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专题4.4 同角三角函数的基本关系及诱导公式-重难点题型精练
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2021秋•包头期末）若tan ＝3，则sin2 ﹣sin cos ＝（ ）
3 6 α α3 α α 6
A． B． C．− D．−
5 5 5 5
【解题思路】直接利用同角三角函数的关系式的变换的应用求出三角函数的值．
【解答过程】解：由于tan ＝3，
α
所以sin2 ﹣sin cos sin2α−sinαcosα tan2α−tanα 9−3 3．
= = = =
sin2α+cos2α 1+tan2α 1+9 5
α α α
故选：A．
2．（5分）（2022春•汉中期中）已知x R，则下列等式恒成立的是（ ）
A．sin（﹣x）＝﹣sinx ∈ B．sin（ +x）＝sinx
C．tan（﹣x）＝tanx D．cos（π+x）＝cosx
【解题思路】根据诱导公式逐一判断即可． π
【解答过程】解：A．sin（﹣x）＝﹣sinx，故正确；
B．sin（ +x）＝﹣sinx，故错误；
C．tan（π﹣x）＝﹣tanx，故错误；
D．cos（ +x）＝﹣cosx，故错误．
故选：A．π
3．（5分）（2022春•南阳期末）化简√2−2sin20°−√1+cos20°的结果是（ ）
A．√2cos10° B．−√2cos10° C．√2sin10° D．−√2sin10°
【解题思路】利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式化简即可求解．
【 解 答 过 程 】 解 ：
√2−2sin20°−√1+cos20°=√2(sin210°+cos210°−2sin10°cos10°)−√2cos210°=√2(cos10°−sin10°) 2−√2cos210°=√2
（cos10°﹣sin10°）−√2cos10°=−√2sin10°．
故选：D．
12
4．（5分）（2022春•阜阳期末）已知cosθ=− ，若 是第二象限角，则tan（ + ）的值为（ ）
13
θ π θ5 12 5 12
A． B． C．− D．−
12 5 12 5
sinθ
【解题思路】由题意求出sin ，又tan(π+θ)=tanθ= ，再将sin ，cos 的值代入即可得出答案．
cosθ
θ θ θ
12
【解答过程】解：∵ 是第二象限角，又cosθ=− ，
13
θ
5
∴sinθ=√1−cos2θ= ，
13
sinθ 5
∴tan(π+θ)=tanθ= =− ．
cosθ 12
故选：C．
1 π
5．（5分）（2022春•榕城区校级月考）如果sinα= ，那么sin(π+α)−cos( −α)等于（ ）
3 2
2√2 2 2 2√2
A．− B．− C． D．
3 3 3 3
【解题思路】利用诱导公式即可化简求解．
1
【解答过程】解：因为sinα= ，
3
π 2
所以sin(π+α)−cos( −α)=−sin ﹣sin ＝﹣2sin =− ．
2 3
α α α
故选：B．
2sinθ−cosθ 1 cosθ(1−2sin2θ)
6．（5分）（2022春•浙江月考）若 = ，则 =（ ）
sinθ+2cosθ 2 sinθ+cosθ
4 4 3 3
A．− B． C．− D．
25 25 25 25
【解题思路】由题意，利用同角三角函数的基本关系，求得tan 的值，可得要求式子的值．
2sinθ−cosθ 1 2tanθ−1 4θ
【解答过程】解：∵ = = ，∴tan = ，
sinθ+2cosθ 2 tanθ+2 3
θ
则
sin2θ tan2θ
16
1−2⋅ 1−2⋅ 1−
cosθ(1−2sin2θ) 1−2sin2θ sin2θ+cos2θ tan2θ+1 1−tan2θ 9 3
= = = = =−
sinθ+cosθ tanθ+1 tanθ+1 tanθ+1 (tanθ+1)⋅(tan2θ+1) 4 16 25
( +1)⋅( +1)
3 9
故选：C．7π 23π 33π
7．（5分）（2022春•沈阳期中）已知a=tan(− )，b=cos ，c=sin(− )，则a，b，c的大
6 3 4
小关系是（ ）
A．b＞c＞a B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．a＞c＞b
【解题思路】利用诱导公式即可求解．
7π π π √3
【解答过程】解：a=tan(− )=−tan（ + ）＝﹣tan =− ，
6 6 6 3
π
23π π π 1
b=cos =cos（8 − ）＝cos = ，
3 3 3 2
π
33π π π √2
c=sin(− )=−sin（8 + ）＝﹣sin =− ，
4 4 4 2
π
所以c＜a＜b．
故选：C．
8．（5分）（2022春•榆阳区校级期中）已知角 的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直
θ
3π
2sin( +θ)+5cos(5π−θ)
2
线4x+3y＝0上，则 =（ ）
π
sin( −θ)−sin(π−θ)
2
16
A．3 B．− C．﹣3 D．﹣4
7
3π
2sin( +θ)+5cos(5π−θ)
4 2
【解题思路】通过题目所给条件求出tan =− ，然后通过诱导公式对 进
3 π
sin( −θ)−sin(π−θ)
θ 2
行化简，最后弦化切得到答案．
4
【解答过程】解：由已知可得，tan =− ，
3
θ
3π
2sin( +θ)+5cos(5π−θ)
2 −2cosθ−5cosθ −7
又因为 = = =−3．
π cosθ−sinθ 1−tanθ
sin( −θ)−sin(π−θ)
2
故选：C．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
2021π
9．（5分）（2021秋•德州期末）已知√3sin(π+θ)=sin( −θ)， （0，2 ），则 可能等于（
2
θ∈ π θ）
2π 5π 5π 11π
A． B． C． D．
3 6 3 6
【解题思路】由题意，利用诱导公式，求得tan ，可得 的值．
2021πθ θ
【解答过程】解：∵√3sin(π+θ)=sin( −θ)， （0，2 ），
2
θ∈ π
√3 5π 11π
∴−√3sin ＝cos ，即tan =− ，∴ = ，或 = ，
3 6 6
θ θ θ θ θ
故选：BD．
1
10．（5分）（2022春•赣州期末）已知sinα+cosα= ， （0， ），则下列选项中正确的有（ ）
5
α∈ π
7 4
A．sinα−cosα= B．tanα=
5 3
3 24
C．cosα=− D．sin2α=−
5 25
【解题思路】由已知结合同角平方关系分别检验各选项即可判断．
1
【解答过程】解：因为sinα+cosα= ， （0， ），
5
α∈ π
1
两边平方得1+2sin cos = ，
25
α α
24
所以2sin cos =− ＜0，
25
α α
所以sin ＞0，cos ＜0，
α α √ 1 48 7
所以sin ﹣cos =√(sinα+cosα) 2−4sinαcosα= + = ，A正确；
25 25 5
α α
4 3 4 24
所以sinα= ，cos =− ，tan =− ，sin2 ＝2sin cos =− ，B错误，C正确，D正确．
5 5 3 25
α α α α α
故选：ACD．
sinα+cosα π π
11．（5分）（2021秋•广东期末）已知 =3，− ＜ ＜ ，则（ ）
sinα−cosα 2 2
α
A．tan ＝2
α √5
B．sin ﹣cos =−
5
α α
3
C．sin4 ﹣cos4 =
5
α α1−2sinαcosα 1
D． =
sin2α−cos2α 3
【解题思路】根据已知利用三角函数恒等变换的应用逐项化简求值即可得解．
sinα+cosα tanα+1
【解答过程】解：因为 = =3，
sinα−cosα tanα−1
所以tan ＝2，故A正确，
α sinα π π
因为tan = =2＞0，又− ＜ ＜ ，
cosα 2 2
α α
π
则0＜ ＜ ，
2
α
所以sin ＞0，cos ＞0，
sinαα+cosα α
由 =3＞0，可得sin ﹣cos ＞0，故B错误，
sinα−cosα
α α
因 为 sin4 ﹣ cos4 ＝ （ sin2 ﹣ cos2 ） （ sin2 +cos2 ） ＝ sin2 ﹣ cos2
α α α α α α α α
sin2α−cos2α tan2α−1 4−1 3，故C正确，
= = = =
sin2α+cos2α tan2α+1 4+1 5
因为1−2sinαcosα (sinα−cosα) 2 sinα−cosα tanα−1 2−1 1，故D正确．
= = = = =
sin2α−cos2α (sinα−cosα)(sinα+cosα) sinα+cosα tanα+1 2+1 3
故选：ACD．
12．（5分）（2021秋•大同期末）下列计算或化简结果正确的是（ ）
2tanαcosα
A． =2
sinα
1 cosα
B．若sinα⋅cosα= ，则tanα+ =2
2 sinα
1 2sinα
C．若tanα= ，则 =1
2 cosα−sinα
cosα sinα
D．若 为第一象限角，则 + =√2
√1+cos2α √1−cos2α
α
【解题思路】A，由sin ＝cos •tan ，可得解；
sinα α α α
B，先利用tan = 进行化简，再由sin2 +cos2 ＝1进行求值，即可；
cosα
α α α
C，根据“同除余弦可化切”的思想，得解；D，先利用二倍角公式对分母进行化简，再去根号后，即可得解．
2tanαcosα 2sinα
【解答过程】解：选项A， = =2，即A正确；
sinα sinα
cosα sinα cosα sin2α+cos2α 1
+ = + = = =
选项B，tan sinα cosα sinα sinαcosα 1 2，即B正确；
2
α
1
2×
2sinα 2tanα 2
选项C， = = =2，即C错误；
cosα−sinα 1−tanα 1
1−
2
cosα sinα cosα sinα 1 cosα sinα
选项D， + = + = （ + ）=√2，即D正确．
√1+cos2α √1−cos2α √2cos2α √2sin2α √2 cosα sinα
故选：ABD．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
1 π √3
13．（5分）（2022•丽水开学）已知sinαcosα= ， ＜α＜π，则cos ﹣sin ＝ − ．
3 3 3
α α
1 π π π
【解题思路】由已知sinαcosα= ＞0， ＜α＜π，可知 ＜ ＜ ，可得cos ﹣sin ＜0，进而利
3 3 3 2
α α α
用平方差公式及同角三角函数基本关系式即可求解．
1 π
【解答过程】解：因为sinαcosα= ＞0， ＜α＜π，
3 3
π π
可知 ＜ ＜ ，
3 2
α
所以cos ﹣sin ＜0，
α α 1 1
所以（cos ﹣sin ）2＝1﹣2sin cos ＝1−2× = ，
3 3
α α α α
√3
所以cos −sin =− ．
3
α α
√3
故答案为：− ．
3
3π
14 ． （ 5 分 ） （ 2022 春 • 东 阳 市 校 级 月 考 ） 已 知 sin （ ﹣ 3 ） ＝ 2sin （ ﹣ + ） ， 求
2
α π α
3π
sin(π−α)−5sin( −α) 7
2 ．
= 4
2cos(2π−α)−sin(−α)【解题思路】由题意，利用同角三角函数的基本关系式、诱导公式，计算求得结果．
3π
【解答过程】解：∵sin(α−3π)=2sin(−α+ )，即﹣sin ＝﹣2cos ，∴tan ＝2，
2
α α α
3π
sin(π−α)−5sin( −α)
∴ 2 sinα+5cosα tanα+5 7，
= = =
2cos(2π−α)−sin(−α) 2cosα+sinα 2+tanα 4
7
故答案为： ．
4
3
15．（5分）（2022春•大名县校级月考）已知sin(α−β)cosβ+cos(α−β)sinβ=− ， 为第三象限角，
5
α
sin(π−α)+5cos(2π−α)
= 23
则 3π − ．
2sin( −α)−sin(−α) 5
2
【解题思路】利用正弦的和角公式化简得出 sin 的值，由此即可得出cos ，tan 的值，再根据诱导公
式以及弦化切化简所求的关系式，最后代入tan α的值，即可求解． α α
α 3
【解答过程】解：因为sin(α−β)cosβ+cos(α−β)sinβ=− ，
5
3
所以sin[（ ﹣ ）+ ]＝sin =− ，又因为 为第三象限角，
5
α β β α α
4 3
所以cosα=− ，所以tanα= ，
5 4
sin(π−α)+5cos(2π−α) sinα+5cosα
=
则 3π −2cosα+sinα
2sin( −α)−sin(−α)
2
3
+5
tanα+5 4 23
= = =− ．
−2+tanα 3 5
−2+
4
23
故答案为：− ．
5
π
sin(π−2α)+sin(α+ )
1 2 1
16．（5 分）（2022 春•昌江区校级期中）已知sinα≠− ， = ，则
2 2021π 2
1−cos2α−cos( +α)
23cos2α−1 2 ．
= −
2sin2α+1 13
【解题思路】由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式，二倍角公式化简即可求解．
1
【 解 答 过 程 】 解 ： 因 为 sinα≠− ，
2
π
sin(π−2α)+sin(α+ )
2 1 sin2α+cosα 2sinαcosα+cosα cosα(2sinα+1) 1
= = = = =
2021π 2 1−cos2α−(−sinα) 2sin2α+sinα sinα(2sinα+1) tanα
1−cos2α−cos( +α)
2
所以tan ＝2，
α
则3cos2α−1 3cos2α−sin2α−cos2α 2−tan2α 2−22 2 ．
= = = =−
2sin2α+1 2sin2α+sin2α+cos2α 3tan2α+1 3×22+1 13
2
故答案为：− ．
13
四．解答题（共6小题，满分70分）
7
17．（10分）（2021秋•仁怀市校级月考）已知 （0， ），且sin +cos = ，求下列各式的值：
13
θ∈ π θ θ
（Ⅰ）sin cos ；
（Ⅱ）sinθ﹣cθos ；
（Ⅲ）tanθ． θ
【解题思路θ】利用正余弦以及切的同角关系化简即可求解．
7
【解答过程】解：（Ⅰ）因为 （0， ），且sin +cos = ，
13
θ∈ π θ θ
49 49
所以（sin +cos ）2= ，即1+2sin cos = ，
169 169
θ θ θ θ
49
−1
则sin 169 60 ，
θcosθ= =−
2 169
π
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知sin cos ＜0，所以 （ ，π），
2
θ θ θ∈
则sin ＞0，cos ＜0，所以sin ﹣cos ＞0，
θ θ θ θ √ 60 17
则sin ﹣cos =√(sinθ−cosθ) 2=√1−2sinθcosθ= 1−2×(− )= ，
169 13
θ θ17
sinθ−cosθ 13 17 tanθ−1 12
（Ⅲ）由 = = = ，解得tanθ=− ．
sinθ+cosθ 7 7 tanθ+1 5
13
5 π
18．（12分）（2022春•昌平区校级期中）已知sin = ，且 （ ， ）．
13 2
α α∈ π
（1）求tan 的值；
αcos2α
（2）求 π 的值．
√2sin(α+ )
4
【解题思路】（1）由sin 的值及 的范围，利用同角三角函数间基本关系求出cos 的值，即可确定出
tan 的值； α α α
（2α）原式分子利用二倍角的余弦函数公式化简，分母利用两角和与差的正弦函数公式化简，约分后将
各自的值代入计算即可求出值．
5 π
【解答过程】解：（1）∵sin = ，且 （ ， ），
13 2
α α∈ π
12
∴cos =−√1−sin2α=− ，
13
α
sinα 5
则tan = =− ；
cosα 12
α
5 12
（2）∵sin = ，cos =− ，
13 13
α α
cos2α−sin2α (cosα+sinα)(cosα−sinα)
= = = 12 5 17
∴原式 √2 √2 cosα+sinα cos ﹣sin =− − =− ．
√2( sinα+ cosα) 13 13 13
2 2
α α
√5 π
19．（12分）（2022春•上杭县校级月考）已知cosα= ，且− ＜α＜0，求下列各式的值．
5 2
sinα+2cosα
（1） ；
3sinα+cosα
tan(−α−π]⋅sin(2π+α)
（2） ．
cos(−α)⋅tanα
【解题思路】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解．
（2）利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式即可求解．
√5 π
【解答过程】解：（1）因为cosα= ，且− ＜α＜0，
5 22√5
所以sin =− ，则tan ＝﹣2，
5
α α
sinα+2cosα tanα+2
所以 = =0；
3sinα+cosα 3tanα+1
−tanα⋅sinα
（2）原式= =−tan ＝2．
cosα⋅tanα
α
20．（12分）（2022春•武进区校级月考）（1）化简： √1−2cos70°cos20° ；
sin160°−√1−sin220°
→ 3 → → → 2sinx−cosx
（2）向量a=(sinx，
2
)，
b=(cosx，−1)
，当
a∥b
时，求
4sinx+3cosx
的值．
【解题思路】（1）结合诱导公式，二倍角公式，同角三角函数的平方关系，化简即可；
3
（2）由 → → ，同角三角函数的商数关系，推出tanx=− ，再根据“同除余弦可化切”的思想，运算
a∥b
2
得解．
【解答过程】解：（1） √1−2cos70°cos20° √1−2sin20°cos20°
=
sin160°−√1−sin220° sin20°−cos20°
√(sin20°−cos20°) 2 |sin20°−cos20°| −(sin20°−cos20°) 1．
= = = =−
sin20°−cos20° sin20°−cos20° sin20°−cos20°
3 sinx 3
（2）因为 → → ，所以﹣sinx− cosx＝0，即tanx= =− ，
a∥b
2 cosx 2
3
2×(− )−1
2sinx−cosx 2tanx−1 2 4
所以 = = = ．
4sinx+3cosx 4tanx+3 3 3
4×(− )+3
2
π
21．（12分）（2021秋•青山区期末）已知 、 （0， ）且sin ＝cos（ + ）•sin ．
2
α β∈ β α β α
sin2α
（1）求证：tan = ；
2+2sin2α
β
（2）求tan 的最大值．
【解题思路β】（1）由条件利用两角和差的三角公式，同角三角函数的基本关系，证得要证的等式成立．
（2）利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系，化简tan 的解析式，再利用基本不等式求得tan 的
最大值． β βπ
【解答过程】解：（1）由于 、 （0， ）且sin ＝cos（ + ）•sin ，
2
α β∈ β α β α
∴sin ＝cos cos sin ﹣sin sin sin ，即 tan ＝sin cos ﹣sin2 tan ，
β sαinαcβosαα sαin2βα α β sinα2αα α β
解得tan = = ，即tan = 成立．
1+sin2α 2+2sin2α 2+2sin2α
β β
2 2 √2
sin2α 2sinαcosα 2tanα ≤ =
（2）由于tan = = = 2 2√4×2 4 ，
2+2sin2α 4sin2α+2cos2α 4tan2α+2 4tanα+
tanα
β
2 √2 √2
当且仅当4tan = ，即tan = 时，取等号，故tan 的最大值为 ．
tanα 2 4
α α β
1−2sinxcosx 1−tanx
22．（12分）（2022春•平阴县校级月考）（1）求证： =
cos2x−sin2x 1+tanx
（2）已知tan +sin ＝a，tan ﹣sin ＝b，求证：（a2﹣b2）2＝16ab．
【解题思路】θ（1）θ利用同角θ三角函θ数的基本关系化简等式的坐标，可得它等于等式的右边，从而证得
等式成立．
（2）利用同角三角函数的基本关系化简等式的左边为16⋅sin4θ，同理化简等式的右边也等于
cos2θ
16⋅sin4θ，从而证得等式成立．
cos2θ
【 解 答 过 程 】 解 ： 证 明 ： ∵
1−2sinxcosx cos2x+sin2x−2sinxcosx (cosx−sinx) 2 cosx−sinx 1−tanx，
= = = =
cos2x−sin2x cos2x−sin2x (cosx−sinx)⋅(cosx+sinx) cosx+sinx 1+tanx
1−2sinxcosx 1−tanx
∴ = 成立．
cos2x−sin2x 1+tanx
（2）证明：∵tan +sin ＝a，tan ﹣sin ＝b，∴（a2﹣b2）2＝[（a+b）•（a﹣b）]2＝（2tan •2sin ）2
θ θ θ θ θ θ
16sin4θ，
=
cos2θ
再根据16ab＝16（tan2 ﹣sin2 ）＝16sin2θ−sin2θ⋅cos2θ 16•sin2θ⋅(1−cos2θ) 16⋅sin4θ，
= =
cos2θ cos2θ cos2θ
θ θ∴（a2﹣b2）2＝16ab 成立．
