专题15圆锥曲线中的椭圆问题（解析版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_二轮复习_2023年高考数学二轮专题训练（新高考地区专用）

专题15 圆锥曲线中的椭圆问题 x2 y2 1 1、【2022年全国甲卷】已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ，A ,A 分别为C的左、右顶点， a2 b2 3 1 2 → → B为C的上顶点．若BA ⋅BA =−1，则C的方程为（ ） 1 2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 A． + =1 B． + =1 C． + =1 D． + y2=1 18 16 9 8 3 2 2 【答案】B c √ b2 1 b2 8 8 【解析】解：因为离心率e= = 1− = ，解得 = ，b2= a2 ， a a2 3 a2 9 9 A ,A 分别为C的左右顶点，则A (−a,0),A (a,0)， 1 2 1 2 B为上顶点，所以B(0,b). 所以⃑BA =(−a,−b),⃑BA =(a,−b)，因为⃑BA ⋅⃑BA =−1 1 2 1 2 8 所以−a2+b2=−1，将b2= a2 代入，解得a2=9,b2=8， 9 x2 y2 故椭圆的方程为 + =1. 9 8 故选：B. x2 y2 2、【2022年全国甲卷】椭圆C: + =1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称． a2 b2 1 若直线AP,AQ的斜率之积为 ，则C的离心率为（ ） 4 √3 √2 1 1 A． B． C． D． 2 2 2 3 【答案】A 【解析】解：A(−a,0)，设P(x ,y )，则Q(−x ,y )， 1 1 1 1 y y 则k = 1 ,k = 1 ， AP x +a AQ −x +a 1 1 y y y ❑ 2 1 故k ⋅k = 1 ⋅ 1 = 1 = ， AP AQ x +a −x +a −x ❑ 2+a2 4 1 1 1 x ❑ 2 y ❑ 2 b2(a2−x ❑ 2) 又 1 + 1 =1，则y ❑ 2= 1 ， a2 b2 1 a2 b2(a2−x ❑ 2) 1 b2 1 所以 a2 1，即 = ， = a2 4 −x ❑ 2+a2 4 1 c √ b2 √3 所以椭圆C的离心率e= = 1− = . a a2 2 故选：A. x2 y2 3、【2022年新高考1卷】已知椭圆C: + =1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F ，F ，离心 a2 b2 1 2 1 率为 ．过F 且垂直于AF 的直线与C交于D，E两点，|DE|=6，则△ADE的周长是 2 1 2 ________________． 【答案】13 c 1 【解析】∵椭圆的离心率为e= = ，∴a=2c，∴b2=a2−c2=3c2，∴椭圆的方程为 a 2 x2 y2 + =1，即3x2+4 y2−12c2=0，不妨设左焦点为F ，右焦点为F ，如图所示，∵ 4c2 3c2 1 2 π AF =a，OF =c，a=2c，∴∠AF O= ，∴△AF F 为正三角形，∵过F 且垂直于AF 的直线 2 2 2 3 1 2 1 2 √3 与C交于D，E两点，DE为线段AF 的垂直平分线，∴直线DE的斜率为 ，斜率倒数为√3， 直线DE 2 3的方程：x=√3 y−c，代入椭圆方程3x2+4 y2−12c2=0，整理化简得到：13 y2−6√3cy−9c2=0， 判别式∆=(6√3c) 2+4×13×9c2=62×16×c2， √∆ c ∴|CD|=√1+(√3) 2 |y −y |=2× =2×6×4× =6， 1 2 13 13 13 13 ∴ c= ， 得a=2c= ， 8 4 ∵DE为线段AF 的垂直平分线，根据对称性，AD=DF ，AE=EF ，∴△ADE的周长等于△F DE 2 2 2 2 的周长，利用椭圆的定义得到△F DE周长为 2 |DF |+|EF |+|DE|=|DF |+|EF |+|DF |+|EF |=|DF |+|DF |+|EF |+|EF |=2a+2a=4a=13 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 故答案为：13. x2 y2 4、【2022年新高考2卷】已知直线l与椭圆 + =1在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交 6 3 于M，N两点，且|MA|=|NB|,|MN|=2√3，则l的方程为___________． 【答案】x+√2y−2√2=0 【解析】：令AB的中点为E，因为|MA|=|NB|，所以|ME|=|NE|， x ❑ 2 y ❑ 2 x ❑ 2 y ❑ 2 设A(x ,y )，B(x ,y )，则 1 + 1 =1， 2 + 2 =1， 1 1 2 2 6 3 6 3 x ❑ 2 x ❑ 2 y ❑ 2 y ❑ 2 (x −x )(x +x ) (y + y )(y −y ) 所以 1 − 2 + 1 − 2 =0，即 1 2 1 2 + 1 2 1 2 =0 6 6 3 3 6 3 (y + y )(y −y ) 1 1 所以 1 2 1 2 =− ，即k ⋅k =− ，设直线AB:y=kx+m，k<0，m>0， (x −x )(x +x ) 2 OE AB 2 1 2 1 2 m ( m ) ( m m) 令x=0得y=m，令y=0得x=− ，即M − ,0 ，N(0,m)，所以E − , ， k k 2k 2m 2 1 √2 √2 即k× =− ，解得k=− 或k= （舍去）， m 2 2 2 − 2k 又|MN|=2√3，即|MN|=√m2+(√2m) 2=2√3，解得m=2或m=−2（舍去）， √2 所以直线AB:y=− x+2，即x+√2y−2√2=0； 2 故答案为：x+√2y−2√2=0 5、（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设B是椭圆 的上顶点，点P在C上，则 的最大值为（ ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】设点 ，因为 ， ，所以 ， 而 ，所以当 时， 的最大值为 ． 故选：A． 6、（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设 是椭圆 的上顶点，若 上的任意一点 都满足 ，则 的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设 ，由 ，因为 ， ，所以 ， 因为 ，当 ，即 时， ，即 ，符合题意，由 可得 ，即 ； 当 ，即 时， ，即 ，化简得， ， 显然该不等式不成立． 故选：C． 7、（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，点 在 上， 则 的最大值为（ ） A．13 B．12 C．9 D．6 【答案】C 【解析】由题， ，则 ， 所以 （当且仅当 时，等号成立）．故选：C． 8、（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知 为椭圆C： 的两个焦点，P，Q为C 上关于坐标原点对称的两点，且 ，则四边形 的面积为________． 【答案】 【解析】因为 为 上关于坐标原点对称的两点， 且 ，所以四边形 为矩形， 设 ，则 ， 所以 ， ，即四边形 面积等于 . 故答案为： . 9、【2019年高考全国Ⅰ理】已知椭圆C的焦点为 ，过F 的直线与C交于A，B两点． 2 若 ， ，则C的方程为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】法一：如图，由已知可设 ，则 ， 由椭圆的定义有 ．在 中，由余弦定理推论得 ． 在 中，由余弦定理得 ，解得 ． 所求椭圆方程为 ，故选B． 法二：由已知可设 ，则 ， 由椭圆的定义有 ． 在 和 中，由余弦定理得 ， 又 互补， ，两式消去 ，得 ，解得 ． 所求椭圆方程 为 ，故选B． 10、【2019年高考北京理】已知椭圆 （a＞b＞0）的离心率为 ，则 A．a2=2b2 B．3a2=4b2 C．a=2b D．3a=4b 【答案】B【解析】椭圆的离心率 ，化简得 ， 故选B． 题组一、椭圆的离心率 1-1、（2022·山东淄博·高三期末）已知椭圆 的右焦点为F，上顶点为B，直线BF与 C相交于另一点A，点A在x轴上的射影为 ，O为坐标原点，若 ，则C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得 ，设 因为 ，所以 ， 所以 ，得 ，即 ， 因为点 在椭圆 上， 所以 ，化简得 ， 所以离心率 ， 故选：A 1-2、（2021·河北保定市高三二模）已知 、 是椭圆 的两个焦点，过 的直线 与椭圆交于 、 两点，若 ，则该椭圆的离心率为（ ）A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如下图所示，设 ，则 ， ，所以， ， 所以， ， 由椭圆定义可得 ， ， ， 所以， ， 所以， 为等腰直角三角形，可得 ， ， 所以，该椭圆的离心率为 . 故选：D. x2 y2  1 1-3、（2021·山东潍坊市·高三三模）已知椭圆C：a2 b2 （ab0）的左，右焦点分别为F ，F ， 1 2     点A，B在椭圆上，且满足 AF 1 2F 1 B ， AF 2 AF 1 0 ，则椭圆 C 的离心率为________． 5 【答案】 3 【解析】  AF 2mm0 AF 2FB BF m 设 1 ，因为 1 1 ，所以 1 ， 又因为  A  F    A  F  0, FF 2c，所以 AF  FF 2  AF 2 2 c2m2 ， 2 1 1 2 2 1 2 1 又因为 BF  AB 2  AF 2  4c2 5m2 ，且 AF  AF  BF  BF 2a， 2 2 1 2 1 2 2m2 c2 m2 m 4c2 5m2 m2 c2 m2  4c2 5m2 所以 ，所以 ， m2 4c2 4m2 4m c2 m2 4c2 5m2 c2 5m2 c 5m 所以 ，所以 ，所以 ， c 5m 5 e   又因为2a2m2 c2 m2 6m，所以a3m，所以 a 3m 3 ， 5 故答案为： 3 . 1-4、（2021·河北沧州市高三二模）设 同时为椭圆 与双曲线 的左右焦点，设椭圆 与双曲线 在第一象限内交于点 ，椭圆 与 双曲线 的离心率分别为 为坐标原点，若（ ） A． ，则 B． ，则C． ，则 的取值范围是 D． ，则 的取值范围是 【答案】BD 【解析】 如图，设 ，焦距为 ，由椭圆定义可得 ，由双曲线定义可得 ， 解得 ， ， 当 时，则 ，所以 ， 即 ，由离心率的公式可得 ，故 正确. 当 时，可得 ，即 ，可得 ， 由 ，可得 ，可得 ，即 ，则 ， 可设 ，则 ， 由 在 上单调递增，可得 ，则 ，故 正确.故选： 1-5、（2022·江苏如东·高三期末）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，P为椭圆上 一点，且 ，若 关于 平分线的对称点在椭圆C上，则该椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】：设 关于 平分线的对称点为 ， 则 三点共线， 设 ，则 ， 又 ，所以 为等边三角形，所以 ， 又 ，所以 ， 在 中，由余弦定理可得： ， 即 ，所以 ， 所以 .故选：B.题组二、椭圆性质的综合性问题 2-1、（2022·河北张家口·高三期末）已知 为椭圆 的左､右焦点，直线 与椭圆 交于 两点，过点 向 轴作垂线，垂足为 ，则（ ） A．椭圆 的离心率为 B．四边形 的周长一定是 C．点 与焦点重合时，四边形 的面积最大 D．直线 的斜率为 【答案】ABD 【解析】由 的方程可得离心率为 ，故A正确； 由椭圆定义可知， ，同理， ， 所以四边形 的周长一定是 ，故B正确； 四边形 的面积 ， 当点 与焦点重合时， ，此时四边形 的面积 ，故C错误；设 ，故 ，则 ，故D正确. 故选：ABD 2-2、（2022·山东德州·高三期末）已知椭圆 的左､右焦点分别为 ， ，过点 的直 线l交椭圆于A，B两点，若 的最大值为5，则下列说法正确的是（ ） A．椭圆的短轴长为 B．当 最大时， C．椭圆离心率为 D． 面积最大值为 【答案】BC 【解析】由题意： ，根据椭圆的定义可知， ，则 的最大值为5，根据椭圆的性质可知：当 轴时， 最小，此时 最大，如图： 将 代入椭圆方程得： ，则 . 所以短轴长为 ，A错误；此时 ，B正确； ，C正确； 对D，设 ， ，代入椭圆方程得： ，则 ， 所以 ，记 ，于是 ，由对勾 函数的图象和性质可知：函数 在 上是增函数，则函数 在 上是减函数.于是， 当u=1，即t=0时， 面积最大值为 .故D错误. 故选：BC. 2-3、（2022·江苏海门·高三期末）已知椭圆 的焦点为 、 ，点 在椭圆 的 内部，点 在椭圆 上，则（ ） A． B．椭圆 的离心率的取值范围为 C．存在点 使得 D． 【答案】ACD 【解析】对于A选项，由已知可得 ，可得 ，则 ，A对； 对于B选项，椭圆 的离心率为 ，B错；对于C选项，设 、 分别为椭圆 的左、右焦点，则 、 ， 记 ，设点 ， ， ， 因为 ，则 ， 所以，点 在圆 上，联立 可得 ， 即圆 与椭圆 有公共点，C对； 对于D选项， ，D对. 故选：ACD. x2 C:  y2 1 2-4、（2021·全国高三专题练习）设椭圆 4 的的焦点为F 1 ，F 2 ， P 是C上的动点，则下列结 论正确的是（ ）． 3  e PF A．离心率 2 B． 2 的最大值为3   C． △PF 1 F 2 面积的最大值为2 3 D． PF 1 PF 2 的最小值为2 【答案】AD x2 C:  y2 1 【解析】：因为椭圆 4 ，所以a2 4，b2 1，所以a2，b1，c a2 b2  3，所 c 3 F   3,0  F  3,0  e  以 1 ， 2 ， a 2 ，故A正确；    PF  3x,y 设P(x,y)，所以 2 ，所以2  2  2 x2 3x2 3 4  2 PF  x 3  y2  x 3 1  2 3x4 x 3 2 4 4 4   3   ，因为 2 x2 ，所以  2   PF 74 3 PF 2 3 当x2时 2 max ，即 2 max ，故B错误； 1 1 因为S  | y|2c | y|2 3 3| y|， PF1F2 2 2 1剟y 1 y 1 △PFF 又 ，所以当 时，即 P 在短轴的顶点时 1 2面积的取得最大值，   S  31 3 PF 1 F 2 max ，故C错误；    3x2 3x2 PF PF 2 PO 2 x2  y2 2 1 1 14 对于D： 1 2 4 ，因为 2 x2 ，所以 4 ，所以   2 PF PF 4 1 2 ，故D正确； 故选：AD x2 y2 C: + 1(a b0) 2-5、（2021·山东泰安市·高三三模）已知椭圆 a2 b2 的左右焦点分别为F,F , 直线l 1 2 x2  y2 b2 P A,B A x 与圆 相切于点 ，与椭圆相交于 两点，点 在 轴上方，则（ ） bc A．弦长|AB|的最大值是 a l y bxa cb2 B．若 方程为 ，则 5 C．若直线l过右焦点F 2 ，且切点 P 恰为线段AF 2 的中点，则椭圆的离心率为 3 D．若圆 x2  y2 b2 经过椭圆的两个焦点，且 |AF 1 ||AF 2 |2 2 ，设点P在第一象限，则 ABF 2的周长2 2 是定值 【答案】BCD  xb  x2 y2 bc 【解析】对于选项A，当直线 与圆相切于点 时，由   1得 y  ， l （b,0) a2 b2 a 2bc bc AB   此时 a a ，故选项A错误； a d  b 对于选项B ，圆心（0,0）到直线l的距离为 1b2 ，得a2 b2 b4，cb2，故选项B正确； 对于选项C， P 为 AF 2的中点， O 为 F 1 F 2的中点，直线 l 与圆 x2  y2 b2 相切于点 P ， 1 OP  AF b 2 1 ，且 OP AF ， 2  AF 1 2b ， AF 2 2 PF 2 2 c2 b2 ，由椭圆的定义知2b2 c2 b2 2a， b 2 5  e 化简得a 3 ， 3 ， 故选项C正确； AF  AF 2 2 对于选项D， 1 2 ，a 2 ， x2  y2=1 圆x2  y2 b2过椭圆的两个焦点，所以bc1，故椭圆的方程为 2 ，  Ax ,y  Bx ,y  设 1 1 ， 2 2 ， x  x x2  y2 1 x 2  y 2 1 1 2 AB  AP  BP  1 1 2 2 2 ， x x  AB = 1 2 P在第一象限， 2 ， x2 2 2 AF = x 12  y2  x 12 1 1  x 2  2x  2 1 1 1 2 2 1 2 1 ， 2 BF  2x  同理 2 2 2 ， x x 2x 2x l  1 2  1 2   ABF 2 的周长 2 2 2 2，故选项D正确． 故选：BCD. 1、（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）曲线 的方程是 ，则曲线 的形状是（ ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．直线 【答案】B 【解析】方程表示动点 到两定点 的距离之和为4．而 ，因此 的轨迹是以 为焦点的椭圆． 故选：B． x2y20 2、（2021·山东泰安市·高三其他模拟）已知椭圆C的中心在坐标原点，右焦点F为直线 与x 10 轴的交点，且在经过点F的所有弦中，最短弦的长度为 3 ，则C的方程为_______． x2 y2  1 【答案】 9 5 x2 y2 F2,0 C:  1ab0 【解析】由题得 ，设 a2 b2 ，c2,  2b2 10 则  , 解得 ， ， ， a 3  a2 b2 c2,  a3 b 5 c2 x2 y2  1 所以C的方程为 9 5 ． x2 y2  1 故答案为： 9 5 . 3、(2022·江苏如皋期初考试)椭圆 与 关系为（ ） A．有相等的长轴长 B．有相等的离心率 C．有相同的焦点 D．有相等的焦距 【答案】D 【解析】由题意，对于椭圆，焦点在x轴上，a＝5，b＝3，所以c＝＝4，则离心率e＝＝，对于椭圆，因 为25－k＞9－k＞0，所以焦点在y轴上，a＝≠5，b＝≠3，所以c＝＝4，则离心率e＝＝≠，故选项D正 确，其他选项错误；所以答案选D. 4、（2022·山师大附中高三模拟）已知椭圆 （a＞b＞0）上有一点A，它关于原点的对称点为 B，点F为椭圆的右焦点，且AF⊥BF，设 ，且 ，则该椭圆的离心率e的取值范围为 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示，设椭圆的左焦点为 ，连接 ， ． 则四边形 为矩形． 因此 ． ．所以 ， ． ． ， ， ， ， 其中 ， ． ． 故选：A．5、（2022·湖北江岸·高三期末）已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，离心率为e， 下列说法正确的是（ ） A．当 时，椭圆C上恰好有6个不同的点，使得 为直角三角形 B．当 时，椭圆C上恰好有2个不同的点，使得 为等腰三角形 C．当 时，椭圆C上恰好有6个不同的点，使得 为直角三角形 D．当 时，椭圆C上恰好有2个不同的点，使得 为等腰三角形 【答案】A 【解析】对于A，当 时，可得 ，要使得 为直角三角形， 则 或 或 . 易知：当 为上、下顶点时， ，有 种情况， 当 时， ，有 种情况， 同理，当 ，也有 种情况.故共有6个不同的点，使得 为直角三角形， 选项A正确. 对于B，当 时，可得 ，要使得 为等腰三角形， 则 或 或 . 根据对称性易知，以上每一种情况都有 种等腰三角形，故共有 个等腰三角形，故B错误. 对于C，当 时，可得 ，当点 在上顶点或下顶点时 最大，且最大角为 ，故要使得 为直角三角形，则 或 . 当 时， ，有 种情况， 同理，当 ，也有 种情况.共有4个不同的点，使得 为直角三角形，故选项C错误. 对于D，要使得 为等腰三角形， 则 或 或 . 根据对称性易知，以上每一种情况都有 种等腰三角形，故共有 个等腰三角形，故D错误. 故选：A 6、（2022·江苏如东·高三期末）记椭圆 与椭圆 内部重叠区域的边界为曲线 C，P是曲线C上任意一点，则（ ） A．椭圆C 与椭圆C 的离心率相等 1 2 B．曲线C关于y＝±x对称 C．P到点(－1，0)，(1，0)，(0，－1)，(0，1)的距离之和为定值 D．P到原点的距离的最大值为 【答案】ABD 【解析】由已知椭圆的长轴长和短轴长都分别相等，因此焦点也相等，从而离心率相同，A正确； 用 替换 方程中的 得 的方程，同样用 替换 中的 得 方程，因此椭圆 与椭圆 关于直线 对称，同理可得它们也关于直线 对称，因此它们的公共部分边界线 关于直线 对称，B正确； 是椭圆 的两个焦点， 是椭圆 的两个焦点， 在椭圆 上时， 是定值，但 不是定值，所以 不是定值，C错； 设 椭圆 上在第一象限内的点，则 ，随 的增大而增大，由对称性，曲线 上，当 点在直线 上时， 最大， ， ，因此 ，D正确． 故选：ABD． 7、（2022·河北深州市中学高三期末）设A ，A ，B 分别是椭圆 的左、右、上顶点， 1 2 1 16 O为坐标原点，D为线段OB 的中点，过A 作直线A D的垂线，垂足为H．若H到x轴的距离为 |OD|， 1 2 1 9 则C的离心率为______． 【答案】 ## b 2a 【解析】直线A D的方程为y= (x+a)，直线A H的方程为y=− (x−a)， 1 2a 2 b b { y= (x+a), 2a 4a2b 16 16 b 8b 联立 得y= ．∵ |OD|= × = ， 2a 4a2+b2 9 9 2 9 y=− (x−a), b 4a2b 8b √ b2 √2 ∴ = ，∴ ，e= 1− = ． 4a2+b2 9 a2 2 故答案为： . 8、（2022·湖北·高三期末）斜率为k的直线l与椭圆 相交于A，B两点，点 为线段 的 中点，则 ________． 【答案】 【解析】设 ，则 ，两式相减，得， 因为点 为线段 的中点， 所以 ， 又因为 ， 所以 ，则 . 故答案为： .