文档内容
人教版初中数学八年级下册
16.2.1 二次根式的乘法 教学设计
一、教学目标：
1.理解二次根式的乘法法则.
2.会运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行简单运算.
二、教学重、难点：
重点：会运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行简单运算.
难点：会运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行简单运算.
三、教学过程：
复习回顾
一、二次根式有哪些性质？
1.双重非负性：
2.一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
3.任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
二、练一练：
2
(√9)
1.计算：(1)(4 √3 )2=____； (2) 4 =____； (3)(-3√2)2=____.
√ ( 3) 2
−
2.化简：(1)
√162
=____；(2)
4
=____；(3)
√3−2
=____；(4)
√ (2π−7) 2
=______.
知识精讲
探究：计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？(1)
√4× √9
=_______，
√4×9
=_______；
(2)
√16
×
√25
=_______，
√16×25
=_______；
(3)
√25
×
√36
=_______，
√25×36
=_______.
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
（1） （2） （3）
思考：你能用字母表示你所发现的规律吗？
√a √b √ab
一般地，二次根式的乘法法则是： • = (a≥0，b≥0)
即：二次根式相乘，________不变，________相乘.
语言表述：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.
典例解析
例1 计算：
√1
×√27
(1) √3×√5 (2) 3
√1 √1
×√27 ×27
解：(1) √3×√5 = √15 (2) 3 = 3 = √9 =3
【点睛】对于(3)只需其中两个结合就可实现转化进行计算，说明二次根式乘法法则同样适合
三个及三个以上的二次根式相乘，即
【针对练习】计算：
√1 √ 1
√6× √48×√6×
(1)
√2×√5
(2)
√3×√12
(3)
2
(4)
72
√ 1 √288
6×
解：(1)原式=
√10
(2)原式=
√36
=6 (3)原式=
2
=
√3
(4)原式=
72
=
√4=2知识精讲
（a≥0，b≥0）
一般的：
（a≥0，b≥0）积的算术平方根的性质
反过来：
语言表述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.
我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.
典例解析
例2 化简：
√16×81
(2)
√4a2b3
（a≥0，b≥0）
(1)
解：(1)
√16×81=√16×√81=4×9=36
(2) √4a2b3 =√4• √a2 • √b3 =2•a• √b2 ⋅b=2a √b2 •b=2ab √b
被开方数4a2b3含4，a2，b2这样的因数或因式，它们被开方后可以移到根号外，是开得尽的
因数或因式.
【针对练习】化简：
(1)
√49×121
(2)
√225
(3)
√4 y
(4)
√16ab2c3
解：(1)原式= √49×√121 =7×11=11； (2)原式= √152 =15； (3)原式= √4• √y = 2√y
(4)原式=
√16
•
√b2
•
√c2
•
√ac
=
4bc√ac
.
例3 计算：
√1
xy
(1) √14×√7 (2) 3√5×2√10 (3) √3x • 3
解：(1)原式= √14×7 = √72 ×2= √72 ×√2=7√2
(2)原式= 3×2√5×10 =6√52 ×2=6√52 ×√2=6×5√2= 30√2√ 1
(3)原式=
3x⋅
3
xy
=
√x2y
=
√x2
•
√y
=
x√y
【点睛】当二次根式根号外的因数不为1时，可类比单项式乘单项式的法则计算，即
.
【针对练习】计算：
√1 √1
(1)❑ ×❑√32； (2)4❑√xy×❑ ； (3)6❑√8×（﹣3❑√2）； (4)3❑√5a×2❑√10b．
2 y
√1
解：(1)原式=❑ ×32=❑√16=4
2
√ 1
(2)原式=4❑ xy× =4❑√x
y
(3)原式=
12❑√2×(-3❑√2)=-72
(4)原式=3×2×❑√5a×10b=6❑√50ab=30❑√2ab
例4.比较大小:
解：(1)方法一：
∵ ， ，
又∵20＜27，
∴ ，即 .
方法二：
∵ ，∴ ，
又∵20＜27，
∴ ，即 .
(2)∵ ， ，
又∵ 52＜54，
∴ ，
∴ ,即
【点睛】比较两个二次根式大小的方法：可转化为比较两个被开方数的大小，即将根号外的
正数平方后移到根号内，计算出被开方数后，再比较被开方数的大小；被开方数大的，其算
术平方根也大.也可以采用平方法.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测
1.计算❑√2×❑√8的结果为( )
A.2 B.4 C.2❑√2 D.4❑√2
2.下列计算正确的是( )
A.❑√3×2❑√3=6❑√3 B.5❑√3×5❑√2=5❑√6 C.4❑√3×2❑√2=6❑√5 D.4❑√3×2❑√2=8❑√6
3.下列各式化简后的结果为3❑√2的是( )
A.❑√6 B.❑√12 C.❑√18 D.❑√36
4.己知，a=❑√10，b=❑√2，用含a,b的代数式表示❑√40,这个代数式可以是( )A.a+2b B.a2b C.4a D.ab2
5.在△ABC中，AB=2❑√5，BC=❑√5，AC=5，则△ABC的面积是（ ）
A．5 B．❑√5 C．10 D．2❑√5
6．当a<0时，化简a❑√-2a⋅❑√-8a的结果是（ ）
A．-4a B．4a C．-4a2 D．4a2
√ 1
7．把a❑- 根号外面的因式移到根号内得( )
a
A．-❑√-a B．❑√-a C．-❑√a D．-1
8.❑√16×9=_____， ❑√9×125=______.
9.❑√128=______， ❑√98=______，❑√(-4)×(-9)=______.
10.一个长方形的长为2❑√14cm,宽为❑√21cm，则这个长方形的面积为_____cm2.
11.若点P(x,y)在第二象限内，化简❑√x2y的结果是______.
12.已知❑√50·❑√a的积是一个整数，则正整数a的最小值是_____.
13.若❑√a2b=-a❑√b时，则a____0，b____0.
14.比较大小: (1)3❑√11_____6❑√3; (2)-3❑√7_____-2❑√15.
15．计算
(1) ❑√27×3❑√12× 1 ❑√3 ； (2) ❑ √ 1 3 ×2❑√3× ( - 1 ❑√10 ) .
2 5 2
16．计算：
1 1 √1
(1) ❑√12a×3❑√3a； (2)2❑√xy× ❑ .
4 3 x
17.一个长方形的长和宽分别是❑√10和2❑√2. 求这个长方形的面积.
【参考答案】
1. B
2. D
3. C
4. D
5. A
6. C
7. A
8. 12，15❑√159. 8❑√2，7❑√2，6
10. 14❑√6
11. -x❑√y
12. 2
13. ≤，≥
14. ＜，＜
1
15.解：（1）原式=3❑√3×3×2❑√3× ❑√3
2
=27❑√3；
√8 1
（2）原式=❑ ×2❑√3×（- ❑√10）
5 2
√6 1
=4❑ ×（- ❑√10）
5 2
=-4❑√3
1 9a
16.解：（1）原式= ×2×3❑√3a×❑√3a= ；
4 2
1 √ 1 2
（2）原式=2× ❑ xy⋅ = ❑√y．
3 x 3
17. 解：
答：这个长方形的面积为4❑√5.
四、教学反思：
在教学安排上，体现由具体到抽象的认识过程. 对于二次根式的乘法法则的推导，先利用几
个二次根式的具体计算，归纳出二次根式的乘法运算法则. 在具体计算时，可以通过小组合
作交流，放手让学生去思考、讨论，这样安排有助于学生缜密思考和严谨表达，更有助于学
生合作精神的培养.
