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18.2.2 菱 形
第 1 课时 菱形的性质
∴AC 平分∠DAB.∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE＝CF.
1．掌握的定义和性质及菱形面积的求 方法总结：菱形的两条对角线互相垂直，
法；(重点) 并且每一条对角线平分一组对角；角平分线
2．灵活运用菱形的性质解决问题．(难 的性质：角的平分线上的点到角的两边的距
点) 离相等．
【类型二】 利用菱形的性质进行有关的
计算
一、情境导入
如图，O是菱形ABCD对角线AC
将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着 与BD的交点，CD＝5cm，OD＝3cm.过点C
图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什 作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相
么样的图形呢？这就是另一类特殊的平行 交于点E.
四边形，即菱形． (1)求OC的长；
二、合作探究 (2)求四边形OBEC的面积．
探究点一：菱形的性质 解析：(1)在直角三角形OCD中，利用
【类型一】 利用菱形的性质证明线段相 勾股定理即可求解；(2)利用矩形的定义即可
等 证明四边形OBEC为矩形，再利用矩形的面
如图，四边形 ABCD 是菱形， 积公式即可直接求解．
CE⊥AB交AB延长线于E，CF⊥AD交AD 解：(1)∵四边形 ABCD 是菱形，
延长线于F.求证：CE＝CF. ∴AC⊥BD.在直角三角形OCD中，OC＝＝
＝4(cm)；
(2)∵CE∥DB，BE∥AC，∴四边形
OBEC 为平行四边形．又∵AC⊥BD，即
∠COB＝90°，∴平行四边形OBEC为矩形．
解析：连接AC.根据菱形的性质可得 ∵OB＝OD，∴S ＝OB·OC＝4×3＝
矩形OBEC
AC平分 12(cm2)．
∠DAB，再根据角平分线的性质可得 方法总结：菱形的对角线互相垂直，则
CE＝FC. 菱形对角线将菱形分成四个直角三角形，所
证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形， 以可以利用勾股定理解决一些计算问题．
第 1 页 共 3 页【类型三】 运用菱形的性质证明角相等
如图，四边形ABCD是菱形，对角
线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接
OH，求证：∠DHO＝∠DCO.
解析：根据“菱形的对角线互相平分”
可得OD＝OB，再根据“直角三角形斜边上 解析：探究：△ADE与△DBF全等，利用
的中线等于斜边的一半”可得OH＝OB， 菱形的性质首先证明三角形ABD为等边三
∠OHB＝∠OBH，根据“两直线平行，内错角 角形，再利用全等三角形的判定方法即可证
相等”求出∠OBH＝∠ODC，然后根据“等 明△ADE≌△DBF；拓展：因为点O在AD的
角的余角相等”证明即可． 垂直平分线上，所以OA＝OD，再通过证明
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝ △ADE≌△DBF，利用全等三角形的性质即
OB，∠COD＝90°.∵DH⊥AB，∴OH＝BD＝ 可求出∠ADE的度数．
OB，∴∠OHB＝∠OBH.又∵AB∥CD， 解：探究：△ADE与△DBF全等．∵四
∴∠OBH＝∠ODC，∴∠OHB＝∠ODC.在 边形ABCD是菱形，∴AB＝AD.∵AB＝BD，
Rt△COD 中，∠ODC＋∠DCO＝90°.在 ∴AB＝AD＝BD，∴△ABD为等边三角形，
Rt△DHB 中，∠DHO＋∠OHB＝90°， ∴∠DAB＝∠ADB＝60°，∴∠EAD＝∠FDB
∴∠DHO＝∠DCO. ＝120°.∵AE＝DF，∴△ADE≌△DBF；
方法总结：本题考查了菱形的对角线互 拓展：∵点O在AD的垂直平分线上，
相垂直平分的性质，直角三角形斜边上的中 ∴OA＝OD.∴∠DAO＝∠ADB＝50°，
线等于斜边的一半的性质，以及等角的余角 ∴∠EAD＝∠FDB＝130°.∵AE＝DF，AD＝
相等，熟记各性质并理清图中角度的关系是 DB，∴△ADE≌△DBF，∴∠DEA＝∠AFB
解题的关键． ＝32°，∴∠EDA＝∠OAD－∠DEA＝18°.
【类型四】 运用菱形的性质解决探究性 方法总结：本题考查了菱形的性质、等
问题 边三角形的判定和性质以及全等三角形的
感知：如图①，在菱形ABCD中， 判定和性质的综合运用，解题时一定要熟悉
AB＝BD，点E、F分别在边AB、AD上．若 相关的基础知识并进行联想．
AE＝DF，易知△ADE≌△DBF. 探究点二：菱形的面积
探究：如图②，在菱形ABCD中，AB＝ 已知菱形ABCD中，对角线AC与
BD，点E、F分别在BA、AD的延长线上．若 BD相交于点O，∠BAD＝120°，AC＝4，则
AE＝DF，△ADE与△DBF是否全等？如果 该菱形的面积是( )
全等，请证明；如果不全等，请说明理由． A．16 B．8 C．4 D．8
拓展：如图③，在 ▱ABCD中，AD＝BD， 解析：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝
点O是AD边的垂直平分线与BD的交点， BC，OA＝AC＝2，OB＝BD，AC⊥BD，∠BAD
点E、F分别在OA、AD的延长线上．若AE ＋∠ABC＝180°.∵∠BAD＝120°，∴∠ABC＝
＝DF，∠ADB＝50°，∠AFB＝32°，求∠ADE 60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝4，
的度数． ∴OB＝＝＝2，∴BD＝2OB＝4，∴S ＝
菱形ABCD
AC·BD＝×4×4＝8.故选B.
方法总结：菱形的面积有三种计算方法：
第 2 页 共 3 页①将其看成平行四边形，用底与高的积来求；
②对角线分得的四个全等三角形面积之和；
③两条对角线的乘积的一半．
三、板书设计
1．菱形的性质
菱形的四边条都相等；
菱形的两条对角线互相垂直平分，并且
每一条对角线平分一组对角．
2．菱形的面积
S ＝边长×对应高＝ab(a，b分别是
菱形
两条对角线的长)
通过剪纸活动让学生主动探索菱形的
性质，大多数学生能全部得到结论，少数需
要教师加以引导．但是学生得到的结论，有
一些是他们的猜想，是否正确还需要证明，
因此问题就上升到证明这个环节．在整个新
知生成过程中，探究活动起了重要的作用．
课堂中学生始终处于观察、比较、概括、总结
和积极思维状态，切身感受到自己是学习的
主人．为学生今后获取知识、探索发现和创
造打下了良好的基础，更增强了敢于实践，
勇于探索，不断创新和努力学习数学知识的
信心和勇气．
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