文档内容
12.3.1 角的平分线的性质 教学设计
一、教学目标：
1.通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理.
2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题.
二、教学重、难点：
重点：角的平分线的性质的证明及应用.
难点：角的平分线的性质的探究.
三、教学准备：
课件、刻度尺、导学案等。
四、教学过程：
复习回顾
1.角平分线的概念
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角
平分线.
∵ ∠1=∠2
∴ BD是∠ABC的平分线
2.通过折纸的方法做一个角的平分线
知识精讲
探究：下边是利用角平分仪平分一个角的演示过程.你能说明它的道理吗？其中AB=AD，
BC=DC. 则：AE为∠α的角平分线.
你能用学过的知识说明为什么吗？
证明：在△ABC与△ADC中，AB AD BC DC
{ = ¿{ = ¿¿¿¿
∴ △ABC≌△ADC (SSS)
∴ ∠BAC=∠DAC
即 AE是∠α的角平分线.
用尺规作角的平分线.
已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分线.
作法：
1.以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.
1
2.分别以M，N为圆心，大于2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部相交于点C.
3.画射线OC.
则：射线OC即为所求.
请你说明OC为什么是∠AOB的平分线.
证明：在△OMC与△ONC中，
∴△OMC≌△ONC (SSS)
∴∠AOC=∠BOC
即OC是∠AOB的角平分线.
探究：在∠AOB 的平分线 OC 上任取一点 P,过点 P 画出 OA，OB 的垂线，分别记垂足为
D,E，测量PD，PE并作比较，你得到什么结论? 在OC上再取几个点试一试.通过以上测量，
你发现了角的平分线的什么性质?点P在∠AOB的平分线OC上.
角平分线上的点到角的两边的距离相等.
你能利用三角形全等证明这个性质吗？
已知:_________________________________
求证:_________________________________
如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E. 求证PD=PE.
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB
∴ ∠PDO=∠PEO=90°
在△PDO和△PEO中，
PDO=∠PEO AOC=∠BOC
{∠ ¿{∠ ¿¿¿¿
∴ △PDO≌△PEO (AAS)
∴ PD=PE
※角平分线的性质
文字语言：角平分线上的点到角的两边的距离相等.
几何语言：
∵ 点P在∠AOB的平分线上，且PD⊥OA，PE⊥OB.
∴ PD=PE
归纳：一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即1.明确命题中的已知和求证；
2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
典例解析
例1.如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且D是BC的中点,DE⊥AB，DF⊥AC，垂足
分别是E，F．求证:BE=CF.
证明:∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE=DF
∵ D是BC的中点
∴BD=CD
在Rt BDE和Rt CDF中，
△ △
∴Rt BDE≌Rt CDF(HL)
∴BE=CF
△ △
【针对练习】如图，D是∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F.
求证：CE＝CF.
证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，
∴DE＝DF.
在Rt CDE和Rt CDF中，
△ △∴Rt CDE≌Rt CDF(HL)，
∴CE＝CF.
△ △
例2.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC,AD平分∠CAB交BC于D,问:能否在AB上确定一点
E，使△BDE之周长等于AB的长?
解:能在AB上确定一点E,使△BDE的周长等于AB的长.
即过点D作DE⊥AB于E，则E点就是所要确定的点.
∵AD平分∠CAB，且∠C=90°，DE⊥AB
∴DC=DE
在Rt ACD和Rt AED中,
△ △
∴Rt ACD≌Rt AED(HL)
∴AC=AE
△ △
∴AC=BC
∴AE=BC
∴C =BD+DE+BE=BD+DC+BE=BC+BE=AE+BE=AB
BDE
【针△对练习】如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB于E，且
PE=3，求AD与BC之间的距离.解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N.
∵ AD∥BC，
∴ MN⊥BC，MN的长即为AD与BC之间
的距离.
∵ AP平分∠BAD, PM⊥AD , PE⊥AB，
∴ PM=PE.
同理， PN=PE.
∴ PM= PN= PE=3.
∴ MN=6.即AD与BC之间的距离为6.
例3.如图，在△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE=180°，EF⊥AC交AC于
F，AC=8，BC=6，则AF=________．
【分析】连接AE，BE，∵AD=BD，∠ADE=∠BDE=90°，DE=DE，
∴△ADE≌△BDE，
∴AE=BE．
过点E作EG⊥BC，交BC的延长线于点G，
∵∠ACE+∠BCE=180°，∠GCE+∠BCE=180°,
∴∠ACE=∠GCE，
∵EF⊥AC，EC=EC
∴EF=EG，
∴△AFE≌△BGE，△EFC≌△EGC，
∴AF=BG，CF=CG，
∴AF=BG=BC+CG=BC+CF=BC+AC-AF，
∴2AF=BC+AC，
∵AC=8，BC=6，
∴AF=7.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测
1.如图，∠A=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，且AB=3cm,BD=2cm，则DE=____cm.
2.如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=5，CD=2，则△ABD的面积为_____.
3.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且
AB=6cm，则△DEB的周长为_____cm.
4.如图，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等.5.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S ＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的
ABC
长是( ) △
A．6 B．5 C．4 D．3
6.如图，AD是△ABC 的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，且DE＝DG，则∠AED＋∠AGD和
是（ ）
A．180° B．200° C．210° D．240°
7.如图，OC平分∠AOB，OA=OB，PD⊥AC于D，PE⊥BC于E.求证：PD=PE.
【参考答案】
1.1
2.53.6
4.
5.D
6.A
7.证明:OC平分∠AOB
∴∠AOC=∠BOC
在△AOC和△BOC中,
∴△AOC≌△BOC(SAS)
∴∠ACO=∠BCO
∵PD⊥AC，PE⊥BC
∴PD=PE
五、教学反思：
