文档内容
人教版初中数学八年级下册
16.3.2 二次根式的混合运算 教学设计
一、教学目标：
1. 掌握二次根式的混合运算的运算法则.
2.会运用二次根式的混合运算法则进行有关的运算.
二、教学重、难点：
重点：会熟练地进行二次根式的加减乘除混合运算，进一步提高运算能力.
难点：正确地运用二次根式加减乘除法则及运算律进行运算，并把结果化简.
三、教学过程：
复习回顾
忆一忆
√a √b √ab
1.二次根式的乘法法则 • ＝________(a≥0，b≥0)，积的算术平方根 ＝
__________( a≥0，b≥0).
√a √a
2.二次根式的除法法则√b ＝____( a≥0，b＞0)，商的算术平方根 b ＝____(a≥0，b＞0).
3.二次根式的加减时，可以先将二次根式化为_____________，再将被开方数相同的二次根式
进行________.
做一做
1.下列二次根式中，最简二次根式是( )
√3
A. √12 B. √x2 +1 C. √y3 D. 2
√9 √1 2
6 √27
2.计算：(1) √128 × 2=____；(2) √24 ÷ √12 =____；(3) 3+3 - 3√3 =____.
3.填空：(1)(a+b)(a-b)=_______； (2)(a+b)2=_________； (3)(a-b)2=_________.
典例解析
例1.计算：(√8+√3)×√6 (4√2−3√6)÷2√2
(1) (2)
(√8+√3)×√6=√8×√6+√3×√6=√8×6+√3×6=4√3+3√2
解：(1)
3
(4√2−3√6)÷2√2=4√2÷2√2−3√6÷2√2=2− √3
(2) 2
【点睛】二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、
乘法法则仍然适用.
【针对练习】计算：
√2(√3+√5) (√80+√40)÷√5
(1) (2)
解：(1)原式=
√6+√10
(2)原式=
√16+√8=4+2√2
例2.计算：
解：(1)原式
(2)原式
【点睛】有绝对值符号的，同括号一样，先去绝对值，注意去掉绝对值后，得到的数应该为
正数.
例3.计算：
(√2+3)×(√2−5) (√5+√3)(√5−√3)
(1) (2)
解：(1)(√2+3)×(√2−5)=(√2) 2 +3√2−5√2−15=2−2√2−15=−13−2√2
(2)(√5+√3)(√5−√3)=(√5) 2 −(√3) 2 =5−3=2
【点睛】对于整式的运算法则和乘法公式仍然适用于二次根式的加、减、乘、除混合运算.
【针对练习】计算：(1) ； (2) .
(3❑√2-2)(1+❑√2) (2❑√3-1) 2-(❑√3+2)(❑√3-2)
解：（1）原式=3❑√2+6-2-2❑√2=❑√2+4；
（2）原式 ．
=(2❑√3) 2-4❑√3+1-(3-4)=12-4❑√3+1+1=14-4❑√3
知识精讲
在前面我们学习了二次根式的除法法则时，学会了怎样去掉分母的二次根式的方法，比如:
思考：如果分母不是单个的二次根式，而是含二次根式的式子，如：
等，该怎样去掉分母中的二次根式呢？
典例解析
1 1
例4.已知m= ，n= ，求m2-mn+n2的值．
❑√5+2 ❑√5-2
解：∵ 1 ❑√5-2 ❑√5-2 ，
m= = = =❑√5-2
❑√5+2 (❑√5+2)(❑√5-2) 5-4
1 ❑√5+2 ❑√5+2 ，
n= = = =❑√5+2
❑√5-2 (❑√5-2)(❑√5+2) 5-4
∴m2-mn+n2
=(m-n) 2+mn
=(❑√5-2-❑√5-2) 2+(❑√5-2)(❑√5+2)
=16+5-4
=17．2
【针对练习】化简并求值：已知x= ，求x2-2x+3的值．
❑√3-1
解：∵ 2 2(❑√3+1) ，
x= = =❑√3+1
❑√3-1 3-1
∴
x2-2x+3=(x-1) 2+2
=(❑√3+1-1) 2+2
=3+2=5．
例5.计算：
解：(1)原式
(2) 原 式
例6.某居民小区有块形状为矩形ABCD的绿地，长BC为❑√128米，宽AB为❑√50米，现在要矩
形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为
米，宽为 米．
(❑√13+1) (❑√13-1)
(1)求矩形ABCD的周长．（结果化为最简二次根式）
(2)除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为 6元/平方米的地砖，
要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
（1）解：矩形ABCD的长BC为❑√128米，宽AB为❑√50米，∴矩形 的周长为 （米）．
ABCD 2×(❑√128+❑√50)=2×(8❑√2+5❑√2)=26❑√2
答：矩形ABCD的周长为26❑√2米．
（2）解：通道的面积为
❑√128×❑√50-2×(❑√13+1)(❑√13-1)
=8❑√2×5❑√2-2×(13-1)
=80-2×12
=56（平方米），
则购买地砖需要花费56×6=336（元）．
答：购买地砖需要花费336元．
【针对练习】为了表示对老师的敬意，张昊同学特地做了两张大小不同的正方形的画送给老
师，其中一张面积为800cm2，另一张面积为450cm2.他想：如果再用金色细彩带把画的边镶上
会更漂亮．他手上现有1.2m长的金色细彩带．请你帮他算一算，他的金色细彩带够用吗？如
果不够用，还需买多少厘米的金色细彩带？(❑√2≈1.414，结果保留整数)
解：镶壁画所用的金色彩带的长为：
4×（❑√800+❑√450）
=4×（20❑√2+15❑√2）
=140❑√2≈197.96（cm），
因为1.2m=120cm＜197.96cm，
所以小号的金色彩带不够用.197.96-120=77.96≈78（cm），即还需买78cm的金色彩带．
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测
1.下列各式计算正确的是（ ）
❑√6 ❑√6
A．❑√6÷(❑√3+❑√2)= + =❑√2+❑√3
❑√3 ❑√2
B．
(4-2❑√3) 2=16-(2❑√3) 2=4
C．
❑√2+❑√3÷(❑√2+❑√3)=1D． 3 (❑√5+❑√2)(❑√5-❑√2)
= =❑√5-❑√2
❑√5+❑√2 ❑√5+❑√2
2.设实数❑√3的整数部分为m，小数部分为n，则(2m+n)(2m﹣n)的值是( )
A．2❑√3 B．-2❑√3 C．2❑√3-2 D．2-2❑√3
3.化简 的结果为( )
(❑√3-2) 2002 ·(❑√3+2) 2003
A．－1 B．❑√3+2 C．❑√3-2 D．-❑√3-2
1 1
4．如果❑√a+ ＝3，那么a+ 的值为( )
❑√a a
A．3 B．7 C．9 D．11
5.已知a=❑√2-1,b=❑√3-❑√2,c=❑√5-2,那么a,b,c的大小关系是（ ）
A．a
