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2025-2026 学年四川省成都市嘉祥外国语高级中学高三（上）期末数学试
卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x N|﹣1＜x＜3}，B＝{x|﹣2≤x＜2}，则A∩B＝（ ）
A．{x|﹣1＜x＜2} B∈．{0，1} C．{1，2} D．{0，1，2}
2．（5分）已知复数z＝2+i，则z• （ ）
A． B． = C．3 D．5
3．（5分3）已知A（2，3），B（55，1），C（m，2），且A，B，C三点共线，则m＝（ ）
A． B． C． D．
1 3 5 7
4．（5分
2
）函数f（x）＝2﹣e2 |x|的图象大致是（ ）
2 2
A． B．
C． D．
5．（5分）已知点P为圆C：（x﹣2）2+y2＝r2（r＞0）上一动点，若直线 上存在两点A，
B，满足|AB|＝4，且∠APB＝90°，则r的最小值为（ ） − 3 +6=0
A．4 B．3 C．2 D．1
6．（5分）已知数列{an}满足a2 ＝1且2an+an+1 ＝0，则a1a2a3a4a5 的值为（ ）
A．32 B．16 C． D．﹣32
1
7．（5分）在同一平面直角坐标系内，函数y＝f（x）−及32其导函数y＝f′（x）的图像如图所示，已知两图
像有且仅有一个公共点，其坐标为（0，1），则（ ）
第1页（共20页）A．函数y＝f（x）•ex的最大值为1
B．函数y＝f（x）•ex的最小值为1
C．函数 的最大值为1
( )
=
D．函数 的最小值为1
( )
8．（5分）某 高=校 外语系有8名志愿者，其中有5名男生，3名女生，现从中选3人参加某项测试赛的翻
译工作，若要求这3人中既有男生，又有女生，则不同的选法共有（ ）
A．45种 B．56种 C．90种 D．120种
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
（多选）9．（6分）函数f（x）＝3sin（2x+ ）的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（ ）
φ
A．f（x）的最小正周期为
π
B． 是f（x）的最小值
2
( )
C．f（x 3）在区间 ， 上的值域为 ，
3 3
[0 ] [− ]
D．把函数y＝f（x）的2图象上所有点向2右平2移 个单位长度，可得到函数y＝3sin2x的图象
（多选）10．（6分）已知椭圆 ： ＞12 的左、右焦点为 ， ， ， ，P为椭圆
2
2
C上一点，且∠F1PF2 ＝60° ，点 2+ P关 于=原1(点 O 0对) 称的点为Q，则 （ 1(− 3） 0) 2( 3 0)
第2页（共20页）A．椭圆C的离心率为
3
B．|PF1|•|PF2|＝2
2
C．点P的纵坐标y0 满足
1
| 0|=
3
D．
2 33
（多选）| 11 |．=（63 分）直线l：y＝ax与y＝ex的图像交于A（x1 ，y2 ）、B（x2 ，y2 ）两点（x1 ＜x2 ），y＝ex在
A、B两点的切线交于C，AB的中点为D，则（ ）
A．a≤e B．点C的横坐标大于1
C．|x1 ﹣x2|＜ D．CD的斜率大于0
2
三、填空题：本题(共 +32小−题 ，) 每−小4 题5分，共15分。
12．（5分）函数f（x）＝2cosx+sinx的最大值为 ．
13．（5分）如图，三棱台ABC﹣A1B1C1 的上、下底边长之比为1：2，记三棱锥C1 ﹣A1B1B体积为V1 ，三
棱台ABC﹣A1B1C1 的体积为V2 ，则 ．
1
=
2
14．（5分）对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数，如[0.6]＝0，[﹣1.2]＝﹣2．已知数列{an}的通项公
式 ，前n项和为Sn ，则[S1]+[S2]+…+[S25]＝ ．
1 ∗
= ( ∈ )
四、解答题： +本1+题共 5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知 ， ， ．
1
= ∈(0 )
（1）求 的值3； 2
+3
（2）若2 − ，求cos 的值．
5
16．（15分） 已 ( 知−抛 物)线= C5 ：y2＝2p β x（p＞0）的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程；
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 9 ，求直线OQ斜率的最大值．
→ →
=
第3页（共20页）17．（15分）如图1，在直角梯形ABCD中，已知AB∥CD， ，将△ABD沿BD翻折，
1
使平面ABD⊥平面BCD．如图2，BD的中点为O． = = 2 =1
（1）求证：AO⊥平面BCD；
（2）若AD的中点为G，在线段AC上是否存在点H，使得平面GHB与平面BCD夹角的余弦值为 ？
3 14
若存在，求出点H的位置；若不存在，请说明理由．
14
18．（17分）已知x＝3是函数f（x）＝aln（1+x）+x2﹣10x的一个极值点．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若直线y＝b与函数y＝f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围．
19．（17分）自2019年底开始，一种新型冠状病毒COVID﹣19开始肆虐全球．人感染了新型冠状病毒后
初期常见发热乏力、咽痛干咳、鼻塞流涕、腹痛腹泻等症状，严重者可致呼吸困难、脏器衰竭甚至死亡，
目前筛查冠状病毒的手段主要是通过鼻拭子或咽拭子采集样本，再进行核酸检验是否为阳性来判断．假
设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果（阳性、阴性）是相互独立的，且每份样本是阳性结果的
概率均为P（0＜p＜1）．
（Ⅰ）若p ，现对4份样本进行核酸检测，求这4份中检验结果为阳性的份数 的分布列及期望；
1
= ξ
3
（Ⅱ）若p＝1﹣2 ，现有2k（k N*，k≥2）份样本等待检验，并提供“k合1”检验方案：将k（k N*，
1
−
4
k≥2）份样本混合在一起检验．若∈检验结果为阴性，则可认为该混合样本中的每个人都为阴性；若∈检验
结果为阳性，则要求该组中各个样本必须再逐个检验．试比较用“k合1”检验方案所需的检验次数X
的期望E（X）与2k的大小．
第4页（共20页）2025-2026 学年四川省成都市嘉祥外国语高级中学高三（上）期末数学试
卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D D C C D C A
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 ABD ACD BC
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x N|﹣1＜x＜3}，B＝{x|﹣2≤x＜2}，则A∩B＝（ ）
A．{x|﹣1＜x＜2} B∈．{0，1} C．{1，2} D．{0，1，2}
【分析】先求集合A，再根据交集运算求解．
【解答】解：由题意可得：A＝{0，1，2}，所以A∩B＝{0，1}．
故选：B．
2．（5分）已知复数z＝2+i，则z• （ ）
A． B． = C．3 D．5
【分析3】直接由 求5解．
2
【解答】解：∵ z＝⋅ 2+=i，| |
∴z• ．
2 2 2 2
故选 ：=D|． | =( 2 +1 ) =5
3．（5分）已知A（2，3），B（5，1），C（m，2），且A，B，C三点共线，则m＝（ ）
A． B． C． D．
1 3 5 7
【分2析】先求出 和 的2坐标，再根据 ∥ 2，求出m的值． 2
→ → → →
【解答】解：∵A（2，3），B（5，1），C（m，2），∴ （3，﹣2）， （m﹣2，﹣1），
→ →
= =
第5页（共20页）∵A，B，C三点共线，
∴ ∥ ，∴ ，∴m ．
→ →
−2 −1 7
故选 ：D ． 3 = −2 = 2
4．（5分）函数f（x）＝2﹣e|x|的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分析函数f（x）的奇偶性及f（0）的值，即可得出合适的选项．
【解答】解：∵f（x）＝2﹣e|x|的定义域为R，
又f（﹣x）＝2﹣e|x|＝f（x），
∴f（x）为偶函数，∴排除B，D选项，
又f（0）＝1，∴排除A选项．
故选：C．
5．（5分）已知点P为圆C：（x﹣2）2+y2＝r2（r＞0）上一动点，若直线 上存在两点A，
B，满足|AB|＝4，且∠APB＝90°，则r的最小值为（ ） − 3 +6=0
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】根据题意，由|AB|＝4，且∠APB＝90°，可得，点P在以AB为直径的圆M上，转化为圆C
与圆M有公共点，当圆C与圆M外切，且|CM|＝4时，r取得最小值．
【解答】解：圆C：（x﹣2）2+y2＝r2（r＞0），圆的圆心（2，0），半径为r；
设AB的中点M，由直线 上存在两点A，B，满足|AB|＝4，且∠APB＝90°，
可得，点P在以AB为直 径−的圆3 M+上6，=且0圆C与圆M有公共点，
圆心C（2，0）到直线 的距离为 ，
|2− 3×0+6|
− 3 +6=0 = =4
2
1+(− 3)
第6页（共20页）当圆C与圆M外切，且|CM|＝4时，r取得最小值 ．
| |
故选：C． | |− 2 =4−2=2
6．（5分）已知数列{an}满足a2 ＝1且2an+an+1 ＝0，则a1a2a3a4a5 的值为（ ）
A．32 B．16 C． D．﹣32
1
【分析】根据题意，可得数列{an}是公比为﹣2的−等3比2数列，再利用等比数列的性质即可得解．
【解答】解：由题意可知， ，即数列{an}是公比为﹣2的等比数列，
+1
=− 2
又由a2 ＝1，则a3 ＝a2q＝﹣2 ，
则 ．
5 5
故选 1 ：2 D3． 4 5 = 3 =(−2) =−32
7．（5分）在同一平面直角坐标系内，函数y＝f（x）及其导函数y＝f′（x）的图像如图所示，已知两图
像有且仅有一个公共点，其坐标为（0，1），则（ ）
A．函数y＝f（x）•ex的最大值为1
B．函数y＝f（x）•ex的最小值为1
C．函数 的最大值为1
( )
=
D．函数 的最小值为1
( )
=
【分析】根据函 数的单调性确定虚线部分为y＝f′（x），再求函数 的单调性可求出最值．
( )
【解答】解：由题意可知，两个函数图像都在x轴上方，任何一个为 导=函 数 ，则另外一个函数应该单调
递增，判断可知，虚线部分为y＝f′（x），实线部分为y＝f（x），则A，B显然错误，
对于C，D而言， ，由图像可知 ， ， 单调递增，x
′ ( ) − ( ) ′ ( )− ( ) ( )
′ = 2 = ∈ (−∞ 0) = ∈
（0，+∞）， 单调递( 减)，所以函数 在x＝0处取得最大值为1．
( ) ( )
故选：C． = =
8．（5分）某高校外语系有8名志愿者，其中有5名男生，3名女生，现从中选3人参加某项测试赛的翻
译工作，若要求这3人中既有男生，又有女生，则不同的选法共有（ ）
第7页（共20页）A．45种 B．56种 C．90种 D．120种
【分析】用分类计数原理来解，符合条件的包含两种结果，一是两女一男，二是两男一女，分别写出这
两种结果，再用分类加法求出总和．
【解答】解：∵要求3人中既有男生，又有女生，
∴符合条件的包含两种结果，一是两女一男，二是两男一女，
用分类计数原理来解，
∴共有C5 2C3 1+C5 1C3 2＝45种结果，
故选：A．
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
（多选）9．（6分）函数f（x）＝3sin（2x+ ）的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（ ）
φ
A．f（x）的最小正周期为
π
B． 是f（x）的最小值
2
( )
C．f（x 3）在区间 ， 上的值域为 ，
3 3
[0 ] [− ]
D．把函数y＝f（x）的2图象上所有点向2右平2移 个单位长度，可得到函数y＝3sin2x的图象
【分析】由题意f（x）＝3sin（2x+ ）的图象过12点（ ，3），可得sin（2 ）＝1，利用五点作图法
φ × +φ
可得 ，可求函数解析式为f（x）＝3sin（2x ），进6而利用正弦函数的性6质即可得出结论．
φ +
【解答】解：由题意f（x）＝3sin（2x+ ）的图6象过点（ ，3），
φ
可得3sin（2 ）＝3， 6
× +φ
可得sin（2 6 ）＝1，
× +φ
6
第8页（共20页）利用五点作图法可得 ，
φ=
可得f（x）＝3sin（2x 6），
+
6
对于A，f（x）的最小正周期为T ，正确；
2
= =π
对于B， 3sin（2 ）＝2 ﹣3，正确；
2 2
( )= × +
对于C，由x 3 ， ，可得3 2x 6 [ ， ]，可得sin（2x ） [ ，1]，可得f（x）＝3sin（2x ）
7 1
∈[0 ] + ∈ + ∈ − +
[ ，3]，错误；2 6 6 6 6 2 6
3
∈ −
对于2 D，把函数y＝f（x）的图象上所有点向右平移 个单位长度，可得到函数y＝3sin[2（x ） ]
＝3sin2x的图象，正确． 12 − 12 + 6
故选：ABD．
（多选）10．（6分）已知椭圆 ： ＞ 的左、右焦点为 ， ， ， ，P为椭圆
2
2
C上一点，且∠F1PF2 ＝60° ，点 2+ P关 于=原1(点 O 0对) 称的点为Q，则 （ 1(− 3） 0) 2( 3 0)
A．椭圆C的离心率为
3
B．|PF1|•|PF2|＝2
2
C．点P的纵坐标y0 满足
1
| 0|=
3
D．
2 33
【分|析 】|=由椭圆的方程及定义，结合椭圆的性质及三角形的面积公式求解即可．
3
【解答】解：已知椭圆 ： ＞ 的左、右焦点为 ， ， ， ，
2
2
则b＝1，c ， 2+ =，1( 0) 1(− 3 0) 2( 3 0)
2 2
= 3 = + =2
对于A，椭圆C的离心率为 ，
3
即A正确； =
2
对于B，因为∠F1PF2 ＝60°，
则 ，
2 ∠ 1 2 3
△ 1 2 = =
则 |PF1||PF2|sin60° 2 ， 3
1 3
=
即2 ， 3
4
| 1|| 2|=
3
第9页（共20页）即B错误；
对于C，因为 ，
1 3
| 1 2|| 0| =
则 ， 2 3
1
即|
C
0 正|=确3；
对于D，因为 ，
1
| 0|=
3
所以|x0| ，
1 2 4 2
=2 1−( ) =
则 3 3 ，
2 2 2 33
即|D 正|=确．2 0 + 0 =
3
故选：ACD．
（多选）11．（6分）直线l：y＝ax与y＝ex的图像交于A（x1 ，y2 ）、B（x2 ，y2 ）两点（x1 ＜x2 ），y＝ex在
A、B两点的切线交于C，AB的中点为D，则（ ）
A．a≤e B．点C的横坐标大于1
C．|x1 ﹣x2|＜ D．CD的斜率大于0
2
【分析】对于A (： 根+据2−题 意)可−得4 a 有两个不同的正根，即直线y＝a与曲线y 有两个不同的交点，
解得a的取值范围，即可判断A是=否 正确； =
对于B：由题意可得ax1 ＝e ，ax2 ＝e （x1 ＜x2 ），则0＜x1 ＜1＜x2 ，g（x） ，设h（x）＝g（x）
1 2
=
﹣g（2﹣x），（0＜x＜1），求导可得h′（x）＝（ ）′＝（x﹣1）[ ]，分析单调性，
2− 2−
则h（x）＞h（1）＝0，即g（x）＞g（2﹣x），进 而−可 2 得 − g（x2 ）＞g（2﹣x 1 2），−推 (2 出 − x) 2 1+x2 ＞2，即可判
断B是否正确；
对于C：设s（x）＝ex﹣ax﹣[x2﹣（a+2﹣e）x+1]，求导分析单调性，可得s（x）＝ex﹣ax﹣[x2﹣（a+2
﹣e）x+1]≥0，ex﹣ax≥x2﹣（a+2﹣e）x+1，x1 ，x2 是方程ex﹣ax＝0的两个根，x3 ，x4 是方程x2﹣（a+2
﹣e）x+1＝0的两个根，|x1 ﹣x2|＜|x3 ﹣x4| ，即可判断C正确；
2
= ( +2− ) −4
对于D：根据题意可得D（ ， ），C（x1+x2 ﹣1，ax1x2 ），则kCD ，分
1+ 2 ( 1+ 2) [2 1 2−( 1+ 2)]
析符号，即可判断D是否正确 2 ． 2 = 1+ 2−2
【解答】解：对于A：因为直线y＝ax与曲线y＝ex交于A（x1 ，y1 ），B（x2 ，y2 ）两点（x1 ＜x2 ），
ax＝ex，即a 有两个不同的正根，
=
第10页（共20页）即直线y＝a与曲线y 有两个不同的交点，
=
因为（ ）′ ，
( −1)
= 2
所以y 在（0，1 ）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
=
所以函数 y 的最小值为e，
又x→0，y→= + ∞；x→+∞，y→+∞，
所以a＞e，故A错误；
对于B：由题意可得ax1 ＝e ，ax2 ＝e （x1 ＜x2 ），
1 2
所以0＜x1 ＜1＜x2 ，
g（x） ，
设h（x =） ＝g（x）﹣g（2﹣x），（0＜x＜1），
h′（x）＝（ ）′＝（x﹣1）[ ]，
2− 2−
− 2 − 2
令m（x） ，m′2−（ x） ， (2− )
( −2)
所以m（x =）在 2（0，2）单调=递减 3，
因为x （0，1），2﹣x （1，2），
所以m∈（x）＞m（2﹣x∈），
所以h′（x）＜0，
所以h（x）在（0，1）上单调减，
所以h（x）＞h（1）＝0，
g（x）＞g（2﹣x），
因为0＜x1 ＜1＜x2 ，
所以g（x1 ）＞g（2﹣x1 ），
又g（x1 ）＝g（x2 ），
所以g（x2 ）＞g（2﹣x1 ），
因为x2 （2，+∞），2﹣x1 （2，+∞），
所以x2 ∈＞2﹣x1 ，x1+x2 ＞2，∈
直线AC的方程：y﹣e e （x﹣x1 ），直线BC的方程为y﹣e e （x﹣x2 ），
1 1 2 2
= =
联立得x 1 1＝x1+x2 ﹣1＞1，故B正确；
1 2 2 2
1 − 2 1 − 2
= 1 − 2 − = 1− 2 −
第11页（共20页）对于C：设s（x）＝ex﹣ax﹣[x2﹣（a+2﹣e）x+1]，
s′（x）＝ex﹣2x+2﹣e，
s″（x）＝ex﹣2＝0，得x＝ln2，
所以在（0，ln2）上，s″（x）＜0，s′（x）单调递减，
在（ln2，+∞）上，s″（x）＞0，s′（x）单调递增，
且s′（1）＝0，
s′（x）
min
＝s′（ln2）＜s′（1）＝0，
因为s′（0）＞0，
设m （0，1），x （0，m）时，s′（x）＞0，s（x）单调递增，
x （∈m，1）时，s∈′（x）＜0，s（x）单调递减，
x∈（1，+∞）时，s′（x）＞0，s（x）单调递增，
又∈因为s（0）＝s（1）＝0，
所以s（x）
min
＝0，
所以s（x）＝ex﹣ax﹣[x2﹣（a+2﹣e）x+1]≥0，
所以ex﹣ax≥x2﹣（a+2﹣e）x+1，
因为x1 ，x2 是方程ex﹣ax＝0的两个根，x3 ，x4 是方程x2﹣（a+2﹣e）x+1＝0的两个根，
所以|x1 ﹣x2|＜|x3 ﹣x4| ，故C正确；
2
= ( +2− ) −4
对于D：因为D（ ， ），C（x1+x2 ﹣1，ax1x2 ），
1+ 2 ( 1+ 2)
所以kCD 2 ，2
[2 1 2−( 1+ 2)]
=
因为a＞e，x1+x
2
1＞+ 22，−02＜x1 ＜1＜x2 ，
设f（x）＝ex﹣ax （x﹣lna）2，
−
f′（x）＝ex﹣ax﹣a2（x﹣lna），
所以f″（x）＝ex﹣a，
所以当x （0，lna）时，f″（x）＜0，f′（x）＞f′（lna）＝0，
当x （ln∈a，+∞）时，f″（x）＞0，f′（lna）＝0，
所以∈在（0，+∞）上，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（lna）＝0，
所以当x （0，lna）时，ex﹣ax （x﹣lna）2＜0，ex﹣ax＜ （x﹣lna）2，
∈ −
所以x （lna，+∞）时，ex﹣ax 2（x﹣lna）2＞0，ex﹣ax＞2（x﹣lna）2，
∈ −
2 2
第12页（共20页）因为0＜x1 ＜1＜x2 ， （x1 ﹣lna）2＞ （x2 ﹣lna）2，lna﹣x1 ＞x2 ﹣lna，
所以x1+x2 ＜2lna， 2 2
所以a2x1x2 ＝e ＜a2，x1x2 ＜1，
1+ 2
又x1+x2 ＞2，
所以kCD ＜0，故D错误，
故选：BC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）函数f（x）＝2cosx+sinx的最大值为 ．
【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，通过5正弦函数的有界性求解即可．
【解答】解：函数f（x）＝2cosx+sinx （ cosx sinx） sin（x+ ），其中tan ＝2，
2 5 5
可知函数的最大值为： ． = 5 + = 5 θ θ
5 5
故答案为： ． 5
13．（5分）如图5，三棱台ABC﹣A1B1C1 的上、下底边长之比为1：2，记三棱锥C1 ﹣A1B1B体积为V1 ，三
棱台ABC﹣A1B1C1 的体积为V2 ，则 ．
1 1
=
2 7
【分析】利用相似关系确定上下底面面积的比值，将棱锥转换顶点，结合体积公式求得两个几何体的体
第13页（共20页）积，即可求解．
【解答】解：由三棱台ABC﹣A1B1C1 的上、下底边长之比为1：2，可得上、下底面的面积比为1：4，
设棱台的高为h，则点B到△A1B1C1 的距离也为h，上底面面积为S，则下底面面积为4S，
则 ．
1
1 1− 1 1 − 1 1 1 3 ℎ 1
= = = 1 =
2 − 1 1 1 − 1 1 1 3( +4 + ×4 ) 7
故答案为： ．
1
14．（5分）对于
7
实数x，[x]表示不超过x的最大整数，如[0.6]＝0，[﹣1.2]＝﹣2．已知数列{an}的通项公
式 ，前n项和为Sn ，则[S1]+[S2]+…+[S25]＝ 54 ．
1 ∗
= ( ∈ )
【分析】 化+简1+an ，从而求得Sn 1，再根据题意分类讨论即可．
【解答】解：∵a =
n
+1− =， +1−
1
= = +1−
∴Sn 1 +1+ 1，
∴当=1≤2n≤−2+时，3−0＜S2
n
+＜⋯1，⋯+ +1− = +1−
[Sn]＝0，
当3≤n≤7时，1≤Sn ＜2，
[Sn]＝1，
当8≤n≤14时，2≤Sn ＜3，
[Sn]＝2，
当15≤n≤23时，3≤Sn ＜4，
[Sn]＝3，
当24≤n≤25时，4≤Sn ＜5，
[Sn]＝4，
故[S1]+[S2]+…+[S25]
＝0×2+1×5+2×7+3×9+4×2＝54，
故答案为：54．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知 ， ， ．
1
= ∈(0 )
（1）求 的值3； 2
+3
（2）若2 − ，求cos 的值．
5
( − )= β
5 第14页（共20页）【分析】（1）由tan ，可得sin cos ，代入计算即可；
1 1
α= α= α
3 3
（2）由sin cos ，又sin2 +cos2 ＝1，可得sin ，由 ，所以 ﹣ 的终边可在
1 10 5
第四象限或α第=一 3 象限α，分类求αsin（α﹣ ）的值，cαo=s ＝ 10cos[ ﹣ （ ( ﹣− ）)=]＝ 5cos cos（α ﹣β ）+sin sin
（ ﹣ ）可求值． α β β α α β α α β α
α β
【解答】解：（1）由tan ，可得sin cos ，
1 1
α= α= α
3 3
所以
1 10
2；
+3 3 +3 3
= 1 = 5 =
2 − 2 −3 3
（2）由（1）知得sin cos ，又sin2 +cos2 ＝1，
1
α= α α α
所以 cos2 +cos2 ＝1，所3以cos2 ，又 （0， ），所以cos ，
1 9 3 10
α α α= α∈ α=
所以9 sin ， 10 2 10
10
α=
由 10 ，所以 ﹣ 的终边可在第四象限或第一象限，
5
( − )= α β
当 ﹣ 的终边在第5 四象限时，sin（ ﹣ ） ，
2 2 5
α β α β =− 1− ( − )=−
所以cos ＝cos[ ﹣（ ﹣ ）]＝cos cos（ ﹣ ）+sin sin（ ﹣ ） 5 （ ） ；
3 10 5 10 2 5 2
β α α β α α β α α β = × + × − =
当 ﹣ 的终边在第一象限时，sin（ ﹣ ） ，10 5 10 5 10
2 2 5
α β α β = 1− ( − )=
所以cos ＝cos[ ﹣（ ﹣ ）]＝cos cos（ ﹣ ）+sin sin（ ﹣ ）5 ，
3 10 5 10 2 5 2
β α α β α α β α α β = × + × =
综上所述：cos 或cos ． 10 5 10 5 2
2 2
16．（15分）已知β抛=物10线C：y β2=＝22px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程；
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 9 ，求直线OQ斜率的最大值．
→ →
【分析】（1）根据焦点F到准线的距离为2求出p， 进 =而得 到抛物线方程，
（2）设出点Q的坐标，按照向量关系得出P点坐标，再代入抛物线方程中，利用基本不等式即可求出
最值．
【解答】（1）解：由题意知，p＝2，
∴y2＝4x．
（2）由（1）知，抛物线C：y2＝4x，F（1，0），
第15页（共20页）设点Q的坐标为（m，n），
则 （1﹣m，﹣n），
→
=
，
→ →
∴ P=点9坐 标 =为(（91−0m9 ﹣9，−190 n）)，
将点P代入C得100n2＝40m﹣36，
整理得 ，
2 2
100 +36 25 +9
= =
当n≤0时，K 40 10 ，
10
= = 2 ≤0
当n＞0时， 25 +9 ，当且仅当25n ，即n 时，等号成立，取得最大值．
10 10 1 9 3
= = 2 = 9≤ = =
故直线OQ斜率的 最大 2 值 5 为 +9 ． 25 + 3 5
1
17．（15分）如图1，在直角梯3形ABCD中，已知AB∥CD， ，将△ABD沿BD翻折，
1
使平面ABD⊥平面BCD．如图2，BD的中点为O． = = 2 =1
（1）求证：AO⊥平面BCD；
（2）若AD的中点为G，在线段AC上是否存在点H，使得平面GHB与平面BCD夹角的余弦值为 ？
3 14
若存在，求出点H的位置；若不存在，请说明理由．
14
【分析】（1）利用面面垂直性质定理即可证明；
（2）分别以OD，OM，OA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设 ，利
→ →
用面面角的空间向量公式列出方程求解即可． = (0≤ ≤1)
【解答】解：（1）证明：因为AB＝AD，BD的中点为O，所以AO⊥BD，
又因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO 平面ABD，
所以AO⊥平面BCD； ⊂
（2）取DC的中点为M，连接MO，则MO∥BC，
由图1直角梯形可知，ABMD为正方形，
所以BM＝CM＝1， ，DC＝2，所以BD⊥BC，BD⊥OM．
= = 2 第16页（共20页）由（1）知，AO⊥平面BCD，所以OD，OM，OA两两互相垂直，
以O为坐标原点，分别以OD，OM，OA所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则O（0，0，0）， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， ，
2 2 2 2 2
( 0 ) (− 0 0) (− 2 0) (0 0 )
设 4 ，所以4 ，2 ， 2， 2
→ →
2 2 2
= (0≤ ≤1) (− 2 − + )
所以 ， ， 2 ， 2 2 ，， ，
→ →
2 2 2 2 3 1
=(− − 2 − + ) =(− 2 0 − 2)
设平面GHB的2法向量4为 ，，2 ，则4 ， 4 ， 4
→ → → → →
=( ) ⊥ ⊥
所以 → → ，
3 2 2
⋅ =− − =0
4 4
→ →
2 2 2 2
取x＝ ， 则⋅ =(−，2 − ，4 ) + ，2 +(− 2 + 4 ) =0
→
λ =( 1− −3 )
由AO⊥平面BCD，取平面BCD的一个法向量为 ，， ，
→
设平面GHB与平面BCD的夹角为 ， =(0 0 1)
θ
则 ， ，
→ →
→ →
| ⋅ | |−3 | 3
=| 〈 〉|= → → = = 14
2 2 2 14
| |⋅| | +(1− ) +(−3 )
解得 或 ＝﹣1（舍）．
1
= λ
所以线段3 AC上存在点H，使得平面GHB与平面BCD夹角的余弦值为 .点H位于线段AC靠近A
3
的三等分点处． 14
14
18．（17分）已知x＝3是函数f（x）＝aln（1+x）+x2﹣10x的一个极值点．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若直线y＝b与函数y＝f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围．
【分析】（Ⅰ）先求导 ，再由x＝3是函数f（x）＝aln（1+x）+x2﹣10x的一个极
′ ( )= +2 −10
1+
第17页（共20页）值点即 求解．
′ (3)= +6−10= 0
（Ⅱ）由（Ⅰ）4确定f（x）＝16ln（1+x）+x2﹣10x，x （﹣1，+∞），再由f′（x）＞0和f′（x）＜0
求得单调区间． ∈
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）在（﹣1，1）内单调增加，在（1，3）内单调减少，在（3，+∞）上单调增
加，且当x＝1或x＝3时，f′（x）＝0，可得f（x）的极大值为f（1），极小值为f（3），再由直线y
＝b与函数y＝f（x）的图象有3个交点则须有f（3）＜b＜f（1）求解，因此，b的取值范围为（32ln2
﹣21，16ln2﹣9）．
【解答】解：（Ⅰ）因为
′ ( )= +2 −10
所以 1+
′ (3)= +6−10=0
因此a＝16 4
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＝16ln（1+x）+x2﹣10x，x （﹣1，+∞），
2
2( −4 +3)
当x （﹣1，1）∪（3，+∞）时，f′（x）＞0 ∈ ′ ( )= 1+
当x∈（1，3）时，f′（x）＜0
所以∈f（x）的单调增区间是（﹣1，1），（3，+∞），f（x）的单调减区间是（1，3）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）在（﹣1，1）内单调增加，
在（1，3）内单调减少，在（3，+∞）上单调增加，且当x＝1或x＝3时，f′（x）＝0
所以f（x）的极大值为f（1）＝16ln2﹣9，极小值为f（3）＝32ln2﹣21
因此f（16）＞162﹣10×16＞16ln2﹣9＝f（1），f（e ﹣2﹣1）＜﹣32+11＝﹣21＜f（3）
所以在f（x）的三个单调区间（﹣1，1），（1，3），（3，+∞）直线y＝b有y＝f（x）的图象各有一个交
点，当且仅当f（3）＜b＜f（1）
因此，b的取值范围为（32ln2﹣21，16ln2﹣9）．
19．（17分）自2019年底开始，一种新型冠状病毒COVID﹣19开始肆虐全球．人感染了新型冠状病毒后
初期常见发热乏力、咽痛干咳、鼻塞流涕、腹痛腹泻等症状，严重者可致呼吸困难、脏器衰竭甚至死亡，
目前筛查冠状病毒的手段主要是通过鼻拭子或咽拭子采集样本，再进行核酸检验是否为阳性来判断．假
设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果（阳性、阴性）是相互独立的，且每份样本是阳性结果的
概率均为P（0＜p＜1）．
（Ⅰ）若p ，现对4份样本进行核酸检测，求这4份中检验结果为阳性的份数 的分布列及期望；
1
= ξ
3
（Ⅱ）若p＝1﹣2 ，现有2k（k N*，k≥2）份样本等待检验，并提供“k合1”检验方案：将k（k N*，
1
−
4
∈ 第18页（共20页） ∈k≥2）份样本混合在一起检验．若检验结果为阴性，则可认为该混合样本中的每个人都为阴性；若检验
结果为阳性，则要求该组中各个样本必须再逐个检验．试比较用“k合1”检验方案所需的检验次数X
的期望E（X）与2k的大小．
【分析】（Ⅰ）分析可知 ～ ， ，利用二项分布可得出随机变量的分布，利用二项分布的期望公式
1
可求得E（ ）的值； ξ (4 3 )
ξ
（Ⅱ）计算出E（X），令2k﹣E（X）＞0可得出 ＞，构造函数 ，利
用导数研究函数f（k）的单调性，比较f（k）与 0 的 2 大−小4关系0，即可得出 E ( （) X =） 与 2 2 k −的4大( 小≥．2)
【解答】（Ⅰ）解：记阳性人数为 ，则 ～ ， ， ，
1 2 4 16
ξ (4 ) ( =0)=( ) =
， 3 ，3 81
1 1 2 3 32 2 1 2 2 2 8
( =1)= 4⋅ ⋅( ) = ( =2)= 4⋅( ) ⋅( ) =
3 3 81， 3 ，3 27
3 1 3 2 8 1 4 1
所(以 =，3随)机=变 4 量⋅(的3分) 布⋅ 3列=如8下1 表 所( 示=：4)= ( 3 ) = 81
0 1 2 3 4
ξ
P
16 32 8 8 1
所以， ；81 81 27 81 81
1 4
（Ⅱ）解 (： )记=所4需× 3化=验3次数为X，则X的可能取值为2、k+2、2k+2，
∵ ，则 ，
1 1
− −
4 4
=1−2 1− =2
所以 ， ，
− 2 1 − −
( =2)=(2 4 ) ( = +2)= 2⋅2 4 (1−2 4 )
，
− 2
4
( =2 +2)= (1−2 )
，
− 2
2 4 4 4 4
( )=2×2− +2( +2)⋅2− ⋅(1−2− )+(2 +2)⋅(1−2 ) =2+2 (1−2− )
令 ＞，可得 ＞ ，则 ＜ ，
− 1
4 4 4
2 − ( )=2 ⋅2 −2 0 2 2 −
所以， ＞ ，即 ＞，
1
− 2 2 − 0
令 4 ，则4 ．
1 1 4− 2
( )= 2 − ( ≥2) ′ ( )= − =
当 ＜ 时，4 f′（k）＞0，此时函 数 2 f（k 4）单调4 递 增2 ，
4
2≤
当 ＞ 时 ， 2 f′（k）＜0，此时函数f（k）单调递减，
4
2
第19页（共20页）∵ ＞，当 ， 时，f（k）＞0恒成立，
2 1 4
(2)= 22− = 0 ∈ [2 )
∵ 4 2 ，则当 2， 时，f（k）＞0恒成立，
16 4
当 k (1（6) 1 = 6， + ∞ 21）6时−，4f（= k 0）＜0恒 成∈立[ ． 2 16)
综上∈所述，当k [2，16）且k N时，f（k）＞0，则E（X）＜2k，
当k＝16时，f（∈k）＝0，则E∈（X）＝2k，
当k （16，+∞）且k N时，f（k）＜0，则E（X）＞2k．
∈ ∈
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第20页（共20页）
