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专题08 函数的周期性
专项突破一 周期函数的定义与求解
1．有下面两个命题：
①若 是周期函数，则 是周期函数；
②若 是周期函数，则 是周期函数，
则下列说法中正确的是（ ）．
A．①②都正确 B．①正确②错误 C．①错误②正确 D．①②都错误
2．若函数 满足 ，则 可以是（ ）
A． B． C． D．
3．已知定义在 上的非常数函数 满足：对于每一个实数 ，都有 ，则
的周期为（ ）
A． B． C． D．
4．若定义在R上的偶函数f(x)满足 且 时， ，则方程 的解有
（ ）
A．2个 B．3个
C．4个 D．多于4个
5．设 是定义在实数集 上的函数，且满足 ， ，则 是
（ ）
A．偶函数，又是周期函数 B．偶函数，但不是周期函数
C．奇函数，又是周期函数 D．奇函数，但不是周期函数
6．已知函数 的最小正周期为3，则函数 的最小正周期为______．
7．函数 为定义在 上的奇函数，且满足 ，则 的周期为__________．8．若定义在 上的非零函数 ，对任意实数 ，存在常数 ，使得 恒成立，则称
是一个“ 函数”，试写出一个“ 函数”：__________．
专项突破二 利用周期性求函数值(或解析式)
1．已知定义在R上的函数 满足 ，当 时， ，则
（ ）
A． B． C．2 D．1
2．已知函数 是 上的偶函数，若对于 ，都有 .且当 时，
，则 的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
3．定义在R上的偶函数 满足 ，且当 时， ，则 ( )
A． B． C． D．
4．已知函数 的图象关于原点对称，且 ，当 时， ，则
（ ）
A．-11 B．-8 C． D．
5．已知定义在R上的奇函数 满足 ，且当 时， ，
则 的值为（ ）．
A． B．0 C．1 D．26．已知函数 满足：对任意 ， ．当 时， ，则
（ ）
A． B． C． D．
7．定义在R上的偶函数 满足 ，且 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
8．已知函数 的定义域为R，且满足 ，当 ， 时，f(x)＝ ，则f(7) ______.
9．已知 是以 为周期的偶函数，且当 时， ，则 ________．
10．已知 是定义在 上的周期为3的奇函数，且 ，则 ___________.
11．设定义在R上的函数 同时满足以下条件：① ；② ；③当
时， ，则 ________.
12．已知 是定义在 上的奇函数，且函数 为偶函数，当 时， ，则
______．
13．设 是定义在 上周期为4的偶函数，且当 时， ，则函数 在 上
的解析式为__________.
14．定义在 上的偶函数 满足 ，且 时， ，则 __________.
15．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2．
（1）求证：f(x)是周期函数；（2）当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式；
（3）计算f(0)＋f（1）＋f（2）＋…＋f(2019)．
16．已知函数 是实数集 上的函数，且 ，当 时， .
(1)求 的周期.
(2)求 时，函数 的表达式.
(3)若关于 的方程 在区间 上恰有4个解，求实数 的取值范围.
专项突破三 抽象函数周期性
1．定义在 上的函数 满足 ，则下列是周期函数的是（ ）
A． B．
C． D．2．已知函数 的图象关于直线 对称，函数 关于点 对称，则下列说法正确
的是（ ）
A． B． C． 的周期为2 D．
3．已知 是奇函数，则下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．定义在 上的奇函数 满足 恒成立，若 ，则 的值为
（ ）
A．6 B．4 C．2 D．0
5．若定义在实数集R上的偶函数 满足 ， ，对任意的 恒成立，则
（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．定义在正整数上的函数满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．函数 对任意 都有 成立，且函数 的图象关于原点对称， ，
则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知 是定义域为R的偶函数， ， ， .若 是偶函数，则
（ ）
A．－3 B．－2 C．2 D．39．已知定义在 上的函数 ，满足 ， ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，则下列等式不一定成立的是
（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，则 =（ ）
A． B．0 C．1 D．2
12．已知函数 对 满足： ， ，且 ，若
，则 （ ）
A． B．2 C． D．4
13．已知函数 的定义域为 ，且 是偶函数， 是奇函数，则下列命题正确的个数是
（ ）
① ；② ；③ ；④ .
A．1 B．2 C．3 D．4
14．函数 的定义域为 ，且 为奇函数， 为偶函数，则（ ）
A． B．
C． 为偶函数 D． 为奇函数
15．已知 是 上的奇函数， 是 上的偶函数，且当 时， ，则下列说
法正确的是（ ）A． 最小正周期为4 B．
C． D．
16．已知定义在R上的函数 满足 ，且函数 的图象关于 对称，则
___________.
17．定义在实数集 上的偶函数 满足 ，则 ____________.
18．已知定义在 上的函数 ，对任意 ，都有 且 ，则
的值为_________
19．已知y=f(x)满足对一切x，y R都有f(x+2y)=f(x)+2f(y).
(1)判断y=f(x)的奇偶性并证明;
(2)若f(1)=2，求f(-13)+f(-3)+f(22)+f(53)的值.
20．已知f(x)是定义在R上的函数，满足 ．
（1）若 ，求 ；
（2）证明：函数f(x)的周期是2；
（3）当 时，f(x)＝2x，求f(x)在 时的解析式，并写出f(x)在 时的解
析式．专项突破四 函数周期性的应用
1．已知在R上的函数 满足对于任意实数 都有 ， ，且在区间
上只有 和 两个零点，则 在区间 上根的个数为（）
A．404 B．405 C．406 D．203
2．定义在 上的奇函数 ，满足 ，当 时 ，则 的解集为
（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数 是定义在R上的偶函数，且 ，当 时， ，则 在区间
上零点的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，满足f（x＋2）＝f（﹣x），当x∈[0，1]时 ，则
函数 的零点个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．辛亥革命发生在辛亥年，戊戌变法发生在戊戌年.辛亥年、戊戌年这些都是我国古代的一种纪年方法.甲、
乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、
亥十二个符号叫地支.按天干地支顺序相组配用来纪年叫干支纪年法.例如：天干中“甲”和地支中“子”
相配即为“甲子年”，天干中“乙”和地支中“丑”相配即为“乙丑年”，以此纪年法恰好六十年一循环.
那么下列干支纪年法纪年错误项是 （ ）
A．庚子年 B．丙卯年 C．癸亥年 D．戊申年
6．已知定义在 上的偶函数 满足 ，且当 ， ，则下面结论正确的
是（ ）A． B．
C． D．
7．定义在R上的函数 满足以下三个条件：①对于任意的实数 ，都有
成立；②函数 的图象关于y轴对称；③对任意的 ， ， ，都有
成立.则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知f（x）是定义在R上周期为2的偶函数，若当 时， ，则函数
在区间 上零点的个数为（ ）
A．2021 B．2020 C．4043 D．4044
9．已知函数 的图象关于直线 对称，对 ，都有 恒成立，当
时， ，当 时，若函数 的图象和直线 有 个交点，则 的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
10．已知 是定义在R上的偶函数，且对任意 ，有 ，当 时，
，则（ ）A． 是以2为周期的周期函数 B．点 是函数 的一个对称中心
C． D．函数 有3个零点
11．周期为4的函数 满足 ，且当 时 ，则不等式 在
上的解集为______；
12．定义在 上的奇函数 满足 ，且当 时， ，则方程
在 上的所有根之和为____.
