文档内容
2025-2026学年陕西省西安中学高三（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．（5分）复数的共轭复数（ ）
A．1+i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i
2．（5分）设 R，则“ ＝1”是“直线3x+（ ﹣1）y＝1与直线 x+（1﹣ ）y＝2平行”的（ ）
A．充分不必λ∈要条件 λ λ λ λ
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（5分）下列函数中，其图象与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是（ ）
A．y＝ln（1﹣x） B．y＝ln（2﹣x） C．y＝ln（1+x） D．y＝ln（2+x）
4．（5分）已知f（x）＝2x2，数列{a }满足且对一切n N*，有a ＝f（a ）则（ ）
n n+1 n
A．{a
n
}是等差数列 B．{a n∈}是等比数列
C．{log a }是等比数列 D．{log a +1}是等比数列
2 n 2 n
5．（5分）如图，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是按“斜二测画法”得到的一个水平放置的平面
图形OABC的直观图，则它的原图形OABC的周长是（ ）
A．4 B．6 C．2+2 D．8
6．（5分）在椭圆上有一点P，左、右焦点分别为F 和F ，则下列说法正确的是（ ）
1 2
A．△F PF 的周长为8
1 2
B．存在点P使得
C．满足PF ⊥PF 的P点有且只有4个
1 2
D．如果线段PF 的中点在y轴上，此时△F PF 的面积为
1 1 2
7．（5分）若函数f（x）＝ex﹣ax2﹣2ax有两个极值点，则实数a的取值范围为（ ）
第1页（共17页）A． B． C． D．
8．（5分）已知圆M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直线l：2x+y+2＝0，P为l上的动点．过点P作圆M的切
线PA，PB，切点分别为A，B，当四边形PAMB面积最小时，直线AB的方程为（ ）
A．2x﹣y﹣1＝0 B．2x+y﹣1＝0 C．2x+y+1＝0 D．2x﹣y+1＝0
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分。
（多选）9．（6分）设随机变量X的分布列为，a R，E（X），D（X）分别为随机变量X的均值与方差，
则下列结论正确的是（ ） ∈
A． B．E（3X+2）＝8
C．D（X）＝2 D．D（3X+1）＝7
（多选）10．（6分）如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点
S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则（ ）
A．圆锥的母线长为3
B．圆锥的表面积为36
C．圆锥的侧面展开图扇π形的圆心角为60°
D．若一蚂蚁从点A出发沿圆锥的侧面爬行一周回到点A，则爬行的最短距离为
（多选）11．（6分）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F ，F ，左、右顶点分别为A、B，P为双曲线
1 2
C上任意一点，判断以下选项正确的是（ ）
A．若，则
B．当点P不在x轴上时，直线PA与PB的斜率之积为
C．点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为
D．△PF F 的内心I到y轴的距离为2
1 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）某小型餐饮公司统计了最近300天的营业额（单位：元），发现每天的营业额X满足：X∼N
（3000，σ2）．据统计，每天营业额不低于 4000元的天数为 90，则该公司每天营业额在[2000，
3000）的天数约为 天．
第2页（共17页）13．（5分）已知（1+a）3（1+b）5的展开式中，ambn的系数记为f（m，n），则 ．
14．（5分）已知函数f（x）＝x（a+lnx），曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线与y＝4x﹣1平行．
则f（x）的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知椭圆C：的左，右焦点分别为F ，F ，上顶点为A，且．
1 2
（1）求C的离心率；
（2）射线AF 与C交于点B，且，求△ABF 的周长．
1 2
16．（15分）设S 为数列{a }的前n项和，已知a ＝1，S ＝10，且为等差数列．
n n 1 4
（1）求{a }的通项公式；
n
（2）若数列{b }满足，求{b }的前2n项和T ．
n n 2n
17．（15分）已知函数．
（1）求f（x）在上的单调递增区间；
（2）在锐角△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，求b+c的取值范围．
18．（17分）某社区100名居民参加2019年国庆活动，他们的年龄在30岁至80岁之间，将年龄按[30，
40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分组，得到的频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）求a的值，并估计该社区参加2019年国庆活动的居民的年龄中位数；
（Ⅱ）现从年龄在[50，60），[70，80]的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3
人进行座谈，用X表示参与座谈的居民的年龄在[70，80]的人数，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地30岁至80岁之间的市民中抽取20名进行
调查，其中有k名市民的年龄在[30，50）的概率为P （k＝0，1，2，…，20），当P 最大时，写出k
k k
的值．（不用说明理由）
19．（17分）如图，正四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，平面 与底面ABCD平行且与四棱
锥的四条侧棱（不含端点）分别交于点E，F，G，H，四棱台EFGH﹣ABαCD与四棱锥P﹣ABCD的棱
长和相等（“棱长和”指多面体的所有棱长之和）．
（1）若E是棱PA的中点，求四棱台EFGH﹣ABCD的体积；
第3页（共17页）（2）求平面PAD与平面PBC的夹角的余弦值；
（3）已知四棱柱 的底面是边长为m的正方形，侧棱长为n，且侧棱与底面所在平面所成的角为，若
平面 任意上下平Ω移时，总存在正数m，n，使得四棱柱 与四棱台EFGH﹣ABCD有相同的体积，也
有相同α的棱长和，求sin 的取值范围． Ω
θ
第4页（共17页）2025-2026学年陕西省西安中学高三（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A B D D C D C
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 BC BD BCD
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．（5分）复数的共轭复数（ ）
A．1+i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i
【分析】根据所给的复数的表示形式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整
理出最简形式，把虚部的符号变成相反的符号得到结果．
【解答】解：∵1+i
∴1﹣i
故选：D．
2．（5分）设 R，则“ ＝1”是“直线3x+（ ﹣1）y＝1与直线 x+（1﹣ ）y＝2平行”的（ ）
A．充分不必λ∈要条件 λ λ λ λ
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据直线一般式中平行满足的关系即可求解．
【解答】解：若直线3x+（ ﹣1）y＝1与直线 x+（1﹣ ）y＝2平行，
则3（1﹣ ）﹣ （ ﹣1）＝λ0，解得 ＝1或 ＝λ﹣3， λ
经检验 ＝λ1或 λ＝﹣λ 3时两直线平行，λ λ
故“ ＝λ1”能得λ到“直线3x+（ ﹣1）y＝1与直线 x+（1﹣ ）y＝2平行”，
但是λ“直线3x+（ ﹣1）y＝1与λ直线 x+（1﹣ ）y＝λ 2平行”λ不能得到“ ＝1”．
故选：A． λ λ λ λ
第5页（共17页）3．（5分）下列函数中，其图象与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是（ ）
A．y＝ln（1﹣x） B．y＝ln（2﹣x） C．y＝ln（1+x） D．y＝ln（2+x）
【分析】直接利用函数的图象的对称和平移变换求出结果．
【解答】解：首先根据函数y＝lnx的图象，
则：函数y＝lnx的图象与y＝ln（﹣x）的图象关于y轴对称．
由于函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称．
则：把函数y＝ln（﹣x）的图象向右平移2个单位即可得到：y＝ln（2﹣x）．
即所求得解析式为：y＝ln（2﹣x）．
故选：B．
4．（5分）已知f（x）＝2x2，数列{a }满足且对一切n N*，有a ＝f（a ）则（ ）
n n+1 n
A．{a
n
}是等差数列 B．{a n∈}是等比数列
C．{log a }是等比数列 D．{log a +1}是等比数列
2 n 2 n
【分析】利用构造法，推出数列{log a +1}是等比数列，即可得到选项．
2 n
【解答】解：由题知，f（x）＝2x2，数列{a }满足且对一切n N*，有a ＝f（a ），
n n+1 n
，故log
2
a
n+1
＝1+2log
2
a
n
，故log
2
a
n+1
+1＝2（log
2
a
n
+1），所以∈{log
2
a
n
+1}是等比数列，
故选：D．
5．（5分）如图，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是按“斜二测画法”得到的一个水平放置的平面
图形OABC的直观图，则它的原图形OABC的周长是（ ）
A．4 B．6 C．2+2 D．8
【分析】利用斜二测画法的过程把给出的直观图还原回原图形，即找到直观图中正方形的四个顶点在
原图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形，利用斜二测画法的长度关系即可得到结论
【解答】解：由斜二测画法的规则知与x'轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方
形的对角线在y′轴上，
∵O′A′＝1，
∴原图形中OA＝O′A′＝1，对角线O′B′，
第6页（共17页）则原图形中OB＝2O′B′＝2，且△OBC为直角三角形，
则OC3，
则原图形的周长是2（3+1）＝8，
故选：D．
6．（5分）在椭圆上有一点P，左、右焦点分别为F 和F ，则下列说法正确的是（ ）
1 2
A．△F PF 的周长为8
1 2
B．存在点P使得
C．满足PF ⊥PF 的P点有且只有4个
1 2
D．如果线段PF 的中点在y轴上，此时△F PF 的面积为
1 1 2
【分析】首先根据椭圆方程求a，b，c，再根据椭圆的定义和性质，即可判断选项．
【解答】解：椭圆C：中，a2＝4，b2＝1，所以，
因此三角形F PF 的周长，因此选项A错误；
1 2
当∠F PF 最大时此时P在椭圆短轴的端点，此时三角形为等腰三角形边长分别为2、2、，
1 2
此时，因此选项B错误；
PF ⊥PF 时，，根据椭圆的对称性可知存在4个点，因此选项C正确；
1 2
如果线段PF 的中点在y轴上时，设PF 的中点为M，此时MO是PF 的中位线，所以PF ⊥x轴，所
1 1 2 2
以，
所以三角形F PF 的面积，因此选项D错误．
1 2
故选：C．
7．（5分）若函数f（x）＝ex﹣ax2﹣2ax有两个极值点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先求导数，再根据f（x）＝ex﹣ax2﹣2ax有两个极值点得f′（x）＝0有两个根，最后用导数
研究函数零点个数问题求解．
【解答】解：f′（x）＝ex﹣2ax﹣2a，因为f（x）有两个极值点，所以f′（x）＝ex﹣2ax﹣2a＝0有
两个根，
显然a≠0，ex﹣2ax﹣2a＝0有两个根 有两个根，
⇔
第7页（共17页）令g（x）＝e﹣x（x+1），g′（x）＝﹣xe﹣x，
当x＜0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x＞0时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
所以g（x） ＝g（0）＝1，
max
又因为当x→+∞时，g（x）→0，当x→﹣∞时，g（x）→﹣∞，
所以ex﹣2ax﹣2ax＝0有两个根 有两个根 01 a，
故选：D． ⇔ ⇔ ⇔
8．（5分）已知圆M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直线l：2x+y+2＝0，P为l上的动点．过点P作圆M的切
线PA，PB，切点分别为A，B，当四边形PAMB面积最小时，直线AB的方程为（ ）
A．2x﹣y﹣1＝0 B．2x+y﹣1＝0 C．2x+y+1＝0 D．2x﹣y+1＝0
【分析】根据几何性质可得当|PA|最小时四边形PAMB面积最小，求出四边形PAMB外接圆的方程后可
求直线AB的方程．
【解答】解：由题意可知，PM⊥AB，PA⊥AM，PB⊥BM，
故四边形PAMB的面积，
由圆M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0得（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4①，
所以圆心M（1，1），半径r＝2，即|AM|＝2，
要使四边形PAMB面积最小，即|PA|最小，
又|PM|2＝|PA|2+|AM|2，即求|PM|的最小值，
所以当直线PM与l：2x+y+2＝0垂直时，|PM|最小，
因为直线l的斜率k＝﹣2，则方程为，即x﹣2y+1＝0，
联立得，即P（﹣1，0），
所以，
所以PM中点，
则四边形PAMB外接圆为②，
所以直线AB方程为①﹣②，即2x+y+1＝0．
第8页（共17页）故选：C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分。
（多选）9．（6分）设随机变量X的分布列为，a R，E（X），D（X）分别为随机变量X的均值与方差，
则下列结论正确的是（ ） ∈
A． B．E（3X+2）＝8
C．D（X）＝2 D．D（3X+1）＝7
【分析】利用分布列的性质可得概率之和为1，得出a＝1，利用概率的性质可判断A选项，再利用均
值方差定义公式以及其性质逐项判断BCD即可．
【解答】解：因为，
所以，解得a＝1，
对于A，，故A不正确；
对于B，因为 ，
所以根据期望的性质可得E（3X+2）＝3E（X）+2＝3×2+2＝8，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，因为D（X）＝2，所以 D（3X+1）＝9×D（X）＝18，故D不正确．
故选：BC．
（多选）10．（6分）如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点
S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则（ ）
A．圆锥的母线长为3
B．圆锥的表面积为36
C．圆锥的侧面展开图扇π形的圆心角为60°
D．若一蚂蚁从点A出发沿圆锥的侧面爬行一周回到点A，则爬行的最短距离为
【分析】由题意可求出圆锥的母线长判断选项A；
由此可求得圆锥的表面积判断选项B；
由侧面展开图扇形的形状可判断选项C；
第9页（共17页）由侧面展开图的扇形求最短距离判断选项D．
【解答】解：设圆锥的母线长为l，则以S为圆心，SA为半径的圆的面积为S＝ l2，圆锥的侧面积S＝
rl＝3 l， π
π由 l2＝π3×3 l，解得l＝9，所以圆锥的母线长为9，选项A错误；
圆锥π的表面π积S＝3× ×9+ ×32＝36 ，选项B正确；
因为圆锥在平面内转π到原π位置时，π圆锥本身滚动了3周，
所以圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为，选项C错误；
如图为圆锥沿SA的侧面展开图，连接AA′，则△ASA′为等腰三角形，
所以蚂蚁爬行的最短距离为，选项D正确．
故选：BD．
（多选）11．（6分）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F ，F ，左、右顶点分别为A、B，P为双曲线
1 2
C上任意一点，判断以下选项正确的是（ ）
A．若，则
B．当点P不在x轴上时，直线PA与PB的斜率之积为
C．点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为
D．△PF F 的内心I到y轴的距离为2
1 2
【分析】由题设，根据圆的切线长定理、双曲线的定义、直线斜率公式、点到直线距离公式逐一判断
即可．
【解答】解：选项A：由双曲线定义，可得||PF |﹣|PF ||＝4，若，则或，
2 1
由，可得a＝2，，则，
所以双曲线上的点到右焦点的距离最小值为|F B|＝3﹣2＝1，
2
所以不成立，故A错误；
选项B：设P（x，y）（x≠±2），则有，
又F （﹣3，0），F （3，0），
1 2
直线PA与PB的斜率之积为，故B正确；
选项C：双曲线的渐近线方程为，即，
设P（x，y），则有，
第10页（共17页）所以点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为：
，故C正确；
选项D：根据双曲线的对称性，不妨设P在第一象限，
设△PF F 的内切圆与三边相切的切点分别为M，D，C，
1 2
由圆的切线长定理可得：|PM|＝|PC|，|F M|＝|F D|，|F C|＝|F D|，
1 1 2 2
由双曲线的定义得|PF |﹣|PF |＝2a，有|PM|+|F M|﹣（|PC|﹣|F C|）＝2a＝4，
1 2 1 2
即|F D|﹣|F D|＝2a，而|F D|+|F D|＝2c＝6，解得|F D|＝5，|F D|＝1，
1 2 1 2 1 2
由上可知|F B|＝1，所以点B，D重合，显然ID⊥AB，
2
所以内心的横坐标为2，故D正确．
故选：BCD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）某小型餐饮公司统计了最近300天的营业额（单位：元），发现每天的营业额X满足：X∼N
（3000，σ2）．据统计，每天营业额不低于 4000元的天数为 90，则该公司每天营业额在[2000，
3000）的天数约为 6 0 天．
【分析】根据X满足：X∼N（3000，σ2），由求解．
【解答】解：因为每天的营业额X满足：X∼N（3000，σ2），且营业额不低于4000元的天数为90，
所以，
所以，
所以该公司每天营业额在[2000，3000）的天数约为300×0.2＝60．
故答案为：60．
13．（5分）已知（1+a）3（1+b）5的展开式中，ambn的系数记为f（m，n），则 9 3 ．
第11页（共17页）【分析】根据二项展开式中特定项的系数可求解．
【解答】解：已知（1+a）3（1+b）5的展开式中，ambn的系数记为f（m，n），
则．
故答案为：93．
14．（5分）已知函数f（x）＝x（a+lnx），曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线与y＝4x﹣1平行．
则f（x）的最小值为 ﹣ e ﹣ 3 ．
【分析】求得f′（e）＝a+2，根据题意，得到f′（e）＝4，求得a＝2，得到f′（x）＝3+lnx，求得
函数f（x）的单调性，进而求得最小值．
【解答】解：由题意，可得，
则f′（e）＝a+1+lne＝a+2，
因为曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线与y＝4x﹣1平行，
可得f′（e）＝a+2＝4，解得a＝2，所以f（x）＝x（2+lnx），定义域为（0，+∞），且f′（x）＝
3+lnx，
令f′（x）＝0，即3+lnx＝0，解得x＝e﹣3，
当x （0，e﹣3）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（e﹣3，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以∈当x＝e﹣3时，函数f（x）取得最小值为f（e﹣3）＝e﹣3•（2+lne﹣3）＝﹣e﹣3．
故答案为：﹣e﹣3．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知椭圆C：的左，右焦点分别为F ，F ，上顶点为A，且．
1 2
（1）求C的离心率；
（2）射线AF 与C交于点B，且，求△ABF 的周长．
1 2
【分析】（1）由椭圆可得•0，可得a，c的关系，进而求出椭圆的离心率；
（2）由（1）可得a与c，b与c的关系，设直线AF 的方程，与椭圆的方程联立，可得点B的坐标，
1
求出|AB|的表达式，由题意可得c，a的值，由椭圆的性质可得△ABF 的周长为4a，即求出三角形的周
2
长．
【解答】解：（1）上顶点为A，且，
可得（﹣c，﹣b）•（c，﹣b）＝0，
即b2＝c2，即a2﹣c2＝c2，
所以离心率e；
（2）由（1）可得b＝c，ac，
第12页（共17页）射线AF 的方程为yx+b＝x+c，
1
联立，整理可得：3x2+4cx＝0，
解得x＝0或xc，则y＝c或y＝x+cc，
即B（c，c），
所以|AB|c，
解得c，
则a＝2，
所以△ABF 的周长为4a＝8．
2
16．（15分）设S 为数列{a }的前n项和，已知a ＝1，S ＝10，且为等差数列．
n n 1 4
（1）求{a }的通项公式；
n
（2）若数列{b }满足，求{b }的前2n项和T ．
n n 2n
【分析】（1）根据等差数列定义求出，进而利用a 与S 之间关系可求得数列{a }的通项公式；
n n n
（2）采用分组求和法，分别对奇数项和偶数项求和，结合等比数列求和公式和裂项相消法可求得结果．
【解答】解：（1）因为S 为数列{a }的前n项和，a ＝1，S ＝10，且为等差数列，
n n 1 4
设等差数列的公差为d，
所以a ＝S ＝1，，即，
1 1
所以，即，
当n≥2时，，
当n＝1时，a ＝1，满足上式，
1
所以a ＝n；
n
（2）由（1）知，
所以T 2n ＝（b 1 +b 3 +b 5 +⋯+b 2n﹣1 ）+（b 2 +b 4 +b 6 +⋯+b 2n ）
．
17．（15分）已知函数．
（1）求f（x）在上的单调递增区间；
（2）在锐角△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，求b+c的取值范围．
【分析】（1）化简函数，由，得到，结合三角函数的性质，列出不等式，即可求解；
（2）由（1）及，求得，求得，利用三角恒等变换的公式，化简得到，再由△ABC为锐角三角形，求
第13页（共17页）得，结合三角函数的性质，即可求解．
【解答】解：（1）
，
因为，所以，
令，解得，
所以函数f（x）在上的单调递增区间为；
（2）由（1）知，，
因为，所以，即，
因为△ABC为锐角三角形，所以，所以，
所以，解得，所以，所以，
因为△ABC为锐角三角形，可得，解得，
设△ABC的外接圆的半径为R，因为a＝4，
则由正弦定理得：，所以，
所以
，
因为，所以，所以，则，
所以b+c的取值范围为．
18．（17分）某社区100名居民参加2019年国庆活动，他们的年龄在30岁至80岁之间，将年龄按[30，
40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分组，得到的频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）求a的值，并估计该社区参加2019年国庆活动的居民的年龄中位数；
（Ⅱ）现从年龄在[50，60），[70，80]的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3
人进行座谈，用X表示参与座谈的居民的年龄在[70，80]的人数，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地30岁至80岁之间的市民中抽取20名进行
调查，其中有k名市民的年龄在[30，50）的概率为P （k＝0，1，2，…，20），当P 最大时，写出k
k k
的值．（不用说明理由）
【分析】（I）根据已知条件，结合频率分布直方图的性质，以及中位数的公式，即可求解．
第14页（共17页）（II）年龄在[50，60）内的人数为0.03×10×100＝30，年龄在[70，80）内的人数为0.01×10×100＝10，
根据分层抽样，可知年龄在[50，60）内的抽取6人，年龄在[70，80）内的抽取2人，X所有可能取值
为0，1，2，分别求出对应的概率，即可求解．
（III）设在抽取的20名市民中，年龄在[30，50）内的人数为Y，则Y服从二项分布，再结合二项分布
的概率公式，即求解．
【解答】解：（I）由频率分布直方图可知，（0.005+0.01+a+0.03+0.035）×10＝1，解得a＝0.02，
故a的值为0.02，
设该社区参加2019年国庆活动的居民的年龄中位数为x，
则0.4，解得x．
（II）年龄在[50，60）内的人数为0.03×10×100＝30，
年龄在[70，80）内的人数为0.01×10×100＝10，
根据分层抽样，可知年龄在[50，60）内的抽取6人，年龄在[70，80）内的抽取2人，
X所有可能取值为0，1，2，
P（X＝0），
P（X＝1），
P（X＝2），
故X的分布列为：
X 0 1 2
P
数学期望E（X）．
（III）设在抽取的20名市民中，年龄在[30，50）内的人数为Y，
则Y服从二项分布，
由频率分布直方图得年龄在[30，50）内的频率为 （0.005+0.035）×10＝0.4，
故Y～B（20，0.4），
P（Y＝k）（k＝0，1，2，…，20），
设t，
当t＞1时，k＜8.4，P（Y＝k﹣1）＜P（Y＝k），
当t＜1时，k＞8.4，P（Y＝k﹣1）＞P（Y＝k），
当k＝8时，P（Y＝k）最大，
故当P 最大时，k＝8．
k
19．（17分）如图，正四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，平面 与底面ABCD平行且与四棱
锥的四条侧棱（不含端点）分别交于点E，F，G，H，四棱台EFGH﹣ABαCD与四棱锥P﹣ABCD的棱
第15页（共17页）长和相等（“棱长和”指多面体的所有棱长之和）．
（1）若E是棱PA的中点，求四棱台EFGH﹣ABCD的体积；
（2）求平面PAD与平面PBC的夹角的余弦值；
（3）已知四棱柱 的底面是边长为m的正方形，侧棱长为n，且侧棱与底面所在平面所成的角为，若
平面 任意上下平Ω移时，总存在正数m，n，使得四棱柱 与四棱台EFGH﹣ABCD有相同的体积，也
有相同α的棱长和，求sin 的取值范围． Ω
θ
【分析】（1）由题意易得四棱锥P﹣EFGH也是正四棱锥，进而结合四棱锥的体积公式求解即可；
（2）设AD，BC的中点分别为M，N，连接PM，PN，MN．设平面PAD与平面PBC的交线为l，易得
平面PAD与平面PBC的夹角即∠MPN（或其补角），进而求解即可；
（3）由题意知四棱柱 的高为nsin ，体积为m2nsin ，当平面 任意上下平移时，设，0＜t＜1，易
得，结合四棱柱 与四Ω棱台EFGH﹣θABCD的棱长和相θ 等，可得α8m+4n＝8，进而得到，令f（m）＝
（2m2﹣2m3），进Ω而结合其导数求解即可．
【解答】解：（1）由题意知平面EFGH∥平面ABCD，
所以四棱锥P﹣EFGH也是正四棱锥，
依题意，PE+PF+PG+PH＝EF+FG+GH+HE，
即4PE＝4EF，故PE＝EF，
即四棱锥P﹣EFGH和正四棱锥P﹣ABCD的侧面都是正三角形，
连接AC，设点P在底面ABCD上的射影为O，则O为AC的中点．
由已知得，PA＝PC＝1，
所以△PAC是等腰直角三角形，
所以AC上的高，
即四棱锥P﹣ABCD的高为，所以，
当E是棱PA的中点时，，
所以四棱台EFGH﹣ABCD的体积为．
（2）设AD，BC的中点分别为M，N，连接PM，PN，MN，
设平面PAD与平面PBC的交线为l，
第16页（共17页）易知AD∥平面PBC，
又AD 平面PAD，则AD∥l，
因为△⊂PAD是等边三角形，所以PM⊥AD，所以PM⊥l，同理可得PN⊥l，
所以平面PAD与平面PBC的夹角即∠MPN（或其补角），
由已知可得，MN＝1，
所以，
所以平面PAD与平面PBC的夹角的余弦值为．
（3）由题意知四棱柱 的高为nsin ，体积为m2nsin ．
当平面 任意上下平移Ω时，设，0＜θt＜1， θ
则，四棱α台EFGH﹣ABCD的体积为，
所以．①
又四棱柱 与四棱台EFGH﹣ABCD的棱长和相等，所以8m+4n＝8，
所以n＝2Ω﹣2m，0＜m＜1，
将其代入①，得，
令f（m）＝2m2﹣2m3，则f′（m）＝4m﹣6m2＝2m（2﹣3m），
当时，f′（m）＞0，当时，f′（m）＜0，
所以f（m）在上单调递增，在上单调递减，
所以f（m）在处取得极大值，也是最大值，最大值为，
所以，则．
又，且总存在满足题中条件的m和n，
所以，
故，解得，
又，所以sin 的取值范围是．
θ
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