文档内容
2025-2026学年黑龙江省哈尔滨三中高三（上）期末数学试卷
一、选择题（共58分）（一）单项选择题（共8小题，每小题5分：在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.)
1．（5分）已知集合，B＝{x|log （﹣x）≤2}，则A∩B＝（ ）
2
A．[﹣4，1） B．[﹣4，+∞） C．（﹣1，0） D．[﹣4，0）
2．（5分）双曲线的焦点坐标为（ ）
A．（±3，0） B．（0，±3） C． D．
3．（5分）（2x﹣1）8的展开式中x3的系数为（ ）
A．﹣448 B．﹣56 C．56 D．448
4．（5分）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，后人称为“三角垛”．“三
角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，设从上往下各层
的球数构成数列{a }，则（ ）
n
A． B． C． D．
5．（5分）某辩论小组有5位成员，要从中选出4位依次作为一辩、二辩、三辩、四辩参赛，若选中甲，
甲只能作为一辩或者四辩，则不同的安排方法有（ ）
A．72种 B．66种 C．42种 D．36种
6．（5分）已知函数的部分图像如图所示，若方程f（x）＝m在上有两个不相等的实数根，则实数m的
取值范围是（ ）
A．（﹣2，﹣1] B．[﹣2，﹣1] C． D．
7．（5分）如图，在一个底面边长为4，侧棱长为的正四棱锥P﹣ABCD中，大球O 内切于该四棱锥，小
1
第1页（共19页）球O 与大球O 及四棱锥的四个侧面相切，则小球O 的体积为（ ）
2 1 2
A． B． C． D．
8．（5分）已知函数f（x）对任意x＞0，x2f（x）+x3f′（x）+xf′（x）＞f（x）成立，则（ ）
A．5f（2）＜3f（1） B．9f（3）＞20f（1）
C．51f（4）＞40f（3） D．4f（3）＜3f（2）
（二）多项选择题（共3小题，每小题6分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的
得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
（多选）9．（6分）下列命题为真命题的是（ ）
A．空间内三点确定一个平面
B．垂直于同一个平面的两条直线互相平行
C．若向量，，是不共面的向量，则，，也是不共面的向量
D．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
（多选）10．（6分）已知i为虚数单位，复数z＝1+i，则（ ）
A．
B．z2＝|z|2
C．
D．z2026的虚部为﹣21013
（多选）11．（6分）若数列{a }对任意n N ，有a ﹣a ＜a ﹣a ，则称数列{a }为“速减数列”，
n + n+2 n+1 n+1 n n
则（ ） ∈
A．数列为“速减数列”
B．数列为“速减数列”
C．数列{a }为“速减数列”，且任意项a Z，a ＝2026，a ＝2024，a ＝﹣2023，a ＝﹣2，a ＝0，
n n 1 2 7 99 k
则k的最大值为63 ∈
D．已知项数为2k（k≥2，k Z）的数列{b }是“速减数列”，且数列{b }的所有项的和等于k，则
n n
b +b ＞1 ∈
k k+1
二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上．）
第2页（共19页）12．（5分）已知，，则cosx＝ ．
13．（5分）椭圆的一个光学性质是从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆
的另一个焦点上．已知椭圆C的两个焦点为F （﹣1，0），F （1，0），从F 发出的光线经l：x+y﹣
1 2 1
3＝0 上点 P 反射后经过 F ．C 与 l 有公共点，当椭圆 C 的短轴最短时 C 的标准方程为
2
．
14．（5分）已知函数f（x）＝（2﹣x）2x﹣1，x （0，2），g（x）＝2x﹣2﹣x，x （0，2）的零点分别
为x ，x ，则x +x ＝ ． ∈ ∈
1 2 1 2
三、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（13分）如图，四棱锥 P﹣ABCD的底面ABCD为直角梯形，其中 AB∥DC，AB⊥BC，且平面
PAB⊥平面ABCD，PA＝PB，DC＝2AB＝2BC＝4，E为PD中点．
（1）求证：AE∥平面PBC；
（2）若平面ABE与平面PAB的夹角的余弦值为，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
16．（15分）数列{a }的前n项和S ＝n（n+1），数列{b }满足，n N ．
n n n +
（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式； ∈
（2）将数列{a }和数列{（﹣1）nb }各取前100项，按从小到大排成一个新的数列{d }，其中重复的数
n n n
只取一次，求数列{d }的前100项和．
n
17．（15分）如图，一艘船向正东航行，顺次经过观测点B，M，N，C，船航行到B处，在B处观测灯
塔A在船的北偏东30°的方向上，船航行到C处，在C处观测灯塔在船的北偏西60°的方向上，已知
B，C相距6海里，∠MAN＝30°．
（1）若，求MN的距离；
（2）求△AMN面积的最小值．
18．（17分）已知函数f（x）＝x2﹣aex．
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）过点（0，﹣1）的切线方程；
第3页（共19页）（2）若函数f（x）有2个极值点x ，x ，且x ＜x ．
1 2 1 2
（ⅰ）求实数a的取值范围；
（ⅱ）求证：x +3x ＞4．
1 2
19．（17分）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的准线与圆C：x2+（y﹣2）2＝1相切．
（1）求抛物线E的方程；
（2）依次构造点列A （a ，0），B （b ，0），P （x ，y ），．设a ＝1，b ＝2a ，n N*，过点A
n n n n n n n 1 n n n
作斜率为的直线与曲线E分别交于点P ，Q ，直线P B 与曲线E交于另一点Q ，直线Q∈ B 与曲线E
n n n n n+1 n n
交于另一点P ，直线P Q 与x轴交于点A ．
n+1 n+1 n+1 n+1
（ⅰ）求数列{a }和{b }的通项公式；
n n
（ⅱ）记△P Q B 的面积为S ，当k ＝1时，求证：．
n n n n 1
第4页（共19页）2025-2026学年黑龙江省哈尔滨三中高三（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B A D A A A C
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 BCD AC ACD
一、选择题（共58分）（一）单项选择题（共8小题，每小题5分：在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.)
1．（5分）已知集合，B＝{x|log （﹣x）≤2}，则A∩B＝（ ）
2
A．[﹣4，1） B．[﹣4，+∞） C．（﹣1，0） D．[﹣4，0）
【分析】解不等式，得到A＝（﹣1，+∞），B＝[﹣4，0），根据交集概念求出答案．
【解答】解：集合（﹣1，+∞），
log （﹣x）≤2＝log 4，故0＜﹣x≤4，解得﹣4≤x＜0，所以B＝[﹣4，0），
2 2
所以A∩B＝（﹣1，+∞）∩[﹣4，0）＝（﹣1，0）．
故选：C．
2．（5分）双曲线的焦点坐标为（ ）
A．（±3，0） B．（0，±3） C． D．
【分析】根据双曲线C的方程，求得c的值，结合双曲线C的焦点在y轴上，即可求解．
【解答】解：由双曲线方程可得a2＝6，b2＝3，
则，
又因为双曲线C的焦点在y轴上，可得双曲线C的焦点坐标为F（0，±3）．
故选：B．
3．（5分）（2x﹣1）8的展开式中x3的系数为（ ）
A．﹣448 B．﹣56 C．56 D．448
【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得（2x﹣1）8的展开式中x3的系数．
【解答】解：∵（2x﹣1）8的展开式的通项公式为T •（﹣1）r•（2x）8﹣r，
r+1
令8﹣r＝3，求得r＝5，
第5页（共19页）故展开式中x3的系数为•23＝﹣448，
故选：A．
4．（5分）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，后人称为“三角垛”．“三
角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，设从上往下各层
的球数构成数列{a }，则（ ）
n
A． B． C． D．
【分析】根据题中给出的图形，结合题意找到各层球的数与层数的关系，得到数列{a }的通项公式，
n
再运用裂项相消求和即可得解．
【解答】解：由题意可知a ＝1，a ＝a +2＝1+2＝3，a ＝a +3＝6，
1 2 1 3 2
则a ＝a +4＝10，
4 3
a ＝a +5＝15，
5 4
...，
，
所以，
所以．
故选：D．
5．（5分）某辩论小组有5位成员，要从中选出4位依次作为一辩、二辩、三辩、四辩参赛，若选中甲，
甲只能作为一辩或者四辩，则不同的安排方法有（ ）
A．72种 B．66种 C．42种 D．36种
【分析】分选甲和不选甲两种情况讨论，结合排列知识，或分步乘法计数原理即可求解
【解答】解：当没有选甲时，不同的安排方法有种；
当选中甲时，不同的安排方法有种，
故不同的安排方法共有种．
故选：A．
6．（5分）已知函数的部分图像如图所示，若方程f（x）＝m在上有两个不相等的实数根，则实数m的
取值范围是（ ）
第6页（共19页）A．（﹣2，﹣1] B．[﹣2，﹣1] C． D．
【分析】由函数f（x）的图像，求得，设，得到f（t）＝2sint，根据题意，转化为y＝f（t）和y＝m的
图像有两个不同的交点，结合正弦型函数的性质，即可求解．
【解答】解：由图可得A＝2，且，所以T＝ ，
则，求得f（x）＝2sin（2x+ ）， π
由2 ，得，所以， φ
因为φ，所以，
设，则，可得，
当时，函数f（t）单调递减；当时，函数f（t）单调递增，
且，，且，
要使得方程f（x）＝m在上有两个不相等的实数根，
则方程f（t）＝m在上有两个不相等的实数根，
即函数y＝f（t）和y＝m的图像在上有两个不同的交点，
由图可得﹣2＜m≤1，即实数m的取值为（﹣2，﹣1]．
故选：A．
7．（5分）如图，在一个底面边长为4，侧棱长为的正四棱锥P﹣ABCD中，大球O 内切于该四棱锥，小
1
球O 与大球O 及四棱锥的四个侧面相切，则小球O 的体积为（ ）
2 1 2
第7页（共19页）A． B． C． D．
【分析】先求出正四棱锥的高，利用相切可求球的半径，结合体积公式可得答案．
【解答】解：由题易知斜高为，高为，
设底面中心为O，AD的中点为M，如图所示，
在截面POM中，设N为球O 与平面PAD的切点，所以N在PM上，且O N⊥PM，
1 1
设球O 的半径为R，易知O N＝O O＝R，
1 1 1
，故可以求得，则PO ＝3R，
1
故可以得到，解得，
设球O 与球O 相切于点Q，易知PQ＝PO﹣2R＝2R，
1 2
设球O 的半径为r，则PQ＝4r，解得，
2
则．
故选：A．
8．（5分）已知函数f（x）对任意x＞0，x2f（x）+x3f′（x）+xf′（x）＞f（x）成立，则（ ）
A．5f（2）＜3f（1） B．9f（3）＞20f（1）
C．51f（4）＞40f（3） D．4f（3）＜3f（2）
【分析】根据所给不等式，构造新函数，利用导数的性质判断新函数的单调性，然后逐一判断即可．
【解答】解：当x＞0时，x2f（x）+x3f′（x）+xf′（x）＞f（x） x2f（x）+x3f′（x）+xf′（x）﹣f
⇒
第8页（共19页）（x）＞0
，
设，
所以当x＞0时，函数F（x）单调递增．
A：因为当x＞0时，函数F（x）单调递增，
所以，
所以无法判断5f（2），3f（1）之间的大小关系，故A错误；
B：因为当x＞0时，函数F（x）单调递增，
所以
，
显然无法判断9f（3），20f（1）之间的大小，故B错误；
C：因为当x＞0时，函数F（x）单调递增，
所以，故C正确；
D：因为当x＞0时，函数F（x）单调递增，
所以，故D错误．
故选：C．
（二）多项选择题（共3小题，每小题6分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的
得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
（多选）9．（6分）下列命题为真命题的是（ ）
A．空间内三点确定一个平面
B．垂直于同一个平面的两条直线互相平行
C．若向量，，是不共面的向量，则，，也是不共面的向量
D．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
【分析】利用平面确定定理可判断A；根据线面垂直性质可判断B；利用反证法判断C；利用空间向量
共面的推论判断D．
【解答】解：A选项，若三点共线，则可确定无数个平面，故A错误；
B选项，垂直于同一个平面的两条直线互相平行，故B正确；
C选项，若是共面的向量，则存在实数m，n使得，
即，则向量共面，与已知显然矛盾，所以，，是不共面的向量，故C正确；
D选项，因，则由空间向量共面的推论可知，P，A，B，C四点共面，故D正确．
故选：BCD．
（多选）10．（6分）已知i为虚数单位，复数z＝1+i，则（ ）
第9页（共19页）A．
B．z2＝|z|2
C．
D．z2026的虚部为﹣21013
【分析】根据复数的模长公式，复数的运算定义及性质可依次判断．
【解答】解：由z＝1+i，得，故A正确；
由z2＝（1+i）2＝2i，得|z|2＝2，可知z2≠|z|2，故B错误；
，故C正确；
由z2＝2i，得z4＝﹣4，则z2026＝（z4）506•z2＝（﹣4）506•2i＝21013i，
所以，z2026i的虚部为21013，故D错误．
故选：AC．
（多选）11．（6分）若数列{a }对任意n N ，有a ﹣a ＜a ﹣a ，则称数列{a }为“速减数列”，
n + n+2 n+1 n+1 n n
则（ ） ∈
A．数列为“速减数列”
B．数列为“速减数列”
C．数列{a }为“速减数列”，且任意项a Z，a ＝2026，a ＝2024，a ＝﹣2023，a ＝﹣2，a ＝0，
n n 1 2 7 99 k
则k的最大值为63 ∈
D．已知项数为2k（k≥2，k Z）的数列{b }是“速减数列”，且数列{b }的所有项的和等于k，则
n n
b +b ＞1 ∈
k k+1
【分析】由“速减数列”的定义，结合作差法和累加法、不等式的性质，逐项判断即可．
【解答】解：对于A，由a ，可得0，，
n
即有，
两边取倒数，可得，即为，所以A正确；
对于B，设a ＝n3n2﹣2n+1，
n
由a ﹣a ，
n+2 n+1
a ﹣a ，
n+1 n
．
所以a ﹣a ＞a ﹣a ，即有数列不是“速减数列”，所以B错误；
n+2 n+1 n+1 n
对于C，因为数列{a }中，任意项a Z，所以任意两项的差均为整数．
n n
数列{a
n
}为“速减数列”，a
1
＝2026，∈ a
2
＝2024，a
7
＝﹣2023，a
99
＝﹣2，所以a
2
﹣a
1
＝﹣2．
所以 a ﹣a ＜﹣2，所以 a ﹣a ≤﹣3；同理 a ﹣a ＜﹣3，所以 a ﹣a ≤﹣4；…，a ﹣a ≤﹣
3 2 3 2 4 3 4 3 n+1 n
第10页（共19页）（n+1）．
累加得，（a ﹣a ）+（a ﹣a ）+（a ﹣a ）+…+（a ﹣a ）≤﹣2+（﹣3）+（﹣4）+…+[﹣
2 1 3 2 4 3 n+1 n
（n+1）]，
所以，所以．
因为a ＝0，所以，即k2+k﹣4054≤0，所以．
k
所以k≤63．所以C正确；
对于D，已知项数为2k（k≥2，k Z）的数列{b }是“速减数列”，所以对任意n N ，有b ﹣b ＜
n + n+2 n+1
b ﹣b ， ∈ ∈
n+1 n
所以b 2k ﹣b 2k﹣1 ＜b 2k﹣1 ﹣b 2k﹣2 ＜…＜b k+2 ﹣b k+1 ＜b k ﹣b k﹣1 ＜…＜b 3 ﹣b 2 ＜b 2 ﹣b 1 ，所以b 2k +b 1 ＜b 2k﹣1 +b 2
＜b 2k﹣2 +b 3 ＜…＜b k +b k+1 ．
b 1 +b 2 +…+b k +b k+1 +…+b 2k﹣1 +b 2k ＜k（b k +b k+1 ）．
由数列{b n }的所有项的和等于k，得b 1 +b 2 +…+b k +b k+1 +…+b 2k﹣1 +b 2k ＝k，
所以k＜k（b +b ）．
k k+1
因为k＞0，所以b +b ＞1．所以D正确．
k k+1
故选：ACD．
二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上．）
12．（5分）已知，，则cosx＝ ．
【分析】根据同角三角函数的平方关系，结合求出，然后根据x＝（x），运用两角和的余弦公式求出
答案．
【解答】解：由题意得，
结合，可得，
所以．
故答案为：．
13．（5分）椭圆的一个光学性质是从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆
的另一个焦点上．已知椭圆C的两个焦点为F （﹣1，0），F （1，0），从F 发出的光线经l：x+y﹣
1 2 1
3＝0上点P反射后经过F ．C与l有公共点，当椭圆C的短轴最短时C的标准方程为 ．
2
【分析】先求出点F （﹣1，0）关于直线l：x+y﹣3＝0的对称点为F（3，4），再结合椭圆的光学性
1
质可得|PF|+|PF |≥|FF |，即可求出，再结合直线l与椭圆C有公共点，联立两方程式则可得（2b2+1）
2 2
x2﹣6（b2+1）x+8b2+9﹣b4＝0，再利用Δ≥0即可求得b2≥4，从而可求解．
【解答】解：已知椭圆C的两个焦点为F （﹣1，0），F （1，0），
1 2
从F 发出的光线经l：x+y﹣3＝0上点P反射后经过F ，
1 2
第11页（共19页）设点F （﹣1，0）关于直线l：x+y﹣3＝0的对称点为F（m，n），
1
则，解得，即F（3，4），
椭圆的一个光学性质是从椭圆的一个焦点发出的光线，
经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上，
则从F 发出的光线经直线l上点P反射后经过F ，即|PF |＝|PF|，
1 2 1
所以|PF |+|PF |＝|PF|+|PF |，
1 2 2
又因为|PF|+|PF |≥|FF |，当且仅当P在FF 与直线l的交点时取等号，
2 2 2
根据两点间的距离公式可得，
对于椭圆上的任意一点M满足，则；
又因直线l与椭圆C有公共点，则将y＝3﹣x代入椭圆，
化简得（2b2+1）x2﹣6（b2+1）x+8b2+9﹣b4＝0，
则Δ＝36（b2+1）2﹣4（2b2+1）（8b2+9﹣b4）≥0，化简得b2（8b4﹣24b2﹣32）≥0，
因为b2＞0，所以8b4﹣24b2﹣32≥0，解得b2≥4（负值舍去），
所以要使椭圆C的短轴最短即b2＝4，此时a2＝b2+1＝5满足，
故椭圆C的标准方程为．
故答案为：．
14．（5分）已知函数f（x）＝（2﹣x）2x﹣1，x （0，2），g（x）＝2x﹣2﹣x，x （0，2）的零点分别
为x ，x ，则x +x ＝ 2 ． ∈ ∈
1 2 1 2
【分析】根据零点定义，结合同底的指数函数和对数函数的对称性、数形结合思想进行求解即可．
【解答】解：令f（x）＝（2﹣x）2x﹣1＝0，
则有（2﹣x）•2x＝1，，
当x （0，2）时，
直线∈y＝2﹣x与指数函数的图象的交点的横坐标为x
1
，x
1
（0，2），
令g（x）＝2x﹣2﹣x＝0，即2x﹣2＝x（x＞0），
∈
所以x﹣2＝log x，2﹣x＝﹣log x，，
2 2
当x （0，2）时，
∈
第12页（共19页）直线y＝2﹣x与对数函数的图象的交点的横坐标为x ，x （0，2），
2 2
指数函数的图象与对数函数互为反函数， ∈
他们的图象关于直线y＝x对称，
又因为直线y＝2﹣x与直线y＝x互相垂直，如下图所示：
由，解得，
即A（1，1），
所以两交点也关于A（1，1）对称，
所以，x +x ＝2．
1 2
故答案为：2．
三、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（13分）如图，四棱锥 P﹣ABCD的底面ABCD为直角梯形，其中 AB∥DC，AB⊥BC，且平面
PAB⊥平面ABCD，PA＝PB，DC＝2AB＝2BC＝4，E为PD中点．
（1）求证：AE∥平面PBC；
（2）若平面ABE与平面PAB的夹角的余弦值为，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
【分析】（1）根据中位线可证四边形ABFE是平行四边形，再由线面平行的判定定理得证；
（2）取AB中点O，连接OP，过O作OG⊥CD．建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面夹角的
余弦值，进而求得四棱锥的高，从而求得体积．
【解答】解：（1）证明：取PC中点F，连接BF，EF，
∵E为PD中点，F为PC中点，∴EF∥CD且，
又AB∥CD且，∴AB∥EF且AB＝EF，
∴四边形ABFE为平行四边形，∴AE∥BF，
第13页（共19页）又∵AE 平面PBC，BF 平面PBC，
∴AE∥⊄平面PBC． ⊂
（2）取AB中点O，连接OP，过O作OG⊥CD，
∵PA＝PB，∴OP⊥AB，
又∵平面PAB⊥平面ABCD，平面APB∩平面ABCD＝AB，OP 平面PAB，
∴OP⊥平面ABCD， ⊂
以O为原点，OG、OB、OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（0，﹣1，0），B（0，1，0），D（2，﹣3，0），
设P（0，0，h）（h＞0），则，
设平面ABE的法向量，
，，
则，则，则，
取x＝h，则y＝0，z＝﹣2，
所以平面ABE的一个法向量为，
平面PAB的法向量，
，
解得，
∴．
16．（15分）数列{a }的前n项和S ＝n（n+1），数列{b }满足，n N ．
n n n +
（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式； ∈
（2）将数列{a }和数列{（﹣1）nb }各取前100项，按从小到大排成一个新的数列{d }，其中重复的数
n n n
只取一次，求数列{d }的前100项和．
n
【分析】（1）利用a 与S 的关系可求数列{a }的通项公式，当n≥2时，由已知可得，两式相除可求
n n n
数列{b }的通项公式；
n
（2）结合（1），利用分组求和法可求数列{d }的前100项和．
n
【解答】解：（1）令n＝1，则a ＝S ＝2，b ＝2，
1 1 1
当n≥2时，a
n
＝S
n
﹣S
n﹣1
＝n（n+1）﹣（n﹣1）n＝2n，a
1
＝2也符合上式，
第14页（共19页）所以a ＝2n，
n
当n≥2时，因为，
则，
所以，b ＝2也符合上式，
1
所以，
综上，a ＝2n，；
n
（2）a ＝2，a ＝4，a ＝6，…，a ＝200，
1 2 3 100
（﹣1）1b ＝﹣2，，，…，，
1
由题可得，，…，
，d ＝a ＝2，d ＝a ＝4，…，d ＝a ＝100，
51 1 52 2 100 50
所以
．
17．（15分）如图，一艘船向正东航行，顺次经过观测点B，M，N，C，船航行到B处，在B处观测灯
塔A在船的北偏东30°的方向上，船航行到C处，在C处观测灯塔在船的北偏西60°的方向上，已知
B，C相距6海里，∠MAN＝30°．
（1）若，求MN的距离；
（2）求△AMN面积的最小值．
【分析】（1）在△ANC和△AMB中反复使用正弦定理，用角度 表示边长AN、AM、CN、MB，代入
求值即可； θ
（2）将面积表达式化简为关于 的三角函数，利用和角公式、二倍角公式进行变形，通过三角函数的
范围求解面积的最小值． θ
【解答】解：（1）∵，，∴，
又∵BC＝6，∴AB＝3，，
又，设∠BAM＝ ，
∴，，， θ
在△ANC和△AMB中由正弦定理可得，
，
即，，
第15页（共19页），
，
当时，则，，
∴，，
∴（海里）；
（2）
令
，
∴，
∵，∴，∴，
∴当时，（平方海里）．
18．（17分）已知函数f（x）＝x2﹣aex．
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）过点（0，﹣1）的切线方程；
（2）若函数f（x）有2个极值点x ，x ，且x ＜x ．
1 2 1 2
（ⅰ）求实数a的取值范围；
（ⅱ）求证：x +3x ＞4．
1 2
【分析】（1）先写出f（x）的表达式，根据导数几何意义、设切点坐标，表示出切线方程，代入点
（0，﹣1），即可求得切点坐标，再代入切线方程，则问题得解；
（2）（ⅰ）求导，根据极值点，可分离参数得，构造函数，求其导数分析单调性，再结合题目条件确
定a的取值范围；
（ⅱ）根据换元法（令，），转换对数运算，再根据待证不等式，构造相应函数，分析单调性，证明
k＞1时，，从而得证．
【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝x2﹣ex，导函数f′（x）＝2x﹣ex，
设切点为，
因此函数在x＝x 处的切线方程为，
0
将点（0，﹣1）代入切线方程得，
，解得x ＝0或1，
0
因此曲线y＝f（x）在点（0，﹣1）处的切线为y＝﹣x﹣1，在点（1，1﹣e）处的切线为y＝（2﹣e）x
﹣1；
第16页（共19页）（2）（ⅰ）f′（x）＝2x﹣aex，
因为f（x）有2个极值点，所以方程有2根x ，x ，
1 2
令，导函数，
在（1，+∞）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，在（﹣∞，1）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
当x＞0时，g（x）＞0，当x＜0时，g（x）＜0，
，当x→+∞时，g（x）→0，
因此a的取值范围是；
（ⅱ）证明：，，
令，，
那么2lnt ＝at ，2lnt ＝at ，且0＜t ＜t ，
2 2 1 1 1 2
因此，
令，则，
因此可得，，
要证x +3x ＞4，即证lnt +3lnt ＞4，
1 2 1 2
即证k＞1时，，
令函数，那么导函数，
h（k）单调递增，h（k）＞h（1）＝0，当k （1，+∞）时，h′（k）＞0，
因此k＞1时，，不等式得证． ∈
19．（17分）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的准线与圆C：x2+（y﹣2）2＝1相切．
（1）求抛物线E的方程；
（2）依次构造点列A （a ，0），B （b ，0），P （x ，y ），．设a ＝1，b ＝2a ，n N*，过点A
n n n n n n n 1 n n n
作斜率为的直线与曲线E分别交于点P ，Q ，直线P B 与曲线E交于另一点Q ，直线Q∈ B 与曲线E
n n n n n+1 n n
交于另一点P ，直线P Q 与x轴交于点A ．
n+1 n+1 n+1 n+1
（ⅰ）求数列{a }和{b }的通项公式；
n n
（ⅱ）记△P Q B 的面积为S ，当k ＝1时，求证：．
n n n n 1
【分析】（1）求出准线方程，从而得到p＝2，得到抛物线方程；
第17页（共19页）（2）（ⅰ）设出直线方程，联立y2＝4x，求出两根之和，两根之积，联立化简得a ＝4a ，b ＝
n+1 n n+1
2a ＝8a ＝4b ，所以{a }是以1为首项，4为公比的等比数列，{b }是以2为首项，4为公比的等比数
n+1 n n n n
列，故，；
（ⅱ）在（ⅰ）基础上，得到k ＝2k ，所以{k }是首项为1，公比为2的等比数列，，求出，从而放
n+1 n n
缩得到，利用等比数列的求和公式即可证明．
【解答】解：（1）抛物线E：y2＝2px（p＞0）的准线为，
圆C：x2+（y﹣2）2＝1的圆心C（2，0），半径为1，
依题意，圆心C（0，2）到准线的距离为，可得p＝2，
所以抛物线E的方程为y2＝4x；
（2）（ⅰ）过A （a ，0）且斜率为的直线方程为x＝k y+a ，
n n n n
代入y2＝4x，得y2﹣4k y﹣4a ＝0，
n n
由韦达定理：y +y ′＝4k ，y y ′＝﹣4a ，①
n n n n n n
设直线P B 的方程为x＝my+b ，代入y2＝4x，得y2﹣4my﹣4b ＝0，
n n n n
则y y ′＝﹣4b ，可得，②
n n+1 n
同理，由y 'y ＝﹣4b ，可得，③
n n+1 n
则直线P Q 的斜率，
n+1 n+1
直线P Q 的方程为：，
n+1 n+1
将A （a ，0）代入化简得，（*）
n+1 n+1
将②③代入y y′ ，结合①，
n+1 n+1
可得，
再代入（*）式，化简得，
由于a ＝1，b ＝2，满足b ＝2a ，
1 1 n n
则，b ＝2a ＝8a ＝4b ，
n+1 n+1 n n
所以{a }是以1为首项，4为公比的等比数列，
n
{b }是以2为首项，4为公比的等比数列，
n
则，；
（ⅱ）证明：由（ⅰ）可得，，
y +y′ ＝4k ，y y′ ＝﹣4a ，y +y′ ＝4k ，
n n n n n n n+1 n+1 n+1
，，
，
代入得，化简得k ＝2k ，
n+1 n
第18页（共19页）所以{k }是首项为1，公比为2的等比数列，．
n
因为，
则，
故，
，得证．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/2/6 0:22:45；用户：量神大数学；邮箱：18600601432；学号：50925141
第19页（共19页）
