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18.2.3 正方形
第 1 课时 正方形的性质
边形、矩形、菱形的所有性质．
【类型二】 利用正方形的性质解决线段
1．掌握正方形的概念、性质，并会用它 的计算或证明问题
们进行有关的论证和计算；(重点)
2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱
形的联系和区别．(难点)
如图所示，正方形ABCD的边长
为1，AC是对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC
一、情境导入 于点F.
(1)求证：BE＝CF；
(2)求BE的长．
解析：(1)由角平分线的性质可得到BE
做一做：用一张长方形的纸片(如图所 ＝EF，再证明△CEF为等腰直角三角形，即
示)折出一个正方形．学生在动手中对正方 可证BE＝CF；(2)设BE＝x，在△CEF中可表
形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关 示出CE.由BC＝1，可列出方程，即可求得
系． BE.
问题：什么样的四边形是正方形？ (1)证明：∵四边形ABCD为正方形，
二、合作探究 ∴ ∠ B ＝ 90°.∵EF⊥AC ， ∴ ∠ EFA ＝
探究点一：正方形的性质 90°.∵AE平分∠BAC，∴BE＝EF.又∵AC是
【类型一】 特殊平行四边形的性质的综 正方形ABCD的对角线，∴AC平分∠BCD，
合 ∴∠ACB＝45°，∴∠FEC＝∠FCE＝45°，
菱形，矩形，正方形都具有的性质 ∴EF＝FC，∴BE＝CF；
是( ) (2)解：设BE＝x，则EF＝CF＝x，CE＝1
A．对角线相等且互相平分 －x.在Rt△CEF中，由勾股定理可得CE＝
B．对角线相等且互相垂直平分 x.∴x＝1－x，解得x＝－1，即BE的长为－1.
C．对角线互相平分 方法总结：正方形被每条对角线分成两
D．四条边相等，四个角相等 个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰
解析：选项A不正确，菱形的对角线不 直角三角形，因此正方形的计算问题可以转
相等；选项B不正确，菱形的对角线不相等， 化到直角三角形和等腰直角三角形中去解
矩形的对角线不互相垂直；选项C正确，三 决．
者均具有此性质；选项D不正确，矩形的四 【类型三】 利用正方形的性质解决角的
条边不相等，菱形的四个角不相等．故选C. 计算或证明问题
方法总结：正方形具有四边形、平行四
第 1 页 共 3 页如图，AE 是正方形 ABCD 中
∠BAC的平分线，AE分别交BD、BC于F、
E，AC、BD相交于O.求证：
在正方形ABCD中，点F是边AB
上一点，连接DF，点E为DF的中点．连接
BE、CE、AE.
(1)求证：△AEB≌△DEC； (1)BE＝BF；
(2)当EB＝BC时，求∠AFD的度数． (2)OF＝CE.
解析：(1)根据“正方形的四条边都相 解析：(1)根据正方形的性质可求得
等”可得AB＝CD，根据“正方形每一个角 ∠ABE＝∠AOF＝90°.由于 AE 是正方形
都是直角”可得∠BAD＝∠ADC＝90°，再根 ABCD中∠BAC的平分线，根据“等角的余
据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的 角相等”即可求得∠AFO＝∠AEB.根据“对
一半”可得AE＝EF＝DE＝DF，根据“等 顶角相等”即可求得∠BFE＝∠AEB，BE＝
边对等角”可得∠EAD＝∠EDA，再得出 BF；(2)连接O和AE的中点G.根据三角形
∠BAE＝∠CDE，然后利用“SAS”证明即可； 的中位线的性质即可证得OG∥BC，OG＝
(2)根据“全等三角形对应边相等”可得EB CE.根据平行线的性质即可求得∠OGF＝
＝EC，再得出△BCE是等边三角形．根据等 ∠FEB，从而证得∠OGF＝∠AFO，OG＝OF，
边三角形的性质可得∠EBC＝60°，然后求出 进而证得OF＝CE.
∠ABE＝30°.再根据“等腰三角形两底角相 证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，
等”求出∠BAE，然后根据“等边对等角” ∴AC⊥BD，∴∠ABE＝∠AOF＝90°，
可得∠AFD＝∠BAE. ∴∠BAE＋∠AEB＝∠CAE＋∠AFO＝
(1)证明：在正方形ABCD中，AB＝CD， 90°.∵AE是∠BAC的平分线，∴∠CAE＝
∠BAD＝∠ADC＝90°.∵点E为DF中点， ∠BAE，∴∠AFO＝∠AEB.又∵∠AFO＝
∴ AE ＝ EF ＝ DE ＝ DF ， ∴ ∠ EAD ＝ ∠BFE，∴∠BFE＝∠AEB，∴BE＝BF；
∠EDA.∵∠BAE＝∠BAD－∠EAD，∠CDE (2)连接O和AE的中点G.∵AO＝CO，
＝∠ADC－∠EDA，∴∠BAE＝∠CDE.在 AG＝EG，∴OG∥BC，OG＝CE，∴∠OGF
△AEB和△DEC中， ＝∠FEB.∵∠AFO＝∠AEB，∴∠OGF＝
∴△AEB≌△DEC(SAS)； ∠AFO，∴OG＝OF，∴OF＝CE.
(2)解：∵△AEB≌△DEC，∴EB＝ 方法总结：在正方形的条件下证明线段
EC.∵EB＝BC，∴EB＝BC＝EC，∴△BCE 的关系，通常的方法是连接对角线构造垂直
是等边三角形，∴∠EBC＝60°，∴∠ABE＝ 平分线，利用垂直平分线的性质、中位线定
90°－60°＝30°.∵EB＝BC＝AB，∴∠BAE＝ 理、角平分线、等腰三角形等知识来证明，有
×(180°－30°)＝75°.又∵AE＝EF，∴∠AFD 时也利用全等三角形来解决．
＝∠BAE＝75°.
方法总结：正方形是最特殊的平行四边 【类型二】 有关正方形性质的综合应用
形，在正方形中进行计算时，要注意计算出 题
相关的角的度数，要注意分析图形中有哪些
相等的线段等．
探究点二：正方形性质的综合应用
【类型一】 利用正方形的性质解决线段
的倍、分、和、差关系 如图，正方形AFCE中，D是边
第 2 页 共 3 页CE上一点，B是CF延长线上一点，且AB＝
AD，若四边形ABCD的面积是24cm2.则AC
长是________cm.
解析：∵四边形AFCE是正方形，∴AF＝
AE，∠E＝∠AFC＝∠AFB＝90°.在Rt△AED
和Rt△AFB中，∴Rt△AED≌Rt△AFB(HL)，
∴S ＝S .∵S ＝24cm2，∴S
△AED △AFB 四边形ABCD 正方形
＝24cm2，∴AE＝EC＝2cm.根据勾股定理
AFCE
得AC＝＝4(cm)．故答案为4.
方法总结：在解决与面积相关的问题时，
可通过证三角形全等实现转化，使不规则图
形的面积转变成我们熟悉的图形面积，从而
解决问题．
三、板书设计
1．正方形的定义和性质
四条边都相等，四个角都是直角的四边
形是正方形．
对边平行，四条边都相等；四个角都是
直角；对角线互相垂直、平分且相等，并且每
一条对角线平分一组对角．
2．正方形性质的综合应用
通过学生动手操作得出的结论归纳矩
形和菱形的性质，继而得到正方形的性质，
激起了学生的学习热情和兴趣．创设有意义
的数学活动，使枯燥乏味的数学变得生动活
泼．让学生觉得学习数学是快乐的，使学生
保持一颗健康、好学、进取的心及一份浓厚
的学习兴趣．
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