文档内容
【预初 B01】
入门测
1．若气温升高2C记作“
1
+ 2 C ”，则气温下降 4 C 可记作 ( )
A．−2C B．−4C C． 4 C D． − 6 C
2．为计数方便，某果园以每筐水果 2 5 k g 为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作
负数．“−3kg”表示的实际千克数是 ( )
A．3 B．22 C．25 D．28
3．下列各数是负整数的是( )
A．−2 B． −
1
2
C．− D． − ( − 2 )
4．某一天，甲、乙、丙、丁四个城市的最低气温分别是 − 1 0 C ， 0 C ， 2 C ， 1 4 C ，其中
最低气温是 ( )
A． − 1 0 C B．0C C． 2 C D． 1 4 C
5．数轴上表示数 n 的点的位置如图所示，若n−m0，则表示数m的点可以是 ( )
A．点A B．点B C．点C D．点 D
6．从1到9这9个自然数中任取1个，是偶数的概率是 ( )
1 2 1
A． B． C． D．
9 9 3
4
9
7．如图，点A，C分别表示数−1与5，点B在线段 A C 上，且AB=2BC，则点B对应的数
是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4入门测Plus
1．如图，直径为1个单位长度的圆，从数轴上表示数−2的点向右滚动一周到点
2
N ，则点 N
表示的数为 ( )
A．−2 B．−1 C． 2 + D．
2．（2024 春•松江区期中）某公司 7天内货品进出仓库的吨数如下： ( “ + ”表示进库，“−”
表示出库）+30，−30，−16，−36，+14，−20，+24．
（1）经过这7天，仓库管理员结算发现仓库还有货品500吨，那么7天前仓库里有货品多
少吨？
（2）如果进出的装卸费都是每吨8元，那么这7天要付多少元装卸费？
出门测
1. 下列说法正确的是（ ）
A．0是自然数
B．最小的自然数是0，最大的自然数是1000000
C．不是正数的数一定是负数
D．没有最小的负数，有最大的正数
2.（2021•宝山区校级月考）下面各组数中，第一个数能被第二个数整除的是( )
A．12和24 B．75和15 C．46和4 D．45和1.5
3. （1）如果正整数a能被2整除，那么a的最小可取______．
（2）一个数的倍数有_________个，最小的倍数是__________．4. （2023•崇明区期中）24的因数有 ．
5. 一个数既是 48 的因数，又是 16 的倍数，这个数最小是______，把它分解质因数是
____________
6. 两百年前，德国数学家哥德巴赫发现：任何一个不小于 6 的偶数都可以写成两个奇素数
（既是奇数又是素数）之和，简称：“l+1 ”．如
3
6 = 3 + 3 ，12=5+7等等．众多数学家用很
多偶数进行检验，都说明是正确的，但至今仍无法从理论上加以证明，也没找到一个反例．这
就是世界上著名的哥德巴赫猜想．你能检验一下这个伟大的猜想吗？请把偶数42写成两个
奇素数之和 .4 2 = + ，或者42= + ．
你是否有更大的发现：把42写成4个奇素数之和？42= + + + ．
出门测Plus
1. 有一个两位数，它的十位数字是个位数字的 8 倍，则这个两位数一定是 9 的倍数，试说
明理由．
2. 2018年是某学校建校60周年，60的因数的个数比任何一个小于它的数的因数都要多，像
这样的数可以称为“子孙满堂数”，那么，小于60的“子孙满堂数”有 个．【预初 B02】
入门测
1. 下列说法正确的是（ ）
A．最小的自然数是1
B．最小的整数是1
C．非负整数是自然数
D．有最大的正整数，但没有最小的负整数
2. 下面各组数中，第一个数能被第二个数整除的是( )
A．12和2.2 B．35和5 C．13和52 D．20和50
3. （1）如果3能整除
4
a ， a 能整除12，那么 a =__________．
（2）一个正整数的最大因数是__________；最小因数是__________．
4.（2022•杨浦区月考）8的因数有 ．
5. 三个不同的质数都有相同的倍数是102，这三个数分别是______、______、和______．
6. （2022•宝山区期中）如果两个相邻的奇数都是素数，就说它们是一组孪生素数．如11和
13就是一组孪生素数，
（1）请你举出除此之外的两组孪生素数；
（2）如果三个相邻的奇数都是素数，就说它们是“三胞胎素数”，请写 三个不同的质数都有
相同的倍数是102，这三个数分别是______、______、和______．出一组“三胞胎素数”．（本
题只需直接写出答案）入门测 Plus
1. 已知两个三位数abc，
5
d e f ，和 a b c + d e f 能被37整除，证明：六位数 a b c d e f 也能被37整
除．
出门测
1.（1）（2020•浦东新区月考）16和18的最大公因数是 ．
（2）（2020•浦东新区月考）11和7的最小公倍数是 ．
2. 用短除法求18、30和36的最大公因数和最小公倍数．
3. （2022•徐汇区校级月考）现在有练习本34本，橡皮85块，若要将这些分成若干份同样
的奖品，不得有剩余，最多能分成多少份奖品？每份奖品中练习本，橡皮各有多少份？
出门测 plus
1. 甲乙丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要1分钟、1分15秒、1分45秒，问：三人
同时从起点出发，多少时间后他们又在起点相会？
2. 小红的爸爸工作8天休息一天，妈妈工作5天休息1天，今年的5月28日是他的爸爸和
妈妈同时休息，那么下一次到_____月_____日又同时休息了．【预初 B03】
入门测
1.（1）6和11的最大公因数是 ．
（2）2，4，8的最小公倍数是 ．
2. 用短除法求36和60的最大公因数和最小公倍数．
3. （2021•宝山区校级月考）凌老师把24块水果糖和36块巧克力分别平均分给一个组的学
生，结果全部分完，你知道这个组最多有几位学生吗？
入门测 Plus
1．（2023 秋•普陀区校级月考）一批水果，每箱放 30 个则多 20 个；每箱放 35 个则少 10
个．这批水果至少有多少个？
2．公路上有一排电线杆，共25根，每相邻两根间的距离原来都是45米，现在要改成60米，
可以有几根不需要移动？
6出门测
a
1．把分数 的分子扩大为原来的 4 倍，分母缩小为原来的
b
7
1
2
倍，所得的分数比
a
b
（ ）
A. 扩大为原来的8倍 B. 扩大为原来的2倍
C. 缩小为原来的
1
2
倍 D. 缩小为原来的
1
8
倍
2.（2022•黄浦区期中）图中阴影部分用分数表示是 ( )
1 1 1 2
A． B． C． D．
2 5 3 5
3．如果
2
3
=
2 + (
9
)
，那么括号内应填的数字为________.
4．把一个西瓜平均分成5份，每一份是这个西瓜的______．
3
5．一个分数，它的分母是72，化成最简分数是 ，这个分数原来是______；一个分数，它
4
的分子是45，化成最简分数是
5
6
，这个分数原来是______．
6．计算：
（1）
5
9
2 0
1 8
5
； （2） 4
1
2
1
7
8
3
1
3
.
出门测 Plus
1．（2022秋•长宁区校级期中） 2 0 1 0
2
2
0
0
0
0
8
9
． 2．（2022秋•长宁区校级期中） 4 0 3 9
3
4
9
0
．【预初 B04】
入门测
a
1．把分数 的分子扩大为原来的 4 倍，分母缩小为原来的
b
8
1
3
，所得的分数比原来（ ）
A. 扩大到原来的7倍 B. 缩小到原来的12倍
C. 不变 D. 扩大到原来的12倍
2. 通过计算填空：
2
3
=
2
3
+
+
a
9
，那么 a = _____.
3．“一箱橙子吃去了
3
4
．”这是把____________看做单位“1”，把它平均分成了________份，
吃去的橙子占________份，由此可以推出剩下这箱橙子的
(( ))
．
4．一个分数，它的分子与分母的最大公因数是 17，化成最简分数是
2
3
，这个分数原来是
______．
5．计算：
1 8 7
（1）3 ； （2）
5 5 4
1
2
3
1
1
5
3
1
3
.
入门测 Plus
1.（2020•杨浦区校级期中）取一个边长1的正方形，将它5等分，取其中的4份涂色．把所
得的涂色部分看成一个总体，再将其 3 等分，取其中的 2 份，那么这 2 份占原来正方形的
___________（填几分之几）．2．动物心跳的快慢是与体重有关系的，体重越大，心跳越慢，体重越小，心跳越快．你能
根据下面的信息算出猫每分钟大约心跳多少次吗？
出门测
1. 下列说法错误的是（ ）
A．真分数都小于1
B．假分数都不小于1
C．真分数的分子一定小于分母
D．假分数的分子一定大于分母
a+5
2. 若 是分母为18最小假分数，则a的值是 ．
18
3. 计算：
（1）
9
5
4
−
1
5
2
+ 1
1
6
1 1 5
； （2）5 −(4 −2 )．
12 5 12
1
4. 一次单元测验，题型分为选择题，填空题和解答题，测验时间为 1 个时．小智先用了
6
小时做完了选择题，再用了
1
4
5
小时完成了填空题，那么小智做完选择题和填空题总共用了
多少小时？小智还剩多少小时可以用来做解答题？出门测 Plus
1．（2022秋•静安区期中）分子为1的分数叫做单位分数．早在三千多年前，古埃及人就利
用单位分数进行书写和计算．将一个分数分拆为几个不同的单位分数之和是一个古老且有
3 1+2 1 2 1 1
意义的问题．例如： = = + = + ；
4 4 4 4 4 2
10
2
3
=
4
6
=
1 +
6
3
=
1
6
+
3
6
=
1
6
+
1
2
（1）仿照上例分别把分数
5
8
3
和 分拆成两个不同的单位分数之和．
5
5
8
=
3
5
=
（2）在上例中，
3
4
=
1
4
+
1
2
，又因为
1
2
=
3
6
=
1 +
6
2
=
1
6
+
2
6
=
1
6
+
1
3
，所以：
3
4
=
1
4
+
1
6
+
1
3
，即
3
4
可以写成三个不同的单位分数之和．按照这样的思路，它也可以写成四个，甚至五个不同
的单位分数之和．根据这样的思路，探索分数
5
8
能写出哪些两个以上的不同单位分数的和？【预初 B05】
入门测
一、填空题：
1. 要使
11
1
x
5
是真分数，
1
x
4
是假分数，x应该是 ．
2. 把78分解素因数是 ．
3. 108千克花生可榨油96千克，平均一千克花生能榨油 千克．（结果用最简分数表
示）
4. 如果甲数=2×3×5，乙数=3×3×5，那么甲数和乙数的最小公倍数是 ．
5. 能同时被2、3、5整除的最大的三位数是 ．
6. 一筐苹果的数量在 40 到 50 个之间，从中两个两个地拿，或三个三个地拿，或四个四个
地拿，都正好拿完，这筐苹果有 个．
7．下列说法中，正确的是
①一个分数的分子与分母同时乘以或除以相同的数，分数的大小不变；
②一个假分数的倒数一定是真分数；
③a（a≠0）的倒数是
1
a
；
④4的素因数只有2．
二、单选题：
49 17 13 5 3
8．在分数 ， ， ， ， ，
98 51 91 65 97
7
8
中最简分数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9. 分数
2 a +
a b
2 b
中的a和b同时扩大为原来的三倍，得到的分数是原来的（ ）
1 1 2
A． B． C．3倍 D．
3 9 3入门测 Plus
1．（2023秋•闵行区期中）日常生活中，我们通常用到的数，称之为十进制数．在表示十进
制数时，我们需要用到10个数码：0，1，2，，8，9．
例如：
9812
=9000+800+10+2
12
= 9 1 0 1 0 1 0 + 8 1 0 1 0 + 1 1 0 + 2 1 ．
而在计算机中，常使用二进制数，即使用两个数码：0，1．
例如：1011．如果想要知道这个二进制数等于十进制中的哪个数字，我们可以这样计算：
(1011)2
= (1 2 2 2 + 0 2 2 + 1 2 + 1 1 )1 0
= (1 1 )1 0
即二进制数1011等于十进制数11．
阅读以上资料后，
（1）请你把二进制数10101转换为十进制数的过程补充完整：
(10101)2
= ( 12222+0222+122+02+1 )1 0 ；
= ( )1 0 ；
（2）现在，请你尝试把六进制数421转化为十进制数，并写出转换过程．出门测
7
1. 将0.6，0.16，2.166分别化成分数．2. 如果 能化成有限小数，且
a
13
a 是不大于10的正整
数，则a可以是______．
3. 下列分数中不能化成有限小数的是( )
A．
1
9
6
B．
3
8
C．
1
5
8
D．
1
2
5
1
0
4. 将下列分数化成小数，不能化为有限小数的，保留三位小数.
（1）
1
9
6
32 16 23
； （2） ； （3） ； （4） ．
25 45 8
出门测 Plus
1. 阅读理解题：
你知道为什么任何无限循环小数都可以写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你原因和
方法．
阅读下列材料：
问题：利用一元一次方程将0.7化成分数．
设 0 .7 = x ，
由 0 .7 = 0 .7 7 7 ，可知 1 0 0 .7 = 7 .7 7 7 = 7 + 0 .7 ，
即7+x=10x．（请你体会将方程两边都乘以10起到的作用）
7 7
可解得x= ，即0.7= ．
9 9
（1）填空：将0.4直接写成分数形式为 ．
（2）请仿照上述方法把小数0.25化成分数，要求写出利用一元一次方程进行解答的过程．【预初 B06】
入门测
1. 将0.056，1.12，3.25，0.125，1.8分别化成分数．
2. 将下列分数化为小数．
14
1
1
4
=
5
_____；5 =_____；
8
4
3
2 0
=
1
_____；2 =_____．
8
3. 下列分数中不能化成有限小数的是 ( )
A．
1
9
6
B．
3
8
C．
1
5
8
7
D．
50
入门测 Plus
1．你知道为什么任何无限循环小数都可以写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你原因
和方法．
（1）阅读下列材料：
问题：利用一元一次方程将 0 .7 化成分数．
解：设 0 .7 = x ，方程两边都乘以10，可得 1 0 0 .7 = 1 0 x ．
由 0 .7 = 0 .7 7 7 ，可知 1 0 0 .7 = 7 .7 7 7 = 7 + 0 .7 ，
即7+x=10x．（请你体会将方程两边都乘以10起到的作用）
7 7
可解得x= ，即0.7= ．
9 9
（2）填空：将0.2写成分数形式为 ．
（3）请你仿照上述方法把0.43化成分数，要求写出利用一元一次方程进行解答的过程．出门测
1．计算：
（1）
15
3
3
4
− 2
4
5
+ 1 .3 7 5 ； （2） 4
3
4
−
5
6
− 2 .5 ；
3 5 7 1
（3） 19 ； （4）9.625 18 ；
95 19 10 3
3 5
（5）24( −0.25+ )； （6）
8 6
3
1
5
[ (1
2
3
+ 0 .2 ) 2
1
7
] ．
出门测 Plus
1．计算：
5 1 5 2 5 6
（1） + + ； （2）
6 13 9 13 18 13 2
3
5
+
5
3
8
+
8
3
1 1
+ +
1 9 7
3
2 0 0【预初 B07】
入门测
1．计算：
（1）
16
3 .6 2 5 − 2
1
6
+ 1
3
4
； （2）
7
9
−
1
5
8
+ 0 .3 5 ；
（3） 1 2 9
1
3
1 .0 5 ； （4） 1
4
5
1
4
5
1
4
5
；
（5）
1
3 0
+
1
3 5
+
1
6 3
2
1
7
； （6） ( 4
1
6
− 2
1
2
) [ (1 + 1 .7 5 )
2
3
0
3
] ．
入门测 Plus
1．计算：
1 1 1 1 44 66 88 1010 1212
（1）( + + ) （2） + + + +
78 89 97 789 35 57 79 911 1113出门测
1. 一堆煤720吨，用去了它的
17
1
6
，还剩余多少吨？
3
2. 一件上衣90元，是裤子价钱的 ，那么一套衣服多少元？
2
3. 一件商品原价800元，先提价
1
1
0
，再降价
1
1
0
，问这件商品的现价是多少元？
4. （2022•浦东新区校级期末）一根钢筋长18米，第一次用去了全长的
1
3
，第二次用去了余
1
下的 ，求剩余部分的长度．
4
出门测 Plus
1. 某信息管理中心，在距下班还剩 4 小时的时候，接到将一批工业最新动态信息输入管理
偖存网终的任务，甲单独做需6小时完成，乙单独做需4小时完成，若甲先做30分钟，然
后甲、乙合作1小时，这时又接到新的工作任务，必须调走一人，问剩下那人能否在下班之
前完成这项工作？【预初 B08】有理数的意义
入门测
2
1．一种儿童自行车的原价是154元，现在降价 ，现在的售价是多少元？列式为
7
18
( )
2 2
A．154 B．154(1− ) C．
7 7
1 5 4 (1 +
2
7
) D． 1 5 4 (1 −
2
7
)
2．一本漫画书共有100页，小红第一天看了全书的
1
5
1
，第二天看了全书的 ，第三天应从
4
第( ) 页看起．
A．45 B．46 C．55 D．56
3．检修一台机器，甲、乙小组单独做分别需7.5h， 5 h 就可以完成．两小组合做 1 h 后，再由
乙小组单独做，则完成这台机器的检修任务还需的小时数为 ( )
A．
1
3
0
10
B． C．3 D．4
3
2
4．小明妈妈买了6斤大米，家里煮饭用了它的 ，还剩下
5
( )
3
A． 斤 B．
5
5
3
5
斤 C．
1 2
5
斤 D．
1 8
5
斤
2
5．如图，两个长方形游泳池，公共部分为阴影，阴影部分面积是大游泳池面积的 ，是小
9
4
游泳池面积的 ，小游泳池的面积比大游泳池的面积的少几分之几
11
( )
7 7 14
A． B． C． D．以上都不对
18 4 99
1 1
6．现规定一种运算：a*b= a− b，如
3 4
a * 3 =
1
3
a −
1
4
3 ，则方程 x * 2 =
3
2
的解为 ．入门测 Plus
1．一天，某客运公司的甲、乙两辆客车分别从相距380千米的A、B两地同时出发相向而
行，并以各自的速度匀速行驶，两车行驶 2 小时时甲车先到达服务区
19
C 地，此时两车相距
20 千米，甲车在服务区C地休息了 20 分钟，然后按原速度开往B地；乙车行驶 2 小时 15
分钟时也经过C地，未停留继续开往 A 地．（友情提醒：画出线段图帮助分析）
（1）乙车的速度是多少千米/小时？B、C两地的距离是多少千米？
（2）这一天，乙车出发多长时间，两车相距200千米？
2．在2023杭州亚运会男子 4 1 0 0 米接力中，中国选手陈佳鹏在冲刺阶段完成了绝地反杀，
成功助力中国夺冠．为了学习这种体育精神提高竞技能力，49 中田径队在笔直跑道上训练
甲、乙两同学分别从 A 、B两点同时相对出发．甲的平均速度是360米/分，乙的平均速度
1
比甲快 ，经过1分半后两人相距30米，
6
A 、B两点相距是 米．
9 6
3．工程队用3天修完一段路，第一天修的是第二天的 ，第三天修的是第二天的 倍，已
10 5
知第三天比第一天多修270米，这段路长多少米？出门测
1．（2023•闵行区期中）在−15，
20
5 1
3
， − 0 .2 3 ，0，7.6，2， − 3
5
，314%．这八个有理数中非
负数有 ( )
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
2. （2018•浦东新区期中）a、b互为相反数，则下列成立的是 ( )
A．ab=1 B．a+b=0 C． a = b
a
D． =−1
b
3 3. （2022•闵行区校级期中）比较大小：−(−1 )______−|−1.35|．（填“ ”、“ ”或“
5
= ” )
4. (2019·浦东期中)已知点A和点B 在同一数轴上，点 A表示数 1，又点B 和点A相距 2
个单位长度，则点B表示的数是______.
5. 随着人们生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入家庭．小明家中买了一辆小轿车，
他连续记录了 7 天中每天行驶的路程（如表），以 5 0 k m 为标准，多于 5 0 k m 的记为“+”，不
足50km的记为“−”，刚好 5 0 k m 的记为“0”．
第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
路程(km) − 8 − 1 1 − 1 4 0 −16 + 4 1 +8
（1）请求出这七天平均每天行驶多少千米；
（2）若每行驶100km需用汽油6升，汽油价6.2元/升，请估计小明家一个月（按30天计）
的汽油费用是多少元？出门测 Plus
1．数轴上某一个点表示的数为a，比a小2的数用b表示，那么
21
| a | + | b | 的最小值为 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2．我们知道，在数轴上，点M ，N分别表示数 m ， n 则点 M ， N 之间的距离为 | m − n | ．已
知点A， B ，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d ，且 | a − c |= | b − c |=
2
5
| d − a |= 1 ( a b ) ，
则线段BD的长度为 ．【预初 B09】有理数的四则运算
入门测
1. （2022•杨浦区校级期中）在0.2，
22
− ( − 5 ) 1 ，−|−2 |，
2
1 5 % ，0， 5 ( − 1 ) 3 ， − 2 2 ，−(−2)2
这八个数中，非负数有( )
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
2. （2018•金山区二模）下列各数中，相反数等于本身的数是 ( )
A．−1 B．0 C．1 D．2
6 5 3. 比较大小：− − （用“
7 6
= 或 或 ”填空）．
4. 数轴上有A，B两点，如果点A对应的数是 − 2 ，且A，B两点的距离为3个单位，点B
对应的数是__________．
5. 有 20 筐白菜，以每筐 20 千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记
录如下：
与标准质量的差值（单 −3 −2
位：千克）
− 1 .5 0 1.5 2.5
1 4 2 3 4 6
筐数
（1）20筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐多多少千克？
（2）与标准重量比较，20筐白菜总计超过或不足多少千克？
（3）若白菜每千克售价4元，则出售这20筐白菜可卖多少元？入门测 Plus
1．如图，已知数轴上点 A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且 A，B两点间的
距离为 10．动点P从点A出发，以每秒 6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动
时间为
23
t ( t 0 ) 秒．
（1）数轴上点B表示的数是 ，点 P 表示的数是 （用含t的代数式表示）；
（2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同
时出发．求：
①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？
②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？出门测
（1）计算：
24
( − 3
4
7
) + 1 2 .5 + ( − 1 6
3
7
) − ( − 2 .5 ) ；
2 3
（2）计算：−16+4 −3.2+6 −6.8+24；
5 5
（3）计算： − 3
1
2
+
5
6
− 0 .5 + 1
1
6
；
（4）计算： − 3
1
3
2
1
5
− 1
1
2
；
3 21 3 1 21 4
（5）计算：− 2 3 1 1 −1 ．
4 25 5 2 50 5出门测 Plus
8 4
,
a b 9 5
1．如果规定| |=ad −bc，求| |的值．
c d 3
0.5,
2
2．阅读下面的文字，完成解答过程．
（1）
25
1
1
2
= 1 −
1
2
1 1 1
， = − ，
23 2 3 3
1
4
=
1
3
−
1
4
1
，则 = ，并且用含有n的式
20072008
子表示发现的规律．
1 1 1 1
（2）根据上述方法计算： + + ++ ．
13 35 57 20052007
（3）根据（1），（2）的计算，我们可以猜测下列结论：
n ( n
1
+ k )
= （其中n， k 均为正
1 1 1 1
整数），并计算 + + ++ ．
14 47 710 20052008【预初 B10】有理数的乘方及混合运算
入门测
1 3
（1）计算：(−3 )+(−2 )+10−1.5；
4 4
1 1
（2）计算：(− )−2+(− )+(−3)；
2 3
3 1
（3）计算：−0.25(− )(1− )；
7 5
7 11 5
（4）计算：[45−( − + )36]5；
9 12 6
2 2 3 2 3
（5）计算：− (−92)+(− )34 + 23 .
9 9 5 9 5
26入门测 Plus
1．观察下列两个等式：
27
2 −
1
3
= 2
1
3
+ 1
2 2
，5− =5 +1，给出定义如下：
3 3
我们称使等式 a − b = a b + 1 成立的一对有理数 a ， b 为“共生有理数对”，记为(a,b)，如：数
1
对(2, )，
3
( 5 ,
2
3
) ，都是“共生有理数对”．
（1）判断数对 ( − 2 ,1 ) ， ( 3 ,
1
2
) 是不是“共生有理数对”，写出过程；
（2）若(a,3)是“共生有理数对”，求a的值；
（3）若(m,n)是“共生有理数对”，则(−n,−m) “共生有理数对”（填“是”或“不是” )；说
明理由；
（4）请再写出一对符合条件的“共生有理数对”为 （注意：不能与题目中已有的“共生有
理数对”重复）2．观察图，解答下列问题．
（1）图中的小圆圈被折线隔开分成六层，第一层有1个圆圈，第二层有3个圆圈，第三层
有5个圆圈，
28
，第六层有11个圆圈．如果要你继续画下去，那么第七层有几个小圆圈？
第 n 层呢？
（2）某一层上有77个圆圈，这是第几层？
（3）数图中的圆圈个数可以有多种不同的方法．
比如：前两层的圆圈个数和为 (1 + 3 ) 或 2 2 ，
由此得，1+3=22．
同样，
由前三层的圆圈个数和得： 1 + 3 + 5 = 3 2 ．
由前四层的圆圈个数和得：1+3+5+7=42．
由前五层的圆圈个数和得：1+3+5+7+9=52．
根据上述请你猜测，从1开始的n个连续奇数之和是多少？用公式把它表示出来．
（4）计算： 1 + 3 + 5 + + 2 1 的和；
（5）计算：11+13+15++201的和．出门测
1. 1米长的小棒，第1次截去一半，第二次截去剩下的一半，如此截下去，第7次后剩下的
小棒长______米．
2. 如果
29
| a + 2 | + ( b − 1 ) 2 = 0 ，那么 ( a + b ) 2 0 0 9 的值是 ( )
A．−1 B．1 C． − 2 0 0 9 D．2009
3. 地球上的海洋面积约为 3 6 1 0 0 0 0 0 0 k m 2 ，将数据361000000用科学记数法表示为_________．
1
4. 计算：−12017 −[2−(1− 0.5)][32 −(−2)2]
3
2 2
5. 计算：−32− (−5)3 − −18 −(−3)2 ；
3
出门测 Plus
1．（1）填空：1.22 = ； 1 2 2 = ； 1 2 0 2 = ．
（2）根据上题的规律猜想：当底数的小数点向右移动一位，其平方数的小数点怎样移动？
（3）利用上述规律，解答下列各题：
如果3.252 =10.5625，那么0.3252 = ．如果 x 2 = 1 0 5 6 2 5 ，那么 x = ．2．阅读材料： 求1+2+22 +23 +24 ++22015的值 ．
解： 设
30
S = 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + + 2 2 0 1 2 + 2 2 0 1 5 ，将等式两边同时乘以 2 得：
2 S = 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + + 2 2 0 1 3 + 2 2 0 1 6
将下式减去上式得2S −S =22016 −1
即 S = 2 2 0 1 6 − 1
即1+2+22 +23+24 ++22015 =22016 −1
请你仿照此法计算：
（1） 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + + 2 1 0
（2） 1 + 3 + 3 2 + 3 3 + 3 4 + + 3 n （其 中n为正整数） ．【预初 B11】一元一次方程及其解法
入门测
1.《棋盘上的米粒》故事中，皇帝往棋盘的第1格中放1粒米，第2格中放2粒米，在第3
格上加倍至4粒，
31
，依此类推，每一格均是前一格的双倍，那么他在第20格中所放的米
粒数是_______．
2. 若x， y 为有理数，且 | x + 5 | + ( y − 5 ) 2 = 0 ，则 (
x
y
) 2 0 2 3 的值为 ( )
A．−1 B．1 C．−2023 D．2023
3. 2022年6月5日，中华民族再探苍穹，神舟十四号载人飞船通过长征二号F 运载火箭成
功升空，并与天和核心舱顺利进行接轨．据报道，长征二号 F 运载火箭的重量大约是
500000kg．将数据500000用科学记数法表示为_______．
4. 计算： |
4
3
−
3
2
| + [
1
2
2 2 − ( −
3
2
) 2 ] ．
1 2 2
5. 计算： 2 + −(−7)+(−1)3 3 ；入门测 Plus
1 ． 已 知 ：
32
1 3 = 1 =
1
4
1 2 2 2 ； 1 3 + 2 3 = 9 =
1
4
2 2 3 2 ； 1 3 + 2 3 + 3 3 = 3 6 =
1
4
3 2 4 2 ；
1
13 +23 +33 +43 =100= 4252；
4
（1）请你猜想填空：13 +23 +33 ++(n−1)3 +n3 = ；
（2）试计算： 1 3 + 2 3 + 3 3 + + 9 9 3 + 1 0 0 3 ．
2．由 1 3 = 1 2 ；13 +23 =32；13 +23 +33 =62；13 +23 +33 +43 =102；想一想，等式左边各
项幂的底数与右边幂的底数有什么关系？猜一猜可以得出什么规律？请用n(n为正整数）
的等式把这一规律写出来．
出门测
1. 在①2x+3y−1；②1+7=15−8+1；③ 1 −
1
2
x = x + 1 ④x+2y=3中方程有 ( ) 个．
A．1 B．2 C．3 D．4
2. 下列各个变形正确的是 ( )
2x−1 x−3
A．由 =1+ 去分母，得2(2x−1)=1+3(x−3)
3 2
3x 1.4−x 30x 14−x
B．方程 − =1可化为 − =1
0.5 0.4 5 4
C．由 2 ( 2 x − 1 ) − 3 ( x − 3 ) = 1 去括号，得4x−2−3x−9=1
D．由 2 ( x + 1 ) = x + 7 去括号，移项，合并同类项，得 x = 5
3. 如果方程x+1=0与5+m=2x的解相同，那么m= ．4. 解方程：
2x−5 3−x
（1）2(x+2)=3(1−4x)−13； （2）1− = ．
6 4
出门测 Plus
1．某县对城区主干道进行绿化，计划把某段公路的一侧全部栽上桂花树，要求路的两端各
栽一棵，并且每两棵树的间隔相等．如果每隔5米栽1棵，则树苗缺19棵；如果每隔6米
栽1棵，则树苗多5棵．设原有树苗x棵，则根据题意列出方程正确的是( )
A．
33
5 ( x + 1 9 − 1 ) = 6 ( x − 5 − 1 ) B． 5 ( x + 1 9 ) = 6 ( x − 5 − 1 )
2．元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日
行一百五十里．若驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？根据题意，若设快马x天可追
上慢马，则下述所列方程正确的是 ( )
A．
2
x
4 0
=
x
1
+
5
1
0
2
B．
2
x
4 0
=
1
x
5 0
− 1 2
C． 2 4 0 x = 1 5 0 ( x + 1 2 ) D． 2 4 0 ( x − 1 2 ) = 1 5 0 x
3．小王同学想根据方程8x+3=6(x+8)−5编一道应用题：“几个人为学校建花坛搬砖______，
求参与搬砖的人数．”若设参与搬砖的有x人，那么横线部分的条件应描述为( )
A．若每人搬8块，则缺3块砖；若再添8人一起搬，则每人搬6块，缺5块砖
B．若每人搬8块，则剩3块未搬；若再添8人一起搬，则每人搬6块，缺5块砖
C．若每人搬8块，则缺3块砖；若再添8人一起搬，则每人搬6块，剩5块砖未搬
D．若每人搬8块，则剩3块未搬；若再添8人一起搬，则每人搬6块，剩5块砖未搬
4．《孙子算经》中记载了一个有趣的“荡杯问题”：每2人合用1个饭碗，每4人合用1个汤
碗，每5人合用1个肉碗，共用76个碗．设共有 x 人，根据题意，可列方程( )
x
A． =76 B．
2+4+5
x
2
+
x
4
+
x
5
= 7 6
C．2x+4x+5x=76 D．4x+5x=2(76−x)5．如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“凹”型框中的5个数（如阴影部分所示）．请
你运用所学的数学知识来研究，这5个数的和不可能是
34
( )
A．31 B．56 C．67 D．126【预初 B12】
入门测
一、选择题
1．下列哪个分数不能化成有限小数( )
A．
35
1
3
6
B．
6
3 0
C．
8
2 5
D．
1
6
2．一个数和它的倒数相等，则这个数是( )
A．1 B．−1 C． 1 D． 1 和0
3．下列方程中，是一元一次方程的是( )
1
A．x+ =2 B．x+2y=10 C．
x
x
2
+
1
2
= 0 D． x 2 − 2 x = 1
4．小明和小杰比赛从赛道的 A 点跑到 B 点，小明用了12秒钟，小杰用了13秒钟，由上述
条件，某同学得到以下两个结论：①小明所用的时间比小杰的少了
1
1
2
；②小明的速度比小
杰的快了
1
1 3
，对于结论①②，下列说法正确的是 ( )
A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①②都正确 D．①②都错误
二、填空题
5
5．用“”“ ”或“=”号连接：1.25 ．
4
6．若x=−4是方程 k x 2 − 2 x − 4 = 0 的一个解，则 k = ．
−1124 +(−1)125
7．化简： = ．
2
8．如果关于 x 的方程 x + 1 = 0 与 3 + m = 3 x 的解相同，那么 m = ．入门测 Plus
1. 定义：如果两个一元一次方程的解之和为 1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：
方程4x=8和
36
x + 1 = 0 为“美好方程”．
（1）若关于 x 的方程 3 x + m = 0 与方程 4 x − 2 = x + 1 0 是“美好方程”，求 m 的值；
（2）若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为 n ，求 n 的值；
出门测
1. 如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原
树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是 ( )
A．直线最短
B．经过一点有无数条直线
C．两点之间，线段最短
D．经过两点，有且仅有一条直线2. 如图，已知点C是线段AB上一点，点D是
37
A C 的中点，点E是BC的中点．若AB=12，
则 D E 的长为 ( )
A．7 B．6 C．5 D．4
3. 点 C 是直线AB上一点，若线段AB的长为 4， B C =
1
2
A C ，线段 B C 的长为 ．
出门测 Plus
1. 如图（1），已知点 C
1 1
在线段AB上，且AM = AC，BN = BC．
3 3
（1）若 A C = 1 2 ， B C = 6 ，求线段MN 的长；
（2）若点C为线段AB上任意一点，其他条件不变，且满足 A C + B C = a ，求线段MN 的长；
（3）如图（2），若点 C 为线段AB延长线上任意一点，其他条件不变，且满足AC−BC =b，
求线段MN 的长．【预初 B14】
入门测
一、填空题：
1. 要使
38
1
x
5
x
是真分数， 是假分数，x应该是 ．
14
2. 如果关于x的方程 x + 1 = 0 与3+m=3x的解相同，那么m= ．
3. 一筐苹果的数量在 40 到 50 个之间，从中两个两个地拿，或三个三个地拿，或四个四个
地拿，都正好拿完，这筐苹果有 个．
4. 我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中有这样的记载：“良马日行二百四十里，驽马日行
一百五十里，驽马先行一十二日，良马数日追及之”．其大意是：跑得快的马每天走240里，
跑的慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马 天可以追上慢马．
5．下列说法中，正确的是
①一个分数的分子与分母同时乘以或除以相同的数，分数的大小不变；
②一个假分数的倒数一定是真分数；
③a（a≠0）的倒数是
1
a
；
④4的素因数只有2．
二、单选题：
6. 一个数和它的倒数相等，则这个数是 ( )
A．1 B．−1 C． 1 D． 1 和0
7. 分数
2 a +
a b
2 b
中的a和b同时扩大为原来的三倍，得到的分数是原来的（ ）
1 1 2
A． B． C．3倍 D．
3 9 3
入门测 Plus
1. 关于 x 的一元一次方程
k x −
2
1
+ 3 = x 的解为整数，则所有整数 k 的和为 ．出门测
1. 图书馆在剧院的东偏南
39
3 0 方向500米处，那么剧院在图书馆的 ( )
A．东偏南 3 0 方向500米处 B．南偏东 6 0 方向500米处
C．北偏西 3 0 方向500米处 D．西偏北 3 0 方向500米处
2. 如图所示，OC， O D 分别是AOB，AOC的平分线，且COD=25，则AOB
为( )
A．100 B．120 C． 1 3 5 D． 1 5 0
3. 如图，点 O 在直线 A B 上， C O D = 9 0 ， O E 是 B O D 的平分线， O C 为 B O E 的平分
线，BOC = ．
4. 计算 3 7 1 2 + 1 7 5 2 = ．入门测 Plus
如图，OM 是
40
A O C 的平分线， O N 是 B O C 的平分线．
（1）如图1，当 A O B 是直角， B O C = 6 0 时， M O N 的度数是多少？
（2）如图2，当 A O B = ， B O C = 6 0 时，猜想 M O N 与的数量关系；
