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14.1.5 单项式与多项式相乘
夯实基础篇
一、单选题：
1．计算：（－2a2) ·(3ab2-5ab3)结果是（ ）
A．6a3b2+10a3b3 B．-6a3b2+10a2b3
C．-6a3b2+10a3b3 D．6a3b2-10a3b3
【答案】C
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】（－2a2) ·(3ab2-5ab3)= （－2a2)·3ab2+（－2a2)·(-5ab3)= -6a3b2+10a3b3,
故选C．
【分析】利用单项式乘多项式的法则计算得出．
2．计算(―xy)3·(7xy2―9x2y)正确的是（ ）
A．―7x2y 5+9x3y4 B．7x2y5―9x3y4
C．―7x4y5+9x5y4 D．7x4y5+9x5y4
【答案】C
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】(―xy)3·(7xy2―9x2y)
=（-xy3）（-xy3）
= （-xy3）·7xy2+（-xy3）·(―9x2y)
= ―7x4y5+9x5y4，故选C．
【分析】利用单项式乘多项式的法则计算得出．
3．计算（-3x）·（2x2-5x-1）的结果是（ ）
A．-6x2-15x2-3x B．-6x3+15x2+ 3x
C．-6x3+15x2 D．-6x3+15x2-1
【答案】B
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】（-3x）·（2x2-5x-1）
=（-3x）·2x2+（-3x）·(-5x)+（-3x）·(-1)
=-6x3+15x2+ 3x，
故选B．
【分析】利用单项式乘多项式的法则计算得出．4．计算x(x2-1)+2x2(x+1)-3x(2x-5)的结果是（ ）
A．3x3-2x2+14x B．3x3-4x2+7x C．3x3-2x2+7x D．3x3-4x2+14x
【答案】D
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】原式=x3-x+2x3+2x2-6x2+15x=3x3-4x2+14x，
故选D．
【分析】利用单项式乘多项式的法则分别计算得出．
5．在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，小明回家后，拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题：
，“□”的地方被墨水污染了，你认为“□”内应填写（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】 ．
即“□”= ．
故答案为：B．
【分析】利用单项式乘多项式的计算方法求出 ，再利用待定系数
法可求出答案。
6．要使（y2﹣ky+2y）（﹣y）的展开式中不含y2项，则k的值为（ ）
A．-2 B．0 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵（y2﹣ky+2y）（﹣y）的展开式中不含y2项，
∴﹣y3+ky2﹣2y2中不含y2项，
∴k﹣2=0，
解得：k=2．
故选：C．
【分析】直接利用单项式乘以多项式运算法则求出答案．7．一个长方体的长、宽、高分别为3x－4，2x和x，则它的体积等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】解：由题意知，V =（3x-4）•2x•x=6x3-8x2．
长方体
故答案为：C．
【分析】根据长方体的体积=长×宽×高进行计算即可.
二、填空题：
8．计算： －3x·（2x2y－xy）＝ .
【答案】－6x3y+3x2y
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】解：－3x·（2x2y－xy）＝－6x3y+3x2y，
故答案为：－6x3y+3x2y.
【分析】根据单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相
加，计算即可.
9．计算 .
【答案】
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】解：
故答案为： .
【分析】利用先去括号，然后根据整式的加减运算法则计算即可
10．（3x2y﹣2x＋1）（﹣2xy）＝ ．
【答案】﹣6x3y2＋4x2y﹣2xy
【知识点】单项式乘多项式【解析】【解答】（3x2y﹣2x＋1）（﹣2xy）＝﹣6x3y2＋4x2y﹣2xy．
【分析】根据单项式乘多项式的法则，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，计算即可．
11． ＝ ．
【答案】
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】
．
【分析】此题直接利用单项式乘以多项式，先把单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加，利
用法则计算即可．
12．（3a2b﹣4ab2﹣5ab﹣1）•（﹣2ab2）＝ ．
【答案】﹣6a3b3＋8a2b4＋10a2b3＋2ab2
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】（3a2b﹣4ab2﹣5ab﹣1）•（﹣2ab2），
＝3a2b•（﹣2ab2）﹣4ab2•（﹣2ab2）﹣5ab•（﹣2ab2）﹣1•（﹣2ab2），
＝﹣6a3b3＋8a2b4＋10a2b3＋2ab2．
故答案为：﹣6a3b3＋8a2b4＋10a2b3＋2ab2．
【分析】根据单项式乘多项式，先用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加的法则计算即可．
13．计算：- (-2ax2)2-4ax3·(ax-1)= ．
【答案】4ax3
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】- (-2ax2)2-4ax3·(ax-1)=-4a2x4-4ax3·ax +4ax3·1=-4a2x4-4a2x4+4ax3=4ax3，
故填4ax3．
【分析】利用单项式乘多项式法则计算得出，注意符号．
14．多项式2（a2b＋ab2）﹣2（a2b﹣1）﹣ab2﹣2可化简为 ，当a＝﹣2，b＝2时，多项式的值为 ．
【答案】ab2；﹣8
【知识点】单项式乘多项式；整式的混合运算
【解析】【解答】原式＝2a2b＋2ab2﹣2a2b＋2﹣ab2﹣2
＝（2a2b﹣2a2b）＋（2ab2﹣ab2）＋（2﹣2）
＝0＋ab2
＝ab2
当a＝﹣2，b＝2时，
原式＝（﹣2）×22＝﹣2×4
＝﹣8．
【分析】先根据整式相乘的法则进行计算，然后合并同类项，最后将字母的值代入求出原代数式的值．
15．若 3x(x+1)＝mx2+nx，则 m+n＝ .
【答案】6
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】解：
故答案为：6
【分析】利用单项式乘以多项式的法则进行计算，可得到m,n的值，再代入计算即可.
三、解答题：
16．计算∶
(1)
(2)
(3)
(4)【答案】(1)
(2)
(3)
(4)0
【分析】（1）直接利用单项式与多项式的乘法法则计算即可；
（2）直接利用单项式与多项式的乘法法则计算即可；
（3）利用整式的混合运算法则计算即可；
（4）利用整式的混合运算法则计算即可；
（1）
（2）
（3）
（4）
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟记单项式与多项式以及整式混合运算的法则是解题的关键．17．先化简，再求值3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a=﹣2．
【答案】解：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4）
=6a3﹣12a2+9a﹣6a3﹣8a2
=﹣20a2+9a，
当a=﹣2时，原式=﹣20×4﹣9×2=﹣98
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【分析】首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同类项，最后代入已知的
数值计算即可．
18．先化简，再求值：A＝3a2b﹣ab2，B＝ab2+3a2b，其中a＝ ，b＝ ．求5A﹣B的值．
【答案】
【分析】先把所求代入进行化简，然后把a、b的值代入求值即可.
【详解】解：原式＝5（3a2b﹣ab2）﹣（ab2+3a2b）
＝15a2b﹣5ab2﹣ab2﹣3a2b
＝12a2b﹣6ab2
当a＝ ，b＝ 时，
原式＝12× × ﹣6× ×
＝1﹣
＝ .
【点睛】多项式的化简求值是本题的考点，正确化简多项式是解题的关键.
19．某同学在计算一个多项式乘以﹣3x2时，因抄错运算符号，算成了加上﹣3x2，得到的结果是x2﹣
4x+1，那么正确的计算结果是多少？
【答案】解：这个多项式是（x2﹣4x+1）﹣（﹣3x2）=4x2﹣4x+1，
正确的计算结果是：（4x2﹣4x+1）•（﹣3x2）=﹣12x4+12x3﹣3x2．
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【分析】用错误结果减去已知多项式，得出原式，再乘以﹣3x2得出正确结果．
能力提升篇
一、单选题：1．已知ab2=﹣2，则﹣ab（a2b5﹣ab3+b）=（ ）
A．4 B．2 C．0 D．14
【答案】D
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】解：﹣ab（a2b5﹣ab3+b）=﹣a3b6+a2b4﹣ab2=﹣（ab2）3+（ab2）2﹣ab2，
当ab2=﹣2时，原式=﹣（﹣2）3+（﹣2）2﹣（﹣2）=8+4+2=14
故选：D．
【分析】原式利用单项式乘以多项式法则计算即可得到结果．
2．要使x(x +a)+3x-2b=x2+5x+4成立,则a,b的值分别 为（ ）
A．a=-2,b=-2 B．a=2,b=2 C．a=2,b=-2 D．a=-2,b=2
【答案】C
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】x(x +a)+3x-2b= x2+ax+3x-2b = x2+(a+3)x-2b =x2+5x+4,
所以a+3=5，-2b=4，
所以a=2,b=-2,
故选C．
【分析】利用单项式乘多项式的法则把等式左边化简，再让两边的相同次数的系数相同．
3．若a3(3an-2am+4ak)与3 a6-2a9+4a4的值永远相等,则m、n、k分别为（ ）
A．6、3、1 B．3、6、1 C．2、1、3 D．2、3、1
【答案】A
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】化简：a3(3an-2am+4ak)= a3 ·3an +a3 ·（-2am） +a3·4ak=3an+3-2am+3+4ak+3，
∵，a3(3an-2am+4ak)与3 a6-2a9+4a4的值永远相等,
∴，3an+3-2 am+3+4 ak+3=3 a6-2a9+4a4，
∴，n+3=6,m+3=9,k+3=4,
∴，n=3,m=6,k=1,
故选A．
【分析】先利用单项式乘多项式的法则将等式左边化简，再根据多项式定义得出m、n、k的值．
二、填空题：
4．已知a+2b=0，则式子a3+2ab（a+b）+4b3的值是 ．
【答案】0【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】a3+2ab（a+b）+4b3= a3+2ab·a+2ab·b+4b3= a3+2a2b+2ab2 +4b3,
∵a+2b=0，∴a=-2b,
把a=-2b代入上式中，
a3+2a2b+2ab2 +4b3= (-2b)3+2(-2b)2b+2(-2b)b2 +4b3=-8 b3+8 b3-4b3+ b3=0,
故填0．
【分析】先利用单项式乘多项式法则化简式子，再把条件a+2b=0代入．
5．规定一种运算： ，其 中a、b为实数，则 等于 ．
【答案】b²-b
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】根据题意,有
a*b+(b-a)*b
=ab+a-b+（b-a)b+(b-a)-b
=ab+a-b+b²-ab+b-a-b
=b²-b．
故填b²-b
【分析】a*b+(b-a)*b分成a*b和(b-a)*b，a*b=ab+a-b已知的了，(b-a)*b就是把（b-a)当成是a*b中的
a，代入a*b=ab+a-b 就可以得出(b-a)*b=（b-a)b+(b-a)-b，然后去括号就可以了.
三、解答题：
6．黄老师买了一套新房，其结构如图示（单位：米）．他打算将卧室铺木地板，其他部分铺瓷砖．
(1)木地板和瓷砖分别需要多少平方米？
(2)如果瓷砖每平方米x元，木地板每平方米 元，那么黄老师需要花多少钱？
【答案】(1)木地板：6ab平方米；瓷砖：13ab平方米
(2)31abx元
【分析】（1）根据图形可以分别表示出卧室的面积和厨房、卫生间、客厅的面积，从而可以解答本题；
（2）根据（1）中的面积和题目中的信息，可以求得黄老师需要花多少钱．（1）
卧室的面积是：3b（4a-2a）=6ab（平方米），
厨房、卫生间、客厅的面积是：b•（4a-2a-a）+a•（5b-3b）+2a•5b=ab+2ab+10ab=13ab（平方米），
即木地板需要6ab平方米，地砖需要13ab平方米；
（2）
13ab•x+6ab•3x=13abx+18abx=31abx（元）
即黄老师需要花31abx元．
【点睛】本题考查列代数式，整式的混合运算，解题的关键是明确整式的混合运算的计算方法．
7．请先阅读下列解题过程，再仿做下面的题．
已知x2+x-1=0，求x3+2x2+3的值．
解：x3+2x2 +3=x3+x2-x+x2+x+3
=x（x2+x-1）+x2+x-1+4
=0+0+ 4=4
如果1+x +x2+x3=0，求x+x2+x3+x4+x5+ x6+x7+x8的值．
【答案】解答：解： x+x2+x3+x4+x5+ x6+x7+x8 =x(1+x+ x2+x3)+ x5(1+x +x2+x3) =x·0+ x5·0 =0
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【分析】先模仿例题将式子变形，再代入求值．
8．如图，大正方形边长为 ，小正方形边长为 ．
(1)若 ，求阴影部分面积的和；
(2)定义：单项式乘多项式就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加：例如 ．
试用含 、 的式子表示阴影部分面积之和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据绝对得非负性得出x和y得值，再根据三角形的面积公式即可；（2）数形结合，通过图象面积求代数式．
（1）
解： ， ， ，
， ．
∵ ， ．
阴影面积为
．
（2）
解：阴影面积为
．
【点睛】本题考查了绝对值的性质及单项式与多项式相乘，解题关键是根据材料掌握整式乘法公式．
