文档内容
人教版初中数学八年级下册
16.1.2 二次根式的性质与化简 教学设计
一、教学目标：
1.经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法.
2.会运用二次根式的两个性质进行化简计算.
二、教学重、难点：
重点：掌握二次根式的性质，会运用其进行有关计算.
难点：二次根式的性质的应用.
三、教学过程：
复习回顾
1.二次根式的概念？
一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号.
2.二次根式 的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？
当a＞0时， 表示a的算术平方根，因此 ＞0；当a=0时， 表示0的算术平方根，因
此 =0.这就是说，当a≥0时， ≥0.
3.练一练：
√1−3x
(1)当_____时， 在实数范围内有意义；
√ 2
−
(2)当x______时，
x+1
在实数范围内有意义；
√1−x+√ y+3=0
(3)已知 ，则2x+y=_____.
知识精讲
探究：根据算术平方根的意义填空：
2
(√1)
=
(√4) 2 = (√2) 2 = 3 (√0) 2 =
____； ____； ____； ____.是 4 的算术平方根，根据算术平方根的意义， 是一个平方等于 4 的非负数.因此有
.
1
同理， 分别是2，3，0的算术平方根，因此有 ， ， .
一般地，(√a) 2 =a
(a≥0)
即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根式 有意义的前提条件.
典例解析
例1.计算：
(1)
(√1.5) 2
(2)
(2√5) 2
解：(1)
(√1.5) 2 =1.5
(2)
(2√5) 2 =22 ×(√5) 2 =4×5=20
【针对练习】计算：
解：
知识精讲
探究：填空：
√ (2) 2
=
√22 =____； √0.12 =____； 3 ____； √02 =____.
一般地，根据算术平方根的意义， √a2 =a(a≥0)
探究：填空：一般地，根据算术平方根的意义， √a2 =−a(a＜0)
√a 2 =|a|
即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
即：任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
典例解析
例2.化简：
解：
【针对练习】化简：
解：
议一议：如何区别 与 ？例3.已知实数a、b在数轴上的对应点如图所示,化简 ．
❑√a2+❑√(a+b) 2+❑√(b-a) 2
解：由数轴可得：a>0，a+b<0，b-a<0，
∴原式=|a|+|a+b|+|b-a|
=a-(a+b)-(b-a)
=a-a-b-b+a
=a-2b．
【点睛】利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要要根据 a,b的大小讨论绝对值内式
子的符号.
【针对练习】如图，实数 a，b，c 是数轴上 A，B，C 三点所对应的数，化简
．
√3 c3+|c-b|-❑√(a-b) 2+|a+c|
解：由数轴可知，
b|a|，
∴c-b>0，a-b>0，a+c>0，
∴
√3 c3 +|c-b|- ❑√(a-b) 2 +|a+c|=c+c-b-(a-b)+a+c
=c+c-b-a+b+a+c
=3c．
例4.已知a，b，c为△ABC的三边长，化简： + +
❑√(a+b+c) 2 ❑√(a-b-c) 2
+ .
❑√(b-a-c) 2 ❑√(c-b-a) 2
解：∵a，b，c为△ABC的三边长，
∴a+b+c>0,a-b-c<0,b-a-c<0,c-b-a>0,
∴ + + +
❑√(a+b+c) 2 ❑√(a-b-c) 2 ❑√(b-a-c) 2 ❑√(c-b-a) 2
=a+b+c-(a-b-c)-(b-a-c)-(c-b-a)
=a+b+c-a+b+c-b+a+c-c+b+a
=2a+2b+2c
回顾我们学过的式子，如5，a，a+b，-ab， ，-x3， ， (a≥0)，它们都是用基本运
算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子，
我们称这样的式子为代数式.
思考：到现在为止，初中阶段所学的代数式主要有哪几类？
下列哪些是代数式？
√2x
(1) 0 (2) n (3) +5y2 (4) S=πr2 (5) a+b≥2
单独的一个数或一个字母也是代数式；含有等号、不等号的式子不是代数式.
代数式书写格式注意事项：
1.表示数的字母相乘时，可用“· ”代替乘号或省略不写.如：a×b 通常写作a·b或ab.2.数和字母相乘时，数字应写在字母前面.如： a×2通常写作2a.
2 11
3
3.带分数与字母相乘时，应把带分数化成假分数.如： 3×a通常写作 3 a.
3
4.含有字母的除式中用分数线代替除号.如：3÷y 通常写作: y .
5.最后一步是加、减运算时，如果有单位，要用括号把代数式括起来.如：温度由2℃上升
t℃后是(2+t)℃.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测
1.以下各式不是代数式的是( )
a
A.2x+1 B.2x-3=5 C.❑√10 D.
b
2.如果|a|-a=0，那么 等于( )
A.-a B.0 C.a D.±a
3.如图为实数a在数轴上的位置，则 化简后的结果为( )
A.7 B.-7 C.2a-13 D.无法确定
4.下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
❑√4=±2 ❑√(-3) 2=-3 (-❑√3) 2=3 (❑√-3) 2=-3
5. 成立的条件是（ ）
❑√(3-x) 2=x-3
A．x≥3 B．x＞3 C．x≤3 D．x＜3
6.若 ，则化简 的结果是（ ）
1≤a≤2 ❑√a2-2a+1+|a-2|
A．2-a2 B．-a C．3-2a D．1
7.填空：2
（1）(√5) ______；（2） _______；（3） _______．
❑ = ❑√(-13) 2= ❑√(❑√2-2) 2=
3
8 在第三象限，那么 ____.
.M(3-a,a-4) ❑√a2-4a+4-❑√a2-6a+9=
9.已知 a、b、c 在数轴上的位置如图所示．化简
❑√a2-|a+b|+ ❑√(c-a) 2+|b+c|- √3 b3
=___________．
10.计算与化简:
(1)(-2 )2; (2) ; (3) (x>0); (4) (x≥3); (5)( )2+
❑√5 ❑√2-2 ❑√4x2 ❑√x2-6x+9 -❑√11 ❑√(-13) 2.
11.若 ，化简： .
－1≤x≤2 ❑√x2+2x+1+❑√(x-3) 2+|x-2|
12.已知a、b满足 求ab的值.
❑√(2-a) 2=a+3,❑√a-b+1=a-b+1
【参考答案】
1. B
2. C
3. A
4. C
5. A
6. D
5
7. (1) ; (2)13; (3)2-❑√2.
3
8. 1
9. b+2c-a
10.解:(1)原式=(-2)2×(❑√5)2=4×5=20；
(2)原式=(3)原式= =2x；
❑√(2x) 2
(4)原式= =x-3；
❑√(x-3) 2
(5)原式=11+13=24.
11.解：∵－1≤x≤2，
∴x+1≥0，x-3＜0，x-2≤0，
❑√x2+2x+1+❑√(x-3) 2+|x-2|
=❑√(x+1) 2+❑√(x-3) 2+|x-2|
=|x+1|+|x-3|+|x-2|
=x+1+3-x+2-x
=6-x．
12.解：∵ ，
❑√(2-a) 2=a+3,❑√a-b+1=a-b+1
∴|2-a|=a+3≥0,
∴a≥-3,a-b+1≥0,
∴当-3≤a≤2时，
1
则2-a=a+3, 解得：a=- ，
2
∵❑√a-b+1=a-b+1，
∴a-b+1=0或a-b+1=1,
1 1
解得：b= 或b=- ,
2 2
1 1
∴ab=- 或ab= ,
4 4
当a>2时，则a-2=a+3无解，舍去，
1 1
综上：ab=- 或ab= .
4 4
四、教学反思：
新的教学理念要求教师在课堂教学中注意引导学生进行探究学习，在课堂教学中，对学
生探索求知作出了引导，并且鼓励学生自由发言，但在师生互动方面做得还不够，小组间的
合作不够融洽，今后的教学中应多培养学生合作交流的意识，这样有助于他们今后的学习和生活.
