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2025-2026学年四川省成都市嘉祥外国语高级中学高三（上）期末数学试
卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x N|﹣1＜x＜3}，B＝{x|﹣2≤x＜2}，则A∩B＝（ ）
A．{x|﹣1＜x＜2} B．∈{0，1} C．{1，2} D．{0，1，2}
2．（5分）已知复数z＝2+i，则z•（ ）
A． B． C．3 D．5
3．（5分）已知A（2，3），B（5，1），C（m，2），且A，B，C三点共线，则m＝（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）函数f（x）＝2﹣e|x|的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．（5分）已知点P为圆C：（x﹣2）2+y2＝r2（r＞0）上一动点，若直线上存在两点A，B，满足|AB|＝
4，且∠APB＝90°，则r的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．（5分）已知数列{a }满足a ＝1且2a +a ＝0，则a a a a a 的值为（ ）
n 2 n n+1 1 2 3 4 5
A．32 B．16 C． D．﹣32
7．（5分）在同一平面直角坐标系内，函数y＝f（x）及其导函数y＝f′（x）的图像如图所示，已知两
图像有且仅有一个公共点，其坐标为（0，1），则（ ）
第1页（共17页）A．函数y＝f（x）•ex的最大值为1
B．函数y＝f（x）•ex的最小值为1
C．函数的最大值为1
D．函数的最小值为1
8．（5分）某高校外语系有8名志愿者，其中有5名男生，3名女生，现从中选3人参加某项测试赛的翻
译工作，若要求这3人中既有男生，又有女生，则不同的选法共有（ ）
A．45种 B．56种 C．90种 D．120种
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
（多选）9．（6分）函数f（x）＝3sin（2x+ ）的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（ ）
φ
A．f（x）的最小正周期为
B．是f（x）的最小值 π
C．f（x）在区间上的值域为
D．把函数y＝f（x）的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数y＝3sin2x的图象
（多选）10．（6分）已知椭圆的左、右焦点为，，P为椭圆C上一点，且∠F PF ＝60°，点P关于原点
1 2
O对称的点为Q，则（ ）
A．椭圆C的离心率为
B．|PF |•|PF |＝2
1 2
C．点P的纵坐标y 满足
0
第2页（共17页）D．
（多选）11．（6分）直线l：y＝ax与y＝ex的图像交于A（x ，y ）、B（x ，y ）两点（x ＜x ），y＝ex
1 2 2 2 1 2
在A、B两点的切线交于C，AB的中点为D，则（ ）
A．a≤e B．点C的横坐标大于1
C．|x ﹣x | D．CD的斜率大于0
1 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）函数f（x）＝2cosx+sinx的最大值为 ．
13．（5分）如图，三棱台ABC﹣A B C 的上、下底边长之比为1：2，记三棱锥C ﹣A B B体积为V ，
1 1 1 1 1 1 1
三棱台ABC﹣A B C 的体积为V ，则 ．
1 1 1 2
14．（5分）对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数，如[0.6]＝0，[﹣1.2]＝﹣2．已知数列{a }的通项公
n
式，前n项和为S ，则[S ]+[S ]+…+[S ]＝ ．
n 1 2 25
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知．
（1）求的值；
（2）若，求cos 的值．
16．（15分）已知抛β 物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程；
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足9，求直线OQ斜率的最大值．
17．（15分）如图1，在直角梯形ABCD中，已知AB∥CD，，将△ABD沿BD翻折，使平面ABD⊥平面
BCD．如图2，BD的中点为O．
第3页（共17页）（1）求证：AO⊥平面BCD；
（2）若AD的中点为G，在线段AC上是否存在点H，使得平面GHB与平面BCD夹角的余弦值为？若
存在，求出点H的位置；若不存在，请说明理由．
18．（17分）已知x＝3是函数f（x）＝aln（1+x）+x2﹣10x的一个极值点．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若直线y＝b与函数y＝f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围．
19．（17分）自2019年底开始，一种新型冠状病毒COVID﹣19开始肆虐全球．人感染了新型冠状病毒
后初期常见发热乏力、咽痛干咳、鼻塞流涕、腹痛腹泻等症状，严重者可致呼吸困难、脏器衰竭甚至
死亡，目前筛查冠状病毒的手段主要是通过鼻拭子或咽拭子采集样本，再进行核酸检验是否为阳性来
判断．假设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果（阳性、阴性）是相互独立的，且每份样本是
阳性结果的概率均为P（0＜p＜1）．
（Ⅰ）若p，现对4份样本进行核酸检测，求这4份中检验结果为阳性的份数 的分布列及期望；
（Ⅱ）若 p＝1﹣2，现有 2k（k N*，k≥2）份样本等待检验，并提供“ξk 合 1”检验方案：将 k
（k N*，k≥2）份样本混合在一起∈检验．若检验结果为阴性，则可认为该混合样本中的每个人都为阴
性；∈若检验结果为阳性，则要求该组中各个样本必须再逐个检验．试比较用“k合1”检验方案所需的
检验次数X的期望E（X）与2k的大小．
第4页（共17页）2025-2026学年四川省成都市嘉祥外国语高级中学高三（上）期末数学试
卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D D C C D C A
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 ABD ACD BC
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x N|﹣1＜x＜3}，B＝{x|﹣2≤x＜2}，则A∩B＝（ ）
A．{x|﹣1＜x＜2} B．∈{0，1} C．{1，2} D．{0，1，2}
【分析】先求集合A，再根据交集运算求解．
【解答】解：由题意可得：A＝{0，1，2}，所以A∩B＝{0，1}．
故选：B．
2．（5分）已知复数z＝2+i，则z•（ ）
A． B． C．3 D．5
【分析】直接由求解．
【解答】解：∵z＝2+i，
∴z•．
故选：D．
3．（5分）已知A（2，3），B（5，1），C（m，2），且A，B，C三点共线，则m＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】先求出 和的坐标，再根据∥，求出m的值．
【解答】解：∵A（2，3），B（5，1），C（m，2），∴（3，﹣2），（m﹣2，﹣1），
∵A，B，C三点共线，
∴∥，∴，∴m．
故选：D．
第5页（共17页）4．（5分）函数f（x）＝2﹣e|x|的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分析函数f（x）的奇偶性及f（0）的值，即可得出合适的选项．
【解答】解：∵f（x）＝2﹣e|x|的定义域为R，
又f（﹣x）＝2﹣e|x|＝f（x），
∴f（x）为偶函数，∴排除B，D选项，
又f（0）＝1，∴排除A选项．
故选：C．
5．（5分）已知点P为圆C：（x﹣2）2+y2＝r2（r＞0）上一动点，若直线上存在两点A，B，满足|AB|＝
4，且∠APB＝90°，则r的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】根据题意，由|AB|＝4，且∠APB＝90°，可得，点P在以AB为直径的圆M上，转化为圆C与
圆M有公共点，当圆C与圆M外切，且|CM|＝4时，r取得最小值．
【解答】解：圆C：（x﹣2）2+y2＝r2（r＞0），圆的圆心（2，0），半径为r；
设AB的中点M，由直线上存在两点A，B，满足|AB|＝4，且∠APB＝90°，
可得，点P在以AB为直径的圆M上，且圆C与圆M有公共点，
圆心C（2，0）到直线的距离为，
当圆C与圆M外切，且|CM|＝4时，r取得最小值．
故选：C．
6．（5分）已知数列{a }满足a ＝1且2a +a ＝0，则a a a a a 的值为（ ）
n 2 n n+1 1 2 3 4 5
A．32 B．16 C． D．﹣32
【分析】根据题意，可得数列{a }是公比为﹣2的等比数列，再利用等比数列的性质即可得解．
n
第6页（共17页）【解答】解：由题意可知，，即数列{a }是公比为﹣2的等比数列，
n
又由a ＝1，则a ＝a q＝﹣2，
2 3 2
则．
故选：D．
7．（5分）在同一平面直角坐标系内，函数y＝f（x）及其导函数y＝f′（x）的图像如图所示，已知两
图像有且仅有一个公共点，其坐标为（0，1），则（ ）
A．函数y＝f（x）•ex的最大值为1
B．函数y＝f（x）•ex的最小值为1
C．函数的最大值为1
D．函数的最小值为1
【分析】根据函数的单调性确定虚线部分为y＝f′（x），再求函数的单调性可求出最值．
【解答】解：由题意可知，两个函数图像都在x轴上方，任何一个为导函数，则另外一个函数应该单
调递增，判断可知，虚线部分为y＝f′（x），实线部分为y＝f（x），则A，B显然错误，
对于C，D而言，，由图像可知单调递增，x （0，+∞），单调递减，所以函数在x＝0处取得最大值
为1． ∈
故选：C．
8．（5分）某高校外语系有8名志愿者，其中有5名男生，3名女生，现从中选3人参加某项测试赛的翻
译工作，若要求这3人中既有男生，又有女生，则不同的选法共有（ ）
A．45种 B．56种 C．90种 D．120种
【分析】用分类计数原理来解，符合条件的包含两种结果，一是两女一男，二是两男一女，分别写出
这两种结果，再用分类加法求出总和．
【解答】解：∵要求3人中既有男生，又有女生，
∴符合条件的包含两种结果，一是两女一男，二是两男一女，
用分类计数原理来解，
∴共有C 2C 1+C 1C 2＝45种结果，
5 3 5 3
故选：A．
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
第7页（共17页）（多选）9．（6分）函数f（x）＝3sin（2x+ ）的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（ ）
φ
A．f（x）的最小正周期为
B．是f（x）的最小值 π
C．f（x）在区间上的值域为
D．把函数y＝f（x）的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数y＝3sin2x的图象
【分析】由题意f（x）＝3sin（2x+ ）的图象过点（，3），可得sin（2 ）＝1，利用五点作图法可得
，可求函数解析式为f（x）＝3sinφ（2x），进而利用正弦函数的性质即可φ得出结论．
φ【解答】解：由题意f（x）＝3sin（2x+ ）的图象过点（，3），
可得3sin（2 ）＝3， φ
可得sin（2 φ）＝1，
利用五点作φ图法可得 ，
可得f（x）＝3sin（2xφ），
对于A，f（x）的最小正周期为T ，正确；
对于B，3sin（2）＝﹣3，正确；π
对于C，由x ，可得2x [，]，可得sin（2x） [，1]，可得f（x）＝3sin（2x） [，3]，错误；
对于D，把函∈数y＝f（x∈）的图象上所有点向右∈平移个单位长度，可得到函数 y∈＝3sin[2（x）]＝3sin2x
的图象，正确．
故选：ABD．
（多选）10．（6分）已知椭圆的左、右焦点为，，P为椭圆C上一点，且∠F PF ＝60°，点P关于原点
1 2
O对称的点为Q，则（ ）
A．椭圆C的离心率为
B．|PF |•|PF |＝2
1 2
C．点P的纵坐标y 满足
0
第8页（共17页）D．
【分析】由椭圆的方程及定义，结合椭圆的性质及三角形的面积公式求解即可．
【解答】解：已知椭圆的左、右焦点为，，
则b＝1，c，，
对于A，椭圆C的离心率为，
即A正确；
对于B，因为∠F PF ＝60°，
1 2
则，
则|PF ||PF |sin60°，
1 2
即，
即B错误；
对于C，因为，
则，
即C正确；
对于D，因为，
所以|x |，
0
则，
即D正确．
故选：ACD．
（多选）11．（6分）直线l：y＝ax与y＝ex的图像交于A（x ，y ）、B（x ，y ）两点（x ＜x ），y＝ex
1 2 2 2 1 2
在A、B两点的切线交于C，AB的中点为D，则（ ）
A．a≤e B．点C的横坐标大于1
C．|x ﹣x | D．CD的斜率大于0
1 2
【分析】对于A：根据题意可得a有两个不同的正根，即直线y＝a与曲线y有两个不同的交点，解得a
的取值范围，即可判断A是否正确；
对于B：由题意可得ax ＝e，ax ＝e（x ＜x ），则0＜x ＜1＜x ，g（x），设h（x）＝g（x）﹣g（2
1 2 1 2 1 2
﹣x），（0＜x＜1），求导可得h′（x）＝（）′＝（x﹣1）[]，分析单调性，则h（x）＞h（1）＝
0，即g（x）＞g（2﹣x），进而可得g（x ）＞g（2﹣x ），推出x +x ＞2，即可判断B是否正确；
2 1 1 2
对于C：设s（x）＝ex﹣ax﹣[x2﹣（a+2﹣e）x+1]，求导分析单调性，可得s（x）＝ex﹣ax﹣[x2﹣
（a+2﹣e）x+1]≥0，ex﹣ax≥x2﹣（a+2﹣e）x+1，x ，x 是方程ex﹣ax＝0的两个根，x ，x 是方程x2
1 2 3 4
﹣（a+2﹣e）x+1＝0的两个根，|x ﹣x |＜|x ﹣x |，即可判断C正确；
1 2 3 4
第9页（共17页）对于D：根据题意可得D（，），C（x +x ﹣1，ax x ），则k ，分析符号，即可判断D是否正确．
1 2 1 2 CD
【解答】解：对于A：因为直线y＝ax与曲线y＝ex交于A（x ，y ），B（x ，y ）两点（x ＜x ），
1 1 2 2 1 2
ax＝ex，即a有两个不同的正根，
即直线y＝a与曲线y有两个不同的交点，
因为（）′，
所以y在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
所以函数y的最小值为e，
又x→0，y→+∞；x→+∞，y→+∞，
所以a＞e，故A错误；
对于B：由题意可得ax ＝e，ax ＝e（x ＜x ），
1 2 1 2
所以0＜x ＜1＜x ，
1 2
g（x），
设h（x）＝g（x）﹣g（2﹣x），（0＜x＜1），
h′（x）＝（）′＝（x﹣1）[]，
令m（x），m′（x），
所以m（x）在（0，2）单调递减，
因为x （0，1），2﹣x （1，2），
所以m∈（x）＞m（2﹣x）∈，
所以h′（x）＜0，
所以h（x）在（0，1）上单调减，
所以h（x）＞h（1）＝0，
g（x）＞g（2﹣x），
因为0＜x ＜1＜x ，
1 2
所以g（x ）＞g（2﹣x ），
1 1
又g（x ）＝g（x ），
1 2
所以g（x ）＞g（2﹣x ），
2 1
因为x （2，+∞），2﹣x （2，+∞），
2 1
所以x 2∈＞2﹣x
1
，x
1
+x
2
＞2，∈
直线AC的方程：y﹣ee（x﹣x ），直线BC的方程为y﹣ee（x﹣x ），
1 2
联立得x11＝x +x ﹣1＞1，故B正确；
1 2
对于C：设s（x）＝ex﹣ax﹣[x2﹣（a+2﹣e）x+1]，
第10页（共17页）s′（x）＝ex﹣2x+2﹣e，
s″（x）＝ex﹣2＝0，得x＝ln2，
所以在（0，ln2）上，s″（x）＜0，s′（x）单调递减，
在（ln2，+∞）上，s″（x）＞0，s′（x）单调递增，
且s′（1）＝0，
s′（x） ＝s′（ln2）＜s′（1）＝0，
min
因为s′（0）＞0，
设m （0，1），x （0，m）时，s′（x）＞0，s（x）单调递增，
x （∈m，1）时，s′∈（x）＜0，s（x）单调递减，
x∈（1，+∞）时，s′（x）＞0，s（x）单调递增，
又∈因为s（0）＝s（1）＝0，
所以s（x） ＝0，
min
所以s（x）＝ex﹣ax﹣[x2﹣（a+2﹣e）x+1]≥0，
所以ex﹣ax≥x2﹣（a+2﹣e）x+1，
因为x ，x 是方程ex﹣ax＝0的两个根，x ，x 是方程x2﹣（a+2﹣e）x+1＝0的两个根，
1 2 3 4
所以|x ﹣x |＜|x ﹣x |，故C正确；
1 2 3 4
对于D：因为D（，），C（x +x ﹣1，ax x ），
1 2 1 2
所以k ，
CD
因为a＞e，x +x ＞2，0＜x ＜1＜x ，
1 2 1 2
设f（x）＝ex﹣ax（x﹣lna）2，
f′（x）＝ex﹣ax﹣a（x﹣lna），
所以f″（x）＝ex﹣a，
所以当x （0，lna）时，f″（x）＜0，f′（x）＞f′（lna）＝0，
当x （ln∈a，+∞）时，f″（x）＞0，f′（lna）＝0，
所以∈在（0，+∞）上，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（lna）＝0，
所以当x （0，lna）时，ex﹣ax（x﹣lna）2＜0，ex﹣ax（x﹣lna）2，
所以x （∈lna，+∞）时，ex﹣ax（x﹣lna）2＞0，ex﹣ax（x﹣lna）2，
因为0∈＜x
1
＜1＜x
2
，（x
1
﹣lna）2（x
2
﹣lna）2，lna﹣x
1
＞x
2
﹣lna，
所以x +x ＜2lna，
1 2
所以a2x x ＝ea2，x x ＜1，
1 2 1 2
又x +x ＞2，
1 2
第11页（共17页）所以k ＜0，故D错误，
CD
故选：BC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）函数f（x）＝2cosx+sinx的最大值为 ．
【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，通过正弦函数的有界性求解即可．
【解答】解：函数f（x）＝2cosx+sinx（cosxsinx）sin（x+ ），其中tan ＝2，
可知函数的最大值为：． θ θ
故答案为：．
13．（5分）如图，三棱台ABC﹣A B C 的上、下底边长之比为1：2，记三棱锥C ﹣A B B体积为V ，
1 1 1 1 1 1 1
三棱台ABC﹣A B C 的体积为V ，则 ．
1 1 1 2
【分析】利用相似关系确定上下底面面积的比值，将棱锥转换顶点，结合体积公式求得两个几何体的
体积，即可求解．
【解答】解：由三棱台ABC﹣A B C 的上、下底边长之比为1：2，可得上、下底面的面积比为1：4，
1 1 1
设棱台的高为h，则点B到△A B C 的距离也为h，上底面面积为S，则下底面面积为4S，
1 1 1
则．
故答案为：．
第12页（共17页）14．（5分）对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数，如[0.6]＝0，[﹣1.2]＝﹣2．已知数列{a }的通项公
n
式，前n项和为S ，则[S ]+[S ]+…+[S ]＝ 5 4 ．
n 1 2 25
【分析】化简a ，从而求得S 1，再根据题意分类讨论即可．
n n
【解答】解：∵a ，
n
∴S 11，
n
∴当1≤n≤2时，0＜S ＜1，
n
[S ]＝0，
n
当3≤n≤7时，1≤S ＜2，
n
[S ]＝1，
n
当8≤n≤14时，2≤S ＜3，
n
[S ]＝2，
n
当15≤n≤23时，3≤S ＜4，
n
[S ]＝3，
n
当24≤n≤25时，4≤S ＜5，
n
[S ]＝4，
n
故[S ]+[S ]+…+[S ]
1 2 25
＝0×2+1×5+2×7+3×9+4×2＝54，
故答案为：54．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知．
（1）求的值；
（2）若，求cos 的值．
【分析】（1）由βtan ，可得sin cos ，代入计算即可；
（2）由sin cos ，又αsin2 +cos2 α＝1α，可得sin ，由，所以 ﹣ 的终边可在第四象限或第一象限，分
类求sin（ α﹣ ）α的值，coαs ＝coαs[ ﹣（ ﹣ ）α]＝cos cos（α﹣β）+sin sin（ ﹣ ）可求值．
【解答】解α：β（1）由tan ，β可得sαin cosα，β α α β α α β
所以2； α α α
（2）由（1）知得sin cos ，又sin2 +cos2 ＝1，
所以cos2 +cos2 ＝1，α所以αcos2 ，又α （α0，），所以cos ，
所以sin α， α α α∈ α
由，所以α ﹣ 的终边可在第四象限或第一象限，
α β
第13页（共17页）当 ﹣ 的终边在第四象限时，sin（ ﹣ ），
所以α coβs ＝cos[ ﹣（ ﹣ ）]＝cos cαos（β ﹣ ）+sin sin（ ﹣ ）（）；
当 ﹣ 的β 终边在α第一α象限β时，sin（α ﹣ ）α，β α α β
所以α coβs ＝cos[ ﹣（ ﹣ ）]＝cos cαos（β ﹣ ）+sin sin（ ﹣ ），
综上所述β：cos α或cosα．β α α β α α β
16．（15分）已知β抛物线βC：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程；
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足9，求直线OQ斜率的最大值．
【分析】（1）根据焦点F到准线的距离为2求出p，进而得到抛物线方程，
（2）设出点Q的坐标，按照向量关系得出P点坐标，再代入抛物线方程中，利用基本不等式即可求
出最值．
【解答】（1）解：由题意知，p＝2，
∴y2＝4x．
（2）由（1）知，抛物线C：y2＝4x，F（1，0），
设点Q的坐标为（m，n），
则（1﹣m，﹣n），
∴P点坐标为（10m﹣9，10n），
将点P代入C得100n2＝40m﹣36，
整理得，
当n≤0时，K，
当n＞0时，，当且仅当25n，即n时，等号成立，取得最大值．
故直线OQ斜率的最大值为．
17．（15分）如图1，在直角梯形ABCD中，已知AB∥CD，，将△ABD沿BD翻折，使平面ABD⊥平面
BCD．如图2，BD的中点为O．
（1）求证：AO⊥平面BCD；
（2）若AD的中点为G，在线段AC上是否存在点H，使得平面GHB与平面BCD夹角的余弦值为？若
第14页（共17页）存在，求出点H的位置；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用面面垂直性质定理即可证明；
（2）分别以OD，OM，OA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设，利用面面角的空间向量
公式列出方程求解即可．
【解答】解：（1）证明：因为AB＝AD，BD的中点为O，所以AO⊥BD，
又因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO 平面ABD，
所以AO⊥平面BCD； ⊂
（2）取DC的中点为M，连接MO，则MO∥BC，
由图1直角梯形可知，ABMD为正方形，
所以BM＝CM＝1，，DC＝2，所以BD⊥BC，BD⊥OM．
由（1）知，AO⊥平面BCD，所以OD，OM，OA两两互相垂直，
以O为坐标原点，分别以OD，OM，OA所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则O（0，0，0），，，，，
设，所以，
所以，，
设平面GHB的法向量为，则，，
所以，
取x＝ ，则，
由AO⊥λ 平面BCD，取平面BCD的一个法向量为，
设平面GHB与平面BCD的夹角为 ，
则， θ
解得或 ＝﹣1（舍）．
所以线段λ AC上存在点H，使得平面GHB与平面BCD夹角的余弦值为.点H位于线段AC靠近A的三等
分点处．
18．（17分）已知x＝3是函数f（x）＝aln（1+x）+x2﹣10x的一个极值点．
（Ⅰ）求a；
第15页（共17页）（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若直线y＝b与函数y＝f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围．
【分析】（Ⅰ）先求导，再由x＝3是函数f（x）＝aln（1+x）+x2﹣10x的一个极值点即求解．
（Ⅱ）由（Ⅰ）确定f（x）＝16ln（1+x）+x2﹣10x，x （﹣1，+∞），再由f′（x）＞0和f′（x）
＜0求得单调区间． ∈
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）在（﹣1，1）内单调增加，在（1，3）内单调减少，在（3，+∞）上单调
增加，且当x＝1或x＝3时，f′（x）＝0，可得f（x）的极大值为f（1），极小值为f（3），再由直
线y＝b与函数y＝f（x）的图象有3个交点则须有f（3）＜b＜f（1）求解，因此，b的取值范围为
（32ln2﹣21，16ln2﹣9）．
【解答】解：（Ⅰ）因为
所以
因此a＝16
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＝16ln（1+x）+x2﹣10x，x （﹣1，+∞），
当x （﹣1，1）∪（3，+∞）时，f′（x）＞0 ∈
当x∈（1，3）时，f′（x）＜0
所以∈f（x）的单调增区间是（﹣1，1），（3，+∞），f（x）的单调减区间是（1，3）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）在（﹣1，1）内单调增加，
在（1，3）内单调减少，在（3，+∞）上单调增加，且当x＝1或x＝3时，f′（x）＝0
所以f（x）的极大值为f（1）＝16ln2﹣9，极小值为f（3）＝32ln2﹣21
因此f（16）＞162﹣10×16＞16ln2﹣9＝f（1），f（e﹣2﹣1）＜﹣32+11＝﹣21＜f（3）
所以在f（x）的三个单调区间（﹣1，1），（1，3），（3，+∞）直线y＝b有y＝f（x）的图象各有
一个交点，当且仅当f（3）＜b＜f（1）
因此，b的取值范围为（32ln2﹣21，16ln2﹣9）．
19．（17分）自2019年底开始，一种新型冠状病毒COVID﹣19开始肆虐全球．人感染了新型冠状病毒
后初期常见发热乏力、咽痛干咳、鼻塞流涕、腹痛腹泻等症状，严重者可致呼吸困难、脏器衰竭甚至
死亡，目前筛查冠状病毒的手段主要是通过鼻拭子或咽拭子采集样本，再进行核酸检验是否为阳性来
判断．假设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果（阳性、阴性）是相互独立的，且每份样本是
阳性结果的概率均为P（0＜p＜1）．
（Ⅰ）若p，现对4份样本进行核酸检测，求这4份中检验结果为阳性的份数 的分布列及期望；
（Ⅱ）若 p＝1﹣2，现有 2k（k N*，k≥2）份样本等待检验，并提供“ξk 合 1”检验方案：将 k
（k N*，k≥2）份样本混合在一起∈检验．若检验结果为阴性，则可认为该混合样本中的每个人都为阴
∈
第16页（共17页）性；若检验结果为阳性，则要求该组中各个样本必须再逐个检验．试比较用“k合1”检验方案所需的
检验次数X的期望E（X）与2k的大小．
【分析】（Ⅰ）分析可知 ，利用二项分布可得出随机变量的分布，利用二项分布的期望公式可求得 E
（ ）的值； ξ
（ξⅡ）计算出E（X），令2k﹣E（X）＞0可得出，构造函数，利用导数研究函数f（k）的单调性，比
较f（k）与0的大小关系，即可得出E（X）与2k的大小．
【解答】（Ⅰ）解：记阳性人数为 ，则，
， ξ
，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
0 1 2 3 4
P
ξ
所以，；
（Ⅱ）解：记所需化验次数为X，则X的可能取值为2、k+2、2k+2，
∵，则，
所以，
，
，
令，可得，则，
所以，，即，
令，则．
当时，f′（k）＞0，此时函数f（k）单调递增，
当时，f′（k）＜0，此时函数f（k）单调递减，
∵，当时，f（k）＞0恒成立，
∵，则当时，f（k）＞0恒成立，
当k （16，+∞）时，f（k）＜0恒成立．
综上∈所述，当k [2，16）且k N时，f（k）＞0，则E（X）＜2k，
当k＝16时，f（∈k）＝0，则E∈（X）＝2k，
当k （16，+∞）且k N时，f（k）＜0，则E（X）＞2k．
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