专题22离散型随机变量的概率（解析版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_二轮复习_2023年高考数学二轮专题训练（新高考地区专用）

专题22 离散型随机变量的概率
1、【2022年全国乙卷】某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手
与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p ,p ,p ，且p >p >p >0．记该棋手连胜两盘的概率为p，则
1 2 3 3 2 1
（ ）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
【答案】D
【解析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，
记该棋手在第二盘与甲比赛，且连胜两盘的概率为p
甲
则p =2(1−p )p p +2p p (1−p )=2p (p +p )−4 p p p
甲 2 1 3 2 1 3 1 2 3 1 2 3
记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为p
乙
则p =2(1−p )p p +2p p (1−p )=2p (p +p )−4 p p p
乙 1 2 3 1 2 3 2 1 3 1 2 3
记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为p
丙
则p =2(1−p )p p +2p p (1−p )=2p (p +p )−4 p p p
丙 1 3 2 1 3 2 3 1 2 1 2 3
则p −p =2p (p +p )−4 p p p −[2p (p +p )−4 p p p ]=2(p −p )p <0
甲 乙 1 2 3 1 2 3 2 1 3 1 2 3 1 2 3
p −p =2p (p +p )−4 p p p −[2p (p +p )−4 p p p ]=2(p −p )p <0
乙 丙 2 1 3 1 2 3 3 1 2 1 2 3 2 3 1
即p <p ，p <p ，
甲 乙 乙 丙
则该棋手在第二盘与丙比赛，p最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；
p与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.
故选：D
2、（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加
比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回
答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每
个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能
正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记 为小明的累计得分，求 的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
【解析】（1）由题可知， 的所有可能取值为 ， ， ．
；
；
．
所以 的分布列为
（2）由（1）知， ．
若小明先回答 问题，记 为小明的累计得分，则 的所有可能取值为 ， ， ．
；
；
．
所以 ．
因为 ，所以小明应选择先回答 类问题．
3、（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制
（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主
客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队
以4∶1获胜的概率是____________．
【解析】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以 获胜的概率是
前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以 获胜的概率是综上所述，甲队以 获胜的概率是
4、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定
赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空
者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至
其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的
概率都为 ，
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率.
【解析】（1）记事件 甲连胜四场，则 ；
（2）记事件 为甲输，事件 为乙输，事件 为丙输，
则四局内结束比赛的概率为
，
所以，需要进行第五场比赛的概率为 ；
（3）记事件 为甲输，事件 为乙输，事件 为丙输，
记事件 甲赢，记事件 丙赢，
则甲赢的基本事件包括： 、 、 、
、 、 、 、 ，
所以，甲赢的概率为 .
由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，
所以丙赢的概率为 .5、（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，
希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．
对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当
其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为
了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，
乙药得 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得 分；若都治愈或
都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求 的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分， 表示“甲药的累计得分为 时，最终认为甲
药比乙药更有效”的概率，则 ， ， ，其中
， ， ．假设 ， ．
(i)证明： 为等比数列；
(ii)求 ，并根据 的值解释这种试验方案的合理性．
【解析】（1）由题意可知 所有可能的取值为： ， ，
； ；
则 的分布列如下：
（2） ，
， ，
（i）
即整理可得：
是以 为首项， 为公比的等比数列
（ii）由（i）知：
， ，……，
作和可得：
表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲
药更有效的概率为 ，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理.
6、（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某
局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比
赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方
10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.
（1）求P（X=2）；
（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.
【解析】(1)由题意可知， 所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”
所以
(2)由题意可知， 包含的事件为“前两球甲乙各得 分，后两球均为甲得分”
所以 =0.17、【2022年全国甲卷】甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方
得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概
率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
【解析】(1)
设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A,B,C，所以甲学校获得冠军的概率为
P=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=0.5×0.4×0.8+0.5×0.4×0.8+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2
=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6．
(2)依题可知，X的可能取值为0,10,20,30，所以，
P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16,
P(X=10)=0.5×0.4×0.8+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2=0.44，
P(X=20)=0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.2=0.34，
P(X=30)=0.5×0.6×0.2=0.06.
即X的分布列为
X 0 10 20 30
P 0.16 0.44 0.34 0.06
期望E(X)=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13.
8、【2022年新高考1卷】一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分
为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患
该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
不够良
良好
好
病例组 40 60
对照组 10 90
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该
P(B|A) P(B|A)
疾病”． 与 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指
P(B|A) P(B|A)标为R．
P(A|B) P(A|B)
（ⅰ）证明：R= ⋅ ；
P(A|B) P(A|B)
（ⅱ）利用该调查数据，给出P(A|B),P(A|B)的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．
n(ad−bc) 2
附K2=
，
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2≥k)0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【解析】(1)
n(ad−bc) 2 200(40×90−60×10) 2
由已知K2= = =24，
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 50×150×100×100
又P(K2≥6.635)=0.01，24>6.635，
所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
P(B|A) P(B|A) P(AB) P(A) P(AB) P(A)
(2)(i)因为R= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ，
P(B|A) P(B|A) P(A) P(AB) P(A) P(AB)
P(AB) P(B) P(AB) P(B)
所以R= ⋅ ⋅ ⋅
P(B) P(AB) P(B) P(AB)
P(A|B) P(A|B)
所以R= ⋅ ，
P(A|B) P(A|B)
40 10
(ii) 由已知P(A|B)= ，P(A|B)= ，
100 100
60 90
又P(A|B)= ，P(A|B)= ，
100 100
P(A|B) P(A|B)
所以R= ⋅ =6
P(A|B) P(A|B)
9、【2022年新高考2卷】在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如
下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率；
(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该
地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年
龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.
【解析】(1)
平均年龄x=(5×0.001+15×0.002+25×0.012+35×0.017+45×0.023
+55×0.020+65×0.012+75×0.006+85×0.002)×10=44.65（岁）．
(2)设A={一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)}，所以
P(A)=1−P(A)=1−(0.001+0.002+0.006+0.002)×10=1−0.11=0.89．
(3)
设B={任选一人年龄位于区间[40,50)}，C={任选一人患这种疾病}，
则由条件概率公式可得
P(BC) 0.1%×0.023×10 0.001×0.23
P(C|B)= = = =0.0014375≈0.0014．
P(B) 16% 0.16
题组一、正态分布
1-1、（2022·江苏海门·高三期末）现实世界中的很多随机变量遵循正态分布．例如反复测量某一个物理量，
其测量误差X通常被认为服从正态分布．若某物理量做n次测量，最后结果的误差，X ~N(0， )，则为
n
使|X |≥ 的概率控制在0.0456以下，至少要测量的次数为（ ）
n（附）随机变量X~N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.9544，P(u－3σ＜X＜
μ＋3σ)＝0.9974．
A．32 B．64 C．128 D．256
【答案】C
【解析】根据题意， ，
而 ，则 ，所以 .
故选：C.
1-2、（2022·江苏如皋·高三期末）已知随机变量X服从正态分布 ，且 ，则
（ ）
A．0.43 B．0.28 C．0.14 D．0.07
【答案】D
【解析】∵随机变量 服从正态分布 ，∴正态曲线的对称轴是 ，
∵ ，∴ .
故选：D.
1-3、（2022·江苏常州·高三期末）已知随机变量 ， ，且 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为随机变量 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，即 ，
又所以 ，即 .
故选：B.
题组二、二项分布
2-1、（2022·广东东莞·高三期末）甲乙两人在数独APP上进行“对战赛”，每局两人同时解一道题，先解
出题的人赢得一局，假设无平局，且每局甲乙两人赢的概率相同，先赢3局者获胜，则甲获胜且比赛恰进
行了4局的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】甲乙两人各自解题是相互独立事件，又知每局中甲乙两人赢的概率相同，
即甲赢的概率为 ，甲输的概率为 .
则甲获胜且比赛恰进行了4局的比赛情况是：甲在前三局中赢了两局，第四局赢了.
其概率是
故选：D
2-2、（2021·山东滨州市·高三二模）为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的
精神，某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动，甲､乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛，
规定：每一局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局，首先获得5分者获胜，比赛结束.假设每局
3
比赛甲获胜的概率都是5.
（1）求比赛结束时恰好打了6局的概率；
（2）若甲以3：1的比分领先时，记X表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求X的分布列及期望.
4
3 2 3 486
P C4   
【解析】（1）比赛结束时恰好打了6局，甲获胜的概率为 1 5  5    5   5 3125 ，
1 4
3 2 2 96
P C1   
恰好打了6局，乙获胜的概率为 2 5  5    5   5 3125 ，486 96 582
P  P P   
所以比赛结束时恰好打了6局的概率为 1 2 3125 3125 3125.
（2）X的可能取值为2，3，4，5，
2
3 9
PX 2 
  ，
5 25
2 3 3 36
PX 3C1   
2 5 5 5 125 ，
2 4
3 2 3 2 124
PX 4C1    
3 5  5   5  5   625 ，
3 3
3 2 3 2 3 2 96
PX 5C1   C3   
   
4 5 5 5 4 5 5 5 625 .
所以X的分布列如下：
X 2 3 4 5
9 36 124 96
P
25 125 625 625
9 36 124 96 1966
EX2 3 4 5 
故 25 125 625 625 625 .
2-3、（2021·山东济宁市·高三二模）甲、乙两人进行“抗击新冠疫情”知识竞赛，比赛采取五局三胜制，
2 1
约定先胜三局者获胜，比赛结束．假设在每局比赛中，甲获胜的概率为3 ，乙获胜的概率为3，各局比赛
相互独立．
（1）求甲获胜的概率；
（2）设比赛结束时甲和乙共进行了X 局比赛，求随机变景X 的分布列及数学期望．
64 107
【答案】（1）81；（2）分布列见解析，数学期望为 27 ．3
2 8
P  
【解析】（1）由题意知，比赛三局且甲获胜的概率 1  3   27 ，
2
2 1 2 8
P C2   
比赛四局且甲获胜的概率为 2 3  3   3 3 27 ，
2 2
2 1 2 16
P C2   
比赛五局且甲获胜的概率为 3 4  3    3   3 81 ，
8 8 16 64
P P P P    
所以甲获胜的概率为 1 2 3 27 27 81 81．
（2）随机变量X 的取值为3，4，5，
3 3 2 2
2 1 1 2 1 2 1 2 1 8 2 10
PX 3   PX 4C2   C2     
则  3    3   3 ， 3  3   3 3 3  3   3 3 27 27 27 ，
2 2
2 1 8
PX 5C2  
4  3    3   27 ，
所以随机变量X 的分布列为
X 3 4 5
1 10 8
P
3 27 27
1 10 8 107
所以EX3 4 5  ．
3 27 27 27
题组三、离散型随机变量的均值与方差
3-1、（2022·江苏通州·高三期末）下列命题中，正确的是（ ）
A．若事件 与事件 互斥，则事件 与事件 独立
B．已知随机变量 的方差为 ，则
C．已知随机变量 服从二项分布 ，若 ，则
D．已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则
【答案】BC【解析】事件 与事件 互斥，即事件 与事件 不能同时发生，也就是其中一个事件的发生会干扰另一
件的发生，即事件 与事件 一定不独立，则A选项错误；
由方差的运算性质可知B选项正确；由二项分布的期望公式， ，由期望的运算性质，
，则 ，C选项正确；由正态分布曲线的性质可知，
，根据对称性， ，于是
，D选项错误.
故选：BC.
3-2、（2022·河北保定·高三期末）某车间打算购买2台设备，该设备有一个易损零件，在购买设备时可以
额外购买这种易损零件作为备件，价格为每个100元.在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该
零件，价格为每个300元.在使用期间，每台设备需要更换的零件个数 的分布列为
5 6 7
.
表示2台设备使用期间需更换的零件数， 代表购买2台设备的同时购买易损零件的个数.
(1)求 的分布列；
(2)以购买易损零件所需费用的期望为决策依据，试问在 和 中，应选哪一个？
【解析】(1)
的可能取值为10，11，12，13，14，
， ，
， ，
，
则 的分布列为：
10 11 12 13 14
0.09 0.3 0.37 0.2 0.04
(2)记 为当 时购买零件所需费用，， ，
， ，
元，
记 为当 时购买零件所需费用，
， ，
，
元，显然 ，
所以应选择 .
3-3、（2022·河北深州市中学高三期末）2018年9月，台风“山竹”在我国多个省市登陆，造成直接经济
损失达52亿元.某青年志愿者组织调查了某地区的50个农户在该次台风中造成的直接经济损失，将收集的
数据分成五组： ， ， ， ， （单位：元），得到
如图所示的频率分布直方图.
（1）试根据频率分布直方图估计该地区每个农户的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值代
表）；
（2）台风后该青年志愿者与当地政府向社会发出倡议，为该地区的农户捐款帮扶，现从这50户并且损失
超过4000元的农户中随机抽取2户进行重点帮扶，设抽出损失超过8000元的农户数为 ，求 的分布列
和数学期望.
【答案】（1）3360元；（2）见解析
【解析】（1）记每个农户的平均损失为 元，则
；
（2）由频率分布直方图，可得损失超过1000元的农户共有（0.00009+0.00003+0.00003）×2000×50＝15（户），损失超过8000元的农户共有0.00003×2000×50＝3（户），
随机抽取2户，则X的可能取值为0，1，2；
计算P（X＝0）＝ ＝ ，
P（X＝1）＝ ＝ ，
P（X＝2）＝ ＝ ，
所以X的分布列为；
X 0 1 2
P
数学期望为E（X）＝0× +1× +2× ＝ ．
3-4、（2022·山东省淄博实验中学高三期末）唐三彩是中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画、
雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位，在陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔，唐三彩
的生产至今已有 多年的历史，制作工艺十分复杂，而且优质品检验异常严格，检验方案是：先从烧制
的这批唐三彩中任取 件作检验，这 件唐三彩中优质品的件数记为 ，如果 ，再从这批唐三彩中任
取 件作检验，若都为优质品，则这批唐三彩通过检验：如果 ，再从这批唐三彩中任取 件作检验，
若为优质品，则这批唐三彩通过检验，其他情况下，这批唐三彩的优质品概率为 ，即取出的每件唐三彩
是优质品的概率都为 ，且各件唐三彩是否为优质品相互独立．
(1)求这批唐三彩通过优质品检验的概率；
(2)已知每件唐三彩的检验费用为 元，且抽取的每件唐三彩都需要检验，对这批唐三彩作质量检验所需
的总费用记为 元，求 的分布列及数学期望．
【答案】(1) ；(2)分布列见解析， .
【解析】(1)
解：设第一次取出的 件唐三彩中恰有 件优质品为事件 ，
第一次取出的 件唐三彩全是优质品为事件 ，
第二次取出的 件唐三彩都是优质品为事件 ，
第二次取出的 件唐三彩是优质品为事件 ，这批唐三彩通过检验为事件 ，
依题意有 ，
所以 ．
(2)
解： 可能的取值为 、 、 ，
，
， ．
所以 的分布列为
.
题组四、概率中的最值问题
4-1、（2022·山东日照·高三期末）2021年某出版社对投稿某期刊的600篇文章进行评选，每篇文章送3位
专家进行评议，3位专家中有2位以上(含2位)专家评议意见为“不合格”的文章，将认定为“不入围文
章”，有且只有1位专家评议意见为“不合格”的文章，将再送 2 位专家进行复评，2位复评专家中有1位以上(含1位)专家评议意见为“不合格”的文章，将认定为“不入围文章”.设每篇文章被每位专家评议
为“不合格”的概率均为 ，且各篇文章是否被评议为“不合格”相互独立.
(1)记一篇参评的文章被认定为“不入围文章”的概率为 ，求 ；
(2)若拟定每篇文章需要复评的评审费用为1500元，不需要复评的评审费用为900元；除评审费外，其他
费用总计为10万元.该出版社总预算费用为80万元，现以此方案实施，问是否会超过预算? 并说明理由.
【答案】(1) ；
(2)不会超过预算，理由见解析.
【解析】(1)
因为一篇文章初评被认定为“不入围文章”的概率为 ，一篇文章复评后被认定为“不入围
文章”的概率为 ，
所以一篇参评的文章被认定为“不入围文章”的概率
+
；
(2)
设每篇文章的评审费用为 元，则 的可能取值为 .
， .
.
令 .
当 时， 在 上单调递增，当 时， 在 上单调递减，的最大值为 ，实施此方案，最高费用为： （万元）.
因此实施此方案，不会超过预算.
4-2、（2022·山东莱西·高三期末）现有混在一起质地均匀且粗细相同的长度分别为1 ､2 ､3 的钢管各
3根（每根钢管附有不同的编号），现随机抽取4根（假设各钢管被抽取的可能性是相等的），再将抽取
的这4根首尾相接焊成笔直的一根.
(1)记事件 “抽取的4根钢管中恰有2根长度相同”，求 ；
(2)若用 表示新焊成的钢管的长度（焊接误差不计）， ， ，求 的分布列和实数 的取
值范围.
【解析】(1)
由已知 ；
(2)
由已知 可能的取值有 ，
则 ，
，
，
，
的分布列为
5 6 7 8 9 10 11，
，
解得
4-3、（2022·山东淄博·高三期末）学习强国中有两项竞赛答题活动，一项为“双人对战”，另一项为“四
人赛”．活动规则如下：一天内参与“双人对战”活动，仅首局比赛可获得积分，获胜得2分，失败得1
分；一天内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，首局获胜得3分，次局获胜得2分，失败均
得1分．已知李明参加“双人对战”活动时，每局比赛获胜的概率为 ；参加“四人赛”活动（每天两
局）时，第一局和第二局比赛获胜的概率分别为p， ．李明周一到周五每天都参加了“双人对战”活动
和“四人赛”活动（每天两局），各局比赛互不影响．
(1)求李明这5天参加“双人对战”活动的总得分X的分布列和数学期望；
(2)设李明在这5天的“四人赛”活动（每天两局）中，恰有3天每天得分不低于3分的概率为 ．求p
为何值时， 取得最大值．
【答案】(1)分布列见解析， （分）
(2)
【解析】(1)
解： 可取5，6，7，8，9，10，
， ，
， ，
， ，分布列如下：
5 6 7 8 9 10
所以 （分）；
(2)
解：设一天得分不低于3分为事件 ，
则 ，
则恰有3天每天得分不低于3分的概率 ，
则
，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上递增，在 上递减，
所以当 时， 取得最大值.
1、（2022·山东莱西·高三期末）设随机变量 ， ， ，则下列结
论正确的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，根据正态分布曲线的对称性可得 ，所以
又 ，所以 且
所以
故选：D
2、（2022·广东·铁一中学高三期末）已知参加2020年某省夏季高考的53万名考生的成绩 近似地服从正
态分布 ，估计这些考生成绩落在 的人数约为（ ）
(附： ，则 ， )
A．36014 B．72027 C．108041 D．168222
【答案】B
【解析】 ， ，
， ，
，
这些考生成绩落在 的人数约为 .
故选：B.
3、（2022·湖北江岸·高三期末）在 次独立重复试验中，每次试验的结果只有A，B，C三种，且
A，B，C三个事件之间两两互斥.已知在每一次试验中，事件A，B发生的概率均为 ，则事件A，B，C发
生次数的方差之比为（ ）
A．5：5：4 B．4：4：3 C．3：3：2 D．2：2：1
【答案】C
【解析】根据 事件的互斥性可得：每一次试验中，事件 发生的概率为
设事件A，B，C发生的次数为分别随机变量 ，则有：则事件A，B，C发生次数的方差分别为： ， ，
故事件A，B，C发生次数的方差之比为：
故选：C
4、（2022·江苏海安·高三期末）一次抛掷两颗质地均匀的正方体骰子，若出现的点数是2倍关系，则称这
次抛掷“漂亮”．规定一次抛掷“漂亮”得分为3，否则得分为－1．若抛掷30次，记累计得分为 ，则
（ ）
A．抛掷一次，“漂亮”的概率为
B． ＝2时，“漂亮”的次数必为8
C．E( )＝－10
D．
【答案】BCD
【解析】由题可知一次抛掷两颗质地均匀的正方体骰子有36种等可能的结果，其中出现的点数是2倍关系
的有6种等可能的结果，所以抛掷一次，“漂亮”的概率为 ，故A错误；
记抛掷30次抛掷“漂亮”的次数为 ，则 ， ，
当 时， ，即 ，故B正确；
∴ ，
∴ ，故CD正确.故选：BCD.
5、（2022·江苏如皋·高三期末）（多选题）如图所示，是一个3×3九宫格，现从这9个数字中随机挑出3
个不同的数字，记事件A ：恰好挑出的是1、2、3；记事件A ：恰好挑出的是1、4、7；记事件A ：挑出
1 2 3
的数字里含有数字1.下列说法正确的是（ ）
1 2 3
4 5 6
7 8 9
A．事件A ，A 是互斥事件
1 2
B．事件A ，A 是独立事件
1 2
C．P(A |A )＝P(A |A )
1 3 2 3
D．P(A )＝P(A )＋P(A )
3 1 2
【答案】AC
【解析】A.挑出的是1、2、3和挑出的是1、4、7不可能同时发生，正确；
B.事件A ，A 不是独立事件，错误；
1 2
C. ，正确；
D. ， ，错误.
故选：AC.
6、（2022·河北唐山·高三期末）（多选题）为排查新型冠状病毒肺炎患者，需要进行核酸检测．现有两种
检测方式：（1）逐份检测：（2）混合检测：将其中k份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴
性，则这k份核酸全为阴性，因而这k份核酸只要检测一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这k
份核酸样本究竞哪几份为阳性，就需要对这k份核酸再逐份检测，此时，这k份核酸的检测次数总共为
次．假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本
是阳性的概率都为 ，若 ，运用概率统计的知识判断下列哪些p值能使得混合检测方式优
于逐份检测方式．（参考数据： ）（ ）
A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1【答案】CD
【解析】设混合检测分式，样本需要检测的总次数 可能取值为
，
故 的分布列为：
1 11
设逐份检测方式，样本需要检测的总次数 ，则
要使得混合检测方式优于逐份检测方式，需
即 ，即 ，即
又 ， ，
故选：CD
7、（2022·山东青岛·高三期末）习近平总书记在党的十九大报告中指出，保障和改善人民最关心最直接最
现实的利益问题要从“让人民群众满意的事情”做起.2021年底某市城市公园建设基本完成，为了解市民
对该项目的满意度，从该市随机抽取若干市民对该项目进行评分(满分100分)，绘制成如图所示的频率分
布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：
满意度评分 低于60分 60分到79分 80分到89分 不低于90分
满意度等级 不满意 基本满意 满意 非常满意(1)若市民的满意度评分相互独立，以满意度样本估计全市民满意度，现从全市民中随机抽取5人，求至少
2人非常满意的概率；
(2)相关部门对该项目进行验收，验收的硬性指标是：全民对该项目的满意指数不低于0.8，否则该项目需
要进行整改，根据你所学的统计知识，判断该项目能否通过验收，并说明理由；(注：满意指数=
)
(3)在等级为不满意的市民中，老人占 ，现从该等级市民中按年龄分层抽取9人了解不满意的原因，并从
中选取3人担任督导员.记X为老年督导员的人数，求X的分布列及数学期望E(X).
【答案】(1) ；
(2)能通过验收，理由见解析；
(3) 的分布列见解析， .
【解析】(1)
，解得 ，设至少2人非常满意的概率为事件A，由题
意知5人中非常满意的人数 ， .
(2)由频率分布直方图得：满意度平均分为 ，满意指数
，因此，能通过验收.
(3)
分层抽取9人中老人有3人，由题意知 服从超几何分布， 的可能取值为 ，
， ， ， ，
则分布列为：
0 1 2 3
所以， .
8、（2022·山东青岛·高三期末）法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买
一个面包.该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1000 ，上下浮动不超过50 .这句话用
数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000 ，标准差为50 的正态分布.
(1)已知如下结论：若 ，从 的取值中随机抽取 个数据，记这 个数据的平均
值为 ，则随机变量 .利用该结论解决下面问题.
（i）假设面包师的说法是真实的，随机购买25个面包，记随机购买25个面包的平均值为 ，求
；
（ii）庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到的数据都落在 上，并经计算25
个面包质量的平均值为 .庞加莱通过分析举报了该面包师，从概率角度说明庞加莱举报该面包师的理由；
(2)假设有两箱面包（面包除颜色外，其他都一样），已知第一箱中共装有6个面包，其中黑色面包有2个；
第二箱中共装有8个面包，其中黑色面包有3个.现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出2个面包.求取出
黑色面包个数的分布列及数学期望.
附：
①随机变量 服从正态分布 ，则 ，
；
②通常把发生概率小于 的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生.
【答案】(1)（i） ；（ii）理由见解析.
(2)
0 1 2
【解析】（i）因为 ，所以 ，因为 ，所以
，因为 ，所以 ；
（ii）由第一问知 ，庞加莱计算25个面包质量的平均值为 ，
，而 ，为小概率事件，小概率事件基本不会发生，这就是庞加莱举报该面包师
的理由；
(2)
设取出黑色面包个数为随机变量 ，则 的可能取值为0,1,2,
则 ； ，，故分布列为：
0 1 2
其中数学期望
9、（2022·山东临沂·高三期末）一机床生产了 个汽车零件，其中有 个一等品、 个合格品、 个
次品，从中随机地抽出 个零件作为样本.用 表示样本中一等品的个数.
（1）若有放回地抽取，求 的分布列；
（2）若不放回地抽取，用样本中一等品的比例去估计总体中一等品的比例.
①求误差不超过 的 的值；
②求误差不超过 的概率（结果不用计算，用式子表示即可）
【答案】（1）分布列答案见解析；（2）① 或 ；② .
【解析】（1）对于有放回抽取，每次抽到一等品的概率为 ，且各次试验之间的结果是独立的，
因此 ，从而 ， ，
， ， ，
所以 的分布列如下：
（2）对于不放回抽取，各次试验结果不独立， 服从超几何分布，样本中一等品的比例为 ，而总体中一等品的比例为 ，由题意，
① 或 ；
② .
10、（2022·湖北江岸·高三期末）5G网络是第五代移动通信网络的简称，是新一轮科技革命最具代表性的
技术之一.2020年初以来，我国5G网络正在大面积铺开.A市某调查机构为了解市民对该市5G网络服务质
量的满意程度，从使用了5G手机的市民中随机选取了200人进行问卷调查，并将这200人根据其满意度得
分分成以下6组： ､ ､ ､…， ，统计结果如图所示：
(1)由直方图可认为A市市民对5G网络满意度得分Z（单位：分）近似地服从正态分布 ，其中 近
似为样本平均数 ， 近似为样本的标准差s，并已求得 .若A市恰有2万名5G手机用户，试估计
这些5G手机用户中满意度得分位于区间 的人数（每组数据以区间的中点值为代表）；
(2)该调查机构为参与本次调查的5G手机用户举行了抽奖活动，每人最多有3轮抽奖活动，每一轮抽奖相
互独立，中奖率均为 .每一轮抽奖，奖金为100元话费且继续参加下一轮抽奖；若未中奖，则抽奖活动结
束.现小王参与了此次抽奖活动，求小王所获话费总额X的数学期望.
参考数据：若随机变量Z服从正态分布 ，即 ，则 ，
.【解析】(1)
由题意知样本平均数为 ，
∴ ，∵ ，所以， ，
而
故2万名5H手机用户中满意度得分位于区间 的人数约为 （人）
(2)
由题意可知X的可能取值有0､100､200､300，
∴ （元）.