文档内容
2025-2026学年江苏省南京市、盐城市高三（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，
请在答题纸的指定位置填涂答案选项。
1．（5分）已知集合A＝（﹣1，4]，B＝{x Z||x|≤3}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1，0，1，2} B．{0，1，2，3} ∈ C．{0，1，2} D．（﹣1，3]
2．（5分）若复数z满足z•（1+i）＝5i，则z在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（5分）已知随机变量X服从正态分布，且P（X＜1）＝0.3，则P（X＜2）＝（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.7
4．（5分）已知直线y＝x﹣2与抛物线C：x2＝2py（p＞0）相切，则抛物线的焦点到准线的距离为（
）
A． B．2 C．3 D．4
5．（5分）设x R，则“tanx＝1”是“cos2x＝0”的（ ）
A．充分不必∈要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
6．（5分）已知数列{a }满足a ＝1，a ＝2，，记b ＝log （a a ），S 为数列{b }的前n项和，则S ＝
n 1 2 n 2 n n+1 n n 8
（ ）
A．63 B．127 C．255 D．256
7．（5分）在△ABC中，，则tanA＝（ ）
A． B． C．1 D．
8．（5分）已知函数f（x）＝x+ex，g（x）＝x+lnx，若f（x ）＝g（x ）＝t（t＞0），则x +x ﹣lnt的取
1 2 1 2
值范围为（ ）
A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，e] C．[1，+∞） D．[e，+∞）
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，计18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知a＞b＞0，c＞0，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C．ca＞cb D．
第1页（共15页）（多选）10．（6分）“水韵江苏•家门口享非遗”展示活动中，主办方从全省遴选70余项极具地方特色
的非遗代表性项目，并别出心裁地划分为“指尖非遗”“潮玩非遗”“舌尖非遗”“康养非遗”四大
主题板块．甲、乙、丙3名游客每人至少从中选择一个主题体验，每个主题都恰有 1人体验，记事件
A ＝“甲体验指尖非遗”，A ＝“甲体验潮玩非遗”，A ＝“乙体验舌尖非遗”，则（ ）
1 2 3
A．A 与A 对立 B．
1 2
C．A 与A 相互独立 D．
1 3
（多选）11．（6分）在直角△ABC中，已知，D为斜边AB的中点，将△ACD沿着CD所在直线翻折，
得到△PCD，记三棱锥P﹣BCD体积为V，则在翻折过程中（ ）
A．V的最大值为
B．存在某个位置，使得CP⊥BD
C．当V取最大值时，直线PC与平面BCD所成的角最大
D．当V取最大值时，三棱锥P﹣BCD外接球的半径为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，计15分.请把答案写在答题纸的指定位置上。
12．（5分）若定义在（0，+∞）上的减函数f（x）满足f（x3）＝3f（x），请写出满足条件的一个函数f
（x）＝ ．
13．（5分）已知直线l：x+y﹣4＝0与圆C：（x﹣3）2+y2＝4交于A，B两点，与y轴交于点P，H为AB
的中点，则PH的长为 ．
14．（5分）已知 ＞0，曲线y＝sin x与相邻的三个交点恰为一个直角三角形的三个顶点，则 ＝
． ω ω ω
四、解答题：本大题共5小题，计77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写
在答题纸的指定区域内。
15．（13分）设等差数列{a }的前n项和为S ，已知a ＝4，S ＝15．
n n 4 6
（1）求数列{a }的通项公式；
n
（2）记，求数列{b }的前2n项和T ．
n 2n
16．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD是等边三角形，AB∥CD，且BC＝CD＝AD＝2，
AB＝4，．
（1）求证：平面PCD⊥平面ABCD；
（2）求平面PAD与平面PBC所成角的正弦值．
第2页（共15页）17．（15分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）若，求A；
（2）若△ABC外接圆半径为1，当△ABC的面积取最大值时，求．
18．（17分）已知椭圆E：1（a＞b＞0）的离心率为，且过点．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若，，M，N为椭圆E上两点（均在x轴上方），且AN∥BM．
①已知直线AN的斜率为，求直线MN的斜率；
②求四边形ABMN面积的最大值．
19．（17分）设函数f（x）＝ex（sinx+cosx），其导函数记为g（x）．
（1）求曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程；
（2）当时，求证：；
（3）设x 是f（x）＝1在区间内的根，其中n N，求证：．
n
∈
第3页（共15页）2025-2026学年江苏省南京市、盐城市高三（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A D D A C B C
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 ABD BD BCD
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，
请在答题纸的指定位置填涂答案选项。
1．（5分）已知集合A＝（﹣1，4]，B＝{x Z||x|≤3}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1，0，1，2} B．{0，1，2，3} ∈ C．{0，1，2} D．（﹣1，3]
【分析】由B＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}结合集合的交集运算即可求解．
【解答】解：集合A＝（﹣1，4]，B＝{x Z||x|≤3}＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，
所以A∩B＝{0，1，2，3}． ∈
故选：B．
2．（5分）若复数z满足z•（1+i）＝5i，则z在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】求出，根据复数的几何意义即可求出答案．
【解答】解：由z•（1+i）＝5i，得z，
所以复数z在复平面内对应的点为，
所以z在复平面内所对应的点位于第一象限．
故选：A．
3．（5分）已知随机变量X服从正态分布，且P（X＜1）＝0.3，则P（X＜2）＝（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.7
【分析】利用正态分布的对称性求解即可．
【解答】解：由题可得：对称轴为，P（X＞2）＝P（X＜1）＝0.3，
所以P（X＜2）＝1﹣P（X＞2）＝1﹣0.3＝0.7．
故选：D．
第4页（共15页）4．（5分）已知直线y＝x﹣2与抛物线C：x2＝2py（p＞0）相切，则抛物线的焦点到准线的距离为（
）
A． B．2 C．3 D．4
【分析】联立直线与抛物线方程，利用Δ＝0，列出方程，求得p＝4，结合抛物线的性质，即可求解．
【解答】解：联立，整理得x2﹣2px+4p＝0，
因为直线与抛物线相切，
所以Δ＝（﹣2p）2﹣4×4p＝0，解得p＝4或p＝0，
因为p＞0，所以p＝4，
所以抛物线的焦点到准线的距离为4．
故选：D．
5．（5分）设x R，则“tanx＝1”是“cos2x＝0”的（ ）
A．充分不必∈要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据充分条件、必要条件的定义结合二倍角公式即可得解．
【解答】解：若tanx＝1，则，所以sin2x＝cos2x，
所以cos2x＝cos2x﹣sin2x＝cos2x﹣cos2x＝0，充分性成立；
若cos2x＝0，则cos2x﹣sin2x＝0，即cosx＝±sinx，
当cosx＝sinx，得tanx＝1；当cosx＝﹣sinx，得tanx＝﹣1，
所以cos2x＝0推不出tanx＝1，必要性不成立，
所以“tanx＝1”是“cos2x＝0”的充分不必要条件．
故选：A．
6．（5分）已知数列{a }满足a ＝1，a ＝2，，记b ＝log （a a ），S 为数列{b }的前n项和，则S ＝
n 1 2 n 2 n n+1 n n 8
（ ）
A．63 B．127 C．255 D．256
【分析】由题意可得数列{b }是以1为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的前n项和公式即可
n
求解．
【解答】解：因为，所以，
又因为a ，a ＞0，所以a ＞0，
1 2 n
将的两边同时取以2为底的对数得：，
第5页（共15页）即b
n
＝2b
n﹣1
（n≥2），
又因为b ＝log （a a ）＝log 2＝1，
1 2 1 2 2
所以数列{b }是以1为首项，2为公比的等比数列，
n
所以．
故选：C．
7．（5分）在△ABC中，，则tanA＝（ ）
A． B． C．1 D．
【分析】设角A，B，C对边分别为a，b，c，根据题意，得到，且，再由，求得，得到，即可求解．
【解答】解：设角A，B，C对边分别为a，b，c，
因为，所以，即，所以，
又因为，且，
所以，即，
因为A （0， ），所以，所以．
故选：∈B． π
8．（5分）已知函数f（x）＝x+ex，g（x）＝x+lnx，若f（x ）＝g（x ）＝t（t＞0），则x +x ﹣lnt的取
1 2 1 2
值范围为（ ）
A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，e] C．[1，+∞） D．[e，+∞）
【分析】分析f（x），g（x）的单调性，确定x 和x 都是唯一的，化简g（x ）＝x +lnx ＝t，得，得
1 2 2 2 2
x +x ＝t，构造函数h（t）＝t﹣lnt，求导后即可求解．
1 2
【解答】解：由题f′（x）＝1+ex＞0，因此f（x）在R上单调递增，
由g（x）＝x+lnx，得x＞0，且，因此g（x）在（0，+∞）上单调递增，
因此，对任意t＞0，x 和x 都是唯一的，
1 2
由题意：，
g（x ）＝x +lnx ＝t，即lnx ＝t﹣x ，则，
2 2 2 2 2
因此，
因此，根据的x 是唯一的，
1
得t﹣x ＝x ，即x +x ＝t，
2 1 1 2
因此x +x ﹣lnt＝t﹣lnt，t＞0，
1 2
令h（t）＝t﹣lnt，t＞0，则，
由h′（t）＝0得t＝1，
当0＜t＜1时，h'（t）＜0，h（t）在（0，1）上单调递减；
第6页（共15页）当t＞1时，h'（t）＞0，h（t）在（1，+∞）上单调递增；
因此当t＝1时，h（t）取得最小值：h（1）＝1﹣ln1＝1，
因此h（t）≥1，即：x +x ﹣lnt的取值范围为[1，+∞）．
1 2
故选：C．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，计18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知a＞b＞0，c＞0，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C．ca＞cb D．
【分析】利用作差法来比较大小可判断AB，利用指数函数单调性可判断C，利用基本不等式可判断
D．
【解答】解：因为a＞b＞0，所以，即，故A正确；
因为a＞b＞0，c＞0，所以，
即，故B正确；
当1＞c＞0，ca＞cb不成立，故C错误；
因为a＞0，c＞0，所以，
当且仅当ac＝1时取等号，即，故D正确．
故选：ABD．
（多选）10．（6分）“水韵江苏•家门口享非遗”展示活动中，主办方从全省遴选70余项极具地方特色
的非遗代表性项目，并别出心裁地划分为“指尖非遗”“潮玩非遗”“舌尖非遗”“康养非遗”四大
主题板块．甲、乙、丙3名游客每人至少从中选择一个主题体验，每个主题都恰有 1人体验，记事件
A ＝“甲体验指尖非遗”，A ＝“甲体验潮玩非遗”，A ＝“乙体验舌尖非遗”，则（ ）
1 2 3
A．A 与A 对立 B．
1 2
C．A 与A 相互独立 D．
1 3
【分析】3名游客，4个主题，每人至少从中选择一个主题体验且每个主题都恰有 1人体验，则必有1
名游客选择2个主题，其余2人选择1个主题，结合排列组合知识依次计算总的样本点数，事件 A ，
1
A ，A ，A ∩A 包含的样本点数，依次判断选项即可．
2 3 1 3
【解答】解：3名游客，4个主题，每人至少从中选择一个主题体验且每个主题都恰有1人体验，
则必有1名游客选择2个主题，其余2人选择1个主题，
∴总的样本点总数为：，
甲、乙、丙3名游客每人至少从中选择一个主题体验，每个主题都恰有1人体验，
第7页（共15页）记事件A ＝“甲体验指尖非遗”，A ＝“甲体验潮玩非遗”，A ＝“乙体验舌尖非遗”，
1 2 3
对于A，甲可能同时体验两个主题，∴事件A 与A 不对立，故A错误；
1 2
对于B，事件A ＝“甲体验指尖非遗”，分两种情况：
1
当甲只选“指尖非遗”时，则剩余2名游客有名游客选择两个主题，另外1人选择1个主题，
∴样本点数为：，
当甲选两个主题，其中一个是“指尖非遗”时，
则甲从剩下3个选一个主题，则剩余的2主题分配给乙，丙，
∴样本点数为：，
∴事件A 包含的样本点数为12，
1
∴，故B正确；
同理，，
对于C，事件A ∩A 表示甲选“指尖非遗”且乙选“舌尖非遗”，分三种情况讨论：
1 3
当甲选2个主题，其中一个是“指尖非遗”，乙只选“舌尖非遗”，
此时的样本点数为：，
当甲只选“指尖非遗”，乙选2个主题，其中一个是“舌尖非遗”，
此时的样本点数为：，
当甲只选“指尖非遗”，乙只选“舌尖非遗”，则丙选剩下的两个主题，
此时样本点数为：1，
∴事件A ∩A 包含的样本点数为：2+2+1＝5，
1 3
∴，
∵，
∴A 与A 不独立，故C错误；
1 3
对于D，，故D正确．
故选：BD．
（多选）11．（6分）在直角△ABC中，已知，D为斜边AB的中点，将△ACD沿着CD所在直线翻折，
得到△PCD，记三棱锥P﹣BCD体积为V，则在翻折过程中（ ）
A．V的最大值为
B．存在某个位置，使得CP⊥BD
C．当V取最大值时，直线PC与平面BCD所成的角最大
D．当V取最大值时，三棱锥P﹣BCD外接球的半径为
【分析】利用棱锥的体积公式结合翻折的性质确定面PCD垂直于底面BCD时V取得最值可确定A；
第8页（共15页）以，，为基底，利用空间向量的数量积公式计算可判定B；利用线面角的定义可判定C；建立空间直
角坐标系，利用空间两点距离公式计算可判定D．
【解答】解：在直角△ABC中，因为，，AB为斜边，所以，CB＝3，
△ACD为正三角形，取CD的中点E，易知AE⊥EC，EP⊥EC，点P绕点E旋转，
对于A，易知当面PCD垂直于底面BCD时，此时P到底面BCD的距离最远为，
则取得最大值，故A错误；
对于B，以，，为空间中的一组基底，，，
设∠AEP＝ ，有，，
若CP⊥BD，α 则，
此时，显然存在某个位置，使得CP⊥BD，故B正确；
对于C，设P在底面BCD的投影为G，则直线PC与平面BCD所成的角为∠PCG，
易知G在AE上，PG≤PE，所以，
由正弦函数的单调性可知当G，E重合时∠PCG取得最大值60°，
即此时V取得最大值，故C正确；
对于D，结合A知，V取最大值时PE⊥底面BCD，建立如图所示的空间直角坐标系，
易知，，，
设三棱锥P﹣BCD外接球的半径为r，球心O（x，y，z），
则，解之得，即，故D正确．
故选：BCD．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，计15分.请把答案写在答题纸的指定位置上。
第9页（共15页）12．（5分）若定义在（0，+∞）上的减函数f（x）满足f（x3）＝3f（x），请写出满足条件的一个函数f
（x）＝ （可以是 f （ x ）＝ lo g x ，其中 a （ 0 ， 1 ）） ．
a
【分析】利用定义在（0，+∞）上的减函数∈ ，可得递减的对数函数满足题意．
【解答】解：由题意定义在（0，+∞）上的减函数f（x）满足f（x3）＝3f（x），
可令，
因为，满足题意，
故答案为：（可以是f（x）＝log x，其中a （0，1））．
a
13．（5分）已知直线l：x+y﹣4＝0与圆C：（∈x﹣3）2+y2＝4交于A，B两点，与y轴交于点P，H为AB
的中点，则PH的长为 ．
【分析】由圆与直线相交可求解A，B，再由中点坐标公式求解H，令x＝0，求解P，再由两点间的距
离公式求解PH即可．
【解答】解：由题意直线l：x+y﹣4＝0与圆C：（x﹣3）2+y2＝4交于A，B两点，
将直线与圆联立可得，2x2﹣14x+21＝0，解得，
所以，，
则中点H横坐标为，
纵坐标为，所以，
当x＝0时，y＝4，所以P（0，4），
所以．
故答案为：．
14．（5分）已知 ＞0，曲线y＝sin x与相邻的三个交点恰为一个直角三角形的三个顶点，则 ＝
． ω ω ω π
【分析】利用三角恒等变换化简函数，并得到三个交点的坐标，结合直角三角形条件列出方程求解即
可．
【解答】解：设三个交点分别为A（x ，y ），B（x ，y ），C（x ，y ）．
1 1 2 2 3 3
因为，
整理得，即sin（ x）＝0，
令，解得， ω
令k＝﹣1，0，1，得到，，，
代入y＝sin x中得到，，
，， ω
因此三个交点为．
第10页（共15页）由勾股定理可得AB2+BC2＝AC2，代入得，
化简，解得 ＝ （ ＞0）．
故答案为：ω． π ω
四、解答题：本π大题共5小题，计77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写
在答题纸的指定区域内。
15．（13分）设等差数列{a }的前n项和为S ，已知a ＝4，S ＝15．
n n 4 6
（1）求数列{a }的通项公式；
n
（2）记，求数列{b }的前2n项和T ．
n 2n
【分析】（1）设出等差数列的首项与公差，根据已知条件列方程组求解即可得通项公式；
（2）首先写出数列{b }的通项公式，得到T 的表达式，分组求和即可．
n 2n
【解答】解：（1）设等差数列{a }的首项为a ＝2，公差为d，
n 1
由a ＝4，S ＝15得，解得，
4 6
∴a ＝a +（n﹣1）d＝﹣5+3（n﹣1）＝3n﹣8，
n 1
即数列{a }的通项公式为a ＝3n﹣8．
n n
（2）由（1）知a ＝3n﹣8，∴，
n
∵，
∴数列{b n }的前2n项和T 2n ＝（b 1 +b 2 ）+（b 3 +b 4 ）+⋯+（b 2n﹣1 +b 2n ）
＝3×（﹣7）+3×5+⋯+3（12n﹣19）
＝3×[（﹣7）+5+⋯+（12n﹣19）]
．
16．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD是等边三角形，AB∥CD，且BC＝CD＝AD＝2，
AB＝4，．
（1）求证：平面PCD⊥平面ABCD；
（2）求平面PAD与平面PBC所成角的正弦值．
【分析】（1）分别取AB，CD的中点F，E，连接EF，PE，BE，根据等腰梯形的性质得EF⊥CD，根
据等边三角形的性质得PE⊥CD，根据勾股定理得PE⊥BE，进而可证PE⊥平面ABCD，从而可证平
第11页（共15页）面PCD⊥平面ABCD；
（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面PAD与平面PBC的法向量，进而可求所成角的正弦值．
【解答】解：（1）证明：取AB，CD的中点F，E，连接EF，PE，BE，如图所示：
AB∥CD，BC＝CD＝AD＝2，AB＝4，故四边形ABCD为等腰梯形，
故EF⊥CD，，
根据勾股定理可得，
由题易知PE⊥CD，，
故可以得到BE2+PE2＝PB2，则PE⊥BE，
又CD，BE 面ABCD，CD∩BE＝E，故PE⊥面ABCD，
又因为PE ⊂面PCD，故可以证得面PCD⊥面ABCD；
⊂
（2）建立空间直角坐标系，如图所示：
，
，
设平面PAD的法向量为，
则，，
取z＝1，则，
同理可得平面PBC的一个为．
所以平面PAD与平面PBC所成角的余弦值为，
所以平面PAD与平面PBC所成角的正弦值为．
17．（15分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）若，求A；
（2）若△ABC外接圆半径为1，当△ABC的面积取最大值时，求．
【分析】（1）由切化弦得到sinA＝cos（A+B），再结合A+B＝ ﹣C，即可求解；
（2）由（1）sinA＝cos（A+B），得到，，结合正弦定理与已得π的角关系，可将面积公式化为，得到
时面积最大，进而可求解．
【解答】解：（1）因为，
第12页（共15页）得，
即sinA（1+sinB）＝cosAcosB，
即sinA＝cosAcosB﹣sinAsinB＝cos（A+B），
又，，，
所以，
故；
（2）由（1）sinA＝cos（A+B），A+B＝ ﹣C，
得sinA＝﹣cosC，又A，C （0， ）， π
所以cosC＜0，，故， ∈ π
又根据诱导公式有，可得，
所以，故，，
因为△ABC外接圆半径为1，
由正弦定理可得：a＝2sinA，b＝2sinB，c＝2sinC，
所以
，
故当4A，即时，△ABC的面积取最大值，
此时B2，
可得1．
18．（17分）已知椭圆E：1（a＞b＞0）的离心率为，且过点．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若，，M，N为椭圆E上两点（均在x轴上方），且AN∥BM．
①已知直线AN的斜率为，求直线MN的斜率；
②求四边形ABMN面积的最大值．
【分析】（1）由离心率和椭圆上的点坐标建立方程组，解得a2，b2，然后写出椭圆方程；
（2）①延长NA交椭圆E于点M′，延长MB交椭圆E于点N′，由对称性可知MNM′N′为平行四
边形，N，N′关于原点对称，设M（x ，y ），N（x ，y ），则N′（﹣x ，﹣y ），，然后利用点差
1 1 2 2 2 2
法求得，进而利用MN′∥AN得，即可求解；
②由平行四边形性质可知S四边形ABMN ＝2S△OM′N ，设M′N的方程为，N（x
2
，y
2
），M′（x
3
，y
3
），
与椭圆方程联立，韦达定理，求出|M′N|及点O到直线M′N的距离，从而得，最后利用换元法及二
次函数性质求得S△OM′N 有最大值，即可得解．
【解答】解：（1）由题意可知，解得，
第13页（共15页）所以椭圆E的标准方程．
（2）①延长NA交椭圆E于点M′，延长MB交椭圆E于点N′，
由对称性可知AM′＝BM，AN＝BN′，所以四边形MNM′N′为平行四边形，
因为A，B关于原点对称，所以N，N′关于原点对称，
设M（x ，y ），N（x ，y ），则N′（﹣x ，﹣y ），
1 1 2 2 2 2
所以，
又M，N为椭圆E上两点，可得，，
所以，化简得，故，
又因为MN′∥AN，所以，故；
②由①可知，在平行四边形MNM′N′中，AM′＝BM，
从而，
因为构成四边形ABMN，所以M′N的斜率必不为0，设M′N的方程为，
N（x ，y ），M′（x ，y ），由得，
2 2 3 3
Δ＝9m2+7（m2+4）＝16m2+28＞0，，，
因为，
点O到直线M′N的距离为，
所以，
令t＝m2+4（t≥4），则，
所以当，即时，S△OM′N 有最大值为，
所以四边形ABMN面积的最大值为2（S△OM′N ）
max
＝2．
19．（17分）设函数f（x）＝ex（sinx+cosx），其导函数记为g（x）．
（1）求曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程；
（2）当时，求证：；
（3）设x 是f（x）＝1在区间内的根，其中n N，求证：．
n
【分析】（1）先求出切点坐标，后求导，根据∈导数的几何意义求出切线的斜率，代入点斜式即可求解；
（2）令，求导得其单调性即可证明；
（3）令y ＝x ﹣2n ，证明f（y ）≤1＝f（x ），再求导得g′（x）＝2ex（cosx﹣sinx）＜0，利用单
n n n 0
调性即可证明． π
第14页（共15页）【解答】解：（1）已知函数f（x）＝ex（sinx+cosx），
因此f′（x）＝2excosx，
因为f′（0）＝2，f（0）＝1，
因此f（x）在x＝0处的切线方程为y﹣1＝2（x﹣0），即y＝2x+1；
（2）证明：令，
则，
因为，因此cosx﹣sinx＜0，可得h′（x）≤0，
故h（x）在上单调递减．
因此，不等式得证；
（3）证明：令y ＝x ﹣2n ，则，
n n
由（2）得，又， π
因此．
由，
因此f（y ）≤1＝f（x ）．
n 0
因为f′（x）＜0，因此y ≥x ，
n 0
由g′（x）＝2ex（cosx﹣sinx）＜0，因此，
因为，因此，
因为，因此tanx +1＜0，从而，
0
因此，
故．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/2/6 0:17:40；用户：量神大数学；邮箱：18600601432；学号：50925141
第15页（共15页）
