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重难点 02 规律型问题探究（数式或图形规律、旋转问
题、平移或翻滚型、渐变型）
题型解读｜模型构建｜真题强化训练｜模拟通关试练
规律性问题的结论不是直接给出，而是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出图形有
关的操作变化过程，或某一具体的问题情境等，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳
或猜想出一般性的结论。这类题的解题策略是：由特例观察、分析、归纳一般规律，然后利用规律解决问
题。具体思维过程是“特殊---一般----特殊”。这类问题体现了“特殊与一般”的数学思想方法，解答时往
往体现“探索、归纳、猜想”等思维特点，对分析问题、解决问题的能力具有很高的要求。
模型01 数式或图形规律
考｜向｜预｜测
数与式、图形的规律问题该题型主要以选择、填空形式出现，难度系数不大，需要学生学会分析各式
或图形中的“变”与“不变”的规律——重点分析“怎样变”，应结合各式或图形的序号进行前后对
比分析。主要考查学生阅读理解、观察图形的变化规律的能力，关键是通过归纳与总结，得到其中的
规律，利用规律解决问题．
答｜题｜技｜巧
1. 读懂题意，标序号；
2. 根据已有规律模仿或归纳推导隐藏规律，析各式或图形中的“变”与“不变”的规律——重点分析“怎
样变”；
3. 猜想规律与 “序号”之间的对应关系，并用关于 “序号”的式子表示出来；
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4. 验证所归纳的结论，利用所学数学知识解答；
70=1 71=7 72=49 73=343 74=2401 75=16807
1.（2024·山东）观察下列等式： ， ， ， ， ， ，…
根据其中的规律可得70+71+72+⋯+72024的结果的个位数字是 ．
【答案】1
【分析】本题考查了有理数乘方的规律型问题，根据已知等式正确发现个位数字的变化规律是解题关键．
先根据已知等式发现个位数字是以1,7,9,3为一循环，再根据2024+1=4×506+1即可得．
【详解】因为70=1，71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，…，
所以个位数字是以1,7,9,3为一循环，且1+7+9+3=20，
又因为2024+1=4×506+1，506×20+1=10121，
所以70+71+72+⋯+72024的结果的个位数字是1，
故答案为：1．
1 3 1 7 9 11
1．按一定规律排列的一组数据： ，− ， ，− ， ，− ，…．则按此规律排列的第10个数是（
2 5 2 17 26 37
）
19 21 19 21
A．− B． C．− D．
101 101 82 82
【答案】A
5
【分析】把第3个数转化为： ，不难看出分子是从1开始的奇数，分母是n2+1，且奇数项是正，偶数
10
项是负，据此即可求解．
1 3 5 7 9 11
【详解】原数据可转化为： ,− , ,− , ,− ,⋅⋅⋅，
2 5 10 17 26 37
1 2×1−1
∴
=(−1) 1+1×
，
2 12+1
3 2×2−1
− =(−1) 2+1× ，
5 22+1
5 2×3−1
=(−1) 3+1×
，
10 32+1
..．
2n−1
∴第n个数为：(−1)
n+1×
，
n2+1
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2×10−1 19
∴第10个数为：(−1) 10+1× =− ．
102+1 101
故选：A．
2．按一定规律排列的单项式：5a，8a2，11a3，14a4，…．则按此规律排列的第n个单项式为 ．
（用含有n的代数式表示）
【答案】(3n+2)an
【分析】根据系数和字母的次数与单项式的序号关系写出即可．
【详解】解：5a系数为3×1+2=5，次数为1；
8a2系数为3×2+2=8，次数为2；
11a3系数为3×3+2=11，次数为3；
14a4系数为3×4+2=14，次数为4；
∴第n个单项式的系数可表示为：3n+2，字母a的次数可表示为：n，
∴第n个单项式为：(3n+2)an．
3．正偶数2，4，6，8，10，…，按如下规律排列，
则第27行的第21个数是 ．
【答案】744
【分析】由题意知，第n行有n个数，第n行的最后一个偶数为n（n+1），计算出第27行最后一个偶数，
再减去与第21位之差即可得到答案．
【详解】由题意知，第n行有n个数，第n行的最后一个偶数为n（n+1），
∴第27行的最后一个数，即第27个数为27×28=756，
∴第27行的第21个数与第27个数差6位数，即756−2×6=744，
故答案为：744．
4． 1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表
称为“杨辉三角”．
观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，(a+b) 7展开的多项式中各项系数之和为 ．
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【答案】128
【分析】仿照阅读材料中的方法将原式展开，即可得出结果．
【详解】根据题意得：(a+b) 5展开后系数为：1,5,10,10,5,1，
系数和：1+5+10+10+5+1=32=25，
(a+b) 6展开后系数为：1,6,15,20,15,6,1，
系数和：1+6+15+20+15+6+1=64=26，
(a+b) 7展开后系数为：1,7,21,35,35,21,7,1，
系数和：1+7+21+35+35+21+7+1=128=27，
故答案为：128．
5．根据图中数字的规律，若第n个图中的q=143，则p的值为（ ）
A．100 B．121 C．144 D．169
【答案】B
【分析】分别分析n的规律、p的规律、q的规律，再找n、p、q之间的联系即可．
【详解】解：根据图中数据可知：
n=1,2,3,4，……
p=12,22,32,42,……
q=22−1,32−1,42−1,52−1,……
则p=n2，q=(n+1) 2−1，
∵第n个图中的q=143，
∴q=(n+1) 2−1=143，
解得：n=11或n=−13(不符合题意，舍去)
∴p=n2=121，
故选：B．
6．下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（ ）
A．135 B．153 C．170 D．189
【答案】C
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【分析】由观察发现每个正方形内有：2×2=4,2×3=6,2×4=8,可求解b，从而得到a，再利用a,b,x之
间的关系求解x即可．
【详解】解：由观察分析：每个正方形内有：
2×2=4,2×3=6,2×4=8,
∴2b=18,
∴b=9,
由观察发现：a=8,
又每个正方形内有：
2×4+1=9,3×6+2=20,4×8+3=35,
∴18b+a=x,
∴x=18×9+8=170.
故选C．
7．如图，在2×2的网格内各有4个数字，各网格内数字都有相同的规律，c为（ ）
A．990 B．9900 C．985 D．9850
【答案】D
【分析】本题主要考查数字规律，根据方格先求的a，进一步求得b，则可求得c．
【详解】解：观察网格图中的数字可以发现：
a=100÷2=50，
b=100−1=99，
c=100b−a=100×99−50=9850，
故选：D．
模型02 旋转型问题
考｜向｜预｜测
该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型需要分析变化规律得到
一般的规律（如点变的循环规律或点运动的循环规律，点的横、纵坐标的变化规律等）。主要考查对
点的坐标变化规律，一般我们需要结合所给图形，找到点或图形的变化规律或者周期性，最后利用正
确运用数的运算。
答｜题｜技｜巧
1. 观察点或图形的变化规律，根据图形的变化规律求出已知关键点的坐标；
2. 分析变化规律得到一般的规律看是否具有周期性（如点变的循环规律或点运动的循环规律，点的横、纵
坐标的变化规律等）；
3. 周期性的求最小周期看余数，不是周期性的可以罗列求解几组以便发现规律，根据最后的变化次数或者
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运动时间登，确定要求的点与哪个点重合或在同一象限，或与哪个关键点的横纵坐标相等；
4. 利用有理数的运算解题；
1.（2023·四川）如图所示，矩形 的顶点 为坐标原点， ，对角线 在第二象限
的角平分线上．若矩形从图示位置开始绕点 以每秒 的速度顺时针旋转，则第2025秒时，点 的对应
坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解： 四边形 是矩形，
，
每秒旋转 ，8次一个循环， ，
第2025秒时，点A的对应点 落在 轴正半轴上，
点 的坐标为 ．
故选：B．
1.数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算1+2+3+4+⋯+100
100×(1+100)
时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到1+2+3+4+⋯+100= ．人们借助于
2
n(1+n)
这样的方法，得到1+2+3+4+⋯+n= （n是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系
2
中的一系列格点A (x ,y )，其中i=1,2,3,⋯,n,⋯，且x ,y是整数．记a =x + y ，如A (0,0)，即
i i i i i n n n 1
a =0,A (1,0)，即a =1,A (1,−1)，即a =0,⋯，以此类推．则下列结论正确的是（ ）
1 2 2 3 3
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A．a =40 B．a =43 C．a =2n−6 D．a =2n−4
2023 2024 (2n−1)2 (2n−1)2
【答案】B
【分析】利用图形寻找规律A (n−1,n−1)，再利用规律解题即可．
(2n−1)2
【详解】解：第1圈有1个点，即A (0,0)，这时a =0；
1 1
第2圈有8个点，即A 到A (1,1)；
2 9
第3圈有16个点，即A 到A (2,2)，；
10 25
依次类推，第n圈，A (n−1,n−1)；
(2n−1)2
由规律可知：A 是在第23圈上，且A (22,22)，则A (20,22)即a =20+22=42，故A选项不
2023 2025 2023 2023
正确；
A 是在第23圈上，且A (21,22)，即a =21+22=43，故B选项正确；
2024 2024 2024
第n圈，A (n−1,n−1)，所以a =2n−2，故C、D选项不正确；
(2n−1)2 (2n−1)2
故选B．
1
2．如图是从原点开始的通道宽度为1的回形图，OA=1，反比例函数y= 与该回形图的交点依次记为B 、
x 1
B 、B 、……，则B 的坐标为 ．
2 3 2024
1
【答案】( ,507)
507
【分析】本题考查了在反比例函数图象上的点坐标的特征，找规律，找出点坐标的规律是解题的关键．分
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1 1
别写出前三个回形的点坐标，找出规律，得到第n个回形4个点的规律，分别是(n, )，( ,n)，
n n
1 1
(−n,− )，(− ,−n)，然后找出第2024个点在第几个回形的第几个点即可算出答案．
n n
1
【详解】由题意可知，反比例函数图象上点坐标为(x, )，观察图象，可以发现：
x
第1个回形有2个点，B (1,1)，B (−1,−1)
1 2
1 1 1 1
第2个回形有4个点，分别是B (2, )，B ( ,2)，B (−2,− )，B (− ,−2)
3 2 4 2 5 2 6 2
1 1 1 1
第3个回形有4个点，分别是B (3, )，B ( ,3)，B (−3,− )，B (− ,−3)
7 3 8 3 9 3 10 3
⋯
1 1 1 1
第n(n≥2)个回形有4个点，分别是(n, )，( ,n)，(−n,− )，(− ,−n)
n n n n
(2024−2)÷4=505⋯⋯2
505+1+1=507
1
那么第2024个点在第507个回形的第2个点，那么点坐标为( ,507)
507
1
故答案为：( ,507)
507
3．在直角坐标系中，点A 从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为：A （1，0），A
1 2 3
（1，1），A （﹣1，1），A （﹣1，﹣1），A （2，﹣1），A （2，2），…．若到达终点A （506，﹣
4 5 6 7 n
505），则n的值为 ．
【答案】2022
【分析】终点A (506，−505)在第四象限，寻找序号与坐标之间的关系可求n的值．
n
【详解】解：∵(506，−505)是第四象限的点，
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∴A (506，−505)落在第四象限．
n
∴在第四象限的点为A (2，−1)，A (3，−2)，A (4，−3)，…，A (506，−505)．
6 10 14 n
∵6=4×|−1|+2，10=4×|−2|+2，14=4×|−3|+2， 18=4×|−4|+2，…，
∴n=4×|−505|+2=2022．
故答案为：2022
3．如图，四边形OABC 是正方形，曲线C C C C C ⋯叫作“正方形的渐开线”，其中C´C ，C´C ，
1 1 2 3 4 5 1 2 2 3
C´C ，C´C ，…的圆心依次按O，A，B，C 循环．当OA=1时，点C 的坐标是( )
3 4 4 5 1 2023
A．(−1，−2022) B．(−2023，1) C．(−1，−2023) D．(2022，0)
【答案】A
【分析】由题得点的位置每4个一循环，经计算得出C 在第三象限，与C ，C ，C ，…符合同一规律，
2023 3 7 11
探究出C ，C ，C ，...的规律即可．
3 7 11
【详解】解：由图得C (0，1)，C (1，0)，C (−1，−2)，C (−4，0)，C (0，5)，
1 2 3 4 5
C (5，0)，C (−1，−6)，…
6 7
点C的位置每4个一循环，
2023=505×4+3，
∴C 在第三象限，与C ，C ，C ，…
2023 3 7 11
符合规律(−1，−n+1)，
∴C 坐标为(−1，−2022)．
2023
故选：A．
4．在平面直角坐标系中，△AOB为等边三角形，点A的坐标为(1,0)．把△AOB按如图所示的方式放置，
并将△AOB进行变换：第一次变换将△AOB绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△AOB边长的2
倍，得到△A OB ；第二次旋转将△A OB 绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△A OB ，边
1 1 1 1 1 1
长的2倍，得到△A OB ，…．依次类推，得到△A OB ，则△A OB 的边长为 ，
2 2 2033 2033 2023 2033
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点A 的坐标为 ．
2023
【答案】 22023 (22022,−√3×22022)
【分析】根据旋转角度为60°，可知每旋转6次后点A又回到x轴的正半轴上，故点A 在第四象限，且
2023
OA =22023 ，即可求解．
2023
【详解】解：∵△AOB为等边三角形，点A的坐标为(1,0)，
∴OA=1，
∵每次旋转角度为60°，
6次旋转360°，
∴第一次旋转后，A
1
在第四象限，OA
1
=2，
第二次旋转后，A 在第三象限，OA =22 ，
2 2
第三次旋转后，A 在x轴负半轴，OA =23 ，
3 3
第四次旋转后，A 在第二象限，OA =24 ，
4 4
第五次旋转后，A 在第一象限，OA =25 ，
5 5
第六次旋转后，A 在x轴正半轴，OA =26 ，
6 6
……
如此循环，每旋转6次，点A的对应点又回到x轴正半轴，
∵2023÷6=337⋯1，
点A 在第四象限，且OA =22023 ，
2023 2023
如图，过点A 作A H⊥x轴于H，
2023 2023
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在Rt△OH A 中，∠HOA =60°，
2023 2023
1
∴OH=OA ⋅cos∠HOA =22023×cos60°=22023× =22022 ，
2023 2023 2
√3
A H=OA ⋅sin∠HOA =22023× =√3×22022 ，
2023 2023 2023 2
∴点A 的坐标为(22022,−√3×22022)．
2023
故答案为：22023，(22022,−√3×22022)．
模型03 平移或翻滚型
考｜向｜预｜测
该题型主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型需要分析变化规律得到一
般的规律(如点变的循环规律或点运动的循环规律，点的横、纵坐标的变化规律等)。主要考查对点的坐标
变化规律，一般我们需要结合所给图形，找到点或图形的变化规律或者周期性，最后利用正确运用数的运
算求解。这类问题体现了“特殊与一般”的数学思想方法，解答时往往体现“探索、归纳、猜想”等思维
特点，对分析问题、解决问题的能力具有很高的要求。
答｜题｜技｜巧
1. 观察点或图形的变化规律，根据图形的变化规律得出具体数量的变化规律；
2. 分析变化规律得到一般的规律看是否具有周期性（如点变的循环规律或点运动的循环规律，点的横、纵
坐标的变化规律等）；
3. 周期性的求最小周期看余数，不是周期性的可以罗列求解几组以便发现规律，根据最后的变化次数或者
运动时间登，确定要求的点与哪个点重合或在同一象限，或与哪个关键点的横纵坐标相等；
1. 如图， ，点 在射线 上，且 ，过点 作 交射线 于
，在射线 上截取 ，使 ；过点 作 交射线 于 ，在射线 上截取
，使 .按照此规律，线段 的长为________．
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【答案】
【解析】解直角三角形分别求得 ， ， ，……，探究出规律，利用规律即可解决问题．
，
是直角三角形，
在 中， ， ，
，
， ，
，
，
，
，
，
同理可得： ， ，……，
，
，
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故答案为： ．
1．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA B C ，依此方式，
1 1 1
绕点 O 连续旋转 2020 次得到正方形 OA B C ，如果点 A 的坐标为(1，0)，那么点 B 的坐标为
2020 2020 2020 2020
（ ）
A．(﹣1，1) B．( ，0)C．(﹣1，﹣1) D．(0， )
【答案】C
【解析】根据正方形的性质和旋转性质可发现规律：点 B旋转后对应的坐标8次一循环，据此解答即可求
解．
【详解】解：连接OB，
∵四边形OABC是正方形，A的坐标为（1，0），
OA=AB=OC=BC=1，∠OAB=90°，∠AOB=45°，
B（1，1），
∴
∴由勾股定理得： ，
由旋转性质得：OB=OB =OB =OB =…= ，
1 2 3
∵将正方形OABC绕点O逆时针连续旋转45°，相当于将OB绕点O逆时针连续旋转45°，
∴依次得到∠AOB= BOB = B OB =…=45°，
1 1 2
B （0， ），B∠（－1，∠1），B (－ ，0)，B （－1，－1），B （0，－ ），B （1，－1），B （
1 2 2 4 5 6 7
∴ ，0）， B （1，1），……，
8
发现规律：点B旋转后对应的坐标8次一循环，
2020=8×252+4，
∴点B 与点B 重合，
∵ 2020 4
∴点B 的坐标为（－1，－1），
2020
故选：C．
2．如图，已知菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，菱形的对角线的交于点D；若将菱形OABC绕点O逆时
针旋转，每秒旋转45°，从如图所示位置起，经过60秒时，菱形的对角线的交点D的坐标为（
）
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A．(1，1) B．(﹣1，﹣1) C．(-1，1) D．(1，﹣1)
【答案】B
【解析】分别过点 和点 作 轴于点 ，作 轴于点 ，根据菱形的性质以及中位线的性质
求得点 的坐标，进而计算旋转的度数，7.5周，进而根据中心对称求得点旋转后的D坐标
【详解】如图，分别过点 和点 作 轴于点 ，作 轴于点 ，
∴ ，
∵四边形 为菱形，
∴点 为 的中点，
∴点 为 的中点，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ；
由题意知菱形 绕点 逆时针旋转度数为： ，
∴菱形 绕点 逆时针旋转 周，
∴点 绕点 逆时针旋转 周，
∵ ，
∴旋转60秒时点 的坐标为 ．
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故选B
3．如图，直线 与 轴、 轴分别相交于点 、 ，过点 作 ，使 ．将 绕
点 顺时针旋转，每次旋转 ．则第2022次旋转结束时，点 的对应点 落在反比例函数 的图象
上，则 的值为
A． B．4 C． D．6
【答案】C
【解析】过点C作CD y轴，垂足为D，则△BCD是等腰直角三角形，根据BC= ，确定点C的坐标，第
一次旋转的坐标，根据⊥第二次旋转坐标与点C关于原点对称，第三次旋转坐标与第一次坐标关于原点对称，
确定循环节为4，计算2022÷4的余数，确定最后的坐标，利用k=横坐标×纵坐标计算即可．
【详解】如图，过点C作CD y轴，垂足为D，
⊥
∵直线 与 轴、 轴分别相交于点 、 ，过点 作 ，使 ，
A（-1，0），B（0，1），AB= ，BC= ，
∴OA=OB，∠ABO= BAO= CBD= DCB=45°，
DC=BD=2，
∴ ∠ ∠ ∠
DC=BD=2，OD=OB+BD=3，
∴
∴点C（-2，3），
∴
第一次旋转的坐标为（3，2），第二次旋转坐标与点C关于原点对称为（2，-3），第三次旋转坐标与第一
次坐标关于原点对称为（-3，-2），第四次回到起点，
∴循环节为4，
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2022÷4=505…2，
∴第2022次变化后点的坐标为（2，-3），
∴
k=-3×2=-6，
故选C．
∴
4．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 OA A 的直角边OA 在y轴的正半轴上，且OA ＝A A ＝
1 2 1 1 1 2
1，以OA 为直角边作第二个等腰直角三角形OA A ，以OA 为直角边作第三个等限直角三角OA A ，…，依
2 2 3 3 3 4
此规律，得到等腰直角三角形OA A ，则点A 的坐标为 _____________．
2020 2021 2021
【答案】（0，﹣21010）
【解析】根据题意，利用等腰直角三角形的性质，勾股定理，坐标系中点与象限的关系，确定一部分点的
坐标，从坐标中寻找规律，再按规律计算即可．
【详解】解：∵等腰直角三角形OA A 的直角边OA 在y轴的正半轴上，且OA ＝A A ＝1，
1 2 1 1 1 2
A （0，1），A （1，1）；
1 2
∴根据勾股定理得：OA ＝ ，
2
OA ＝ OA ＝2，
3 2
∴A （2，0），A （2，﹣2），
3 4
∴根据勾股定理得：OA ＝ ，
4
OA ＝ OA ＝4，
5 4
∴A （0，﹣4），
5
A （﹣4，﹣4），
∴ 6
∴根据勾股定理得：OA ＝ OA ＝4 ，
6 5
OA ＝ OA ＝8，
7 6
∴A （﹣8，0），A （﹣8，﹣8），
7 8
∴根据勾股定理得：OA ＝ OA ＝8 ，
8 7
OA ＝ OA ＝16，
9 8
∴A （0，16），
9
∴
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∴坐标的循环节为8，
2021÷8＝252…5，
A 的坐标与A （0，﹣4）的规律相同，
∵ 2021 5
∴﹣4＝﹣22＝ ，
∵
A 的纵坐标为 ＝﹣21010，
2021
∴A 的坐标为（0，﹣21010），
2021
故答案为：（0，﹣21010）．
∴
5．如图，边长为1的正六边形 放置于平面直角坐标系中，边 在 轴正半轴上，顶点 在 轴
正半轴上，将正六边形 绕坐标原点 顺时针旋转，每次旋转 ，那么经过第2022次旋转后，
顶点 的坐标为________．
【答案】
【解析】连接AD、BD，由勾股定理可得BD，求出∠OFA=30°，得到OA的值，进而求得OB的值，得到点D
的坐标，由题意可得6次一个循环，即可求出经过第2022次旋转后，顶点 的坐标．
【详解】解：如图，连接AD，BD，
在正六边形ABCDEF中， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ，
∵将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，
6次一个循环，
∵ ，
∴
∴经过第2022次旋转后，顶点D的坐标与第一象限中D点的坐标相同，
故答案为： ．
模型04 渐变型
考｜向｜预｜测
渐变型变化规律题是指在一定条件下，探索发现有关图形所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了
一组变化了的图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律，它体现了“特殊到一般”
的数学思想方法，考查了学生分析、解决问题的能力，观察、联想、归纳的能力，以及探究能力和创新能
力，题型可涉及填空、选择或解答。
答｜题｜技｜巧
观察几何图形、根据题中的变化规律进行分析，猜想下面所没有给出的图形变化情况、探究图形的变
化和所求的结果、归纳总结发现规律。
14. 如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，连接AC，过点D作DC ⊥AC于点C ，以
1 1
C A，C D为邻边作矩形AA DC ，连接AC ，交AD于点O，过点D作DC ⊥AC 于点C ，交AC于点
1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2
M，以C A，C D为邻边作矩形AADC ，连接AC ，交AD于点O，过点D作DC ⊥AC 于点C ，交
1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 3 2 2 3
AC 于点M；以C A，C D为邻边作矩形AADC ，连接AC ，交AD于点O，过点D作DC ⊥AC 于
1 1 2 3 2 3 2 3 3 3 3 2 3 4 3 3
点C ，交AC 于点M…若四边形AO C M 的面积为S，四边形AOC M 的面积为S，四边形AOC M
4 2 2 3 1 2 1 1 1 2 3 2 2 2 3 4 3
的面积为S…四边形A OC M 的面积为S，则S＝__________．（结果用含正整数n的式子表示）
3 n﹣1 n n＋1 n n n
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【答案】
【解析】根据四边形ABCD是矩形，可得AC＝ ，运用面积法可得DC1＝ ＝ ，进而得出
DC ＝ ，得出S＝ ，……，S＝ ＝ × ＝ ．
n 1 n
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AD∥BC，AD＝BC＝2，CD＝AB＝1，
∴AC＝ ＝ ＝ ，
∵DC •AC＝AB•BC，
1
∴DC ＝ ＝ ＝ ，
1
同理，DC ＝ DC ＝（ ）2，
2 1
DC ＝（ ）3，
3
……，
DC ＝（ ）n，
n
∵ ＝tan∠ACD＝ ＝2，
∴CC ＝ DC ＝ ，
1 1
∵tan∠CAD＝ ＝ ＝ ，
∴AD＝AC ＝2DC ＝ ，
1 1 1
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∴AM ＝AC ﹣C M＝2DC ﹣ DC ＝ ×DC ＝ ，
1 1 1 1 1 1 1
同理，AM＝ ×DC ，
1 2 2
AM＝ ×DC ，
2 3 3
……，
A M＝ ×DC ，
n﹣1 n n
∵四边形AA DC 是矩形，
1 1
∴OA＝OD＝OA＝OC ＝1，
1 1 1 1 1 1
同理∵DC •AC ＝AD•DC ，
2 1 1 1 1
∴DC ＝ ＝ ＝ ，
2
在Rt△DO C 中，OC ＝ ＝ ＝ ＝ DC ，
1 2 1 2 2
同理，OC ＝ DC ，
2 3 3
OC ＝ DC ，
3 4 4
……，
OC ＝ DC ，
n n＋1 n＋1
∴
＝ ×AM×DC ﹣ ×O C ×DC
1 1 1 2 2
＝（ ﹣ ）
＝
＝ ，
同理，
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＝ × ＝ ，
S＝ ＝ × ＝ ，
3
……，
S＝ ＝ × ＝ ．
n
故答案为： ．
1.如图， ， ， ，…， ，都是一边在 轴上的等边三角形，点 ，
， ，…， 都在反比例函数 的图象上，点 ， ， ，…， ，都在 轴上，则
的坐标为________．
【答案】
【解析】如图，过点B 作B C⊥x轴于点C，过点B 作B D⊥x轴于点D，过点B 作B E⊥x轴于点E，
1 1 2 2 3 3
∵△OA B 为等边三角形，
1 1
∴∠B OC=60°，
1
∴ ，B C= OC，
1
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设OC的长度为x，则B 的坐标为（ ），代入函数关系式可得： ，
1
解得，x=1或x=-1（舍去），
∴OA =2OC=2，
1
∴A（2，0）
1
设AD的长度为y，同理，B D为 y，B 的坐标表示为 ，
1 2 2
代入函数关系式可得 ，
解得：y= 或y= （舍去）
∴AD= ，AA= ，OA =
1 1 2 2
∴A（ ，0）
2
设AE的长度为z，同理，B E为 z，B 的坐标表示为 ，
2 3 3
代入函数关系式可得 ，
解得：z= 或z= （舍去）
∴AE= ，AA= ，OA =
2 2 3 3
∴A（ ，0），
3
综上可得：A（ ，0），
n
故答案为： ．
2．如图，点B 在直线l：y＝ x上，点B 的横坐标为2，过点B 作B A⊥l，交x轴于点A，以AB 为边，
1 1 1 1 1 1 1 1
向右作正方形AB B C ，延长B C 交x轴于点A ；以AB 为边，向右作正方形AB B C ，延长B C 交x
1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 3 2 3 2
轴于点A ；以AB 为边，向右作正方形AB B C ，延长B C 交x轴于点A ；…；照这个规律进行下去，
3 3 3 3 3 4 3 4 3 4
则第n个正方形AB B 的边长为 （结果用含正整数n的代数式表示）．
n n n+1 n
∁
【答案】 ×( )n﹣1．
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【解析】设直线y＝ x与x轴夹角为α，过B 作B H⊥x轴于H，由点B 的横坐标为2，点B 在直线l：y
1 1 1 1
＝ x上，可得OH＝2，B H＝1，OB ＝ ＝ ，tanα＝ ＝ ,Rt△AB O中，求得AB ＝
1 1 1 1 1 1
OB •tanα＝ ，即第1个正方形边长是 ，在Rt△AB O中，求得第 2个正方形边长是 × ，在
1 2 2
Rt△AB O中，求得第3个正方形边长是 × ＝ ×（ ）2，在Rt△AB O中，求得第4个正方形边长
3 3 4 4
是 × ＝ ×( )3，......观察规律即可得：第n个正方形边长是 ×( )n﹣1．
解：设直线y＝ x与x轴夹角为α，过B 作B H⊥x轴于H，如图：
1 1
∵点B 的横坐标为2，点B 在直线l：y＝ x上，令x＝2得y＝1,
1 1
∴OH＝2，B H＝1，OB ＝ ＝ ，
1 1
∴tanα＝ ＝ ,
Rt△AB O中，AB ＝OB •tanα＝ ，即第1个正方形边长是 ，
1 1 1 1 1
∴OB ＝OB +B B ＝ + ＝ ×3，
2 1 1 2
Rt△AB O中，AB ＝OB •tanα＝ ×3× ＝ × ，即第2个正方形边长是 × ，
2 2 2 2 2
∴OB ＝OB +B B ＝ ×3+ × ＝ × ，
3 2 2 3
Rt△AB O中，AB ＝OB •tanα＝ × × ＝ × ，即第3个正方形边长是 × ＝ ×（ ）2，
3 3 3 3 3
∴OB ＝OB +B B ＝ × + × ＝ × ，
4 3 3 4
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Rt△AB O中，AB ＝OB •tanα＝＝ × × ＝ × ，即第4个正方形边长是 × ＝ ×( )3，
4 4 4 4 4
.....．
观察规律可知：第n个正方形边长是 ×( )n﹣1，
故答案为： ×( )n﹣1．
3. 如图，直线 与 轴相交于点 ，与 轴相交于点 ，过点 作 交 轴于点 ，
过点 作 轴交 于点 ，过点 作 交 轴于点 ，过点 作 轴交 于点
…，按照如此规律操作下去，则点 的纵坐标是______________．
【答案】
【解析】先根据30°的特殊直角三角形，如 ， ， ， 求出B点，B 点的纵
1
坐标，发现规律，即可
∵
当 时，
当 时，
故 ，
∴ 为30°的直角三角形
∴
∵
∴ 为30°的直角三角形
∴
∴ 为30°的直角三角形
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∵ 轴
∴
∴
为30°的直角三角形
同理：
…
故：
故答案为：
4．如图，一次函数y＝x与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于点A，过点A作AB⊥OA，交x轴于点
B；作BA∥OA，交反比例函数图象于点A ；过点A 作AB ⊥AB交x轴于点B；再作B A∥BA ，交反
1 1 1 1 1 1 1 2 1
比例函数图象于点A，依次进行下去，…，则点A 的横坐标为 ．
2 2021
【答案】 + ．
【解析】由一次函数y＝x与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于点A，可得A（1，1）；易得△OAB是
等腰直角三角形，则OB＝2；分别过点A，A，A，作x轴的垂线，垂足分别为C，D，E，则△ABD是等
1 2
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腰直角三角形，设BD＝m，则AD＝m，则A （m+2，m），点A 在反比例函数 上，可得m的值，
1 1 1
求出点A 的坐标，同理可得A 的坐标，以此类推，可得结论．
1 2
如图，分别过点A，A，A，作x轴的垂线，垂足分别为C，D，E，
1 2
∵一次函数y＝x与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于点A，
∴联立 ，解得A（1，1），
∴AC＝OC＝1，∠AOC＝45°，
∵AB⊥OA，
∴△OAB是等腰直角三角形，
∴OB＝2OC＝2，
∵AB∥OA，
1
∴∠ABD＝45°，
1
设BD＝m，则AD＝m，
1
∴A（m+2，m），
1
∵点A 在反比例函数y＝ 上，
1
∴m（m+2）＝1，解得m＝﹣1+ ，（m＝﹣1﹣ ，负值舍去），
∴A（ +1， ﹣1），
1
∵AB ⊥AB，
1 1 1
∴BB ＝2BD＝2 ﹣2，
1
∴OB ＝2 ．
1
∵B A∥BA，
1 2 1
∴∠AB E＝45°，
2 1
设B E＝t，则AE＝t，
1 2
∴A（t+2 ，t），
2
∵点A 在反比例函数y＝ 上，
2
∴t（t+2 ）＝1，解得t＝﹣ + ，（t＝﹣ ﹣ ，负值舍去），
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∴A（ ， ﹣ ），
2
同理可求得A（2+ ，2﹣ ），
3
以此类推，可得点A 的横坐标为 + ．
2021
故答案为： + ．
1．（2023·湖南）观察下列等式： 根据其中的
规律可得 的结果的个位数字是（ ）
A．0 B．1 C．7 D．8
【答案】A
【解析】
∵
∴个位数4个数一循环，
∴ ，
∴ ，
∴ 的结果的个位数字是：0．
故选A．
2．（2022·河南）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1，3，6，
10…）和“正方形数”（如1，4，9，16…），在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m，最大的
“正方形数”为n，则m+n的值为（ ）
A．33 B．301 C．386 D．571
【答案】C
【解析】
由图形知第n个三角形数为1+2+3+…+n= ，第n个正方形数为n2，
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当n=19时， =190＜200，当n=20时， =210＞200，
所以最大的三角形数m=190；
当n=14时，n2=196＜200，当n=15时，n2=225＞200，
所以最大的正方形数n=196，
则m+n=386，
故选C．
3．（2019·甘肃）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图
形中共有_____个〇．
【答案】6058
【解析】
由图可得，
第1个图象中〇的个数为： ，
第2个图象中〇的个数为： ，
第3个图象中〇的个数为： ，
第4个图象中〇的个数为： ，
……
∴第2019个图形中共有： 个〇，
故答案为：6058．
4．（2024·辽宁）如图，在 中， ， ，过点 作 ，垂足
为点 ，过点 作 交 于点 ，得到 ；过点 作 ，垂足为点 ，
过点 作 交 于点 ，得到 ；过点 作 ，垂足为点 ，过点 作
交 于点 ，得到 ；……按照上面的作法进行下去，则 的面积为
_____．（用含正整数n的代数式表示）
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【答案】
【解析】
由等腰三角形的性质得出 ，由含30°角直角三角形的性质得出 ，
解： ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
同理， ，
，
同理， ，
，
，
，
同理， ，
，
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，
…，
，
故答案为： ．
5. （2024·四川）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1，0），以OA 为直角边作Rt OAA，并
1 1 1 2
使∠AOA＝60°，再以OA 为直角边作Rt OAA，并使∠AOA＝60°，再以OA 为直角边作Rt OAA，
1 2 2 2 3 2 3 3 △ 3 4
并使∠AOA＝60°…按此规律进行下去，则点A 的坐标为 ．
3 4 △ 2019 △
【答案】（﹣22017，22017 ）．
【解析】通过解直角三角形，依次求A，A，A，A，…各点的坐标，再从其中找出规律，便可得结论．
1 2 3 4
由题意得，
A 的坐标为（1，0），
1
A 的坐标为（1， ），
2
A 的坐标为（﹣2，2 ），
3
A 的坐标为（﹣8，0），
4
A 的坐标为（﹣8，﹣8 ），
5
A 的坐标为（16，﹣16 ），
6
A 的坐标为（64，0），
7
…
由上可知，A点的方位是每6个循环，
与第一点方位相同的点在x正半轴上，其横坐标为2n﹣1，其纵坐标为0，
与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为2n﹣2 ，
与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为2n﹣2 ，
与第四点方位相同的点在x负半轴上，其横坐标为﹣2n﹣1，纵坐标为0，
与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2 ，
与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2 ，
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∵2019÷6＝336…3，
∴点A 的方位与点A 的方位相同，在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2＝﹣22017，
2019 23
纵坐标为22017
1．规律探究题：如图是由一些火柴棒摆成的图案：按照这种方式摆下去，摆第 2023个图案用几根火柴棒
（ ）
A．8093B．8095 C．8092 D．8091
【答案】A
【详解】观察图形的变化可知：
摆第1个图案要用火柴棒的根数为：5；
摆第2个图案要用火柴棒的根数为： ；
摆第3个图案要用火柴棒的根数为： ；
…
则摆第n个图案要用火柴棒的根数为： ；
故第2023个图案要用火柴棒的根数为：
故选：A
2．汉字文化正在走进人们的日常消费生活．如图所示图形都是由同样大小的圆点和线段按照一定的规律
排列组成的篆书简化“汉”字，其中，图①中共有 个圆点，图②中共有 个圆点，图③中共有 个圆
点，图④中共有 个圆点…依此规律则图⑩中共有圆点的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由题意知，图①中共有 个圆点，
图②中共有 个圆点，
图③中共有 个圆点，
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图④中共有 个圆点，
…
∴图⑩中共有圆点 ，
故选：D．
3．已知点 ，记 关于直线m（直线m上各点的横坐标都为0）的对称点为 ， 关于直线n（直
线n上各点的纵坐标都为1）的对称点为 ， 关于直线p（直线p上各点的横坐标都为 ）的对称点为
， 关于直线q（直线q上各点的纵坐标都为3）的对称点为 ， 关于直线m的对称点为 ， 关
于直线n的对称点为 ，……依此规律 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵直线m上各点的横坐标都为0，即直线m为y轴，
∴ ，在第一象限，
∵直线n上各点的纵坐标都为1，即直线n为直线 ；
∴ ，在第四象限，
∵直线p上各点的横坐标都为 ，即直线p为直线 ，
∴ ，在第三象限，
∵直线q上各点的纵坐标都为3，即直线q为直线 ，
∴ ，在第二象限，
∴ ，在第一象限， ，在第四象限， 在第三象限，
∴每四个点坐标所在象限为一个循环，
∵ ，
∴ 与 在同一象限，
∵ ， ，
∴可知，第三象限的点坐标的特征为 ，
∴ ，
故选：B．
4．如图， ，过点 作 且 ，得 ；再过点 ，作 ，且 ，得
；又过点 作 且 ，得 依此法继续作下去，得 （ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由勾股定理得：
，
，
，
，
依此类推可得：
，
∴ ，
故选：B．
5．请看杨辉三角，并观察下列等式：
根据前面各式的规律，则 .
【答案】
【详解】解：（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6
故本题答案为： .
6．如图，李明从A点出发沿直线前进5米到达B点后向左旋转的角度为α，再沿直线前进5米，到达点C
后，又向左旋转α角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了 45米，则每次旋转的角度α为
．
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【答案】40°．
【详解】连续左转后形成的正多边形边数为： ，
则左转的角度是 ．
故答案是：40°．
7．我国南宋数学家杨辉 年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表（图①），即杨辉三
角．现在将所有的奇数记“ ”，所有的偶数记为“ ”，则前 行如图②，前 行如图③，求前 行“
”的个数为 ．
【答案】
【详解】观察图②和图③可知，前 行中包含 个前 行的图形，中间三角形中的数字均为 ，
前 行中“ ”的个数是前 行中“ ”的个数的 倍，
即前 行中“ ”的个数为 （个），
同理可知前 行中“ ”的个数是前 行中“ ”的个数的 倍，即前 行中“ ”的个数为
（个），
前 行中“ ”的个数是前 行中“ ”的个数的 倍，即前 行中“ ”的个数为 （个），
故答案为： ．
8．在平面直角坐标系中，抛物线 的图象如图所示．已知A点坐标为 ，过点A作 轴交抛
物线于点 ，过点 作 交抛物线于点 ，过点 作 轴交抛物线于点 ，过点 作
交抛物线于点 ，依次进行下去，则点 的坐标为 ．
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【答案】
【详解】
解：∵A点坐标为 ，
∴直线 为 ，
∵ ，
∴直线 为 ，
解 得 或 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴直线 为 ，
解 得 或 ，
∴ ，
∴
…，
故答案为： ．
10．探究规律，完成相关题目．
定义“*”运算：
； ；
； ；
； ．
(1)归纳*运算的法则：
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两数进行*运算时，________．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0
进行*运算，________
(2)计算： ．
(3)是否存在有理数m，n，使得 ，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)17
(3)
【详解】（1）解：归纳*运算的法则∶ 两数进行*运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加．
特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的平方．
（2）解： ，
，
，
，
，
；
（3）解： ，
，
∴ ，
解得： ，
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