文档内容
人教版初中数学八年级下册
16.1.1 二次根式的概念 教学设计
一、教学目标：
1.理解二次根式的概念.
2.掌握二次根式有意义的条件.
3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.
二、教学重、难点：
√a
重点：形如 (a≥0)的式子叫做二次根式的概念.
√a
难点：利用“ (a≥0)”双重非负性解决具体问题.
三、教学过程：
复习回顾
1.什么叫做一个数的平方根？如何表示？
一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根.
√a
a的平方根是± (a≥0).
2.什么是一个数的算术平方根？如何表示？
正数正的平方根叫做它的算术平方根.
0的算术平方根是0.
√a
用 (a≥0)表示.
3.(1) 16的平方根是什么？算术平方根是什么？
(2) 0的平方根是什么？算术平方根是什么？
(3) -7有没有平方根？有没有算术平方根？
平方根的特征：正数有两个平方根且互为相反数；0有一个平方根就是0；负数没有平方根.
知识精讲
思考：用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
(1)面积为3的正方形的边长为____，面积为 S 的正方形的边长为____.
(2)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为_____m.(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t(单位:s)与开始落下时离地面的高度
h(单位:m)满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t，则t=_____.
√a √
一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号.
√a
请你凭着自己已有的知识，说说对二次根式 的认识！
1.表示a的算术平方根；
2.a可以是数，也可以是式；
√
3.形式上含有二次根号 ；
√a
4.a≥0， ≥0 (双重非负性)；
5.既可表示开方运算，也可表示运算的结果.
典例解析
例1.下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
分析：
二次根式有：(1)(4)(5)(7)(9)
【针对练习】判断下列式子，哪些是二次根式？
(1)√1 (2) (3) (4) (5)√ 1 2
❑ ❑√-3 -❑√x2+1 √37 ❑(- )
3 3
二次根式有：(1)(3)(5)
例2.当x是怎样的实数时, 在实数范围内有意义?
解：由x-2≥0，得x≥2
当x≥2时， 在实数范围内有意义.
【针对练习】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
解（1）由题意得x-1＞0，
∴x＞1.
（2）∵被开方数需大于或等于零，
∴3+x≥0，
∴x≥-3.
∵分母不能等于零，∴x-1≠0，∴x≠1.
∴x≥-3 且x≠1.
【点睛】要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若
二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.
【总结提升】
1.单个二次根式如 有意义的条件：A≥0
2.多个二次根式相加如 有意义的条件：
3.二次根式作为分式的分母如 或 有意义的条件：A＞0
4.二次根式与分式的和如 或 有意义的条件：A≥0且B≠0
知识精讲
思考：1.当x是怎样的实数时，
√x2
在实数范围内有意义？
√x3
呢？
x为任意实数时，
√x2
都有意义；当x≥0时，
√x3
有意义.2.二次根式 的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？
当a＞0时， 表示a的算术平方根，因此 ＞0；当a=0时， 表示0的算术平方根，因
此 =0.这就是说，当a≥0时， ≥0.
典例解析
例3.若 ，求a-b+c的值.
解：因为
由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,
解得a=2,b=3,c=4.
所以a-b+c=2-3+4=3.
【针对练习】已知|3x-y-1|和 互为相反数，求x+4y的平方根．
解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0．
解得x=1，y=2．
∴x+4y=1+2×4=9，
∴x+4y的平方根为±3.
例4.已知 ,求3x+2y的算术平方根.
解：由题意得
∴x=3，y=8，
∴3x+2y=25.
∵25的算术平方根为5，
∴3x+2y的算术平方根为5．
【点睛】若 ，则根据被开方数大于等于0，可得a=0.
【针对练习】已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足 ，求此三角形的周长．
解：由题意得
∴a=3，
∴b=4.
当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；
当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测
√1
1.下列式子：①❑ ；②❑√1-2；③❑√x2+1；④√327；⑤❑√(-4) 2，是二次根式的有（ ）
3
A．①③⑤ B．①③ C．①②③ D．①②③⑤
❑√x+3
2.使分式 有意义的x的取值范围是（ ）
x
A．x≥-3 B．x≥-3且x≠0 C．x≠0 D．x>0
3.使得 有意义的x值有（ ）
A.0个 B.1个 C.无数个 D.以上都不对
4.使式子 有意义的x的取值范围在数轴上表示为（ ）
5．已知y=❑√x-2+❑√2-x+4，yx的平方根是（ ）
A．16 B．8 C．±4 D．±2
(x) 2019
6．若x、y为实数，且|x+2|+❑√y-2=0，则 的值（ ）
y
A．-2 B．1 C．2 D．-111.要画一个面积为18cm2的长方形，使它的长与宽之比为3:2，它的长、宽各应取多少？
1 2 x-2
12．先化简，再求值：( - )÷ ，其中实数x、y满足y=❑√x-3-❑√6-2x+1．
x+ y x2+xy 2x
【参考答案】
1. A
2. B
3. B
4. A
5. C
6. D
7. x≥4
8. 6
9. 15
10. 2021
11.解：设长方形的长、宽分别为3xcm、2xcm，依题意得
3x•2x=18
6x2=18
x2=3
解得 x=❑√3
答：矩形的长、宽分别为3❑√3cm、2❑√3cm.
1 2 x-2 [ 1 2 ] 2x x-2 2x 2
12. 解：( - )÷ = - ⋅ = ⋅ = ，
x+ y x2+xy 2x x+ y x(x+ y) x-2 x(x+ y) x-2 x+ y
∵y=❑√x-3-❑√6-2x+1，x−3≥0，6−2x≥0，
∴x=3，y=1 ，
2 1
∴原式= = ．
3+1 2
四、教学反思：
通过将新知识与旧知识进行联系与对比，随后由学生熟悉的实际问题出发，用已有的知识进
行探究，由此引入二次根式. 在教学过程中让学生感受到研究二次根式是实际的需要，体会
到数学与实际生活间的紧密联系，以此充分激发学生学习的兴趣.
