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难点 04 特殊三角形的常考题型
（8 大热考题型）
题型一：等腰三角形的性质
题型二：等腰三角形的判定
题型三：等腰三角形的构造与个数问题
题型四：等腰三角形的性质与判定的综合问题
题型五：等边三角形的性质与判定的综合
题型六： 含有 30 ° 锐角的直角三角形
题型七：斜边上的中线
题型八：勾股定理及其应用
题型一：等腰三角形的性质
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·江苏苏州·中考真题）如图， 中， ，分别以B，C为圆心，大于 长
为半径画弧，两弧交于点D，连接 ， ， ， 与 交于点E．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
【变式1-1】（2024·福建·中考真题）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，
其中 与 都是等腰三角形，且它们关于直线 对称，点 ， 分别是底边 ， 的中点，
．下列推断错误的是（ ）
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A． B．
C． D．
【变式1-2】（2024·江苏镇江·中考真题）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 ．
【变式1-3】（2024·山东济南·中考真题）如图，已知 ， 是等腰直角三角形， ，顶
点 分别在 上，当 时， ．
【变式1-4】（2024·四川雅安·中考真题）如图，在 和 中， ， ，
将 绕点A顺时针旋转一定角度，当 时， 的度数是 ．
【中考模拟即学即练】
1．（2025·山东临沂·一模）如图，在同一平面内，将 绕点 A 旋转得到 ，使得 ，
已知 ， 则 （ ）
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A． B． C． D．
2．（2023·辽宁营口·三模）已知 为一锐角，如图，按下列步骤作图：
①在 边上取一点D，以O为圆心， 长为半径画弧，交 于点C，连接 ．
②以点D为圆心， 长为半径画弧，交 于点E，连接 ． 若 ，则 的度数
为 （ ）
A． B． C． D．
3．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图是一张三角形纸片，其中 ，按如下步骤折纸：
第一步：将该纸片对折，点B 与点C 重合，折痕为 ；
第二步：展开后，再将该纸片折叠；折痕为 ，点A的对称点 恰好落在 上
根据以上折纸过程，可以求出折痕 的长度为（ ）
A．10 B． C． D．
4．（2025·湖南·模拟预测）如图，在 中， ，E是边 上一点，连接 ，在 右侧作
，且 ，连接 ．若 ， ，则四边形 的面积为 ．
5．（2025·湖南·模拟预测）如图，在等腰三角形 中， ，分别以点 ，点 为圆心，大于
为半径画弧，两弧分别交于点 和点 ，连接 ，直线 与 交于点 ，连接BD，则
的度数为 ．
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6．（2024·安徽合肥·三模）如图，在 和 中， ， ， ，
分别连接 ， ，延长 交 于 ．
（1）若 ，则 ；
（2）连接 ，若 ， ，则 的长为 ．
题型二：等腰三角形的判定
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·辽宁·中考真题）如图，四边形 中， ， ， ， ．
以点 为圆心，以 长为半径作图，与 相交于点 ，连接 ．以点 为圆心，适当长为半径作弧，
分别与 ， 相交于点 ， ，再分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在
的内部相交于点 ，作射线 ，与 相交于点 ，则 的长为 （用含 的代数式表示）．
【变式2-1】（2024·浙江·中考真题）如图，D，E分别是 边 ， 的中点，连接 ， ．若
，则 的长为
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【变式2-2】（2024·四川自贡·中考真题）如图，在 中， ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， 平分 ，请直接写出 的形状．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平行四边形 中， 平分 交 于点E， 平分
交 于点F，若 ，则 为（ ）
A．4 B．3.5 C．3 D．2.5
2．（2024·海南三亚·二模）如图， 是 的中位线， 平分 交 于点 ，若 ，
，则边 的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
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3．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在 上，两把直尺
的接触点为P，边 与其中一把直尺边缘的交点为C，则 的长度是
4．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在 中， 平分 ， 交 于点E，若 ，
，则 的长为 ．
5．（2024·湖南长沙·二模）如图，在 中， 和 的平分线交于点 ，过点 作
交 于 ，交 于 ，若 ，则线段 的长为 ．
6．（2024·山西太原·二模）如图，在 中，按照如下尺规作图的步骤进行操作：①以点 为圆心，
以适当长为半径画弧，分别与 ， 交于点 ， ；②分别以 ， 为圆心，以适当长为半径画弧，
两弧交于点 ，作射线 ，与边 交于点 ；③以 为圆心， 长为半径画弧，交于边 于点 ．
若 ， ，则点 ， 之间的距离为（ ）
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A．5 B．6 C．7 D．8
7．（23-24九年级下·宁夏中卫·期中）如图是由边长为1的小正方形组成的 网格，点A，B，C，D，
E，F均在格点上．下列结论：
①连接 ，点A与点F关于 成轴对称；
②连接 ， ， ，则 是等腰三角形；
③连接 ，点B，E到线段 的距离相等．
其中，正确结论的序号是 ．
8．（2024·海南海口·一模）如图，在 中， ， ， ，点 是 边上的一点，
过点 作 ，交 于点 ，作 的平分线交 于点 ，连接 ．若 的面积是 ，则
点 到AB的距离为 ， 的值是 ．
9．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在 中， 是 边的中点， 是 上一点， BD交
的延长线于点 ．
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(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，求BD的长．
10．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知： ， ， ．
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2， 交 于点 ，连接 ，若 ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图
中所有的等腰三角形．
题型三：等腰三角形的构造与个数问题
【中考母题学方法】
【典例1】（2023·吉林·中考真题）图①、图②、图③均是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格
点，线段AB的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以AB为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角
三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．
【典例2】（2023·浙江宁波·中考真题）在4×4的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点
上）．
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(1)在图1中先画出一个以格点P为顶点的等腰三角形 ，再画出该三角形向右平移2个单位后的
．
(2)将图2中的格点 绕点C按顺时针方向旋转 ，画出经旋转后的 ．
【典例3】如图，在平面直角坐标系中，直线 与反比例函数 的图象交于点 ，将直线
向上平移 个单位，与 轴交于点 ，与双曲线交于点 ．
(1)求反比例函数和直线 的表达式；
(2)求点 的坐标；
(3)在 轴上是否存在一点 ，使 是以 为腰的等腰三角形，若存在，求出点 坐标；若不存在，请
说明理由．
【变式3-1】（2024·贵州毕节·一模）点A，B在直线l同侧，若点C是直线l上的点，且 是等腰三角
形，则这样的点C最多有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【变式3-2】（2023·贵州遵义·三模）四边形 是平行四边形，下列尺规作图不能得到等腰三角形
的是（ ）
A． B． C． D
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．
【变式3-3】（2024·河北邯郸·三模）如图中的点都在格点上，使 （n为1~4的整数）不是轴对称图
形的点是 （ ）
A． B． C． D．
【中考模拟即学即练】
32．（2023·浙江台州·一模）观察下列尺规作图的痕迹，不能判断 是等腰三角形的是（ ）．
A． B． C． D．
4．（2023·内蒙古呼伦贝尔·一模）如图，抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），
与y轴交于点C，连接 ．
(1)直接写出抛物线与x轴的交点坐标及直线 的解析式；
(2)点P是 上方抛物线上一点，当 时，求出点P的坐标（不与点A重合）；
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(3)在抛物线的对称轴上存在点M，使 是等腰三角形，请直接写出此时点 的坐标．
题型四：等腰三角形的性质与判定的综合问题
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·甘肃兰州·中考真题）观察发现：劳动人民在生产生活中创造了很多取材简单又便于操作
的方法，正如木匠刘师傅的“木条画直角法”，如图1，他用木条能快速画出一个以点A为顶点的直角，
具体作法如下：
①本条的两端分别记为点M，N，先将木条的端点M与点A重合，任意摆放木条后，另一个端点N的位置
记为点B，连接AB；
②木条的端点N固定在点B处，将木条绕点B顺时针旋转一定的角度，端点M的落点记为点C（点A，
B，C不在同一条直线上）；
③连接CB并延长，将木条沿点C到点B的方向平移，使得端点M与点B重合，端点N在CB延长线上的落
点记为点D；
④用另一根足够长的木条画线，连接AD， ，则画出的 是直角．
操作体验：（1）根据“观察发现”中的信息重现刘师傅的画法，如图2， ，请画出以点A为顶点
的直角，记作 ；
推理论证：（2）如图1，小亮尝试揭示此操作的数学原理，请你补全括号里的证明依据：
证明： ，
与 是等腰三角形．
．（依据1______）
．
，（依据2______）
，
．
依据1：______；依据2：______；
拓展探究：（3）小亮进一步研究发现，用这种方法作直角存在一定的误差，用平时学习的尺规作图的方
法可以减少误差．如图3，点O在直线l上，请用无刻度的直尺和圆规在图3中作出一个以O为顶点的直
角，记作 ，使得直角边 （或 ）在直线l上．（保留作图痕迹，不写作法）
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【变式4-1】（2024·山西·模拟预测）如图，在 中， ， ，分别以点 ， 为圆
心，大于 的长为半径作弧，两弧分别相交于点 ， ，连接 交边 于点 ，连接 ．若
，则 的周长为 ．
【变式4-2】（2024·广东广州·中考真题）如图，在 中， ， ， 为边 的中
点，点 ， 分别在边 ， 上， ，则四边形 的面积为（ ）
A．18 B． C．9 D．
【变式4-3】（2024·江苏常州·中考真题）如图，B、E、C、F是直线l上的四点， 相交于点G，
， ， ．
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(1)求证： 是等腰三角形；
(2)连接 ，则 与l的位置关系是________．
【变式4-4】（2024·四川·中考真题）如图，在四边形 中， ，连接 ，过点 作 ，
垂足为 ， 交 于点 ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ．
①请判断线段 ， 的数量关系，并证明你的结论；
②若 ， ，求 的长．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·湖北宜昌·一模）如图，分别以点B和点C为圆心，大于 为半径作弧，两弧相交于A、M
两点；作直线 ；连接 ；
(1) 是什么三角形？说明理由；
(2)在 中， 是 平分线， 是 平分线．求证： ．
2．（2025·江苏·一模）某段河流的两岸是平行的，某数学老师带领甲，乙两个数学兴趣小组，在不用涉水
过河的情况下，去测得河的宽度，结果都获得了准确的答案．
组
方案
别
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①在河岸边点 处，选对岸正对的一棵树 ，即 垂直河岸；②沿河岸直
甲 行 处有一棵树 ，继续前行 到达点 处；③从点 处沿河岸垂直
组 的 方向行走，当到达 树正好被 树遮挡住的点 处时（即点
在同一直线上），停止行走；④测得 的长为 ．
①在河岸边点 处，选对岸正对的一棵树 ，即 垂直河岸；②从点 出
乙
发，沿着与直线 成 角的 方向前进到 处，在 处测得
组
，③量出 的长，它就是河宽（即点 之间的距离）
问题解决
（1）根据甲组的方案，
①河的宽度是 ；
②请说明他们做法的正确性（需写出必要的过程）
（2）根据乙组的方案，请写出在判断过程中，他们都用到了哪些数学几何知识？（至少2条）
3．（2024·山东泰安·模拟预测）如图，在 中， ， ， 为 边的中点，过点
作 交 的延长线于点 ， 平分 交 于点 ， 为 边上一点，连接 ，且
．求证：
(1) ；
(2) ．
4．（2024·云南昆明·一模）如图，在等腰直角 中， 点D在 上，将 绕顶点B
沿顺时针方向旋转90°得到
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(1)求 的度数；
(2)若 求BD的长．
5．（2024·广东湛江·模拟预测）如图，把一个含有 角的直角三角尺 绕着 角的顶点 顺时针旋
转，使得点 与 延长线上的点 重合，其中点 的对应点为点 ，连接 ．
(1) 是_____三角形， 的度数是_____
(2)若 ，求 的面积．
6．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，在矩形 中， ， ，点 是边 上的动点，连接 ，
以 为边作矩形 (点 、 在 的同侧)，且 ，连接 ．
(1)如图1，当点 在 的中点时，点 、 、 在同一直线上，求 的长；
(2)如图2，当 时，求证：线段 被 平分．
7．（2025·贵州·模拟预测）小红在学习了等腰三角形相关性质后，对等腰直角三角形的性质进一步探究．
在等腰直角 中， ， ，点 是直线 上一点，点 是直线 上一点，
．
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(1)【问题解决】当 平分 时，则 ；
(2)【问题探究】当点E是线段 上任意一点时，探究线段 与 的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】当 ， 时，求 的长长．
题型五：等边三角形的性质与判定的综合
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·四川宜宾·中考真题）如图，点D、E分别是等边三角形 边 、 上的点，且
， 与 交于点F．求证： ．
【变式5-1】（2024·辽宁·中考真题）如图，在矩形 中，点 在 上，当 是等边三角形时，
为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2024·山东泰安·中考真题）如图，直线 ，等边三角形 的两个顶点B，C分别落在
直线l，m上，若 ，则 的度数是（ ）
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A． B． C． D．
【变式5-3】如图，在正方形 的外侧，作等边 ，则 的度数是 ．
【变式5-4】（2024·湖南长沙·中考真题）如图，点C在线段 上， ， ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·广东湛江·模拟预测）如图，点 是等边 内一点，若将 绕点 按逆时针方向旋转一
个角度后得到 ，连接 ，若 ，则 的长度为（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．（2024·湖南·模拟预测）动点 在等边 的边 上， ，连接 ， 于 ，以
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为一边作等边 ， 的延长线交 于 ，当 取最大值时， 的长为（ ）
A．2 B． C． D．
3．（2023·内蒙古呼伦贝尔·一模）已知：如图，等边三角形 的边长为 ，边 在x轴正半轴上，
现将等边三角形 绕点O逆时针旋转，每次旋转 ，则第 次旋转结束后，等边三角形中心的坐
标为 ．
4．（2023·四川达州·模拟预测）如图， 是等边三角形，边 在 轴上，反比例函数 的
图象经过点 ，若 ， ，则 的值为 ．
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5．（2024·山西大同·模拟预测）如图，等边 的顶点 在坐标原点，顶点 在 轴上， ，将等
边 绕原点顺时针旋转 至 的位置，则点 的坐标为 ．
6．（2024·湖北·模拟预测）如图，在 中， ，将 绕点A逆时针旋转，得到 ，
，DE相交于O， ．
(1)判断 的形状；
(2)求 的度数．
7．（2024·浙江宁波·模拟预测）在等边三角形 外侧作直线 ，点 关于直线 的对称点为 ，连
接 ，交 于点 ，连接 ．
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(1)依题意补全如图；
(2)若 ，求 ；
(3)若 ，用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系并证明．
8．（2024·湖北恩施·模拟预测）如图1， 和 均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，
连接 ．
(1)填空： 的度数为______；②线段 之间的数量关系为______；
(2)如图2， 和 均为等腰直角三角形， ，点A，D，E在同一直线上，
为 中 边上的高，连接 ，请判断 的度数及线段 之间的数量关系，并
说明理由；
(3)如图3，在 中， ， ，平面上一动点P到点B的距离为4，将线段 绕点
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C顺时针旋转 ，得到线段 ，连 ，则 是否有最大值和最小值？若有，直接写出，不
需要说明理由．
题型六：含有 30°锐角的直角三角形
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·海南·中考真题）如图，菱形 的边长为2， ，边 在数轴上，将
绕点A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是（ ）
A．1 B． C．0 D．
【变式6-1】（2024·河北秦皇岛·模拟预测）如图，在 中， ， ，以A为圆心，任
意长为半径画弧分别交 于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧
交于点P，连接 并延长交 于点D，若 ，则 的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式6-2】（2024·新疆·中考真题）如图，在 中， ．若点D在直线
上（不与点A，B重合），且 ，则 的长为 ．
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【变式6-3】（2023·海南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为 ，
将 绕着点B顺时针旋转60°，得到 ，则点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-4】（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，四边形 为正方形， 为等边三角形，
于点F，若 ，则 ．
【变式6-5】（2023·四川绵阳·中考真题）如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度 ，
，则中柱AD（D为底边中点）的长为 ．
【变式6-6】（2023·江苏盐城·中考真题）如图，在 中， ， ， ，将
绕点 逆时针旋转到 的位置，点 的对应点 首次落在斜边 上，则点 的运动路径的长
为 .
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【中考模拟即学即练】
1．（2024·福建莆田·模拟预测）如图，在 中， ， ，求作 的三等分线．
阅读以下作图步骤：
（1）分别以点A，C为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，作直线 交 于点
F，交 于点H，画射线 ；
（2）以点C为圆心，适当的长为半径画弧，交 于点M，交 于点N；
（3）分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在 的内部交于点G，画射线 ，
则射线 即为所求．
下列说法不正确的是（ ）
A． B． C． D． 为等边三角形
2．（2024·河北·模拟预测）如图，在 是 边上的高，以点B为圆心，适当长
为半径画弧，分别交 于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于点
P，作射线 交 于点E，交 于点F，下列说法不一定正确的是（ ）
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A． B．
C． D．
3．（2024·贵州黔东南·二模）如图， 中， ， ， ，点 在 的延长线上，点
在 边上，且 ．若 ，则 的边长为（ ）
A．2.5 B．3.5 C．2 D．
3．（2023·辽宁锦州·三模）如图， 中， ， ，分别以点A，C为圆心，大于
长为半径作弧，两弧交于点D，E，以C为圆心， 长为半径作弧，与直线 交于点F， 与
交于点G，若 ，则 的长为 ．
5．（2024·湖北·模拟预测）问题背景 如图（1），在 与 中， ， ，
．求证： ．
类比探究 如图（2），D，P是等边 外两点，连接 并取 的中点M，且 ，
，试猜想 与 的数量关系，并证明你的猜想．
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拓展应用 如图（3），在四边形 中， ， ， ， ，
，直接写出 的长．
题型七：斜边上的中线
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在 中， ， ， ，分别
以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线 分别交 于点
D，E，连接
(1)求CD的长；
(2)求 的周长．
【变式7-1】（2024·青海·中考真题）如图，在 中，D是 的中点， ， ，则
的长是（ ）
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A．3 B．6 C． D．
【变式7-2】（2024·四川巴中·中考真题）如图，在 中， 是 的中点， ， 与 交于
点 ，且 ．下列说法错误的是（ ）
A． 的垂直平分线一定与 相交于点
B．
C．当 为 中点时， 是等边三角形
D．当 为 中点时，
连接 ，并延长交 于 ，如图2所示：
【变式7-3】（2024·四川广元·中考真题）如图，将 绕点A顺时针旋转 得到 ，点B，C的
对应点分别为点D，E，连接 ，点D恰好落在线段 上，若 ， ，则 的长为
（ ）
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A． B． C．2 D．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·甘肃陇南·三模）如图，在 中， ，点D在 上，且 ，点E和点F分别是
和 的中点，则 的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2024·陕西·模拟预测）如图，在 中， ， 是 的高线， 是 的中线，
连接 ．若 ．则 为（ ）
A．4 B．2．5 C．3 D．
3．（2024·福建厦门·模拟预测）如图， ， ，点D为斜边 的中点， ，则
．
4．（2025·上海奉贤·一模）等腰三角形 中， 分别是边 上的中线，且
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，那么 ．
5．（2024·浙江宁波·二模）如图，在 中， ， ， ， 是 的中点，点 ，
分别在边 ， 上， ，将 ， 分别沿 ， 翻折使得A与 重合，B与 重合，
若 ，则 ．
6．（2025·广西柳州·一模）如图，在 中， ， ， 为 边的高，点 在 轴
上，点 在 轴上，点 在第一象限，若 从原点出发，沿 轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则点
随之沿 轴下滑，并带动 在平面内滑动，设运动时间为 秒，当 到达原点时停止运动．连接 ，
线段 的长随 的变化而变化，当 最大时， ．
题型八：勾股定理及其应用
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·江苏常州·中考真题）如图，在 中， ， ， ，D是边
的中点，E是边 上一点，连接 ．将 沿 翻折，点C落在 上的点F处，则
．
【典例2】（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将矩形纸片 沿边 折叠，使点 在边 中点 处．
若 ，则 ．
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【典例3】（2024·海南·中考真题）如图，矩形纸片 中， ，点E、F分别在边
上，将纸片 沿 折叠，使点D的对应点 在边 上，点C的对应点为 ，则 的最
小值为 ，CF的最大值为 ．
【变式8-1】（2023·江苏南京·中考真题）我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问
沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里， 大斜一十五里． 里法三百步， 欲知为田几何? ”
问题大意：如图， 在 中， 里， 里， 里，则 的面积是（ ）
A．80 平方里 B．82平方里 C．84平方里 D．86平方里
【变式8-2】（2024·西藏·中考真题）如图，在 中， ，以点B为圆心，适当长为半径作弧，
分别交 ， 于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在 的内部
相交于点P，作射线 交 于点F．已知 ， ，则 的长为 ．
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【变式8-3】（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知直线 的表达式为 ，点
的坐标为 ，以 为圆心， 为半径画弧，交直线 于点 ，过点 作直线 的垂线交 轴于点 ；
以 为圆心， 为半径画弧，交直线 于点 ，过点 作直线 的垂线交 轴于点 ；以 为圆心，
为半径画弧，交直线 于点 ，过点 作直线 的垂线交 轴于点 ；……按照这样的规律进行下去，
点 的横坐标是 ．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·广东深圳·一模）如图，矩形 中， ， ，将矩形 绕点A逆时针旋转得
到矩形 ，当点C， ， 三点共线时， 交 于点E，则 的长度是（ ）
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A． B． C． D．
2．（23-24七年级上·山东淄博·期中）如图， 中， 于点 ，则
CD的长为 ．
3．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在矩形 中，按以下步骤作图：①分别以点 和 为圆心，以
大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 和 ，②作直线 分别与 ，DB， 交于点 ， ，
，若 ， ，则 ．
4．（2024·浙江宁波·二模）如图，已知在矩形 中， ，点 是AB的中点，点 为
边 上的动点，将矩形 绕点 逆时针旋转，得到矩形 ，在矩形 绕点 逆
时针旋转的过程中，记 的对应点是点 ，则线段 长度的最大值与最小值的差为 ．
5．（2025·上海奉贤·一模）在平面直角坐标系的第一象限内有一点 ，射线 与x轴正半轴的夹
角为 ，如果 ，那么点P坐标为 ．
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6．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在 中， ，E是 中点，F
是 上一点，沿着 折叠 ，若 ，则 ．
7．（2023·四川乐山·模拟预测）如图1，将长为 ，宽为 的矩形分割成四个全等的直角三角形
(1)用含a的代数式表示图2中小正方形的边长；
(2)若图2中，大正方形面积是小正方形面积的13倍，求a值．
8．（2024·云南曲靖·一模）如图，E是正方形 的边 上一点，以点A为中心，把 绕点A逆
时针旋转 得到 ，连接
(1)求 的度数；
(2)若 求 的长．
94．（2024·贵州·模拟预测）综合与实践：小红在学习了图形的折叠相关知识后，对矩形的折叠进行了探
究，已知矩形 中， ， ， 为 上一点，将 沿直线 翻折至 的位置
（点 落在点 处）．
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(1)【动手操作】
当点 落在边CD上时，利用尺规作图，在图①中作出满足条件的图形（即 的位置，不写作法，保
留作图痕迹），此时 ________________；
(2)【问题探究】
如图②， 与CD相交于点 ， 与CD相交于点 ，且 ，求证： ；
(3)【拓展延伸】
已知 为射线 上的一个动点，将 沿 翻折，点 恰好落在直线 上的点 处，求 的长．
9．（2023·江苏常州·模拟预测）折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在 中，
（如图1），怎样证明 呢？
把 沿 的平分线 翻折，因为 ，所以点 落在 上的点 处（如图 ．于是，由
， ，可得 ．
【感知】
（1）如图2，在 中，若 ， ，则 ______ ．
【探究】
（2）若将图2中 是角平分线的条件改成 是高线，其他条件不变（图3），即在 中，
， ，请探索线段 、 、 之间的等量关系，并说明理由．
【拓展】
（3）如图4，在 中， ， ， ，点 是 边上的一个动点（不与 、
重合），将 沿 翻折，点 的对应点是点 ．若以 、 、 为顶点的三角形是直角三角形，直
接写出 的长度______．
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