专题23导数之凹凸反转(解析版)_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_专项复习_2023年新高考导数专项重点难点突破（新高考专用）

专题23 导数之凹凸反转 不等式恒成立问题中，许多试题的几何背景是曲线与切线静态或动态的上下位置关系，进而应用曲线的凸 凹性可获得思路自然、过程简洁的图解. f(x) 【知识拓展】一般地，对于函数 的定义域内某个区间 上的不同 x ,x 的任意两个自变量的值 1 2， x x f(x )f(x ) f( 1 2) 1 2 x =x ①总有 2 2 （当且仅当 1 2时，取等号）， f(x) 则函数 在 上是凸函数，其几何意义：函数 的图象上的 任意两点所连的线段都不落在图象的上方. ，则 单调 递减， 在 上为凸函数； x x f(x )f(x ) f( 1 2) 1 2 x =x ②总有 2 2 （当且仅当 1 2时，取等号）， f(x) 则函数 在 上是凹函数，其几何意义：函数 的图象上的 任意两点所连的线段都不落在图象的下方. ，则 单调递增， 在 上为凹函数. 1．已知函数 . （1）当 时，若关于 的不等式 恒成立，求 的取值范围； （2）当 时，证明： . 【解析】（1）由 ，得 恒成立，令 ，则 ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 的最小值为 ，所以 ，即 ，故 的取值范围是 ； （2）有（1）知 时，有 ，所以 . ①要证 ，可证 ，只需证 ，易证 ，所以 ； ②要证 ，可证 ， 易证 ，由于 ，所以 ，所以 ， 综上所述，当 时，证明： . 2．设函数 ． （1）当 时，求 的极值； （2）当 时，证明： 在 上恒成立． 【解析】（1）当 时， ， 当 时， ；当 时， ． 在 上单调递增，在 上单调递减； 在 处取得极大值 （2） ， 无极小值； （2）当 时， ，下面证 ，即证 ， 设 ，则 ， 在 上， ， 是减函数；在 上， ， 是增函数． 所以 ，设 ，则 ，在 上， ， 是增函数；在 上， ， 是减函数， 所以 ， 所以 ，即 ，所以 ，即 ， 即 在 上恒成立． 3．设函数 ， ． （1）判断函数 零点的个数，并说明理由； （2）记 ，讨论 的单调性； （3）若 在 恒成立，求实数 的取值范围． 【解析】（1）由题意得： ， ，故 在 递增； 又 （1） ， （e） ，故函数 在 内存在零点， 的零点个数是1； （2） ， ， 当 时， ， 在 递减， 当 时，由 ，解得： （舍取负值）， 时， ， 递减， ， 时， ， 递增， 综上， 时， 在 递减， 时， 在 递减，在 ， 递增； （3）由题意得： ，问题等价于 在 恒成立， 设 ，若记 ，则 ，时， ， 在 递增， （1） ，即 ， 若 ，由于 ，故 ，故 ， 即当 在 恒成立时，必有 ，当 时，设 ， ①若 ，即 时，由（2）得 ， 递减， ， ， 递增， 故 （1） ，而 ，即存在 ，使得 ， 故 时， 不恒成立； ②若 ，即 时，设 ， ， 由于 ，且 ，即 ，故 ， 因此 ，故 在 递增， 故 （1） ，即 时， 在 恒成立， 综上， ， 时， 在 恒成立． 4．已知函数 ， ． （1）若 恒成立，求实数 的取值范围； （2）求证：当 时， ． 【解析】（1）令 ，则 ， 当 时， ，则 单调递增，当 时， ，则 单调递减， 所以当 时， 取得最大值 （1） ，因为 恒成立，即 恒成立，则 ，解得 ， 故实数 的取值范围为 ， ； （2）证明：由（1）可知， 恒成立，即 ， 所以要证 ，只需证明 成立即可， 令 ，则 ， 令 ，则 ， 当 时， ，则 单调递减，当 时， ，则 单调递增， 又 ， （1） ，因为 ，则 ， 所以存在 ，使得 ， 故当 时， ，则 单调递增， 当 ， 时， ，则 单调递减， 当 时， ，则 单调递增， 又 （1） ，所以 ， 因此，当 时， ． 5．已知函数 ，曲线 在 处的切线方程为 ． （1）求证： 时， ； （2）求证： ． 【解析】（1）函数 的定义域为 ， ，又 ， ，所以该切线方程为 ． 设 ，则 ， 令 ，则 ， 当 时， ，所以 在 上单调递增， 又 ，所以 ，即 在 上单调递增， 所以 ，故 时， ； （2）由（1）知：当 时， . 令 ，则 ， 所以 ， 所以 ， 化简可得 ，得证. 6．已知函数 且 （1） ． （1）求函数 的单调区间； （2）证明： ． 【解答】（1）依题意， ，又 ，解得 ， ，令 ，解得 ，令 ，解得 ， 的单调递增区间为 ，单调递增区间为 ；（2）证明：要证 成立，只需证 成立， 令 ，则 ， 令 ，解得 ，令 ，解得 ， 在 上单调递减，在 上单调递增， ， 又由（1）可得在 上 ， ，故不等式得证． 7．已知函数 为常数）是实数集 上的奇函数，其中 为自然对数的底数． （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）讨论关于 的方程 的根的个数． 【解答】（Ⅰ） 因为函数 为常数）是实数集 上的奇函数， 所以 ，即 ，则 ，解得 ， 显然 时， 是实数集 上的奇函数； （Ⅱ）由（Ⅰ）得 ，方程可转化为 ， 令 ， ，因为 ，令 ，得 ， 当 时， ，所以 在 上为增函数， 当 时， ，所以 在 上为减函数， 当 时， ，又 所以 在 上为减函数，在 上为增函数， 当 时， ， 所以当 ，即 时，方程无解，当 ，即 时，方程有一个根， 当 ，即 时，方程有两个根， 综上得： 当 时，方程无解， 当 时，方程有一个根， 当 时，方程有两个根． 8．设函数 ， ． （1）判断函数 零点的个数，并说明理由； （2）记 ，讨论 的单调性； （3）若 在 恒成立，求实数 的取值范围． 【解答】解：（1）由题意得： ， ， 故 在 递增；又 （1） ， （e） ， 故函数 在 内存在零点， 的零点个数是1； （2） ， ， 当 时， ， 在 递减， 当 时，由 ，解得： （舍取负值）， 时， ， 递减， ， 时， ， 递增， 综上， 时， 在 递减，时， 在 递减，在 ， 递增； （3）由题意得： ， 问题等价于 在 恒成立，设 ， 若记 ，则 ， 时， ， 在 递增， （1） ，即 ，若 ，由于 ， 故 ，故 ，即当 在 恒成立时，必有 ， 当 时，设 ， ①若 ，即 时，由（2）得 ， 递减， ， ， 递增， 故 （1） ，而 ，即存在 ，使得 ， 故 时， 不恒成立； ②若 ，即 时，设 ， ， 由于 ，且 ，即 ，故 ， 因此 ，故 在 递增，故 （1） ， 即 时， 在 恒成立， 综上， ， 时， 在 恒成立． 9．已知函数 ． （1）当 时，求 的单调区间与极值；（2）当 时，证明： ． 【解析】（1） 时， ， ， 注意到 与 都是增函数，于是 在 上递增， 又 ，故 时， ；故 时， ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 当 时， 取得极小值1， 无极大值． （6分） （2）方法一：当 ， 时， ， ， ， ， 故只需证明当 时， ．当 时， 在 上单增， 又 ， ，故 在 上有唯一零点 ． 当 时， ；当 ， 时， ． 从而 时， 取得最小值．由 得： ， ， 故 ， 综上，当 时， ． 方法二：先证不等式 与 ， 设 ，则 ，可得 在 上单减，在 上单增，，即 ；设 ，则 ， 可得 在 上单增，在 上单减， （1） ，即 ． 于是，当 时， ， 注意到以上三个不等号的取等条件分别为： 、 、 ，它们无法同时取等， 所以，当 时， ，即 ． 10．设函数 ． （1）当 时，求函数 的极值点； （2）当 时，证明： 在 上恒成立． 【解析】（1）由题意得 ， 当 时， ， 在 上为增函数；当 时， ， 在 上为减函数； 所以 是 的极大值点，无极小值点 （2）证明：令 ，则 ， 令 ，则因为 ， 所以函数 在 上单调递增， 在 上最多有一个零点， 又因为 ， （1） ，所以存在唯一的 使得 （c） ， 且当 时， ；当 时， ， 即当 时， ；当 时， ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增，从而 （c） ， 由 （c） 得 即 ，两边取对数得： ，所以 （c） ， （c） ，从而证得 ． 11．已知函数 ， . （1）若 在 上恒成立，求实数 的取值范围； （2）求证： . 【解析】（1） 等价于 ，即 ， 记 ，则 ， 当 时， ， 在 上单调递增，由 ， ， 所以 ，即 不恒成立； 当 时， 时， ， 单调递增， 不恒成立； 当 时， ， ， 在 上单调递减， ，所以 ， 即 恒成立； 故 在 上恒成立，实数 的取值范围是 ； （2）当 时， 在 上成立，即 ， 令 ，则 ， 所以 ，所以 12．已知函数 在 处的切线方程为 . （1）求 ； （2）若方程 有两个实数根 ，且 ，证明： . 【解析】（1） ； （2）由（1）可知 ， ， ， 设 在 处的切线方程为 ，易得 ， 令 ， ， 则 ， 当 时， ，当 时， 设 ，则 ，故函数 在 上单调递增， 又 ，所以当 时， ，当 时， ， 所以函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增， 故 ，即 ，所以 ， 设 的根为 ，则 ， 又函数 单调递减，故 ，故 ， 再者，设 在 处的切线方程为 ，易得 ， T(x) f(x)t(x)x1 ex1  x T(x)x2ex2 令 ， ， 当x2时， ， 当x2时，令 ，则 ，2, T(x) 故函数 在 上单调递增， 又T(0)0，所以当 x,0 时， T(x)0 ，当 x0, 时，T(x)0， T(x) ,0 0, 所以函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增， 所以 ，即 ，所以 ， t(x)m x  x  m t(x) t(x) f(x )t(x ) xx 设 的根为 2 ，则 2 ， 又函数 单调递增，故 2 2 2 ，故 2 2，  me  m(12e) 又 x 1 x 1，所 x 2 x 1 x 2 x 1 m  1 1e   1 1e .