习1:
（2021•杨浦区一模）已知：如图，在梯形
5
A B C D 中， A D / / B C ，对角线BD、 A C 相交于
点E，过点A作 A F / / D C ，交对角线BD于点F ．
（1）求证：
D
B
F
D
=
D
B
E
E
；
（2）如果 A D B = A C D ，求证：线段 C D 是线段 D F 、 B E 的比例中项．
B
A
E
F
D
C考点二：正 A字型，母子（共边）模型
例题2:
（2023•杨浦区一模）已知：如图，在
6
A B C 中，点 D 、 E 、F 分别在边AC、 B D 、 B C 上，
A B 2 = A D A C ， B A E = C A F ．
（1）求证： A B E ∽ A C F ；
（2）联结 E F ，如果 B F = C F ，求证： E F / / A C ．
练习2:
（2021•虹口区一模）如图，在ABC中，点 D 、 G 在边 A C 上，点 E 在边 B C 上，DB=DC，
EG//AB， A E 、BD交于点 F ，BF = AG．
（1）求证： B F E ~ C G E ；
（2）当 A E G = C 时，求证： A B 2 = A G A C ．
B
B
A
E
A
F
F
E
D
D
G
C
C考点三：斜 8字型，母子（共边）模型
例题3:
（2022•徐汇区一模）如图，已知
7
R t A B C 中， A C B = 9 0 ，射线 C D 交 A B 于点D，点 E
是 C D 上一点，且 A E C = A B C ，联结BE．
（1）求证： A C D ∽ E B D ；
（2）如果 C D 平分 A C B ，求证： A B 2 = 2 E D E C ．
练习3:
（2022•青浦区一模）已知：如图，在四边形 A B C D 中， A C 、 B D 相交于点 E ， A B D = C B D ，
D C 2 = D E D B ．
（1）求证： A E B ∽ D E C ；
（2）求证： B C A D = C E B D ．
A
C
D
E
B
A
D
E
B C考点四：正 8/斜8字型，添加平行线
例题4-1:
（2023•浦东新区一模）如图，在
8
A B C 中，点D、 F 分别是边 B C 、AB上的点， A D 和 C F
交于点 E ．
（1）如果 B F A B = B D B C ．求证： E F C E = D E A E ；
（2）如果 A E B F = 2 A F D E ，求证： A D 是 A B C 的中线．
例题4-2:
（2022•杨浦区校级期末）已知等腰ABC中， A B = A C ，点D、 E 是边BC、 A C 上的点，
且CD=3BD，连接 A D 、 B E ，交点为 F ．
（1）若 A F = 4 D F
AE
，求 的值．
EC
（2）若 B D 2 = D F A D ，求证： B C 2 = 4 C E A C ．
B
F
E
D
A
C
A
E
F
B D C练习4:
（2023•长宁区期末）如图，在ABC中，点
9
D 、 E 分别是 B C 、 A D 的中点，且AD= AC，
联结 C E 并延长交 A B 于点 F ．
（1）求证： A B C ∽ D C E ；
（2）求证： B F = 4 E F ．
B
F
D
E
A
C全真战场
练习1:
（2021•宝山区一模）如图，点
10
O 是菱形 A B C D 的对角线 B D 上一点，联结 A O 并延长，交
C D 于点 E ，交 B C 的延长线于点 F ．
（1）求证： A B 2 = D E B F ；
（2）如果 O E = 1
CF
，EF =2，求 的值．
BF
练习2:
（2021•静安区一模）已知：如图，在 A B C 中，点 D 、 E 分别在边 A B 、 A C 上，DE//BC，
A D 2 = A E A C ．
求证：（1） B C D ∽ C D E ；
CD2 AD
（2） = ．
BC2 AB练习3:
如图，已知
11
A B C 和ADE，点 D 在 B C 边上， D A = D C ， A D E = B ，边DE与 A C 相交
于点F ．
（1）求证： A B A D = D F B C ；
（2）如果 A E / / B C ，求证：
B
D
D
C
=
D
F
F
E
．
练习4:
（2023•青浦区一模）已知：如图，在 A B C 中，点D、 E 分别在边 B C 、 A C 上， A D 、 B E
相交于点 F ， A F E = A B C ， A B 2 = A E A C ．
（1）求证： A B F ∽ B C E ；
（2）求证： D F B C = D B C E ．练习5:
（2023•金山区一模）如图，已知菱形
12
A B C D 中，点 E 在边 C B 延长线上，联结 D E 交边 A B
于点 F ，联结 A E ，过点 F 作FG//BE 交 A E 于点G．
（1）求证： F G = B F ；
（2）联结 A C 交 D E 于点O，联结 B O ，当 F O B = D A O 时，求证： D O 2 = A B G F ．
