文档内容
16.2 二次根式的乘除（单元教学设计）
一、【单元目标】
通过列举二次根式的乘法计算和除法计算的计算题，让学生了解二次根式的乘除法计算的规则，同时
发现二次根式的乘除法计算与我们之前学过的有理数的乘除法计算有何区别，同时掌握二次根式计算相关
的最简二次根式概念和同类二次根式的概念，以及我们分母有理化的技巧；
（1）列举二次根式的乘除法计算题，让学生归纳总结出二次根式的乘除法计算法则；同时掌握二次
根式计算相关的最简二次根式概念和同类二次根式的概念，以及我们分母有理化的技巧；
（2）通过小组合作探究，让学生参与教学过程，加深对基础概念的理解，提升了学生的数学抽象素
养，进一步发展了学生的类比推理素养；
（3）通过典型例题的训练，加强学生的做题技巧，训练做题的方法，提升学生的逻辑推理素养；
（4）在师生共同思考与合作下，学生通过概括与抽象、类比的方法，体会了归因与转化的数学思想，
同时提升了学生的数学抽象素养，并发展了学生的逻辑推理素养；
二、【单元知识结构框架】
1．二次根式的乘法法则：
·＝(a≥0，b≥0)
2．积的算术平方根：
＝·(a≥0，b≥0)
3．二次根式的除法运算
4．商的算术平方根
5．最简二次根式
被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
三、【学情分析】
1．认知基础
二次根式的乘除法计算是计算的基本要求，是我们必须要掌握的计算法则；后面的计算练习题基本上
都离不开二次根式，因此掌握本节知识是学好后面内容的关键；
2.认知障碍
1．掌握二次根式乘法法则和积的算术平方根的性质；
2．会用积的算术平方根的性质对二次根式进行化简．
3．掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，会运用其进行相关运算；
4．能综合运用已学性质进行二次根式的化简与运算．
四、【教学设计思路/过程】
课时安排： 约2课时教学重点： 二次根式乘法法则和积的算术平方根的性质；会用积的算术平方根的性质对二次根式进
行化简；
教学难点： 掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，会运用其进行相关运算；能综合运
用已学性质进行二次根式的化简与运算；
五、【教学问题诊断分析】
【情景引入】
1、计算：
(1)×与；
(2)×与.
思考：
对于×与呢？
从计算的结果我们发现×＝，这是什么道理呢？
2、计算下列各题，观察有什么规律？
(1)＝________；＝________．
(2)＝________；＝________．
________；________.
16.1.1 二次根式的乘法
问题1：（二次根式的乘法法则成立的条件）式子·＝成立的条件是( )
A．x≤2 B．x≥－1
C．－1≤x≤2 D．－1＜x＜2
【破解方法】运用二次根式的乘法法则：·＝(a≥0，b≥0)，必须注意被开方数均是非负数这一条件．
【解析】根据题意得解得－1≤x≤2.故选C.
问题2：（二次根式的乘法运算）计算：
(1)×；(2)×；
(3)6×(－3)；
(4)·.
【破解方法】在运算过程中要注意根号前的因数是带分数时，必须化成假分数，如果被开方数有能开
得尽方的因数或因式，可先将二次根式化简后再相乘．
【解析】(1)×＝＝；
(2)×＝＝＝4；
(3)6×(－3)＝－18＝－18＝－18×9＝－162；(4)·＝－··＝－·＝－·6b＝－.
问题3：（积的算术平方根的性质）化简：
(1)；
(2)；
(3).
【破解方法】利用积的算术平方根的性质可以对二次根式进行化简．
【解析】(1)＝＝＝××＝6×4×3＝72；
(2)＝＝＝×＝12×5＝60；
(3)＝＝·＝|x＋3y|.
问题4：（二次根式乘法的综合应用）小明的爸爸做了一个长为cm，宽为cm的矩形木相框，还想做一
个与它面积相等的圆形木相框，请你帮他计算一下这个圆的半径(结果保留根号)．
【破解方法】把实际问题转化为数学问题，列出相应的式子进行计算，体现了转化思想．
【解析】设圆的半径为rcm.因为矩形木相框的面积为×＝168π(cm2)，所以πr2＝168π，r＝2cm(r
＝－2舍去)．
答：这个圆的半径是2cm.
16.1.2 二次根式的除法
问题5：（二次根式的除法运算）计算：
(1)；(2)－÷；
(3)；(4)÷.
【破解方法】利用二次根式的除法法则进行计算时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的倒
数”进行约分化简．
【解析】(1)＝＝＝2；
(2)－÷＝－＝－＝－＝－3；
(3)＝＝；
(4)÷＝－÷5＝－××＝－×＝－.
问题6：（二次根式的乘除混合运算）计算：(1)9÷3×；
(2)a2··b÷.
【破解方法】二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，在运算时要注意运算符
号和运算顺序，若被开方数是带分数，要先将其化为假分数．【解析】：(1)原式＝9×××＝18；
(2)原式＝a2·b·＝.
问题7：（利用商的算术平方根的性质确定字母的取值范围）若＝，则a的取值范围是( )
A．a＜2 B．a≤2
C．0≤a＜2 D．a≥0
【破解方法】运用商的算术平方根的性质：＝(a＞0，b≥0)，必须注意被开方数是非负数且分母不等
于零这一条件．
【解析】根据题意得解得0≤a＜2.故选C.
问题8：（利用商的算术平方根的性质化简二次根式）化简：
(1)； (2)(a＞0，b＞0，c＞0)．
【破解方法】被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数不含分母，
从而化为最简二次根式．
【解析】(1)＝＝＝；
(2)＝＝.
问题9：（最简二次根式）在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？并说明理由．
(1)；(2)；(3)；(4)；(5).
【破解方法】解决此题的关键是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
(1)被开方数不含分母；
(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
【解析】(1)＝3，被开方数含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式；
(2)＝，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式；
(3)，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简二次根式；(4)＝＝，被开方数含有小数，因此不是最简二次根式；
(5)＝＝，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式．
问题10：（二次根式除法的综合应用）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其周期计
算公式为T＝2π，其中T表示周期(单位：秒)，l表示摆长(单位：米)，g＝9.8米/秒2，假若一台座钟摆
长为0.5米，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在1分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声
(π≈3.14)?
【破解方法】解决本题的关键是正确运用公式．用二次根式的除法进行运算，解这类问题时要注意代
入数据的单位是否统一．
【解析】∵T＝2π≈1.42，＝≈42(次)，∴在1分钟内，该座钟大约发出了42次滴答声．
六、【教学成果自我检测】
1．课前预习
设计意图：落实与理解教材要求的基本教学内容.
1．（2024上·河南周口·九年级校联考期末）下列根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据最简二次根式：“被开方数不含分母，不含能开方开的尽的因数或因式，这样的二次根式叫
做最简二次根式．”进行判断即可．
【详解】解：A、 ，不是最简二次根式；
B、 ，是最简二次根式；
C、 ，不是最简二次根式；
D、 ，被开方数含有分母，不是最简二次根式．
故选B．
2．（2023上·广东茂名·八年级统考期中）已知 ， ，则 （ ）
A．35.12 B．351.2 C．111.08 D．1110.8
【答案】A【分析】本题主要考查算术平方根的知识，根据 计算得出结论即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故选：A．
3．（2023上·福建福州·八年级校考阶段练习）计算 的结果是 ．
【答案】1
【分析】根据二次根式的乘法法则，进行计算即可，属于基础题型．
【详解】解： ；
故答案为：1．
4．（2023上·河南南阳·九年级校考期末）化简 ．
【答案】
【分析】本题考查的是二次根式的除法运算，分子提 ，与分母约分，然后再化简．在进行二次根式的化
简运算时，要先化简再计算可使计算更简便．
【详解】解：原式 ．
故答案为：
5．（2022上·陕西榆林·八年级校考期中）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)【分析】（1）先利用绝对值的意义，立方根的定义进行化简，再利用实数的运算法则即可得出结论；
（2）先根据零指数幂性质，二次根式的乘除运算法则进行计算，再计算加减即可．
【详解】（1）解：原式 ；
（2）解：原式 ．
【点睛】此题考查了实数的混合运算法则，掌握绝对值的化简，立方根的定义是解题的关键．
6．（2023下·辽宁朝阳·八年级校考期中）计算
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】 先化简二次根式，再合并同类二次根式；
根据二次根式的混合运算法则计算即可；
利用平方差公式和完全平方公式计算；
提取最大的次数，再化简即可．
【详解】（1） ，（2） ，
（3） ，
（4）
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要
合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，在化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对
待．
2．课堂检测
设计意图：例题变式练.
1．（2023上·四川遂宁·九年级校考期中）在下列二次根式 ， ， ， ， 中，最简
二次根式的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本题主要考查了最简二次根式，注意（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就
不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数等于或大于
2，也不是最简二次根式．
【详解】解： 中被开方数含有因数4，不是最简二次根式，
， 中被开方数含有分母，不是最简二次根式，
∴最简二次根式有 ， ，共2个，
故选A．
2．（2023上·广东佛山·八年级校考阶段练习）若 ， ，则 用含a，b的式子表示是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用二次根式的乘法和性质变形得出答案．
【详解】解： ， ，
．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次根式的乘法和性质，正确将二次根式变形是解题关键．
3．（2023上·山西临汾·九年级统考期中）计算 的结果是 ．
【答案】4
【分析】本题考查了二次根式的乘法，熟练运用计算法则是解题的关键．
【详解】解： ，
故答案为：4．
4．（2022下·河北邯郸·八年级校考期中）若 ，则 ，
．
【答案】 2
【分析】利用二次根式的乘除运算法则计算，可得结果．
【详解】解：∵
即 ，∴
∴ ，
故答案为： ，2．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，解题的关键是掌握相应的运算法则．
5．（2023下·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)3
(3)
(4)8
【分析】（1）把被开方数相乘即可，
（2）先把被开方数相乘，再把结果化成最简形式即可，
（3）把被开方数相乘即可，
（4）先把被开方数相乘，再把结果化成最简形式即可．
【详解】（1）（2）
（3）
（4）
【点睛】本题考查的是二次根式的乘法，熟知二次根式的乘法法则是解答此题的关键．
6．（2023下·黑龙江双鸭山·八年级统考期末）先化简，再求值： ，其中
， ．
【答案】 ，
【分析】先将分式化简，再代值计算即可．
【详解】解：原式
．
当 ， 时，
原式
．
【点睛】本题考查分式的化简求值．化简正确是解题的关键．
3．课后作业设计意图：巩固提升.
1．（2023上·河南郑州·八年级校考阶段练习）下列判断正确的是（ ）
A． B．与 最接近的整数是5
C． D． 与 的积是有理数
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的性质化简以及无理数的估算：先把A和C选项的二次根式化简，再判断正
确；根据无理数的估算方法对B和D选项进行判断，即可作答．
【详解】解：A、因为 ，所以 ，则 ，故该选项是错误的；
B、因为 ，则与 最接近的整数是6，故该选项是错误的；
C、 ，故该选项是错误的；
D、 ，则 与 的积是有理数，故该选项是正确的；
故选：D
2．（2023上·河南南阳·九年级统考期中）下列各式的计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了二次根式的运算，根据二次根式的性质化简和二次根式除法依次计算各项后即可解答，
熟练掌握二次根式的化简和二次根式除法运算法则是解题的关键．
【详解】 、 ，此选项计算错误，不符合题意；、 ，此选项计算错误，不符合题意；
、 ，此选项计算错误，不符合题意；
、 ，此选项计算正确，符合题意；
故选： ．
3．（2024上·山西太原·八年级校考阶段练习）计算 的结果为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则．根据平方差公式计算．
【详解】解： ，
故答案为：2．
4．（2023上·黑龙江绥化·八年级统考期末）已知 ， ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查因式分解的应用，二次根式的运算，将 因式分解为 ，把已知条件整体
代入，运用二次根式的运算即可求解．
【详解】∵ ， ，
∴ ．
故答案为：
5．（2023上·河南焦作·八年级统考期中）计算
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，熟记二次根式的混合运算法则是解题关键．
（1）先进行二次根式的乘法运算以及化简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）先根据平方差公式，完全平方公式去括号，最后进行加减运算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
6．（2023上·山西晋中·八年级统考期中）按要求填空：
(1)填表并观察规律：
a 4 400
(2)根据你发现的规律填空：
已知： ，则 ______；
已知： ， ，则 ______；
(3)从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明；
【答案】(1)见解析
(2) ，3800(3)求一个数的算术平方根时，被开方数扩大或缩小100倍，则它的算术平方根扩大或缩小10倍
【分析】本题考查了数字类规律探究，算术平方根，二次根式的乘法运算，根据解题过程找出一般规律是
解题关键．
（1）先求出每个数的算术平方根，再填表即可；
（2）根据二次根式的乘法法则计算，即可得到答案；
（3）根据解题过程找出规律即可．
【详解】（1）解： ， ， ， ，
填表如下：
a
（2）解：
；
，
，
，
；
（3）解：由以上解答过程发现：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大或缩小100倍，则它的算术平方
根扩大或缩小10倍（意思正确即可）．
七、【教学反思】
