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专题08 函数的周期性
专项突破一 周期函数的定义与求解
1．有下面两个命题：
①若 是周期函数，则 是周期函数；
②若 是周期函数，则 是周期函数，
则下列说法中正确的是（ ）．
A．①②都正确 B．①正确②错误 C．①错误②正确 D．①②都错误
【解析】若 是周期函数，设周期为 ，则 ，
则 也是周期函数，故①正确；
若 是周期函数，设周期为 ，则 ， 不一定成立，
故②错误.故选：B.
2．若函数 满足 ，则 可以是（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为 ，所以函数的周期为 .
A：因为 ，所以 ，因此函数的周期不可能 ，本选项不符合题意；
B：因为 ，所以 ，因此函数的周期不可能 ，本选项不符合题意；
C：该函数的最小正周期为： ，因此函数的周期不可能 ，本选项不符合题意；
D：该函数的最小正周期为： ，因此本选项符合题意，
故选：D
3．已知定义在 上的非常数函数 满足：对于每一个实数 ，都有 ，则
的周期为（ ）A． B． C． D．
【解析】由 可得 ，
即 对任意 成立，
则 ，即 ，
由 可得 对任意 成立，
即 对任意 成立，则 ，即 对任意 成立，
则 为 的一个周期；而取 时，满足
，
此时 不存在小于 的周期；故选：C
4．若定义在R上的偶函数f(x)满足 且 时， ，则方程 的解有
（ ）
A．2个 B．3个
C．4个 D．多于4个
【解析】由 可得函数的周期为2，
又函数为偶函数且当 ， 时， ，故可作出函数 得图象．
方程 的解个数等价于 与 图象的交点，
由图象可得它们有4个交点，故方程 的解个数为4.故选：C．5．设 是定义在实数集 上的函数，且满足 ， ，则 是
（ ）
A．偶函数，又是周期函数 B．偶函数，但不是周期函数
C．奇函数，又是周期函数 D．奇函数，但不是周期函数
【解析】因为 ， ，
所以 ，
所以 ，故 ，所以 周期为 ，
因为 ，所以 是奇函数.故选：C.
6．已知函数 的最小正周期为3，则函数 的最小正周期为______．
【解析】设函数 的最小正周期为 ，则 ，
∴ ，即 ，
∴函数 的最小正周期为 ，又函数 的最小正周期为3，∴ .
7．函数 为定义在 上的奇函数，且满足 ，则 的周期为__________．
【解析】 ， ，又 为奇函数，
， 是周期为 的周期函数.
8．若定义在 上的非零函数 ，对任意实数 ，存在常数 ，使得 恒成立，则称是一个“ 函数”，试写出一个“ 函数”：__________．
【解析】当 时，由 得 ，所以只需写一个周期为1的函数，
所以满足条件的函数可以为 .故答案为： (答案不唯一).
专项突破二 利用周期性求函数值(或解析式)
1．已知定义在R上的函数 满足 ，当 时， ，则
（ ）
A． B． C．2 D．1
【解析】由 可知，函数 的周期为2，当 时， ，
∴ .故选：B
2．已知函数 是 上的偶函数，若对于 ，都有 .且当 时，
，则 的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【解析】∵函数 是 上的偶函数，∴ ，又∵对于 都有 ，
∴ ，∵当 时， ，
∴
，故选：C.
3．定义在R上的偶函数 满足 ，且当 时， ，则 ( )
A． B． C． D．【解析】∵f(x)是R上偶函数，∴f(-x)=f(x)，又∵ ，∴ ，
故f(x)的一个周期是2，故 ．故选：B．
4．已知函数 的图象关于原点对称，且 ，当 时， ，则
（ ）
A．-11 B．-8 C． D．
【解析】因为函数 图象关于原点对称，所以 ，
由 知，函数 是以4为周期的函数，又当 时， ，
则
.故选：A.
5．已知定义在R上的奇函数 满足 ，且当 时， ，
则 的值为（ ）．
A． B．0 C．1 D．2
【解析】∵定义在R上的奇函数 满足 ，∴ 的周期为4，
∴ ， ，∴ .
故选：A,
6．已知函数 满足：对任意 ， ．当 时， ，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为 ，则 ，即 ，
所以 ，即 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，故选：C
7．定义在R上的偶函数 满足 ，且 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【解析】因为定义在R上的偶函数 满足 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以函数 是周期为4的周期函数，
所以 ．
在 中，令 ，则 ，解得 或-1.
因为 ，所以 .故选：B.
8．已知函数 的定义域为R，且满足 ，当 ， 时，f(x)＝ ，则f(7) ______.
【解析】∵ ，∴f(x)周期为2，则f(7)＝f(2×3＋1)＝f(1)＝e.
9．已知 是以 为周期的偶函数，且当 时， ，则 ________．
【解析】 ．10．已知 是定义在 上的周期为3的奇函数，且 ，则 ___________.
【解析】由题意知： ，而 ，
∴ ，即 ，∴ ，故 .
11．设定义在R上的函数 同时满足以下条件：① ；② ；③当
时， ，则 ________.
【解析】依题意知：函数 为奇函数且周期为2，则 ， ，即 .
∴
12．已知 是定义在 上的奇函数，且函数 为偶函数，当 时， ，则
______．
【解析】根据题意， 为偶函数，即函数 的图象关于直线 对称，
则有 ，又由 为奇函数，则 ，
则有 ，即 ，即函数 是周期为4的周期函数，
所以
13．设 是定义在 上周期为4的偶函数，且当 时， ，则函数 在 上
的解析式为__________.
【解析】根据题意，设 ，则 ，则有 ，当 时， ，则 ，
又 为周期为4的偶函数，所以 ， ，
则有 ， ；故答案为： ， .
14．定义在 上的偶函数 满足 ，且 时， ，则 __________.
【解析】根据题意，函数 满足
则 , 则函数 是周期为 的周期函数，
，又由 时, ，则 ，则
15．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2．
（1）求证：f(x)是周期函数；
（2）当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式；
（3）计算f(0)＋f（1）＋f（2）＋…＋f(2019)．
【解析】（1）∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．
（2）当x∈[－2，0]时，－x∈[0，2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2．
又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2．∴f(x)＝x2＋2x．
又当x∈[2，4]时，x－4∈[－2，0]，∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．
又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8．
从而求得x∈[2，4]时，f(x)＝x2－6x＋8．
（3）f(0)＝0，f（2）＝0，f（1）＝1，f（3）＝－1．又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(0)＋f（1）＋f（2）＋f（3）＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2016)＋f(2017)＋f(2018)＋f(2019)＝0．
∴f(0)＋f（1）＋f（2）＋…＋f(2019)＝0．
16．已知函数 是实数集 上的函数，且 ，当 时， .(1)求 的周期.
(2)求 时，函数 的表达式.
(3)若关于 的方程 在区间 上恰有4个解，求实数 的取值范围.
【解析】(1)∵ 是实数集 上的函数，且 ，
∴ ， ∴ ，∴ 的周期为6.
(2)∵ ，∴ ，若 时， ，
又∵ 时， ，∴ ，
又∵ ，∴ ，
当 时， ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，
∴ 时， .
(3) ，图象如下：
又∵ 恒过定点 ，联立 ，得 ，
，得 ， ，（舍 ），
此时直线 与 ， 相切，∴若方程 在区间 上恰好有4解，则 .
∴实数 的取值范围为
专项突破三 抽象函数周期性
1．定义在 上的函数 满足 ，则下列是周期函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】依题意，定义在 上的函数 满足 ，
所以 ，所以 是周期为 的周期函数.故选：D
2．已知函数 的图象关于直线 对称，函数 关于点 对称，则下列说法正确
的是（ ）
A． B． C． 的周期为2 D．
【解析】因为函数 的图象关于直线 对称，
所以 ，即 .
用x代换上式中的2x，即可得到 ，所以 关于直线 对称.
函数 关于点 对称，所以 ，
即 所以 关于点 对称.
对于 ，令x取x+1，可得： .
对于 ，令x取x+2，可得： .
所以 ，令x取-x，可得： ，所以 ，令x取x+2，可得： ，即 的最小正周期为4.所以C、D错误；
对于B：对于 ，令x取x-3，可得： .
因为 的最小正周期为4，所以 ，
所以 ，即 .故B正确.
对于A：由 ，可得 为对称轴，所以不能确定 是否成立.故A错误.
故选：B
3．已知 是奇函数，则下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】 是奇函数，则有 ，即 ，
故选项A判断正确；选项B判断错误；
把函数 的图像向左平移1个单位长度再向下平移1个单位长度，
可以得到函数 的图像，
则由函数 有对称中心 ，可知函数 有对称中心 .
选项C：由 ，可得函数 的周期为2.判断错误；
选项D：由 ，可得函数 有对称轴 .判断错误.
故选：A
4．定义在 上的奇函数 满足 恒成立，若 ，则 的值为
（ ）
A．6 B．4 C．2 D．0【解析】∵定义在 上的奇函数 满足 恒成立，
∴ ，∴ ，又
∴ ， ， ，
∴ .故选：C.
5．若定义在实数集R上的偶函数 满足 ， ，对任意的 恒成立，则
（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【解析】 ，则 ，所以 ，即 ，
为周期函数，最小正周期为4，则 ，令 得： ，
即 ，又因为 为偶函数，所以 ，故 ，即 ，因为 ，
所以 .故选：D
6．定义在正整数上的函数满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【解析】 ①，
，
②
由①②可得 ，
， ，所以函数的周期 ， ，故选：C
7．函数 对任意 都有 成立，且函数 的图象关于原点对称， ，
则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】 函数 的图象关于 对称，
且把 向左平移1个单位可得 的图象，
函数 的图象关于 对称，即函数 为奇函数， ，
，又 ， ，
， 函数 是以4为周期的周期函数，
， （1） ，
（2） ，即有 ．故选：D．
8．已知 是定义域为R的偶函数， ， ， .若 是偶函数，则
（ ）
A．－3 B．－2 C．2 D．3
【解析】因为 为偶函数，则 关于 对称，即 .
即 ，即 ， 也满足.
又 是定义域为R偶函数，关于y轴对称，
∴ ， ，
∴ 周期为4，∴ ，
∴ .故选：D.9．已知定义在 上的函数 ，满足 ， ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【解析】 , , 是奇函数， , .
, ,
由 , ， 的周期为 .
. .故选：C
10．已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，则下列等式不一定成立的是
（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意， 为偶函数，则 …①，
为奇函数，则 …②，
由①②， …③，
由③， …④.
根据②，令 ，则 ，B正确；
根据③，令 ，则 ，A正确；
根据④， ，D正确；
而 无法确定.故选：C.11．已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，则 =（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【解析】因为 为偶函数，所以 ，所以 ，
因为 为奇函数，所以 ， ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 是以4为周期的周期函数，所以 ，故选：B
12．已知函数 对 满足： ， ，且 ，若
，则 （ ）
A． B．2 C． D．4
【解析】因为 ，∴ ，又
故 ，即 ，所以函数的周期为6，
由已知可得当 时， ， ，又 ，
所以 ，并且 ，
所以 ，故选A.
13．已知函数 的定义域为 ，且 是偶函数， 是奇函数，则下列命题正确的个数是
（ ）
① ；② ；③ ；④ .
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】因为 是偶函数，所以 ，
令 ，则 ，故 ，所以 ，即 ，所以函数 关于直线 对称，因为 是奇函数，所以 ，且函数 关于 对
称，
又因函数 是由函数 向右平移1个单位得到，
所以 关于 对称，所以 ，所以 ，
所以 ，则 ，
即 ，所以函数 的一个周期为 ，
故有 ，故①正确；
由函数 关于直线 对称， ，所以 ，
所以 ，故②正确；
因为 ，因为 关于 对称，所以 ，
所以 ，故③正确；
又 ，故④正确，所以正确的个数为4个.故选：D.
14．函数 的定义域为 ，且 为奇函数， 为偶函数，则（ ）
A． B．
C． 为偶函数 D． 为奇函数
【解析】因为 为奇函数， 为偶函数，
所以 图像关于 对称，同时关于直线 对称；
所以 ， ，故A选项错误；所以 ， ，故B选项正确；
所以 ，即函数 为周期函数，周期为 .
所以 ，即函数 为偶函数，故C选项正确；
所以 ，故函数 为奇函数，D选项正确；
故选：BCD
15．已知 是 上的奇函数， 是 上的偶函数，且当 时， ，则下列说
法正确的是（ ）
A． 最小正周期为4 B．
C． D．
【解析】因为 是偶函数， 所以 ，
又因为 是奇函数，所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 的周期为 ，故A错误；
又当 时， ，所以 ，选项B正确；
，选项C正确；
，选项D正确.
故选：BCD.
16．已知定义在R上的函数 满足 ，且函数 的图象关于 对称，则
___________.
【解析】 ， ，，所以函数 是以12为周期的函数，
又函数 的图象关于 对称，利用函数图像平移知，
函数 的图象关于 对称，即 ，所以
17．定义在实数集 上的偶函数 满足 ，则 ____________.
【解析】因为 ，所以 ，
即 ，即 ，
令 ，则 ，所以 ，
故函数 的周期为4，所以 ，
又因为 是偶函数，则 为偶函数，
又因为 ，所以 ，即 ，
解得 ，又 ，
即 ，即 .故答案为：
18．已知定义在 上的函数 ，对任意 ，都有 且 ，则
的值为_________
【解析】令 ，则有 ，故 或 .
若 ，令 ，则 即 ，与 矛盾，故 .
再令 ，则 ，故 即 .所以 为偶函数.令 ，则 对任意 恒成立，
故 ，
所以 ，故 ，所以 的周期 .
又 ， ， ，
所以 ，
故
.
19．已知y=f(x)满足对一切x，y R都有f(x+2y)=f(x)+2f(y).
(1)判断y=f(x)的奇偶性并证明;
(2)若f(1)=2，求f(-13)+f(-3)+f(22)+f(53)的值.
【解析】(1) 为奇函数，证明：令 ，则有 ，
所以 ，故 为奇函数；
(2)令 ，则 ；
又 ，令 ，则 ，即 ，
所以 ，则 ，
，
， ，
所以所求式子的值为 .
20．已知f(x)是定义在R上的函数，满足 ．
（1）若 ，求 ；
（2）证明：函数f(x)的周期是2；（3）当 时，f(x)＝2x，求f(x)在 时的解析式，并写出f(x)在 时的解
析式．
【解析】（1） 所以 ，故 ；
（2）因为 ，令x取x＋1得，所以 ，
所以，2是函数f(x)的周期．
（3）当 时， ，则 ，
又 ，即 ，解得 ．
所以当 时， ，所以 ，
因为f(x)的周期为2，所以当 时，
．
所以 .
专项突破四 函数周期性的应用
1．已知在R上的函数 满足对于任意实数 都有 ， ，且在区间
上只有 和 两个零点，则 在区间 上根的个数为（）
A．404 B．405 C．406 D．203
【解析】因为 ，故可得 ；
因为 ，故可得 ；故可得 ，则 ，故 是以10为周期的函数.
又 在区间 上只有 和 两个零点，
根据函数对称性可知， 在一个周期 内也只有两个零点，
又区间 内包含 个周期，故 在 的零点个数为 ，
又 在 的零点个数与 的零点个数相同，只有一个.
综上所述， 在 内有405个零点.故选：B.
2．定义在 上的奇函数 ，满足 ，当 时 ，则 的解集为
（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由题意，函数 满足 ，可得 ，
所以函数 是周期为4的函数，又由 为 上的奇函数，可得 ，
所以 ，可得函数 的图象关于 对称，
因为当 时 ，可函数 的图象，如图所示，
当 时，令 ，解得 或 ，
所以不等式 的解集为 .故选：C.3．已知函数 是定义在R上的偶函数，且 ，当 时， ，则 在区间
上零点的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】因为 ，所以函数的周期为 ，
当 时， ，即 ，
因为函数是偶函数且周期为 ，所以有 ，
所以 在区间 上零点的个数为 ，故选：C
4．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，满足f（x＋2）＝f（﹣x），当x∈[0，1]时 ，则
函数 的零点个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解析】因为 ，故 的图象关于直线 对称.
结合 为偶函数可得 ，故 是周期为2的周期函数，
在平面直角坐标系中作出 的图象，如图所示：由图象可得 的图象的交点有7个，故 的零点个数为7，故选：C.
5．辛亥革命发生在辛亥年，戊戌变法发生在戊戌年.辛亥年、戊戌年这些都是我国古代的一种纪年方法.甲、
乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、
亥十二个符号叫地支.按天干地支顺序相组配用来纪年叫干支纪年法.例如：天干中“甲”和地支中“子”
相配即为“甲子年”，天干中“乙”和地支中“丑”相配即为“乙丑年”，以此纪年法恰好六十年一循环.
那么下列干支纪年法纪年错误项是 （ ）
A．庚子年 B．丙卯年 C．癸亥年 D．戊申年
【解析】干支纪年法中年份相当于第一排把10个天干按顺序排列6次（共60个），第二排把12个地支排
列5次（共60个），然后上下组合成一个年份．所有年份如下表所示：
1-10 甲子 乙丑 丙寅 丁卯 戊辰 己巳 庚午 辛未 壬申 癸酉
11-20 甲戌 乙亥 丙子 丁丑 戊寅 己卯 庚辰辛巳 壬午 癸未
21-30 甲申 乙酉 丙戌 丁亥 戊子 己丑 庚寅辛卯 壬辰 癸巳
31-40甲午乙未 丙申 丁酉 戊戌 己亥 庚子 辛丑 壬寅 癸卯
41-50甲辰 乙巳 丙午 丁未 戊申 己酉 庚戌 辛亥 壬子 癸丑
51-60甲寅 乙卯 丙辰 丁巳 戊午 己未 庚申 辛酉 壬戌 癸亥
故B错误，故选：B．
6．已知定义在 上的偶函数 满足 ，且当 ， ，则下面结论正确的
是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由 ，知 是周期函数，且周期为6，
∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，
又 ，易知 在 内单调递增，所以 .故选：A．
7．定义在R上的函数 满足以下三个条件：①对于任意的实数 ，都有成立；②函数 的图象关于y轴对称；③对任意的 ， ， ，都有
成立.则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由题意，因为函数 的图象关于y轴对称，所以 ，
所以 ，所以函数 的图象关于 对称，
又 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以函数 是周期为4的函数，
所以 ， ， ，
因为 ，且 ，所以 ，
所以函数 为奇函数，
又因为对任意的 ， ， ，都有 成立，
即 ，所以函数 在 上单调递增，
所以函数 在 上单调递增，因为 ，所以 ，故选：B.
8．已知f（x）是定义在R上周期为2的偶函数，若当 时， ，则函数
在区间 上零点的个数为（ ）
A．2021 B．2020 C．4043 D．4044
【解析】当 时， ，函数 在 上的图象与函数 的图象如图：
由图可知，函数 在 上的图象与函数 的图象有 个交点，
又因为f（x）是定义在R上周期为2的偶函数，因为 ，
所以函数 的图象与函数 的图象在 上的交点个数为 .故选：C
9．已知函数 的图象关于直线 对称，对 ，都有 恒成立，当
时， ，当 时，若函数 的图象和直线 有 个交点，则 的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
【解析】因为函数 的图象关于直线 对称，
将函数 的图象向右平移 个单位，可得到函数 的图象，
则函数 的图象关于 轴对称，即函数 为偶函数，
由 可得 ，故函数 是以 为周期的周期函数，
如下图所示：因为直线 过定点 ，
当 时，要使得函数 的图象和直线 有 个交点，则 ，解得 ，
故选：C.
10．已知 是定义在R上的偶函数，且对任意 ，有 ，当 时，
，则（ ）
A． 是以2为周期的周期函数 B．点 是函数 的一个对称中心
C． D．函数 有3个零点
【解析】依题意， 为偶函数，且 ，有 ，即 关于 对称，
则
，
所以 是周期为4的周期函数，故A错误；
因为 的周期为4， 关于 对称，所以 是函数 的一个对称中心，故B正确；
因为 的周期为4，则 ， ，
所以 ，故C错误；
作函数 和 的图象如下图所示，
由图可知，两个函数图象有3个交点，所以函数 有3个零点，故D正确.故选：BD.
11．周期为4的函数 满足 ，且当 时 ，则不等式 在
上的解集为______；
【解析】 周期是4，则 ，所以 是偶函数，
时， 是增函数，且 ，不等式 化为 ，
所以 ， ．
12．定义在 上的奇函数 满足 ，且当 时， ，则方程
在 上的所有根之和为____.
【解析】因为函数 满足 ，所以函数 的对称轴为直线 ，
又因为函数 为奇函数，所以
又 ，所以 ，所以函数 的周期为2，
又因为当 时， ，作出函数 和 的简图如图所示，
由 可得 ，
故当 时，线段 与曲线 仅有一个交点，
故由图可知，有 个交点，这 个交点是关于点 对称的，
且关于点 对称的两个点的横坐标之和为 ，则所有根之和为 .
