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专题 10 三角函数的概念 诱导公式（七大题型+模拟精练）
目录：
01 任意角与弧度制
02 求弧长、扇形面积
03 求弧长、扇形面积的实际应用
04 三角函数的概念（求三角函数值及应用）
05 同角三角函数的基本关系
06 诱导公式
07 三角函数的概念 诱导公式难点分析
01 任意角与弧度制
1．（2024高三·全国·专题练习）下列说法中正确的是（ ）
A．锐角是第一象限角 B．终边相等的角必相等
C．小于 的角一定在第一象限 D．第二象限角必大于第一象限角
【答案】A
【分析】利用角的定义一一判定即可.
【解析】锐角是指大于 小于 的角，故其在第一象限，即A正确；
选项B．终边相等的角必相等，两角可以相差 整数倍，故错误；
选项C．小于 的角不一定在第一象限，也可以为负角，故错误；
选项D．根据任意角的定义，第二象限角可以为负角，第一象限角可以为正角，此时第二象限角小于第一
象限角，故错误.
故选：A2．（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）把 化成角度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据弧度制与角度制的转化关系计算可得.
【解析】 .
故选：B
3．（2023高三·全国·专题练习）与 终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据角度的表示方法分析判断AB，根据终边相同的角的定义分析判断CD.
【解析】在同一个表达式中，角度制与弧度制不能混用，所以A，B错误．
与 终边相同的角可以写成 的形式，
时， ，315°换算成弧度制为 ，所以C错误，D正确．
故选：D．
4．（2023高三·全国·专题练习）已知角 第二象限角，且 ，则角 是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】C
【分析】由 是第二象限角，知 在第一象限或在第三象限，再由 ，知 ，由此能
判断出 所在象限．
【解析】因为角 第二象限角，所以 ，所以 ，
当 是偶数时，设 ，则 ，
此时 为第一象限角；
当 是奇数时，设 ，则 ，
此时 为第三象限角.；
综上所述： 为第一象限角或第三象限角，
因为 ，所以 ，所以 为第三象限角．
故选：C．
5．（2014高三·全国·专题练习）集合 中的角所表示的范围(阴影部分)是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】对 分奇偶，结合终边相同的角的定义讨论判断即可
【解析】当 时， ，此时 表示的范围与 表示的范围一样；
当 时， ，此时 表示的范围与 表示的范
围一样，
故选：C．6．（22-23高三上·贵州贵阳·期末）已知集合 ，
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据角的范围及集合的关系即可判断.
【解析】当 时， ，
当 时， ，
所以 .
故选：A
02 求弧长、扇形面积
7．（23-24高三上·安徽铜陵·阶段练习）已知扇形的周长为 ，圆心角为 ，则此扇形的面积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据扇形周长，应用扇形弧长公式列方程求半径，再由面积公式求面积即可.
【解析】令扇形的半径为 ，则 ，
所以此扇形的面积为 .
故选：D
8．（23-24高三下·浙江·开学考试）半径为2的圆上长度为4的圆弧所对的圆心角是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【分析】根据题意，结合扇形的弧长公式，即可求解.
【解析】设圆弧所对的圆心角为 ，因为半径为2的圆上圆弧长度为4，可得 ，所以 .
故选：B.9．（22-23高一下·河北张家口·期中）如图，已知扇形的周长为 ，当该扇形的面积取最大值时，弦长
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设扇形的圆心角为 ，半径为 ，弧长为 ，可得出 ，利用基本不等式可求得扇形面积的
最大值及其对应的 的值，进而可求出 、 ，然后线段 的中点 ，可得出 ，进而可求得线段
的长.
【解析】设扇形的圆心角为 ，半径为 ，弧长为 ，则 ， ，
由 可得 ，
所以，扇形的面积为 ，
当且仅当 ，即 时，扇形的面积 最大，此时 ．
因为 ，则扇形的圆心角 ，
取线段 的中点 ，由垂径定理可知 ，
因为 ，则 ，
所以， .
故选：A.
10．（22-23高三下·上海宝山·阶段练习）如图所示，圆心为原点 的单位圆的上半圆周上，有一动点．设 ，点 是 关于原点 的对称点．分别连结 ，如此形成了三个区域，
标记如图所示．使区域Ⅰ的面积等于区域Ⅱ、Ⅲ面积之和的点 的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】设射线 对应的角为 且 ，由题设可得 ，故可得满足条件的 的个数.
【解析】设射线 对应的角为 且 ，
故区域Ⅰ的面积为 ，
区域Ⅲ的面积为 ，
区域Ⅱ的面积为 ，
由题设有 ，
整理得到 ，因为 ，故此时 仅有两解，
故选：C.
03 求弧长、扇形面积的实际应用
11．（23-24高三上·广东肇庆·阶段练习）“顺德眼”是华南地区首座双立柱全拉索设计的摩天轮总共设有
36个等间距座舱，其中亲子座舱4个，每2个亲子座舱之间有8个普通座舱，摩天轮上的座舱运动可以近
似地看作是质点在圆周上做匀速圆周运动，质点运行轨迹为圆弧，运行距离为弧长，“顺德眼”在旋转过
程中，座舱每秒运行约0.2米，转一周大约需要21分钟，则两个相邻的亲子座舱在运行一周的过程中，距离地面的高度差的最大值约为（ ）（参考数据： ，计算结果保留整数）
A．40米 B．50米 C．57米 D．63米
【答案】C
【分析】先根据题意求得圆的半径，再由当两个相邻的亲子座舱的连线与底面垂直时，距离地面的高度差
最大求解.
【解析】解： 设圆的半径为r，由题意得： ，
解得 ，
如图所示：
当两个相邻的亲子座舱的连线与底面垂直时，距离地面的高度差最大，
所以两个相邻的亲子座舱在运行一周的过程中，距离地面的高度差的最大值约为：
，
故选：C
12．（23-24高三上·安徽·期中）扇子是引风用品，夏令必备之物.我国传统扇文化源远流长，是中华文化的
一个组成部分.历史上最早的扇子是一种礼仪工具，后来慢慢演变为纳凉、娱乐、观赏的生活用品和工艺品.
扇子的种类较多，受大众喜爱的有团扇和折扇.如图1是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊纸或绫绢做扇
面而制成的.完全打开后的折扇为扇形（如图2），若图2中 ， ， 分别在 ， 上，， 的长为 ，则该折扇的扇面 的面积为（ ）
图1 图2
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求得 ，再根据扇环的面积公式求得正确答案.
【解析】依题意， ，
所以 ，
所以该折扇的扇面 的面积为 .
故选：D
13．（2024·湖南长沙·一模）“会圆术”是我国古代计算圆弧长度的方法，它是我国古代科技史上的杰作，
如图所示 是以 为圆心， 为半径的圆弧， 是 的中点， 在 上， ，则 的弧长
的近似值 的计算公式： .利用上述公式解决如下问题：现有一自动伞在空中受人的体重影响，
自然缓慢下降，伞面与人体恰好可以抽象成伞面的曲线在以人体为圆心的圆上的一段圆弧，若伞打开后绳
长为6米，该圆弧所对的圆心角为 ，则伞的弧长大约为（ ）
A．5.3米 B．6.3米 C．8.3米 D．11.3米【答案】B
【分析】根据给定条件，结合垂径定理计算即可得解.
【解析】依题意，点 共线， ， ，
所以 （米）.
故选：B
04 三角函数的概念（求三角函数值及应用）
14．（23-24高三下·重庆渝中·阶段练习）已知角 的终边经过点 ，则 的值不可能是（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】D
【分析】由定义可得 ，计算可求 .
【解析】由定义， ，
当 ，合题意；
当 ，化简得 ，由于横坐标 ，角的终边在一、四象限，
所以 ．
故选：D．
15．（2024·上海松江·二模）已知点 的坐标为 ，将 绕坐标原点 逆时针旋转 至 ，则点
的坐标为 .
【答案】
【分析】由题意可求 ， ，利用任意角的三角函数的定义即可求解．【解析】因为点 的坐标为 ，可得 ，
所以 ，
可得 ， ，
所以点 的坐标为 ，
故答案为： .
16．（2024·全国·模拟预测）已知角 的顶点为坐标原点，始边为 轴的非负半轴．若 是角 终边
上一点，且 ，则 ．
【答案】
【分析】根据三角函数定义式列方程，解方程即可.
【解析】由题设知 ，
即 ，且 ，
即 ，且 ，
解得 ，
故答案为： .
17．（2023高三·全国·专题练习）已知角 的终边经过点 ，且 ，则 ．
【答案】【分析】由题意结合三角函数的定义求出 点坐标，再求出 即可求解
【解析】因为角 的终边经过点 ，且 ，
所以 ，
解得 或 ，
因为点 的纵坐标为 ，且 ，
所以角 的终边落在第三象限，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：
18．（2024·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，角 的顶点与原点重合，始边与 轴的非负半轴重
合，终边经过点 ，则 （ ）
A．11 B． C．10 D．
【答案】B
【分析】由题意利用任意角的三角函数定义，可求得 的值，代入计算即可.
【解析】因为角 的顶点与原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，
且角的终边经过点 ，
所以 ， ，
所以 .故选：B.
19．（2024·云南昆明·一模）已知角 的顶点为坐标原点 ，始边与 轴的非负半轴重合，点 （
）在角 终边上，且 ，则 的值可以是 .（写一个即可）
【答案】 （ ， ， 均可）
【分析】
由 求得 的取值范围，结合三角函数的定义进而可得解.
【解析】 ，即 ，解得 ，
又 ，故 的值可为 、 、 、 、 ，
则 ，即 的值可以是 或 或 .
故答案为： （ ， ， 均可）.
20．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系 中，角 的顶点为原点 ，以 轴的非负半轴为
始边，终边经过点 ，则下列各式的值恒大于0的有（ ）个．
① ；② ；③ ；④ ．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据三角函数定义得到 ， ， ，再依次判断每个式子得到答案.
【解析】 ， ， ，
① ；② ；③ ；④ 符号不确定．
故选：C．
21．（21-22高三下·河南许昌·开学考试）已知某质点从平面直角坐标系 中的初始位置点 ，沿以
O为圆心，4为半径的圆周按逆时针方向匀速运动到B点，则B点的坐标为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】根据任意角的三角函数定义直接求解
【解析】由三角函数的定义得，B点的坐标为 .
故选：A
05 同角三角函数的基本关系
22．（21-22高一上·安徽宿州·期末）已知 ，且 为第二象限角，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用同角三角函数平方关系计算可得.
【解析】因为 ,
所以 ，
因为 为第二象限角，
所以 .
故选：C.
23．（21-22高一上·四川遂宁·期末）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据同角三角函数的基本关系求解.
【解析】从 可得， ，所以 ，
因为 ，故选：A.
24．（2024·河南洛阳·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】根据切弦互化法计算即可求解.
【解析】因为 ，
所以 ．
故选：B．
25．（2023·全国·高考真题）若 ，则 ．
【答案】
【分析】根据同角三角关系求 ，进而可得结果.
【解析】因为 ，则 ，
又因为 ，则 ，
且 ，解得 或 （舍去），
所以 .
故答案为： .
26．（22-23高三·全国·对口高考）已知角 的终边落在直线 上，则
.
【答案】【分析】根据题意得到角 的终边位于第二象限，所以 ，即可求解.
【解析】由角 的终边落在直线 上，可得角 的终边位于第二象限，
可得 ，所以 .
故答案为： .
27．（2024高一上·全国·专题练习）已知 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】由同角三角函数的基本关系式化简求值即可.
【解析】 ，
因为 ，所以 .
故答案为： .
06 诱导公式
28．（2024·全国·模拟预测）已知 ,则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查诱导公式等知识．
【解析】 ．
故选:B．29．（2024·全国·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】利用已知的三角函数值，利用换元法，结合三角函数的诱导公式，可得答案.
【解析】令 ，则 ，
从而
.
故选：A.
30．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】对 平方，得到 的值，然后对 化简求值即可.
【解析】因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
故选：A.31．（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）已知 且 ，则 ．
【答案】
【分析】 得 ，然后根据角的变换可得.
【解析】因为 ，所以 ，
又 ，
所以 ，所以
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
故答案为：
32．（2023高三·全国·专题练习）已知 ，则
的值为 ．
【答案】18
【分析】利用诱导公式化简已知条件和所求的式子可得答案.
【解析】由 ，可得 ，
∴．
故答案为：18.
07 三角函数的概念 诱导公式难点分析
33．（23-24高一上·山西运城·期末）若 ，且 ，则当 取最大
值时， 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由条件等式、平方关系结合基本不等式即可得解.
【解析】若 ，且 ，则 ，
则 ，
注意到 ，其中 ，
所以 ，等号成立当且仅当 ，
所以 ，
等号成立当且仅当 ，即 ，
所以当 取最大值时， 的值为 .
故选：B.34．（22-23高三上·山东枣庄·阶段练习）若 ，且点 与点
关于x轴对称，则 .
【答案】
【分析】根据题意在单位圆中画出满足题意的情况，即可得到 为 ，即可得到其余弦值.
【解析】法一：由题意得 ，即 ，
所以 ，则 ， ，
时， ，而 ，解得
故 ,
故答案为： .
法二：因为 与 均在单位圆上,
在第二象限, 在第三象限,如下图所示：
则 ,
因为 关于 轴对称，所以 ,解得 ,
而 ，解得
故 ,故答案为： .
35．（20-21高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知 恒成立，则 取值范围是
．
【答案】
【解析】由已知不等式恒成立有 恒成立，可构造函数 ，而
为增函数知 ，即可求 取值范围.
【解析】 可化为 ，
∴可令 ，而 在R上是单调递增函数，
∴要使 恒成立，即有 ，
∴ .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：将不等式移项转化并构造 ，由不等式恒成立，依据其单调性有
成立求范围即可.
36．（2022·上海黄浦·二模）设 ， ．若对任意实数 都有 ，则
满足条件的有序实数组 的组数为 ．【答案】
【分析】由恒成立的等式可确定 ， ；结合三角函数诱导公式的知识，分别讨论 不同取值时
对应的 的取值，结合 的范围可得结果.
【解析】 对任意实数 都有 ，
与 的最值和最小正周期相同，
， ，即 ， ，
①当 ， 时， ， ，
又 ， 或 ，则 或 ；
②当 ， 时， ， ；
又 ， 或 ，则 或 ；
③当 ， 时， ， ，
又 ， 或 ，则 或 ；
④当 ， 时， ， ；
又 ， 或 ，则 或 ；
综上所述：满足条件的有序实数组 共有 组.
故答案为： .
一、单选题
1．（2023·安徽·模拟预测）已知角 终边上有一点 ，则 为（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】C
【分析】根据终边相同角的定义即可求解.
【解析】已知角 终边上有一点 ，即点 ，
，
为第三象限角.
故选：C.
2．（2024·黑龙江·二模）已知角 的终边与单位圆的交点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可知 ，利用诱导公式运算求解.
【解析】因为角 的终边与单位圆的交点 ，可知 ，
所以 .
故选：B.
3．（2024·辽宁·三模）已知 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】D
【分析】由三角函数的诱导公式和弦切关系化简可得.
【解析】 ，故选：D.
4．（2023·海南·模拟预测）若 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先左右两边平方，得出 ，再应用弦化切，最后结合角的范围可得求出正切值．
【解析】∵ ，∴ ，即 ，∴ ，
∴ ，得 ，∴ ，
∴ 或 ，
∵ ，且 ，∴由三角函数定义知 ，
∴ ，故 ．
故选：D.
5．（2024·全国·模拟预测）石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像
砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流
派．苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、
栏槛等建筑中．图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环 ，如图（2），砖雕厚度为6cm，
， ， 所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的表面积为（单位： ）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】先求出 ， ，进而求得梅花砖雕的侧面积及扇环 的面积可得该梅花
砖雕的表面积.
【解析】
延长 与 交于点 ．由 ， ，得 ， ．
因为 所对的圆心角为直角，所以 ， ．
所以该梅花砖雕的侧面积 ，
扇环 的面积为 ，
则该梅花砖雕的表面积 ．
故选：C．
6．（2023·贵州遵义·三模）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据 时， 求解.
【解析】由 时， 可知， ，
即 ，
故选：A
7．（2023·山西·模拟预测）已知 均是锐角，设 的最大值为 ，
则 =（ ）A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】根据三角恒等变换结合基本不等式求最值可得 ，然后由
求解即可
【解析】由基本不等式可得 ， ，
，
三式相加，可得 ，
当且仅当 均为 时等号成立，
所以 ，
则 ．
故选：B
8．（2024·浙江·二模）古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函
数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数 ，正割函数 ，余
割函数 ，正矢函数 ，余矢函数 .如图角 始边为 轴的非负
半轴，其终边与单位圆交点 ， 、 分别是单位圆与 轴和 轴正半轴的交点，过点 作 垂直 轴，
作 垂直 轴，垂足分别为 、 ，过点 作 轴的垂线，过点 作 轴的垂线分别交 的终边于 、 ，
其中 、 、 、 为有向线段，下列表示正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用单位圆以及三角函数的定义可知 ， ， ，然后结合新定义简单
计算可判断各个选项.
【解析】根据题意，易得 ，
对于A，因为 ，即 ，故A错误；
对于B，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得， ，故B错误；
对于C， ，故C正确；
对于D，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得 ，故D错误.
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题属于新定义题，解题关键是读懂题意，根据新定义，利用三角函数定义结合相似
三角形相似比求解，注意有向线段.
二、多选题
9．（2023·贵州遵义·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 与 是终边相同的角
B．若角 的终边过点 ，则
C．若扇形的周长为3，半径为1，则其圆心角的大小为1弧度
D．若 ，则角 的终边在第一象限或第三象限
【答案】CD
【分析】举反例 判断A；由三角函数的定义判断B；由弧长公式判断C；由 与 同号判断
D.
【解析】对于A：当 时， ，但终边不同，故A错误；
对于B： ，当 时， ，故B错误；对于C：由 ，得 ，故C正确；
对于D： ，即 与 同号，则角 的终边在第一象限或第三象限，故D正确；
故选：CD
10．（2023·辽宁·模拟预测）设 为第一象限角, ,则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】首先由题意得 是第一象限角,所以 ,再利用诱导公式和同角三角函数关系式
对选项逐个计算确定正确答案.
【解析】由题意得 ,
则 ,
若 在第四象限,则 ,
所以 也是第一象限角,即 ,,A项错误;
,B项正确;
,C项错误;
,D项正确.
故选:BD.
11．（2024·全国·模拟预测）质点A和B在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆O上逆时针做匀速圆周运
动，同时出发，A的起点在射线 和圆O的交点处，A的角速度为 ，B的起点为圆O与
x轴正半轴的交点，B的角速度为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．在1s末时，点A的坐标为
B．在2s末时，点B的坐标为
C．在2s末时，劣弧 的长为
D．当A与B重合时，点A的坐标可以为
【答案】CD
【分析】根据题意结合任意角的三角函数值的定义逐项分析判断.
【解析】由题意可知点A的起点所对的角 ，点B的起点所对的角 ，
在1s末时，点A所对的角 ，
所以点A的坐标为 ，故A错误；在2s末时，点B所对的角 ，
所以点B的坐标为 ，故B错误；
在2s末时，点A所对的角 ，
则劣弧 所对的角为 ，所以劣弧 的长为 ，故C正确；
当A与B重合时，则 ，解得
可得 ，
则 ，
点A的坐标为 ，故D正确；
故选：CD.
三、填空题
12．（2023·江苏苏州·模拟预测）已知 ，若 ，则 = .
【答案】
【分析】将所求式利用同角的三角函数基本关系式进行三角恒等变换化简即得.
【解析】由 知 于是，
故
故答案为： .13．（2023·四川成都·一模）函数 ，则 .
【答案】
【分析】先计算 ，从而可求解.
【解析】 ，所以 .
故答案为：
14．（2023·江西景德镇·三模）已知直线 与函数 和函数 的图象分别
交于 两点，若 ，则线段 中点的纵坐标为 .
【答案】
【分析】由 ，平方后可求得 ，根据 可求得线段 中点
的纵坐标 .
【解析】由题意知： ，
， ；
设 中点的纵坐标为 ，
当 时， ， ， ，
， .
故答案为： .
