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专题 24 排列组合与二项式定理
一、单选题
1．（2024届贵州省贵阳市六校高三上学期联合考试）贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛在黔东南
苗族侗族自治州台江县台盘村开赛.该联赛由台盘村“六月六”吃新节篮球赛发展演变而来，被网友称为
“村BA”.村BA给全国人民展现的不仅是贵州人热爱生活的精神，更展现了如今欣欣向荣的贵州山水人文，
同时给贵州的旅游带来巨大的收益.2023年8月20日晚上村BA西南大区赛总决赛落下帷幕，为庆祝比赛
顺利结束，主办方设置一场扣篮表演，分别由重庆、贵州、四川、云南代表队每队各选出2名球员参加扣
篮表演，贵州队作为东道主，扣篮表演必须在第一位及最后一位，那么一共有（ ）种表演顺序.
A． B． C． D．
2．（2024届皖豫名校联盟高中毕业班高三上学期10月大联考）已知 的展开式中唯有第5
项的系数最大，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024届广西桂林市等3地高三上学期联合检测） 的展开式中， 的系数为（ ）
A． B．60 C． D．120
4．（2024届贵州省高三适应性联考）为进一步在全市掀起全民健身热潮，兴义市于9月10日在万峰林举
办半程马拉松比赛.已知本次比赛设有4个服务点，现将6名志愿者分配到4个服务点，要求每位志愿者都
要到一个服务点服务，每个服务点都要安排志愿者，且最后一个服务点至少安排2名志愿者，有（ ）种
分配方式
A．540 B．660 C．980 D．1200
5．（2024届浙江省名校协作体高三上学期联考）某市抽调5位老师分赴3所山区学校支教，要求每位老
师只能去一所学校，每所学校至少安排一位老师．由于工作需要，甲、乙两位老师必须安排在不同的学校，
则不同的分派方法的种数是（ ）
A．124 B．246 C．114 D．108
6．（2024届浙江省A9协作体高三上学期联考）如图，一只青蛙开始时位于数轴上原点的位置，每次向数轴的左侧或右侧随机跳跃一个单位，记 为第 次跳跃后对应数轴上的数字（ ， ），则
满足 ， 的跳跃方法有多少种（ ）
A．336 B．448 C．315 D．420
7．（2023届北京市第二中学高三校模）“省刻度尺”问题由英国数学游戏大师杜登尼提出：一根 长
的尺子，要能够量出长度为 到 且边长为整数的物体，至少需要6个刻度（尺子头尾不用刻）．现
有一根 的尺子，要能够一次量出长度为 到 且边长为整数的物体，尺子上至少需要有（ ）个
刻度
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（2024届陕西省西安市高三上学期10月模拟）五岳是中国汉文化中五大名山的总称，分别为东岳泰山、
西岳华山、中岳嵩山、北岳恒山、南岳衡山.某旅游博主为领略五岳之美，决定用两个月的时间游览完五岳，
且每个月只游览五岳中的两大名山或三大名山（五岳只游览一次），则恰好在同一个月游览华山和恒山的
概率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024届广东省东莞外国语学校高三上学期月考） 的展开式中， 的系数为（ ）
A．80 B．60 C． D．
10．（2024届重庆市第一中学高三上学期开学考试）已知 为
中不同数字的种类，如 ，记“ ”为事件 ，则事
件 发生的概率 （ ）
A． B． C． D．
11．（2023届安徽省定远中学高三下学期6月高考预测）小林同学喜欢吃4种坚果：核桃､腰果､杏仁､榛子，他有5种颜色的“每日坚果”袋.每个袋子中至少装1种坚果，至多装4种坚果.小林同学希望五个袋子
中所装坚果种类各不相同，且每一种坚果在袋子中出现的总次数均为偶数，那么不同的方案数为（ ）
A．20160 B．20220 C．20280 D．20340
12．已知 ， ，其中 为 展开式中 项系数，
，则下列说法不正确的有（ ）
A． ，
B．
C．
D． 是 ， ， ，…， 是最大值
二、多选题
13．（2024届河北省新乐市第一中学高三上学期月考）若 ，则
下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2024届重庆市巴蜀中学高三上学期适应性月考）在二项式 的展开式中，下列说法正确的是
（ ）
A．第6项的二项式系数最大 B．第6项的系数最大
C．所有项的二项式系数之和为 D．所有项的系数之和为1
15．某校高二年级安排甲､乙､丙三名同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每名同学
只能选择一个社区进行实践活动，且多名同学可以选择同一个社区进行实践活动，则下列说法正确的有（
）
A．如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种B．如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有50种
C．如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有60种
D．如果甲､乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种
16．（2023届辽宁省朝阳市高三上学期期末）将1，2，3，4，5，6，7这七个数随机地排成一个数列，记
第i项为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则这样的数列共有360个
B．若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，则这样的数列共有288个
C．若该数列恰好先减后增，则这样的数列共有50个
D．若 ，则这样的数列共有71个
17．若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
18．（2024届陕西省西安市高三上学期10月模拟）已知 ，且 ，若 的展开式中存在
常数项，则展开式中 的系数为 .
19．（2024届山东省齐鲁名校高三上学期学业质量联合检测）已知 的展开式中第4项与第6项
的二项式系数相等，写出展开式中的一个有理项 ．
20．（2024届江浙两省县域高中发展共同体高三上学期10月联考）第19届杭州亚运会的吉祥物是一组名
为“江南忆”的机器人：“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址，“莲莲”代表世界遗产西湖，“宸宸”代
表世界遗产京杭大运河.现有6个不同的吉祥物，其中“琮琮”､“莲莲”和“宸宸”各2个，将这6个吉
祥物排成前后两排，每排3个，且每排相邻两个吉祥物名称不同，则排法种数共有 .（用数字作答）21．设整数数列 ， ，…， 满足 ， ，且 ， ，则这样
的数列的个数为 .
22．某校高二年级共有10个班级，5位教学教师，每位教师教两个班级，其中姜老师一定教1班，张老师
一定教3班，王老师一定教8班，秋老师至少教9班和10班中的一个班，曲老师不教2班和6班，王老师
不教5班，则不同的排课方法种数为 ．
