文档内容
2025-2026 学年陕西省西安中学高三（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．（5分）复数 的共轭复数 （ ）
2
A．1+i = 1+ B．﹣1﹣ i = C．﹣1+i D．1﹣i
2．（5分）设 R，则“ ＝1”是“直线3x+（ ﹣1）y＝1与直线 x+（1﹣ ）y＝2平行”的（ ）
A．充分不λ必∈要条件 λ λ λ λ
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（5分）下列函数中，其图象与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是（ ）
A．y＝ln（1﹣x） B．y＝ln（2﹣x） C．y＝ln（1+x） D．y＝ln（2+x）
4．（5分）已知f（x）＝2x2，数列{an}满足且对一切n N*，有an+1 ＝f（an ）则（ ）
A．{an}是等差数列 B．{an ∈}是等比数列
C．{log2an}是等比数列 D．{log2an+1}是等比数列
5．（5分）如图，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是按“斜二测画法”得到的一个水平放置的平面图
形OABC的直观图，则它的原图形OABC的周长是（ ）
A．4 B．6 C．2+2 D．8
2
6．（5分）在椭圆 ： 上有一点P，左、右焦点分别为F1 和F2 ，则下列说法正确的是（ ）
2
2
A．△F1PF2 的 周长4为+ 8 =1
B．存在点P使得
3
C．满足PF1 ⊥PF2 ∠的 1 P 点 2 有=且4只有4个
D．如果线段PF1 的中点在y轴上，此时△F1PF2 的面积为
3
第1页（共20页）7．（5分）若函数f（x）＝ex﹣ax2﹣2ax有两个极值点，则实数a的取值范围为（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
1 1 1 1
8．（5分(−）2已知0圆) M：x2+y2﹣( 2 − x﹣∞ 2y﹣− 22＝) 0，直线l：(0 2x+2y+ ) 2＝0，P为l上(的2动点+．∞过) 点P作圆M的切线
PA，PB，切点分别为A，B，当四边形PAMB面积最小时，直线AB的方程为（ ）
A．2x﹣y﹣1＝0 B．2x+y﹣1＝0 C．2x+y+1＝0 D．2x﹣y+1＝0
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分。
（多选）9．（6分）设随机变量X的分布列为 ，， ，a R，E（X），D（X）分别
( = )= ( =1 2 5) ∈
为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是（ +1）
A． ＜ ＜ B．E（3X+2）＝8
2
C．D (（0 X） ＝3 2 )= 3 D．D（3X+1）＝7
（多选）10．（6分）如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S
滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则（ ）
A．圆锥的母线长为3
B．圆锥的表面积为36
C．圆锥的侧面展开图扇π形的圆心角为60°
D．若一蚂蚁从点A出发沿圆锥的侧面爬行一周回到点A，则爬行的最短距离为
9 3
（多选）11．（6分）已知双曲线C： 的左、右焦点分别为F1 ，F2 ，左、右顶点分别为A、B，
2 2
P为双曲线C上任意一点，判断以下选−项正=确1的是（ ）
4 5
A．若 ，则 或
9 1 17
| 1|= | 2|=
B．当点P不在2 x轴上时，直2线PA 2与PB的斜率之积为
5
C．点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为 4
20
D．△PF1F2 的内心I到y轴的距离为2
9
第2页（共20页）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）某小型餐饮公司统计了最近300天的营业额（单位：元），发现每天的营业额X满足：X N（3000，
∼
σ2）．据统计，每天营业额不低于4000元的天数为90，则该公司每天营业额在[2000，3000）的天数约
为 天．
13．（5分）已知（1+a）3（1+b）5的展开式中，ambn的系数记为f（m，n），则 ， ．
5
14．（5分）已知函数f（x）＝x（a+lnx），曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的 切 =1 线 与(1 y＝ ) 4 = x﹣1平行．则
f（x）的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知椭圆C： ＞＞ 的左，右焦点分别为F1 ，F2 ，上顶点为A，且 ．
2 2 → →
（1）求C的离心率； 2 + 2 = 1( 0) 1⋅ 2=0
（2）射线AF1 与C交于点B，且 ，求△ABF2 的周长．
8
| |=
16．（15分）设Sn 为数列{an}的前n项和，已3知a1 ＝1，S4 ＝10，且 为等差数列．
（1）求{an}的通项公式； { }
，为奇数
（2）若数列{bn}满足 ，求{bn}的前2n项和T2n ．
1
，为 偶数
= +2
2
17．（15分）已知函数 ．
3 2 1
( )= +
（1）求f（x）在 ， 2上的单调递2 增区间；
∈ [0 ]
2
（2）在锐角△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且 ， ，求b+c的取值
3
范围． ( )= =4
2
18．（17分）某社区100名居民参加2019年国庆活动，他们的年龄在30岁至80岁之间，将年龄按[30，
40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分组，得到的频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）求a的值，并估计该社区参加2019年国庆活动的居民的年龄中位数；
（Ⅱ）现从年龄在[50，60），[70，80]的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3
人进行座谈，用X表示参与座谈的居民的年龄在[70，80]的人数，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地30岁至80岁之间的市民中抽取20名进行
调查，其中有k名市民的年龄在[30，50）的概率为Pk （k＝0，1，2，…，20），当Pk 最大时，写出k
的值．（不用说明理由）
第3页（共20页）19．（17分）如图，正四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，平面 与底面ABCD平行且与四棱锥
的四条侧棱（不含端点）分别交于点E，F，G，H，四棱台EFGH﹣ABαCD与四棱锥P﹣ABCD的棱长
和相等（“棱长和”指多面体的所有棱长之和）．
（1）若E是棱PA的中点，求四棱台EFGH﹣ABCD的体积；
（2）求平面PAD与平面PBC的夹角的余弦值；
（3）已知四棱柱 的底面是边长为m的正方形，侧棱长为n，且侧棱与底面所在平面所成的角为 ＜
，若平面 任意Ω上下平移时，总存在正数m，n，使得四棱柱 与四棱台EFGH﹣ABCD有相同 (的0体 积≤，
) α Ω
也2 有相同的棱长和，求sin 的取值范围．
θ
第4页（共20页）2025-2026 学年陕西省西安中学高三（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A B D D C D C
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 BC BD BCD
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．（5分）复数 的共轭复数 （ ）
2
A．1+i = 1+ B．﹣1﹣ i = C．﹣1+i D．1﹣i
【分析】根据所给的复数的表示形式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理
出最简形式，把虚部的符号变成相反的符号得到结果．
【解答】解：∵ 1+i
2 2 (1− ) 2 (1− )
= = = =
∴ 1﹣i 1+ (1+ )(1− ) 2
故选 =：D．
2．（5分）设 R，则“ ＝1”是“直线3x+（ ﹣1）y＝1与直线 x+（1﹣ ）y＝2平行”的（ ）
A．充分不λ必∈要条件 λ λ λ λ
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据直线一般式中平行满足的关系即可求解．
【解答】解：若直线3x+（ ﹣1）y＝1与直线 x+（1﹣ ）y＝2平行，
则3（1﹣ ）﹣ （ ﹣1）＝λ0，解得 ＝1或 ＝λ﹣3， λ
经检验 ＝λ1或 λ＝﹣λ3时两直线平行，λ λ
λ λ
第5页（共20页）故“ ＝1”能得到“直线3x+（ ﹣1）y＝1与直线 x+（1﹣ ）y＝2平行”，
但是λ“直线3x+（ ﹣1）y＝1与λ直线 x+（1﹣ ）y＝λ 2平行”λ不能得到“ ＝1”．
故选：A． λ λ λ λ
3．（5分）下列函数中，其图象与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是（ ）
A．y＝ln（1﹣x） B．y＝ln（2﹣x） C．y＝ln（1+x） D．y＝ln（2+x）
【分析】直接利用函数的图象的对称和平移变换求出结果．
【解答】解：首先根据函数y＝lnx的图象，
则：函数y＝lnx的图象与y＝ln（﹣x）的图象关于y轴对称．
由于函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称．
则：把函数y＝ln（﹣x）的图象向右平移2个单位即可得到：y＝ln（2﹣x）．
即所求得解析式为：y＝ln（2﹣x）．
故选：B．
4．（5分）已知f（x）＝2x2，数列{an}满足且对一切n N*，有an+1 ＝f（an ）则（ ）
A．{an}是等差数列 B．{an ∈}是等比数列
C．{log2an}是等比数列 D．{log2an+1}是等比数列
【分析】利用构造法，推出数列{log2an+1}是等比数列，即可得到选项．
【解答】解：由题知，f（x）＝2x2，数列{an}满足且对一切n N*，有an+1 ＝f（an ），
，故log2an+1 ＝1+2log2an ，故log2an+1+1＝2（log2a∈ n+1），所以{log2an+1}是等比数列，
2
故 +选1：=D2．
5．（5分）如图，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是按“斜二测画法”得到的一个水平放置的平面图
形OABC的直观图，则它的原图形OABC的周长是（ ）
A．4 B．6 C．2+2 D．8
【分析】利用斜二测画法的过程把给出的直观图还原回2原图形，即找到直观图中正方形的四个顶点在原
图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形，利用斜二测画法的长度关系即可得到结论
第6页（共20页）【解答】解：由斜二测画法的规则知与x'轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形
的对角线在y′轴上，
∵O′A′＝1，
∴原图形中OA＝O′A′＝1，对角线O′B′ ，
则原图形中OB＝2O′B′＝2 ，且△OBC为=直角2三角形，
2
则OC 3，
2 2
则原图=形的1周+长(是2 22（) 3=+1）＝8，
故选：D．
6．（5分）在椭圆 ： 上有一点P，左、右焦点分别为F1 和F2 ，则下列说法正确的是（ ）
2
2
A．△F1PF2 的 周长4为+ 8 =1
B．存在点P使得
3
C．满足PF1 ⊥PF2 ∠的 1 P 点 2 有=且4只有4个
D．如果线段PF1 的中点在y轴上，此时△F1PF2 的面积为
【分析】首先根据椭圆方程求a，b，c，再根据椭圆的定义和3性质，即可判断选项．
【解答】解：椭圆C： 中，a2＝4，b2＝1，所以 ， ，
2 2
2
因此三角形F1PF2 的周长
4
+
1
= 1 ，因此选项A 错误=；3 = 3
当∠F1PF2 最大时此时P在=椭2 圆+短2轴 =的4端+点2，3此时三角形为等腰三角形边长分别为2、2、 ，
2 3
此时 ，因此选项B错误；
2
∠ 1 2 =
PF1 ⊥PF2 时， 3 小于 ，根据椭圆的对称性可知存在4个点，因此选项C正确；
2
如果线段PF1 的∠中 1 点 在 2 = y轴2 上时，3设PF1 的中点为M，此时MO是PF2 的中位线，所以PF2 ⊥x轴，所
以 ，
2
1
2 = =
所以三角形 F1 2 PF2 的面积 ，因此选项D错误．
1 1 3
= ×2 3× =
2 2 2
第7页（共20页）故选：C．
7．（5分）若函数f（x）＝ex﹣ax2﹣2ax有两个极值点，则实数a的取值范围为（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
1 1 1 1
【分(析−】2先求0)导数，再根据(− f（∞ x）−＝2ex)﹣ax2﹣2ax (0有两2个)极值点得f′（( x2）＝+
0
∞有)两个根，最后用导数
研究函数零点个数问题求解．
【解答】解：f′（x）＝ex﹣2ax﹣2a，因为f（x）有两个极值点，所以f′（x）＝ex﹣2ax﹣2a＝0有两
个根，
显然a≠0，ex﹣2ax﹣2a＝0有两个根 有两个根，
1 −
令g（x）＝e ﹣x（x+1），g′（x）＝﹣⇔ xe2 ﹣ x，= ( +1)
当x＜0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x＞0时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
所以g（x）
max
＝g（0）＝1，
又因为当x→+∞时，g（x）→0，当x→﹣∞时，g（x）→﹣∞，
所以ex﹣2ax﹣2ax＝0有两个根 有两个根 0＜ ＜1 a＞ ，
1 − 1 1
故选：D． ⇔ 2 = ( +1) ⇔ 2 ⇔ 2
8．（5分）已知圆M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直线l：2x+y+2＝0，P为l上的动点．过点P作圆M的切线
PA，PB，切点分别为A，B，当四边形PAMB面积最小时，直线AB的方程为（ ）
A．2x﹣y﹣1＝0 B．2x+y﹣1＝0 C．2x+y+1＝0 D．2x﹣y+1＝0
【分析】根据几何性质可得当|PA|最小时四边形PAMB面积最小，求出四边形PAMB外接圆的方程后可
求直线AB的方程．
【解答】解：由题意可知，PM⊥AB，PA⊥AM，PB⊥BM，
故四边形PAMB的面积 ，
1 1
由圆M：x2+y2﹣2x﹣2y ﹣= 2＝2 | 0 得 |（⋅| x ﹣ 1 |）=22 +（× y2﹣| 1 ）|⋅2＝| 4① |=，| |⋅| |
所以圆心M（1，1），半径r＝2，即|AM|＝2，
第8页（共20页）要使四边形PAMB面积最小，即|PA|最小，
又|PM|2＝|PA|2+|AM|2，即求|PM|的最小值，
所以当直线PM与l：2x+y+2＝0垂直时，|PM|最小，
因为直线l的斜率k＝﹣2，则 ， 方程为 ，即x﹣2y+1＝0，
1 1
= −1= ( −1)
联立 得 ，即P 2（﹣1，0）， 2
−2 +1=0 =−1
所以 2 + +2=0 =0 ，
2
所以| P M |中 点= (，1+1 ， ) +1 = 5
1
(0 )
2
则四边形PAMB外接圆为 ②，
2 1 2 5 2
所以直线AB方程为①﹣ ② +，(即 −2x2+)y+1=＝(02 ．)
故选：C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分。
（多选）9．（6分）设随机变量X的分布列为 ，， ，a R，E（X），D（X）分别
( = )= ( =1 2 5) ∈
为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是（ +1）
A． ＜ ＜ B．E（3X+2）＝8
2
C．D (（0 X） ＝3 2 )= 3 D．D（3X+1）＝7
【分析】利用分布列的性质可得概率之和为1，得出a＝1，利用概率的性质可判断A选项，再利用均
值方差定义公式以及其性质逐项判断BCD即可．
【解答】解：因为 ，， ，
( = )= ( =1 2 5)
所以 +1 ，解得a＝1，
( =1)+ ( =2)+ ( =5)= + + =1
2 3 6
第9页（共20页）对于A， ＜ ＜ ，故A不正确；
1 1 5
(0 3)= ( =1)+ ( =2)= + =
对于B，因为 ，2 3 6
1 1 1
所以根据期望的 (性 质)=可1得× E2（+ 3 2 X × +23）+＝5 3 × E（6 = X）2 +2＝3×2+2＝8，故B正确；
对于C， ，故C正确；
1 2 1 2 1 2
对于D， 因(为 ) D =（2X ×）(1＝− 2，2)所+以3D ×（(2 3 − X+ 2 1 )）+＝69××( D 5（− X 2）)＝= 18 2，故D不正确．
故选：BC．
（多选）10．（6分）如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S
滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则（ ）
A．圆锥的母线长为3
B．圆锥的表面积为36
C．圆锥的侧面展开图扇π形的圆心角为60°
D．若一蚂蚁从点A出发沿圆锥的侧面爬行一周回到点A，则爬行的最短距离为
【分析】由题意可求出圆锥的母线长判断选项A； 9 3
由此可求得圆锥的表面积判断选项B；
由侧面展开图扇形的形状可判断选项C；
由侧面展开图的扇形求最短距离判断选项D．
【解答】解：设圆锥的母线长为l，则以S为圆心，SA为半径的圆的面积为S＝ l2，圆锥的侧面积S＝
rl＝3 l， π
π由 l2＝π3×3 l，解得l＝9，所以圆锥的母线长为9，选项A错误；
圆锥π 的表面积π S＝3× ×9+ ×32＝36 ，选项B正确；
因为圆锥在平面内转到π原位π置时，圆锥π本身滚动了3周，
所以圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 ，选项C错误；
360
如图为圆锥沿SA的侧面展开图，连接A ( A′3 ，)°则=△12 A 0 S ° A′为等腰三角形，
所以蚂蚁爬行的最短距离为 ，选项D正确．
′ =2×9×第
10
6页0°（=共9 20页3）故选：BD．
（多选）11．（6分）已知双曲线C： 的左、右焦点分别为F1 ，F2 ，左、右顶点分别为A、B，
2 2
P为双曲线C上任意一点，判断以下选−项正=确1的是（ ）
4 5
A．若 ，则 或
9 1 17
| 1|= | 2|=
B．当点P不在2 x轴上时，直2线PA 2与PB的斜率之积为
5
C．点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为 4
20
D．△PF1F2 的内心I到y轴的距离为2
9
【分析】由题设，根据圆的切线长定理、双曲线的定义、直线斜率公式、点到直线距离公式逐一判断即
可．
【解答】解：选项A：由双曲线定义，可得||PF2|﹣|PF1||＝4，若 ，则 或 ，
9 1 17
| 1|= | 2|=
由 ，可得a＝2， ，则 ， 2 2 2
2 2
2 2
所以
4
双−曲
5
线=上1的点到右焦点的 距=离最5 小值 为=|F2 B|＝+ 3 ﹣=2＝31，
所以 不成立，故A错误；
1
| 2|=
2
选项B：设P（x，y）（x≠±2），则有 ，
2 2
又F1 （﹣3，0），F2 （3，0），
4
−
5
= 1
直线PA与PB的斜率之积为 2 ，故B正确；
2
5(4−1) 5
⋅ = 2 = 2 =
+2 −2 −4 −4 4
选项C：双曲线的渐近线方程为 ，即 ， ，
5
=± 5 −2 =0 5 +2 =0
设P（x，y），则有 ， 2
2 2
所以点P到双曲线C的−两条=渐1近线的距离之积为：
4 5
2 2 2 2 ，故C正确；
| 5 −2 | | 5 +2 | 5 −4 5 −4×5(4−1) 20
× = = =
2 2 2 2 9 9 9
( 5) +(−2) ( 5) +(−2)
第11页（共20页）选项D：根据双曲线的对称性，不妨设P在第一象限，
设△PF1F2 的内切圆与三边相切的切点分别为M，D，C，
由圆的切线长定理可得：|PM|＝|PC|，|F1M|＝|F1D|，|F2C|＝|F2D|，
由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|＝2a，有|PM|+|F1M|﹣（|PC|﹣|F2C|）＝2a＝4，
即|F1D|﹣|F2D|＝2a，而|F1D|+|F2D|＝2c＝6，解得|F1D|＝5，|F2D|＝1，
由上可知|F2B|＝1，所以点B，D重合，显然ID⊥AB，
所以内心的横坐标为2，故D正确．
故选：BCD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）某小型餐饮公司统计了最近300天的营业额（单位：元），发现每天的营业额X满足：X N（3000，
∼
σ2）．据统计，每天营业额不低于4000元的天数为90，则该公司每天营业额在[2000，3000）的天数约
为 60 天．
【分析】根据X满足：X N（3000，σ2），由 ＜ 求解．
∼
1−2 ( ≥4000)
【解答】解：因为每天的营业额X满足：X N （(2 3 0 00 0 0 0，≤σ 2），30且00营)业=额不低于2 4000元的天数为90，
∼
所以 ，
90
( ≥4000)= =0.3
所以 ＜ 300 ，
1−0.3×2
所以该 (公20司00每≤天 营业30额00在) [ = 2000，23000 =）0的.2天数约为300×0.2＝60．
故答案为：60．
13．（5分）已知（1+a）3（1+b）5的展开式中，ambn的系数记为f（m，n），则 ， 93 ．
5
=1 (1 )=
第12页（共20页）【分析】根据二项展开式中特定项的系数可求解．
【解答】解：已知（1+a）3（1+b）5的展开式中，ambn的系数记为f（m，n），
则 ， ．
5
1 1 2 3 4 5
故答 案 =为1 ：(1 93． )= 3( 5+ 5+ 5+ 5+ 5)=3×31=93
14．（5分）已知函数f（x）＝x（a+lnx），曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线与y＝4x﹣1平行．则
f（x）的最小值为 ﹣e ﹣3 ．
【分析】求得f′（e）＝a+2，根据题意，得到f′（e）＝4，求得a＝2，得到f′（x）＝3+lnx，求得
函数f（x）的单调性，进而求得最小值．
【解答】解：由题意，可得 ，
1
则f′（e）＝a+1+lne＝a+2 ′， ( )=( + )+ × = +1+
因为曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线与y＝4x﹣1平行，
可得f′（e）＝a+2＝4，解得a＝2，所以f（x）＝x（2+lnx），定义域为（0，+∞），且f′（x）＝3+lnx，
令f′（x）＝0，即3+lnx＝0，解得x＝e ﹣3，
当x （0，e ﹣3）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（e ﹣3，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以∈当x＝e ﹣3时，函数f（x）取得最小值为f（e ﹣3）＝e ﹣3•（2+lne ﹣3）＝﹣e ﹣3．
故答案为：﹣e ﹣3．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知椭圆C： ＞＞ 的左，右焦点分别为F1 ，F2 ，上顶点为A，且 ．
2 2 → →
（1）求C的离心率； 2 + 2 = 1( 0) 1⋅ 2=0
（2）射线AF1 与C交于点B，且 ，求△ABF2 的周长．
8
| |=
3
【分析】（1）由椭圆可得 • 0，可得a，c的关系，进而求出椭圆的离心率；
→ →
（2）由（1）可得a与c， b 1 与 c 的 2=关系，设直线AF1 的方程，与椭圆的方程联立，可得点B的坐标，
求出|AB|的表达式，由题意可得c，a的值，由椭圆的性质可得△ABF2 的周长为4a，即求出三角形的周
长．
【解答】解：（1）上顶点为A，且 ，
→ →
可得（﹣c，﹣b）•（c，﹣b）＝0， 1⋅ 2=0
即b2＝c2，即a2﹣c2＝c2，
第13页（共20页）所以离心率e ；
2
（2）由（1）=可 得= b＝2 c，a c，
= 2
射线AF1 的方程为y x+b＝x+c，
=
联立 ，整理可得：3x2+4cx＝0，
= +
2 2
2+ 2 =1
2
解得x＝0或x c，则y＝c或y＝x+c c，
4 1
=− =−
即B（ c， c）3， 3
4 1
− −
3 3
所以|AB| c ，
4 2 1 2 4 8
解得c = ，(− 3 ) +( + 3 ) = 3 2 = 3
则a＝=2，2
所以△ABF2 的周长为4a＝8．
16．（15分）设Sn 为数列{an}的前n项和，已知a1 ＝1，S4 ＝10，且 为等差数列．
（1）求{an}的通项公式； { }
，为奇数
（2）若数列{bn}满足 ，求{bn}的前2n项和T2n ．
1
，为 偶数
= +2
【分析】（1）根据等差数列定义 2 求出 ，进而利用an 与Sn 之间关系可求得数列{an}的通项公
( +1)
式； = 2
（2）采用分组求和法，分别对奇数项和偶数项求和，结合等比数列求和公式和裂项相消法可求得结果．
【解答】解：（1）因为Sn 为数列{an}的前n项和，a1 ＝1，S4 ＝10，且 为等差数列，
{ }
设等差数列 的公差为d，
{ }
所以a1 ＝S1 ＝ 1， ，即 ， ，
4 1 10 1
− = 3 − 1 = 3 =
所以 4 1，即 4 ， 2
1 ( +1)
= 1 + ( − 1) =
当n≥ 2时， 2 2 ，
( +1) ( −1)
当n＝1时， a1 ＝= 1 ， 满−足 上 −1 式=， 2 − 2 =
所以an ＝n；
第14页（共20页），为奇数
（2）由（1）知 ，
1
，为偶 数
= ( +2)
所以T2n ＝（b1+b3+b5+ ⋯ 2 +b 2n﹣1 ）+（b2+b4+b6+ ⋯ +b2n ）
1 1 1 1 2 4 6 2
=( + + +⋯+ )+(2 +2 +2 +⋯+2 )
1×3 3×5 5×7 (2 −1)×(2 +1)
1 1 1 1 1 1 1 4(1−4 )
= ( − + − +⋯+ − )+
2 1 3 3 5 2 −1 2 +1 1−4
1 1 4
= (1− )+ (4 −1)
2 2 +1 3 ．
4
= + (4 −1)
2 +1 3
17．（15分）已知函数 ．
3 2 1
( )= +
（1）求f（x）在 ， 2上的单调递2 增区间；
∈ [0 ]
2
（2）在锐角△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且 ， ，求b+c的取值
3
范围． ( )= =4
2
【分析】（1）化简函数 ，由 ， ，得到 ， ，结合三
1 3 2
角函数的性质，列出不等 ( 式)，=即 可 求(2解 ；− )+ ∈ [0 ] 2 − ∈[− ]
2 3 4 2 3 3 3
（2）由（1）及 ，求得 ，求得 ，利用三角恒等变换的公式，化简得到
3 8
( )= = 2 = + =8 ( +
，再由△ABC为锐2角三角形，求3 得 ＜ ＜ ，3 结合三角函数的性质，即可求解．
)
【 6 解答】解：（1） 6 2
3 2 1 3 1− 2 1
( )= + = × + 2
2 2 ， 2 2 4
1 3 3 1 3
= 2 − 2 + = (2 − )+
因为4 ，4 ，所以 4 2 ，3 ，4
2
∈[0 ] 2 − ∈[− ]
令 2 ，解得 3 3 ， 3
5
− ≤2 − ≤ 0≤ ≤
所以3函数f（x）3 在2 ， 上的单1调2 递增区间为 ， ；
5
∈ [0 ] [0 ]
2 12
（2）由（1）知， ，
1 3
( )= (2 − )+
因为 ，所以 2 3 4 ，即 ，
3 1 3 3 3
( )= (2 − )+ = (2 − )=
因为△ABC为2锐角三角2形，所以 3 ，4 ，2所以 3 ，2 ，
2
∈ (0 ) 2 − ∈(− )
2 3 3 3
第15页（共20页）所以 ，解得 ，所以 ，所以 ，
2 2
2 − 3 = 3 = 3 ＜ +＜ = 3 = 3 −
因为△ABC为锐角三角形，可得 ，解得 ＜ ＜ ，
0＜ 2 ＜
2 6 2
设△ABC的外接圆的半径为R，因0为a3 ＝4−，
2
则由正弦定理得： ，所以 ， ，
8 8 8
2 = = = =
所以 3 3 3
8 8 2 8 3 1
+ = ( + )= [ + ( − )]= ( + + )
3 3 ， 3 3 2 2
8 3 3
= ( + )=8 ( + )
因为3 ＜2 ＜ ，2所以 ＜ ＜ 6，所以 ， ，则 ， ，
2 3
所以 6b+c 的取 2 值范围为 3 +， 6 ． 3 ( + 6 )∈( 2 1] 8 ( + 6 )∈(4 3 8]
18．（17分）某社区100名(4居民3 参8加] 2019年国庆活动，他们的年龄在30岁至80岁之间，将年龄按[30，
40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分组，得到的频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）求a的值，并估计该社区参加2019年国庆活动的居民的年龄中位数；
（Ⅱ）现从年龄在[50，60），[70，80]的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3
人进行座谈，用X表示参与座谈的居民的年龄在[70，80]的人数，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地30岁至80岁之间的市民中抽取20名进行
调查，其中有k名市民的年龄在[30，50）的概率为Pk （k＝0，1，2，…，20），当Pk 最大时，写出k
的值．（不用说明理由）
【分析】（I）根据已知条件，结合频率分布直方图的性质，以及中位数的公式，即可求解．
（II）年龄在[50，60）内的人数为0.03×10×100＝30，年龄在[70，80）内的人数为0.01×10×100＝
10，根据分层抽样，可知年龄在[50，60）内的抽取6人，年龄在[70，80）内的抽取2人，X所有可能
取值为0，1，2，分别求出对应的概率，即可求解．
（III）设在抽取的20名市民中，年龄在[30，50）内的人数为Y，则Y服从二项分布，再结合二项分布
的概率公式，即求解．
第16页（共20页）【解答】解：（I）由频率分布直方图可知，（0.005+0.01+a+0.03+0.035）×10＝1，解得a＝0.02，
故a的值为0.02，
设该社区参加2019年国庆活动的居民的年龄中位数为x，
则0.4 ，解得x ．
−50 160
（II）+年龄10在[ × 50 0，.3 6 = 0）0内.5的人数为= 0.033×10×100＝30，
年龄在[70，80）内的人数为0.01×10×100＝10，
根据分层抽样，可知年龄在[50，60）内的抽取6人，年龄在[70，80）内的抽取2人，
X所有可能取值为0，1，2，
P（X＝0） ，
3
6 5
= 3 =
P（X＝1） 8 14 ，
2 1
6 2 15
= 3 =
P（X＝2） 8 28，
1 2
6 2 3
= 3 =
故X的分布列为 8 ： 28
X 0 1 2
P
5 15 3
数学期望E（X） 14 ． 28 28
5 15 3 3
（III）设在抽取的= 2 0 0 ×名1市4 +民1中×，2年8 +龄2在× [3208，= 504）内的人数为Y，
则Y服从二项分布，
由频率分布直方图得年龄在[30，50）内的频率为 （0.005+0.035）×10＝0.4，
故Y～B（20，0.4），
P（Y＝k） ． ． （k＝0，1，2，…，20），
20−
设t = 200 4 0 ． 6 ． ，
． ．20−
( = ) 200 4 0 6 2(21− ) 42−2
当t = ＞1 (时 =， k−＜1)8. = 4， 2 P0 −（1 0Y＝ 4k ﹣−1 10 ）＜ 6 2 P 1−（ Y = ＝k）3， = 3
当t＜1时，k＞8.4，P（Y＝k﹣1）＞P（Y＝k），
当k＝8时，P（Y＝k）最大，
故当Pk 最大时，k＝8．
19．（17分）如图，正四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，平面 与底面ABCD平行且与四棱锥
的四条侧棱（不含端点）分别交于点E，F，G，H，四棱台EFGH﹣ABαCD与四棱锥P﹣ABCD的棱长
第17页（共20页）和相等（“棱长和”指多面体的所有棱长之和）．
（1）若E是棱PA的中点，求四棱台EFGH﹣ABCD的体积；
（2）求平面PAD与平面PBC的夹角的余弦值；
（3）已知四棱柱 的底面是边长为m的正方形，侧棱长为n，且侧棱与底面所在平面所成的角为 ＜
，若平面 任意Ω上下平移时，总存在正数m，n，使得四棱柱 与四棱台EFGH﹣ABCD有相同 (的0体 积≤，
) α Ω
也2 有相同的棱长和，求sin 的取值范围．
θ
【分析】（1）由题意易得四棱锥P﹣EFGH也是正四棱锥，进而结合四棱锥的体积公式求解即可；
（2）设AD，BC的中点分别为M，N，连接PM，PN，MN．设平面PAD与平面PBC的交线为l，易得
平面PAD与平面PBC的夹角即∠MPN（或其补角），进而求解即可；
（3）由题意知四棱柱 的高为nsin ，体积为m2nsin ，当平面 任意上下平移时，设 ，0＜t＜1，
Ω θ θ α =
易得 ，结合四棱柱 与四棱台EFGH﹣ABCD的棱长和相等，可 得 8m+4n＝8，进
2 2 3
= (1− ) Ω
而得到 6 ，令f（m）＝（2m2﹣2m3），进而结合其导数求解即可．
2 3 2 3
【解答】(2 解：−（21 ）由) 题 意 =知平
6
面(1E−F G)H∥平面ABCD，
所以四棱锥P﹣EFGH也是正四棱锥，
依题意，PE+PF+PG+PH＝EF+FG+GH+HE，
即4PE＝4EF，故PE＝EF，
即四棱锥P﹣EFGH和正四棱锥P﹣ABCD的侧面都是正三角形，
连接AC，设点P在底面ABCD上的射影为O，则O为AC的中点．
由已知得 ，PA＝PC＝1，
所以△PA C 是=等腰2直角三角形，
所以AC上的高 ，
2
=
2
即四棱锥P﹣ABCD的高为 ，所以 ，
2 1 2 2 2
− = ×1 × =
当E是棱PA的中点时， 2 ，3 2 6
1
− = −
8 第18页（共20页）所以四棱台EFGH﹣ABCD的体积为 ．
7 7 2 7 2
（2）设AD，BC的中点分别为M，N， 连− 接 PM=，P×N，M=N，
8 8 6 48
设平面PAD与平面PBC的交线为l，
易知AD∥平面PBC，
又AD 平面PAD，则AD∥l，
因为△⊂PAD是等边三角形，所以PM⊥AD，所以PM⊥l，同理可得PN⊥l，
所以平面PAD与平面PBC的夹角即∠MPN（或其补角），
由已知可得 ，MN＝1，
3
= =
2
所以 ，
2 2 2 3 2 3 2
+ − (2) +(2) −1 1
∠ = 2 ⋅ = 3 3 = 3
2×2×2
所以平面PAD与平面PBC的夹角的余弦值为 ．
1
（3）由题意知四棱柱 的高为nsin ，体积为 3m2nsin ．
Ω θ θ
当平面 任意上下平移时，设 ，0＜t＜1，
α =
则 ，四棱台EFGH﹣ABCD的体积为 ，
3 2 3 2 3
− = − = (1 − )
所以 6．① 6
2 2 3
又四棱 柱 与 四=棱
6
台(1E−FG H)﹣ABCD的棱长和相等，所以8m+4n＝8，
所以n＝2Ω﹣2m，0＜m＜1，
将其代入①，得 ，
2 3 2 3
令f（m）＝2m2﹣(2
2
m3，−则2 f′)（
m
）=＝64m (1﹣−
6m
2)＝2m（2﹣3m），
当 ＜ ＜ 时，f′（m）＞0，当 ＜ ＜ 时，f′（m）＜0，
2 2
0 1
所以f（m）3在 ， 上单调递增，3在 ， 上单调递减，
2 2
(0 ) ( 1)
所以f（m）在 3处取得极大值，也是3 最大值，最大值为 ，
2 2 8
= ( )=
所以 ， 3，则 ， ． 3 27
8 2 3 8
( )∈ (0 ] (2 −2 ) ∈(0 ]
27 27
又 ， ，且总存在满足题中条件的m和n，
2 3 2
(1 − ) ∈ (0 )
所以6 ， ， 6 ，
2 8
(0 )⊆(0 ]
6 27
第19页（共20页）故 ，解得 ，
8 2 9 2
≥ ≥
又27 ， ，6 所以sin 的取值16范围是 ， ．
9 2
∈(0 ] θ [ 1]
2 16
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第20页（共20页）
