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专题19 函数中的新定义问题
一、单选题
1．若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”，例如函数
与函数 即为“同值函数”，给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同
值函数”的是（ ）
A． B． C． D．
2．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯
函数": 设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数，也称取整函数，例如:
，已知 ，则函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
3．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设 ，用 表示不
超过 的最大整数， 也被称为“高斯函数”，例如 ， ， ，设 为函数
的零点，则 （ ）.
A．2 B．3 C．4 D．5
4．若直角坐标系内两点M、N满足条件①M、N都在函数y的图象上②M、N关于原点对称，则称点对
是函数y的一个“共生点对”（点对 与 看作同一个”共生点对”），已知函数
，则函数y的“共生点对”有（ ）个
A．0 B．1 C．2 D．35．已知 ，符号 表示不超过x的最大整数，若函数 有且仅有2个零点，则实
数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知 ，用 表示 ， 中的最大者，记为： ．当 ，
， 时，函数 的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
7．若函数 的定义域为 ，若存在实数 ， ，使得 ，则称 是“局部奇
函数”．若函数 为 上的“局部奇函数”，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．对于定义在区间 上的函数 ，若满足： 且 ，都有 ，则称函数
为区间 上的“非减函数”，若 为区间 上的“非减函数”，且 ，又
当 时， 恒成立，下列命题中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题9．设函数 的定义域为 ，如果对任意的 ， ，且 ，总有
成立，则称函数 在 上为线增函数．下列函数中在其定义域
上为线增函数的有（ ）
A． B．
C． D． ，
10．设函数 的定义域为A，若对于A内任意两个值 ， ，都有 ，则称
具有T性质.下列函数中具有T性质的是（ ）
A． B． C． D．
11．设函数 ， 定义域交集为 ，若存在 ，使得对任意 都有 ，
则称 构成“相关函数对”.则下列所给两个函数构成“相关函数对”的有（ ）
A． B．
C． D．
12．已知符号函数 ，偶函数 满足 ，当 时， ，则下列
结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．三、填空题
13．对于函数 ，若在其图象上存在两点关于原点对称，则称 为“倒戈函数”，设函数
是定义在 上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是_______.
14．已知函数 ， ，对任意的a，b， ，都存在以 ， ， 为三边的三角形，
则称该函数为三角形函数.若函数 是三角形函数，则实数m的取值范围是______.
15．对于函数 ，如果存在区间 ，同时满足下列条件：① 在 上是单调的；②当
的定义域是 时， 的值域是 ，则称 是该函数的“倍值区间”．若函数
存在“倍值区间”，则a的取值范围是______．
16．对于三次函数 ，给出定义：设 是 的导数， 是
的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为曲线 的“拐点”，可以发现，
任何一个三次函数都有“拐点”.设函数 ，则
______.
四、解答题
17．对于实数a和b，定义运算“*”： ，设 .
(1)求 的解析式；
(2)关于x的方程 恰有三个互不相等的实数根，求m的取值范围.18．设函数的定义域为 ，如果存在 ，使得 在 上的值域也为 ，则称 为“A
佳”函数.已知幂函数 在 内是单调增函数.
(1)求函数 的解析式.
(2)函数 是否为“A佳”函数.若是，请指出所在区间；若不是，请说明理由.
19．已知函数 ，若点 在函数 图像上运动时，对应的点
在函数 图像上运动，则称函数 是函数 的相关函数.
(1)求函数 的解析式；
(2)对任意的 的图像总在其相关函数图像的上方，求实数 的取值范围.
20．若在定义域内存在实数 ，使得 成立，则称函数有“飘移点” ．
(1)函数 是否有“飘移点”？请说明理由；
(2)证明函数 在 上有“飘移点”；(3)若函数 在 上有“飘移点”，求实数a的取值范围．
21．设的数的定义域为 ，若存在正实数 ，使得对于任意 ，总有 ，且 ，
则称 是 上的“ 距增函数”.
(1)判断函数 是否为 上的“1距增函数”并说明理由；
(2)已知 是定义在R上的奇函数，且当x > 0时， .若 为R上的“2022距增函数”，
求 的取值范围.
22．对于函数 ，若存在 ，使得 成立，则
称 为 的不动点.
(1)当 时，求函数 的不动点；
(2)若对任意实数 ，函数 恒有不动点，求 的取值范围.
