文档内容
专题 10 三角函数的概念 诱导公式
目录
01 思维导图
02 知识清单
03 核心素养分析
04 方法归纳
一、角的概念
1.角的定义
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的 图形.旋转开始时的射线
叫做角的始边，旋转终止时的射线叫做角的终边，射线 的端点叫做角的顶点.
2.角的分类
任意角包括：正角、负角、零角.
正角：一条射线按逆时针方向旋转形成的角.
负角：一条射线按顺时针方向旋转形成的角.
零角：一条射线没有进行任何旋转形成的角.温馨提示：对于角的形成过程，既要有旋转量，又要有旋转方向。
二、终边相同的角
所有与角a 终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+k
360°,k∈Z}, 即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
温馨提示：
1.相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差 360°的
整数倍；
2.终边在一条直线上的角之间相差180°的整数倍；
3.终边在互相垂直的两条直线上的角之间相差90°的整数倍.
三、象限角与轴线角
1.象限角、轴线角的概念
(1)象限角
在平面直角坐标系中，如果角的顶点在原点，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么,角的终边在第几象
限，我们就说这个角是第几象限角.
(2)轴线角
如果角的终边在坐标轴上，则这个角不属于任何象限，称这个角为轴线角，
2.象限角的集合表示
锐角为{α|0⁰0，则角θ是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案 D
解析 由>0，得>0，
所以cos θ>0.又sin θ·cos θ<0，
所以sin θ<0，所以θ为第四象限角．(2)已知α的终边在直线y＝2x上，则sin α＝________.
答案 ±
解析 由题意可知，α终边落在第一或第三象限，且tan α＝2，若在第一象限，可在 α终边上任取一点
(1,2)，
∴sin α＝＝，若在第三象限，可在α终边上任取一点(－1，－2)，
∴sin α＝＝－.
(3)已知α的终边过点(x,4)，且cos α＝－，则tan α＝________.
答案 －
解析 ∵α的终边过点(x,4)，且cos α＝－，
∴x<0.
∵cos α＝＝－，
∴x＝－3，
∴tan α＝－.
方法归纳： (1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三
角函数值，也可以求出角α终边的位置．
(2)判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所
求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．
四、同角三角函数基本关系
例4 (1)已知cos α＝－，则13sin α＋5tan α＝ .
答案 0
解析 ∵cos α＝－<0且cos α≠－1，
∴α是第二或第三象限角．
①若α是第二象限角，
则sin α＝＝＝，
∴tan α＝＝＝－.
此时13sin α＋5tan α＝13×＋5×＝0.
②若α是第三象限角，
则sin α＝－＝－
＝－，
∴tan α＝＝＝，
此时，13sin α＋5tan α＝13×＋5×＝0.
综上，13sin α＋5tan α＝0.
(2)已知tan α＝，则＝ ；sin2α＋sin αcos α＋2＝ .
答案 －
解析 已知tan α＝，
所以＝＝－.
sin2α＋sin αcos α＋2＝＋2
＝＋2
＝＋2＝.
(3)已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，则tan θ＝ .
答案 －
解析 由sin θ＋cos θ＝，得sin θcos θ＝－，
因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0，
所以sin θ－cos θ＝＝，
联立解得
所以tan θ＝－.
方法归纳： (1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式
子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．
(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
五、诱导公式
例5 （1）已知 ，则 .
答案
分析 利用诱导公式化简，然后弦化切可得.
解析 因为 ，
所以，原式 .
故答案为：
（2）点 在角 终边上，则 ．
答案
分析 根据三角函数的定义和诱导公式求解.
解析 ∵点 在角 终边上，
∴ ， ，∴ ，
故答案为： .
方法归纳： (1)诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；
②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
(2)诱导公式的应用步骤
任意负角的三角函数――――――→任意正角的三角函数――――――→0～2π 内的角的三角函
数――――――→锐角三角函数．
六、同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
例6 若 ，则 的值为 ．
答案
分析 根据条件求出 ，再将所求式子弦化切代入运算得解.
解析 因为 ，所以 ，
.
故答案为： .
拓展
1．（1）求值： ；
（2）已知 ，求 的值．
答案 （1） （2）
分析 （1）由三角函数的诱导公式计算即可；（2）利用三角恒等变换化简后分子分母同时除以 ，再
计算即可.解析 （1）原式
（2）
分子分母同时除以 得：
．
2．已知函数 ，其中 为第三象限角且
(1)求 的值；
(2)求 的值.
答案 (1)
(2)
分析（1）根据题意结合同角三角关系分析可得 ，进而可得 ，结合齐次式问题分析求
解；
（2）根据同角三角关系结合齐次式问题分析求解.
解析 （1）由题意可得：
，因为 为第三象限角，则 ，即 ，
所以原式 .
（2）由（1）可知： ，
由题意可得：
.
方法归纳： (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵
活使用公式进行变形．
(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．
