文档内容
人教版初中数学八年级下册
16.2.2 二次根式的除法 教学设计
一、教学目标：
1.了解二次根式的除法法则.
2.会运用除法法则及商的算术平方根进行简单运算.
3.能将二次根式化为最简二次根式.
二、教学重、难点：
重点：掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，会运用其进行相关运算.
难点：能综合运用已学性质进行二次根式的化简与运算.
三、教学过程：
复习回顾
一、二次根式的乘法你都知道哪些核心知识？
1.二次根式的乘法法则：
即：二次根式相乘，________不变，________相乘.
语言表述：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.
2.积的算术平方根的性质：
（a≥0，b≥0）
语言表述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.
应用范围：我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.
二、练一练：
1.计算：
√12×√3
的结果是( )
A.2 B.6 C.8 D.16
√1
2.计算：
√20
• 5 的结果是____.3.等式
√x2 −16
=
√x−4
•
√x+4
成立的条件是_____.
知识精讲
探究：计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？
√4 √4 √16 √16 √36 √36
(1)√9 =( )， 9 =( )；(2)√25 =( )， 25 =( )；(3)√49 =( )， 49 =( ).
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1) (2) (3)
思考：你能用字母表示你所发现的规律吗？
√a √a
=
一般地，二次根式的除法法则是 √b b (a≥0，b＞0)
即：二次根式相除，________不变，________相除.
语言表述：算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.
当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得
典例解析
例1.计算:
解:
;【针对练习】计算：
√72 √ 2 3 √ 3
÷ 1
(1)
√18÷√2
(2)
√6a÷√2a
(3)
√6
(4)
45 2 5
解: (1)原式=
(2)原式=
(3)原式=
(4)原式=
我们知道，把二次根式的乘法法则反过来就得到积的算术平方根的性质.
类似的，把二次根式的除法法则反过来，就得到
二次根式的商的算术平方根的性质:
语言表述：商的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的商.
我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.
例2.化简:
解:
还有其他解法吗?补充解法：
【针对练习】化简:
解:
思考：前面我们学习了二次根式的除法法则，你会去掉 这样的式子分母的根号吗？
还有别的方法吗？把分母中的根号化去,使分母变成有理数的这个过程就叫做分母有理化.
例3.计算:
√3 3√2 √8
(1)√5 (2)√27 (3)√2a
√3 √3×√5 √15 √15
= = =
解：(1)
√5 √5×√5 (√5) 2 5
3√2 3√2 3√2 √2 √2×√3 √6
= = = = =
(2) √27 √32 ×3 √32 ×√3 √3 √3×√3 3
√8 √8⋅√2a 4√a 2√a
= = =
(3)√2a √2a⋅√2a 2a a
【点睛】分母形如 的式子，分子、分母同乘以 可使分母不含根号.
最简二次根式
√3 √15 √6 2√a
2√2， 3√3 ，10 ， 5 ， 3 ， a .
观察上面三道例题中各小题的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特
点：
(1) 被开方数不含分母；
(2) 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.
在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式.
【针对练习】把下列二次根式化成最简二次根式：
√4
(1) √32 (2) √40 (3) √1.5 (4) 3
解：(1)
√32=√16×2=4√2
(2)
√40=√4×10=2√10
√3 √3×2 √6 √4 √4×3 2
√1.5= = = = = √3
(3) 2 2×2 2 (4) 3 3×3 32√3 √10
例4.设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b.已知S= ，b= ，求a.
S 2√3 2√3×√10 √30
a= = = =
解：∵ S=ab，∴ b √10 √10×√10 5
【针对练习】1.【章前引言】如果两个电视塔的高分别是 h km，h km，那么它们的传播半径
1 2
√2Rh
1
√2Rh
的比为 2.
√2Rh √2R⋅√h √h √h ⋅√h √h h
1 1 1 1 2 1 2
= = = =
√2Rh √2R⋅√h √h √h ⋅√h h
这个式子还可以化简： 2 2 2 2 2 2 . 这个比与地球
半径无关. 这样，只要知道h ，h ，就可以求出比值.
1 2
√10
2.设长方形的面积为 S，相邻两边长分别为 a，b.已知S=16，b= ，求 a.
S 16 16×√10 8√10
a= = = =
b √10 √10×√10 5
解：∵ S=ab ∴
例5.计算：
√ 1 1 √3
解:(1)原式=2❑18× × =2❑ =❑√6．
6 2 2
❑√6m 2m 2❑√2m
(2)原式= ÷❑√6m⋅2m❑√2m = ❑√6m÷6m×2m= ．
3m 3m 3
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测
1．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
√1
A．❑ B．❑√7 C．❑√9 D．❑√20
3
❑√2
2． 的倒数是（ ）
21 ❑√2 1
A．❑√2 B． C．- D．-
❑√2 2 ❑√2
3．若√m+3 ❑√m+3成立，则 的值可以是（ ）
❑ = m
4-m ❑√4-m
A．-4 B．2 C．4 D．5
4.化简 时，最好将分子、分母都乘以( )
A.❑√50 B.❑√10 C.❑√5 D.❑√2
5.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
6.二次根式 中，最简二次根式是______________.
7.已知长方形的面积是48cm2， 其中一边的长是❑√32cm ,则另一边的长是______cm.
8.已知等式 请你根据上述的规律，写出用
正整数n(n>1)表示的式子___________________.
9.把下列二次根式化成最简二次根式：
10.化简.
11.计算.12．若a- √12a+5与❑√3b+a是被开方数相同的最简二次根式，求❑√ab的值．
【参考答案】
1. B
2. A
3. B
4. D
5. C
6.
7.
8.
9.解:
10.解:
11.解: (1)原式(2)原式
(3)原式
12.解：∵ a- √12a+5与❑√3b+a是被开方数相同的最简二次根式.
{&a-1=2
&2a+5=3b+a
{
&a=3
解得： 8
&b=
3
∵2a+5=11>0
{
&a=3
∴ 8符合题意
&b=
3
√ 8
∴❑√ab=❑3× =2❑√2.
3
四、教学反思：
在教学中应注重积和商的互相转换，让学生通过具体实例再结合积的算术平方根的性质，对
比、归纳得到商的算术平方根的性质. 在此过程中应给予适当的指导，可提出问题让学生有
一定的探索方向. 在设计课堂教学内容时，以提问的方式引出本节课要解决的问题，让学生
自主探究，在探究过程中观察知识产生发展的全过程，从而让学生的学习情感和学习品质得
到升华，学生的创新精神得到发展.
