文档内容
专题 5-2 线性规划综合应用
目录
讲高考................................................................................................................................................................................1
题型全归纳.......................................................................................................................................................................4
【题型一】 转化型.......................................................................................................................................................4
【题型二】向量转化....................................................................................................................................................6
【题型三】求参..............................................................................................................................................................9
【题型四】含参讨论画图.........................................................................................................................................12
【题型五】绝对值和换元型....................................................................................................................................14
【题型六】函数和导数型.........................................................................................................................................17
【题型七】条件画图..................................................................................................................................................19
【题型八】线性规划综合应用...............................................................................................................................20
专题训练.........................................................................................................................................................................22
讲高考
1．（2022·全国·统考高考真题）若x，y满足约束条件 则 的最大值是
（ ）
A． B．4 C．8 D．12
【答案】C
【分析】作出可行域，数形结合即可得解.
【详解】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，
转化目标函数 为 ，
上下平移直线 ，可得当直线过点 时，直线截距最小，z最大，
所以 .
故选：C.
2．（2021·浙江·统考高考真题）若实数x，y满足约束条件 ，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】画出满足条件的可行域，目标函数化为 ，求出过可行域点，且斜率为
的直线在 轴上截距的最大值即可.
【详解】画出满足约束条件 的可行域，
如下图所示：
目标函数 化为 ，
由 ，解得 ，设 ，
当直线 过 点时，
取得最小值为 .
故选：B.
3．（2021·全国·统考高考真题）若 满足约束条件 则 的最小值为
（ ）
A．18 B．10 C．6 D．4
【答案】C
【分析】由题意作出可行域，变换目标函数为 ，数形结合即可得解.
【详解】由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，由 可得点 ,
转换目标函数 为 ，
上下平移直线 ，数形结合可得当直线过点 时, 取最小值，
此时 .
故选：C.
4．（江苏·高考真题）已知实数 满足 则 的取值范围是 .
【答案】
【详解】画出不等式组表示的平面区域，
由图可知原点到直线 距离的平方为 的最小值，为 ，原点到直
线 与 的交点 距离的平方为 的最大值为 ，因此
的取值范围为
【考点】线性规划
【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是
实线还是虚线（一般不涉及虚线），其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数最值
或值域范围.
5．（湖南·高考真题）设集合 ， ，
．
（1） 的取值范围是________；
（2）若 ，且 的最大值为9，则 的值是________．
【答案】
【分析】（1）分别作出集合 ， 表示的平面区域，由图求出 的范围；
（2）由线性规划，在可行域内，当直线过 时， 最大，所以 ，即得解.
【详解】（1）如图①所示，因为 ，所以 ，所以 的取值范围是 ；
（2）若 ，令 ，
作直线 ，由图②知当直线过 时， 最大，所以 ，所以 .
故答案为： ； .
题型全归纳
【题型一】 转化型
【讲题型】
例题1.已知实数 ， 满足 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】画出不等式组所表示的平面区域，利用直线的斜率公式模型进行求解即可.
【详解】不等式组表示的平面区域如下图所示：，代数式 表示不等式组所表示的平面区域内的点与点 连线的
斜率，由图象可知：直线 的斜率最大，由 ，即 ，
即 的最大值为： ，因此 的最大值为 ，故选：A
例题2.已知实数 ， 满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】画出可行域，根据斜率型表达式的取值范围的求法求得正确答案.
【详解】 ，
表示 与 连线的斜率加 .
画出可行域如下图所示，由图可知 .
，所以 .
故选：C【讲技巧】
1.分式型，如果是斜率型， 要注意分离常数，还要注意x，y的系数要提出来。
2.齐次分式型，可以同除换元，但是要注意同除时，是否要讨论为0的情况。
3.复杂分式型，实质是划归后（主要是同除或者分离常数），可换元转为基础型
【练题型】
1.设实数 ， 满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，画出可行域，结合斜率的坐标公式，以及对勾函数的图形性质，即可
求解.
【详解】根据题意，由线性约束条件画出可行域，如图中的阴影部分.
由图可知， ，即 ，令 ，
结合对勾函数图像性质，可知 ，
因为 ，所以 .
故选：B.
2.、若实数 满足不等式 ，则 的取值范围是______________；
【答案】 ； ，故所求 为定点 与平面区域内动点
连线 的斜率，作图可知当 时斜率最小为0，当 时，斜率最大为2【题型二】向量转化
【讲题型】
例题1.在直角梯形ABCD中，已知 ， ．点P是梯形内一点
（含边界），且满足 ，则P点可能出现的区域
的面积是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】建立平面直角坐标系，设 ，由 得 ，结合
得 ，即可求得P点可能出现的区域，再求面积即可.
【详解】
以 为原点 所在直线为 轴建立如图所示平面直角坐标系，则
，设 ，
则 ，则 ，又 ，则 ，
在坐标系中画出 和 ，又点P是梯形内一点（含边界），则P点可能出现
的区域是如图所示阴影部分，故P点可能出现的区域的面积是 .故选：C.
例题2.已知点 满足不等式组 ，点 ， 为坐标原点，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】画出不等式组表示的平面区域，因为 ，设 ，则
，利用 的几何意义求出 的取值范围.
【详解】解： ， ，所以 ，设 ，则 ，不
等式组 表示的平面区域如图所示，当直线 过 时， 取得最大值， ；
当直线 过 时， 取得最小值， ；则 的取值
范围是 .故选：B.
【讲技巧】
向量型
1.把向量转化为截距型等各类常规型求解
2.借助向量几何意义进行转化。
【练题型】
1.已知点A的坐标 满足线性约束条件 ， ， ，则 的最大值
为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．6
【答案】A
【分析】作出可行域，由数量积的坐标运算转化为求 的最大值，利用数形结合
求解.
【详解】作出可行域如图，
, 令 ，由图可知，当
过点 C时， 有最大值，
联立 ，解得 ,所以 ,故选：A2.已知e，e 为平面上的单位向量，e 与e 的起点均为坐标原点O，e 与e 夹角为 .平面区
1 2 1 2 1 2
域D由所有满足 的点P组成，其中 ，那么平面区域D的面积为
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设 ，则
因为 ，所以 ，围成一个三角形，面积为 ，选D.
【题型三】求参
【讲题型】
例题1.已知 ， 满足 ，目标函数 的最大值为7，最小值为1，则 ，
的值分别为（ ）
A．-1，4 B．-1，-3 C．-2，-1 D．-1，-2
【答案】D
【分析】如图所示，画出可行域， ，则 ， 表示直线与 轴的截距，
计算交点为 和 ，代入直线方程得到答案.
【详解】如图所示：画出可行域，
，则 ， 表示直线与 轴的截距.
与 的交点为 ， 与 的交点为 ，
故 过点 和 ，代入得到 ， ，
故选：D.例题2.设 满足约束条件 ，若目标函数 的最大值是12，
则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】满足约束条件的区域如图所示，
目标函数 在过 时， 取得最大值 ，即 ，∴
，而 的最小值表示点 与 两点间距离的平方的最小值，∴
．
【点睛】一般地，在解决简单线性规划问题时，如果目标函数 ，首先，作直
线 ，并将其在可行区域内进行平移；当 时，直线 在可行域内平移
时截距越高，目标函数值越大，截距越低，目标函数值越小；当 时，直线
在可行域内平移时截距越低，目标函数值越大，截距越高，目标函数值越小．
【讲技巧】
参数位置大概有以下几个：
1.参数在目标函数中：
2.参数在约束条件中：
含参线性求解的技巧方法：可以借助于目标函数与约束条件中两条直线（一条含参）“三线共点”特
征来快速求解。
【练题型】1.已知实数 ， 满足 若目标函数 的最大值为 ，最小值
为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】作出可行域，将目标函数化为斜截式，分类讨论 ，找到最优解，求出 的最值，
与已知最值比较可得结果.
【详解】作出可行域如图：
将目标函数 化为 ，
当 时，直线 经过点 时， ，由 解得
与 矛盾，不符合题意；
当 时，直线 经过点 时， ，由 解得
与 矛盾，不符合题意；
当 时，直线 经过点 时， ，直线 经过点
时， ，符合题意；
故实数 的取值范围是 .故选：D.
2.已知实数 、 满足 ，若 的最大值为 ，最小值为 ，则
实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】画出可行域，设 ，把 、 、 的坐标代入 ,
列不等式，即可得解.
【详解】作图， 、 、 ，设 ，
把 、 、 代入得 ， ，
，由题意得 ，
解得 ，实数 的取值范围为 ，
故选：C.
【题型四】含参讨论画图
【讲题型】
例题1.实数 ， 满足 且 的最小值为4，则实数 的值为（ ）
A．0 B．-2 C． D．3
【答案】D
【分析】作出不等式组对应的平面区域，由目标函数的最小值即可求出实数 的值.
【详解】解：不等式组对应的平面区域如下图
由 的最小值为4即 且 ，
则直线 的截距最小时， 也取得最小值。则不等式组对应的平面区域在直线
的上方
由 ，解得： 。即点 也在直线 上。得： 。解得：
，故选：D.例题2.已知实数x，y满足条件 若目标函数 的最小值为5，则c的
值为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】A
【分析】由约束条件画出可行域，根据目标函数最小值的几何意义确定其在取最小值时所
过的点，进而求参数c的值.
【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示.
作直线l： ，平移l可知：当 ， 时，z取得最小值，
∴ ，所以 ，故选：A
【讲技巧】
参数在约束条件中，可以通过分类讨论来画图。在分类讨论时，要注意对应的不等区域
的变化。
【练题型】
1.曲线 上存在点 满足约束条件 则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】作出可行域和函数 的图象，进而通过数形结合求得答案.
【详解】如图所示，当 过点D时，m有最小值.联立 ，设 ，易知函数在R上是增函数（增
+增），且 ，则点D的坐标为（1,2），所以 的最小值为2.
故选：B
2.函数 为奇函数，设变量x，y满足约束条件 ，则目
标函数 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】利用奇函数求得 ，再由约束条件画出可行域，根据目标函数值最小的几何意
义确定直线 所过的点，进而求其最小值.
【详解】由题设， ，
∴ ，可得 ，又 ，
∴ ，故 ，
由约束条件可得可行域如下：
∴要使目标函数值的最小，即 所在直线与可行域有交点的同时，在数轴上的截距
最小，故当 经过图中的A点时，值最小，
联立 ，可得 ，故 ，∴ .故选：B.
【题型五】绝对值和换元型
【讲题型】例题1.已知实数x，y满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】画出约束条件对应的可行域，并将目标式化为 ，应用数形结合知只需确
定可行域上的点与原点所成直线的斜率范围，即可得 的范围.
【详解】由约束条件可得如下可行域：
由图知：可行域在第一象限内，则 ，只需可行域上的点 与原点所成
直线的斜率范围即可.
当 在直线 上， ，
当 为直线 与 的交点 时， ，
所以 ，故 .故选：D
例题2..已知实数 满足： ， ，则 的取值范围是（
）
A. B. C. D.【答案】B【详解】由约束条件作出可行域如图：
， ．
令 ，变形可得 ，平移目标函数线 使之经过可行
域，当目标函数线过点 时，纵截距最小，此时 取得最大值，即
．当目标函数线过点 时，纵截距最大，此时 取得
最小值，即 ．
因为点 不在可行域内，所以 ， ．故B正确．
【练题型】
1.已知点 满足 ， 的取值范围是__________．
【答案】 .
【解析】
详解：画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．
∵
，
∴ 表示可行域内的点到直线 和 的距
离之和的 倍，结合图形可得 无最大值．
由 解得 ，所以点A的坐标为 ．此时
．由 解得 ，所以点A的坐标为 ．此时
．
∴ 的最小值为2，
故得 的取值范围为 ．
2.设点 在不等式组 所表示的平面区域内，则 的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】目标函数 ，画出可行域如下图所示，由图可知，
的取值范围是 ，令 ，则目标函数化为 ，
， 故 函 数 在 上 递 增 ， 在 上 递 减 ， 且
，故目标函数的取值范围是 .
【题型六】函数和导数型
【讲题型】
3x y5
x y4
yex y
例题1.已知 x，y 满足 x>0，y>0，求 x 的取值范围。
解答 作出（ x，y ）所在平面区域（如图）。求出 y=ex 的切线的斜率e，设过切点
y ex m m
0 = 0 =e
Px 0 ，y 0 的切线为 y=exmm0 ， 则 x 0 x 0 x 0 ，要使它最小，须m=0。
y
∴ x 的最小值在 Px 0 ，y 0 处，为e。此时，点 Px 0 ，y 0 在 y=ex 上 A,B 之间。
y=4x 5y=205x y y
y=7x =7
当（ x，y ）对应点C 时， y=53x 4y=2012x x ， ∴ x
的最大值在C 处，为7。y b
e， 7 e， 7
∴ x 的取值范围为 ，即a的取值范围是 。
1 1 1 1
例题2.已知函数1+ + + +⋯+ ≤n的图像与 轴交点的横坐标分别为 ，且
2 3 4 2n−1
，则 的取值范围是
A.（-2，-1） B.（-4，-2） C.（-4，-1） D.（-2,1）
1 1 1 1
【答案】D详解：由函数1+ + + +⋯+ ≤n的图像与 轴交点的横坐标分别为 ，
2 3 4 2n−1
且 ，则 ，设 ，作出约束条件所表示的
平面区域，如图所示，
由图象可知，当 经过点 时，目标函数 取得最大值，当 经
过点 时，目标函数 取得最小值，又由 ，解得 ，此时
，
由 ，解得 ，此时 ，所以 的取值范围是
，故选D.
【练题型】
1.、函数 ，若 恰有五个不同的实
根，则2a+b的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】作出 的图象如图所示： 令 ，由 的图象可得，
的两根分别为 ， ，故 由线性规划
可得 ，故选B． 故当 ， 时， 取最大值
11，当 ， 时， 取最小值3，则 的取值范围是 故选D
2.、已知 ， ， 为正实数，且 ， ，则 的取值范围为
__________.【答案】 【解析】 由题意得，因为 ，所以 ，
设 ，则有 ，所以 作出如图所示的平面区域令
，则 ，
由图象可知当直线 经过点 时，截距最大，即 的最大；当直线
与曲线 相切时，截距最小，即 最小；解方程组 ，
得 ，所以最大值为 ，
设 直 线 与 曲 线 的 切 点 为 ， 则
，解得 ，
切点坐标为 ，所以 的最小值为 ，所以 的取值范围是
.
【题型七】条件画图
【讲题型】
x2,
x y0,
x2y0
0 W
例题1.设 ，不等式组 所表示的平面区域是 ．给出下列三个结论：
1 W 3 0 W
① 当 时， 的面积为 ； ② ，使 是直角三角形区域；
y
x 4
P(x,y) PW
③ 设点 ,对于 有 ．其中，所有正确结论的序号是______．
【答案】①、③如图阴影部分，即 内部及边界表示平面区域
.可求得
的面积为 ①正确；②若 表示直角三角形区域，只有 ，即直线 与 垂直；
两直线斜率分别为 所以②不正确；
③直线 表示过 的直线，平面区域 在直线 的下方；所
以 ③正确；
x2 y2 1 (x,y) S
例题 2.已知满足条件 的点 构成的平面区域面积为 1，满足条件
[x]2 [y]2 1 (x,y) S [x]、[y] x,y
的点 构成的平面区域的面积为 2,其中 分别表示不大于
[0.4]1 [1.7]1 S 与S
的最大整数，例如： ， ，则 1 2的关系是
S S S S S S
A． 1 2 B． 1 2 C． 1 2 D．
S S 3
1 2
x2 y2 1 (x,y)
【答案】A满足条件 的点 构成的平面区域是一个以原点为圆心，以1为
π,∴s =π
半径的圆面，所以面积为 1
[x]2 [y]2 1 (x,y) S [x]、[y] x,y
的点 构成的平面区域的面积为 2,其中 分别表示不大于
的最大整数，
0≤x<1,−1≤y<2 [x]2 [y]2 1 −1≤x<0,−0≤y<1
当 ， 满 足 ； 当 ， 满 足
[x]2 [y]2 1
1≤x<2,0≤y<1 [x]2 [y]2 1 s =5 S S
当 ，满足 其总面积为5，即 2 所以 1 2
.
【练题型】
A={(x,y)|x+y≤1,且x ≥0,y≥0},
1.在平面直角坐标系x0y中，已知平面区域 则平面
B={(x+y,x−y)|(x,y)∈A}
区域 的面积为_ __.
【 答 案 】 1 令 ， 则 ， 因 为
A={(x,y)|x+y≤1,且x ≥0,y≥0},
可行域如图（阴影部分），此三角形是腰长为 的
所以 ，
等腰直角三角形，所以面积为
2.已知实数x,y满足
|x−1|+2|y|≤1
，则由点 P(x,y) 构成的区域面积为（ ）
1 1
4 2
A． B． C．1 D． 2
【答案】C【解析】此题考查分类讨论思想，考查不等式组所表示的平面区域的画
法；
次不等式组化为： ，表示的图形如下图阴影部分，为平行四边形 ，面积为 ，所以选C；
【题型八】线性规划综合应用
【讲题型】
例题1.已知集合 ，集合 ，若
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据线性约束条件作出可行域可得集合 中元素，根据计算可知集合 中的元素
是圆 上以及圆外的点，数形结合即可求出 的范围.
【详解】因为 ， ，
所以 即 ，所以集合 中的点是圆 上以及圆外的点，
根据线性约束条件作出可行域如图：
阴影区域内的点即为集合 中元素，圆外以及圆上的点即为集合 中的元素，
由图知当点 在圆上或圆外时， ，
由 可得 ，由 可得 ，故选：D.
例题2.在平面直角坐标系中，不等式组 ，表示的平面区域内整点个数是
（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
【答案】C
【分析】作出约束条件的可行域，再直接数点即可得答案.
【详解】解：根据题意，作出不等式组约束的平面区域，如图，所以可行域内整数点的个数为 个.故选：C
【练题型】
1.已知不等式组 ，构成的平面区域为D．命题p：对 ，都有
；命题 ，使得 ．下列命题中，为真命题的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】画出不等式组表示的平面区域 ，结合图形由线性规划的知识可判断命题p、 q
的真假，然后根据复合命题真假判断结论即可求解.
【详解】不等式组表示的平面区域D如图中阴影部分（包含边界）所示．
根据不等式组表示的平面区域结合图形可知，命题p为真命题，命题q也为真命题，所以
根据复合命题真假判断结论可得ACD错误，B选项正确．
故选：B
2.以坐标原点O为圆心的圆全部都在平面区域 内，则圆O的面积的最大值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由原点为圆心的圆全部在区域 内，画出可行域，根据圆心到直线
相切时，圆的半径最大从而求解．
【详解】据条件画出线性可行域，结合图形，要使得以原点为圆心的圆的半径最大，根据点到直线的距离公式可知，
原点到直线 的距离为： ，
原点到直线 的距离为： ，
以原点为圆心的圆的半径大于2时，由所画图中的阴影部分的可行域可知此时圆有部分
面积不在此可行域内，
只有圆与直线 相切时，圆的半径最大 ，即 ，
此时圆的最大面积为 ．故选：A．
一、单选题
1．下面给出的四个点中位于 表示的平面区域的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将点的坐标分别代入不等式组进行验证即可．
【详解】当x＝1，y＝0时，满足不等式组，故A正确；
当x＝－1，y＝1时，x≥0不成立，故B错误；
当x＝1，y＝1时，2x＋y≤2不成立，故C错误；
当x＝1，y＝－1时，x－y≤1不成立，故D错误，
故选：A．
2．已知 满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先作出可行域和目标函数，再结合图像找出最优解即可.
【详解】根据 ，作出可行域如下：令 ，即 ，此时求 得范围，就是求 的范围，也就是直线
经过可行域内，纵截距的范围.
由图可知，直线经过 和 时分别取得最小值和最大值，代入可得最小值为 ，
最大值为 ，则 得范围是 .故选：C
3．已知 则x＋2y的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
【答案】C
【分析】作出可行域，根据简单线性规划求解即可．
【详解】作出可行域如图：
由 可得： ，平移直线 经过点 时， 有最大值，
由 解得 ， ．故选：C
4．若 满足约束条件 则 的最小值为（ ）
A． B．0 C．2 D．6
【答案】A
【分析】根据约束条件画出可行域，根据目标函数的几何意义即可求解.
【详解】根据约束条件画出可行域，根据目标函数的几何意义可知：
当直线 即 ，经过点 时，直线在 轴截距最大，进而可得 最小，故 ，
故选：A
5．已知 ，若不等式组 表示的平面区域的面积为1，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】画出线性区域，分析得出结论即可
【详解】作出不等式组表示的平面区域如图所示，
由图可知，可行域的形状为三角形，
它的三个顶点为 ，则 的面积 ，
因为 ，所以 .故选：B.
6．若实数 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】画出可行域，平移基准直线 到可行域边界位置，由此来求得 的最小值.
【详解】 ，解得 ，设 ，平移基准直线 到可行域边界
处时， 取得最小值 .故选：A7．若x，y满足约束条件 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】首先画出不等式组表示的可行域，再根据目标函数的几何意义求最小值.
【详解】如图，先画出不等式组表示的可行域，目标函数 的几何意义表示点
与可行域中点连线的斜率，因此结合图形分析可知z在点A处取得最小值.联立直线方程
，可得点A的坐标为 ，所以 .
故选：C
8．已知实数x、y满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】由约束条件作出可行域，求出 的范围，再由 结
合函数的单调性求得答案．
【详解】解：令 ，则 ，
由 作出可行域如图，则设点 ，其中P在可行域内， ，
由图可知当P在C点时，直线PD斜率最小，
当P在B点时，直线PD斜率不存在，∴ ∵ 在 上为增函数，
∴当 时 ．故选：A．
二、多选题
9．已知点 与点 在直线 的同侧，给出下列四个命题中正确命题是
（ ）
A．若 ，则 B．
C． D．当 时， 的取值范围是
【答案】ABC
【解析】点 和点 在直线 的同侧，得到 ，作出点
对应的平面区域，利用目标函数的几何意义结合数形结合进行判断即可.
【详解】A选项：点 和点 在直线 的同侧，
则 ，即 ，点 的区域如图所示.
若 ，由 ；可得 ，故 正确；
B选项： 原点到直线 的距离等于 ， 表示点 与
的距离，故 ，故 正确；
C选项：由A可知： ，故 正确；
D选项：当 时， 表示过点 与点 的斜率，根据图象可得其取值范围是
，故 错误.
故选： .【点睛】本题考查了不等式表示的区域，将目标函数转化为几何意义是解题的关键.
结论点睛：（1）两点在直线同侧时，将两点代入直线方程有相乘大于0；
（2）两点在直线异测时，将两点代入直线方程有相乘小于0.
10．若实数x，y满足 ，则（ ）
A． 的最大值为 B． 的最小值为
C． 的最大值为 D． 的最小值为
【答案】CD
【分析】确定 的圆心和半径，明确 为圆上的点与定点 连线的斜
率，数形结合，利用圆心到直线的距离等于半径，结合 的几何意义即可确定答案.
【详解】由题意可得方程 为圆心是 ，半径为1的圆，
则 为圆上的点与定点 连线的斜率，
由于直线 和 没有交点，
故设过 点的斜率存在的直线为 ，即 ，
当直线 与圆 相切时，圆心
到该直线的距离 ，即 ，可得 ，解得 ，
所以 ，即 最大值为 ，最小值为 故选：
11．函数 有两个不相等的零点 ，其中 ，则 的
取值可能为（ ）
A． B． C． D． （ ）【答案】CD
【分析】利用根的分布得到约束条件 ，作出可行域，令 ，
平移直线 求解.
【详解】因为函数 有两个不相等的零点 ，且 ，
所以 ，作出可行域如图所示：
令 ，则 ，平移直线
，当直线经过点 ， ，由图象知， ，
所以 的取值可能为1，2，故选：CD
12．已知集合E是由平面向量组成的集合，若对任意 ， ，均有
，则称集合E是“凸”的，则下列集合中是“凸”的有（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】作出各个选项表示的平面区域，根据给定集合E是“凸”的意义判断作答.
【详解】设 ， ， ，则C为线段AB上一点，
因此一个集合E是“凸”的就是E表示的平面区域上任意两点的连线上的点仍在该区域内，
四个选项所表示的平面区域如图中阴影所示：A B
C D
观察选项A，B，C，D所对图形知，B不符合题意，ACD符合题意.
故选：ACD
【点睛】思路点睛：涉及符合某个条件的点构成的平面区域问题，理解不等式变为对应等
式时的曲线方程的意义，
再作出方程表示的曲线，作图时一定要分清虚实线、准确确定区域.
三、填空题
13．若点 在曲线 上,且不等式 恒成立,则 的取值范围是
______.
【答案】
【分析】不等式 恒成立,即 恒成立,取 ,
可知 在曲线上,代入 ,利用辅助角公式即可求得最大值,求出范围.
【详解】解:由题知不等式 恒成立,
即 恒成立,
只需 即可,
因为 在曲线 上,取 , ,
即 ,所以 ,
当 时等式成立,故 ,即 .故答案为:
14．若变量 满足约束条件 ，则 的取值范围是_______
【答案】【分析】 ，作出不等式组对应的平面区域， 的几何意义是
区域内的点与定点 连线的斜率，由图象分别求出 的最大值和最小值即可得出答案.
【详解】 ，作出不等式组对应的平面区域，
的几何意义是区域内的点与定点 连线的斜率，
由图象知 的斜率最大， 的斜率最小，
的最大值为
的最小值为 ，即 的取值范围是 ，故答案为：
.
15．已知 满足 ，若 ，其最大值为 ，最小值为 ，则
_____
【答案】3
【分析】先画出约束条件 所表示的可行域，将 变形为 ，根
据 的几何意义，结合图像即可求得 的最值，从而求得 的值.
【详解】根据题意，作出 所表示的可行域，如图：.
易得 ，所以 ，
则 ，所以 ，即 ，
将 变形为 ，则 ， 表示 向下平移 个单位，
结合图像，可知当 下移到经过 点时， 取得最大值，则 ，
当 下移到与 相切时， 取得最小值，
联立 ，消去 ，得 ，
所以由 得 ，解得 （负值舍去），
此时方程为 ，解得 ，则 ，
经检验，点 落在可行域内，所以 ，则 .
故答案为： .
【点睛】关键点睛：本题解题的关键是先判断 的正负情况，再得到 的几何意义，从而
结合图像求得 的最值.
16．已知 是定义在 上的增函数，函数 的图象关于点 对称，若实数
， 满足等式 ，则 的最大值为______．
【答案】 ##
【分析】根据已知得实数 ， 满足 且 ，即点 是以 为圆
心，半径为1的下半圆，再利用 的几何意义求最值.
【详解】由函数 的图象关于点 对称，向左平移 个单位，
知函数 的图象关于点 对称，故函数 为奇函数，
可转化为
由 是定义在 上的增函数，
两边平方得， 且 ，即点 是以 为圆心，半径为1的下半圆，如图所示：
令 ，即
作直线 ，上下平移，当直线 与圆相切于点A时， 取得最小值
即 ，解得 或 （舍去）
则 的最小值为 ， 的最大值为 .故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题考查利用几何意义求最值，解题的关键是通过函数的图象变换
及奇函数的性质将已知转化为实数 ， 满足 且 ，即点 是以
为圆心，半径为1的下半圆，再利用 的几何意义求最值.
